projeção estereográfica

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Projecção estereográfica e de igual área 
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CAPÍTULO 1. PROJECÇÃO ESTEREOGRÁFICA 
E DE IGUAL ÁREA 
 
 
1.1. Introdução 
 
 A projecção estereográfica é um método rápido, fácil e eficaz para resolver 
problemas geométricos em geologia estrutural. 
 A projecção estereográfica permite-nos projectar linhas e planos, determinar a 
orientação da linha de intersecção de dois planos, determinar o ângulo entre duas linhas e 
o ângulo entre dois planos, medir o ângulo entre uma linha e um plano, rodar linhas e 
planos no espaço em torno de um eixo vertical, horizontal ou inclinado. 
 
 
1.2. Redes 
 
 Dois tipos de rede são de uso comum: a rede estereográfica ou rede de Wulff e a 
rede de igual área de Lambert ou rede de Schmidt (Fig. 1.1). As duas redes são 
construídas de forma diferente. 
 A projecção estereográfica é um tipo de projecção azimutal (ver Glossário). Os 
termos rede de Wulff ou rede estereográfica referem-se apenas às redes desenhadas numa 
projecção estereográfica. O termo estereograma refere os pontos ou curvas projectados 
numa rede estereográfica. 
 A projecção de igual área é um segundo tipo de projecção azimutal que pode ser 
usada para projectar o hemisfério inferior num plano horizontal. Uma projecção de igual 
área não é uma projecção estereográfica. O termo rede de Schmidt refere uma rede 
desenhada numa projecção de igual área e é distinto de rede estereográfica. Na prática, 
todavia, os geólogos tendem a usar o termo rede estereográfica indistintamente, para 
designar tanto a rede de Wulff com a rede de Schmidt. 
 
 
Projecção estereográfica e de igual área 
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FIGURA 1.1. (a) Rede estereográfica ou rede de Wulff. (b) Rede de igual área de Lambert 
ou rede de Schmidt (ROWLAND & DUEBENDORFER, 1994). 
 
 
1.2.1. Construção da rede estereográfica 
 Podemos entender melhor a projecção estereográfica se partirmos da projecção 
esférica. Imagine um observador no centro de uma grande esfera de vidro (Fig. 1.2). A 
projecção esférica pode ser utilizada para representar as orientações de uma linha ou de 
um plano que passam pelo centro da esfera. Qualquer recta intersecta a superfície da 
esfera em dois pontos, que representam a sua projecção esférica. Um plano intersecta a 
superfície da esfera segundo uma circunferência. Infelizmente, uma esfera não é 
facilmente transportada, por isso pode ser projectada num plano a duas dimensões. As 
projecções planares de uma esfera são designadas por projecções azimutais. O plano de 
projecção pode ser tangente à superfície da esfera, pode estar a uma determinada distância 
da superfície da esfera ou pode passar pelo centro da esfera. O plano de projecção pode ter 
uma orientação qualquer e isso determina se a projecção é equatorial, polar ou oblíqua. A 
projecção estereográfica é um tipo de projecção azimutal que foi desenvolvida e refinada 
pelos cristalógrafos. Em geologia o plano de projecção usado é o plano equatorial (Fig. 
1.3). 
 
 
 
Projecção estereográfica e de igual área 
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FIGURA 1.2. Projecção esférica de linhas e planos 
(MARSHAK & MITRA, 1988). 
 
 
 Consideremos um ponto P marcado no hemisfério inferior da esfera, representando 
a projecção esférica de uma linha que passa pelo centro da esfera (Fig. 1.3). Se traçarmos 
uma linha de projecção que une esse ponto com o zénite, situado no topo da esfera, a 
projecção estereográfica da linha é o ponto de intersecção (P’) da recta que une P ao 
zénite com o plano equatorial de projecção. A intersecção do plano de projecção 
equatorial com a esfera é designada por primitiva. A projecção de uma linha vertical é um 
ponto no centro da primitiva e de uma linha horizontal são dois pontos sobre a primitiva. 
 Consideremos um plano inclinado que passa pelo centro da esfera e a sua 
projecção esférica no hemisfério inferior, definida por um semi-círculo (Fig. 1.4a). Para 
construir a projecção estereográfica do plano une-se cada ponto do semi-círculo ao zénite 
da esfera e marcam-se as intersecções destas linhas de projecção com o plano equatorial 
(Fig. 1.4b). Estas linhas rectas geram parte de um cone circular que intersecta o plano de 
projecção equatorial como um arco circular. O arco é a projecção estereográfica do plano 
e designa-se por traço ciclográfico do plano ou círculo máximo (Fig. 1.4c). Note-se que a 
projecção de um plano horizontal é a própria primitiva e a de um plano vertical é uma 
recta que passa pelo centro da primitiva. Se projectarmos, desta forma, uma série de 
planos com direcção N-S e inclinados para E ou W com pendores de 10 em 10° 
construímos uma rede de círculos máximos (Fig. 1.5). 
 
 
Projecção esférica de uma 
linha 
Projecção esférica de um 
plano 
Projecção estereográfica e de igual área 
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FIGURA 1.3. Projecção estereográfica de uma linha. (P-
projecção esférica da linha no hemisfério inferior, P’-projecção 
estereográfica da linha) (MARSHAK & MITRA, 1988). 
 
 A intersecção da esfera com um plano que não passa pelo centro é um círculo 
menor. Tais círculos menores também resultam da intersecção de cones circulares com a 
esfera se o apex desses cones se posicionarem no centro da esfera (Figs. 1.6 e 1.7). 
 
FIGURA 1.4. Projecção estereográfica de um plano inclinado. (a) Projecção esférica (r é o raio). (b) As 
linhas de projecção, do zénite ao círculo máximo no hemisfério inferior, intersectam o plano de projecção 
equatorial segundo um arco circular. (c) Estereograma do plano inclinado (MARSHAK & MITRA, 1988). 
 
 
 
 
 
zénite
círculo máximo 
projecção esférica de uma plano 
 traço ciclográfico 
plano de projecção estereográfica 
círculo máximo 
traço ciclográfico ou 
círculo máximo 
a b 
c 
 
 
Projecção estereográfica e de igual área 
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FIGURA 1.5. Estereograma de uma família de círculos 
máximos com direcção N-S (PHILLIPS, 1954). 
 
 
 
FIGURA 1.6. Círculos menores representando uma família de cones 
circulares com eixo N-S (MARSHAK & MITRA, 1988). 
 
 
 
FIGURA 1.7. Círculos máximos e menores na rede de Wulff 
(PHILLIPS, 1954). 
 
 
 
 
círculos máximos 
plano de projecção 
círculos menores 
Projecção estereográfica e de igual área 
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1.2.2. Construção da rede de igual área 
 A base geométrica para a construção da projecção de igual área está representada 
na Figura 1.8. Nesta figura, Z é o zénite da esfera, C é o centro da esfera e C’ a base da 
esfera. O plano de projecção é tangente à esfera em C’, que é o centro da projecção 
azimutal. Uma linha inclinada (CP) que passa pelo centro da esfera intersecta a superfície 
da esfera de projecção no ponto P. O ponto P é a projecção esférica da linha CP. Um arco 
circular cujo centro é C’ e passa pelo ponto P intersecta o plano de projecção em P’. P’ é a 
projecção de P no plano de projecção azimutal. 
 
 
FIGURA 1.8. Base geométrica para a construção da projecção de igual 
área (MARSHAK & MITRA, 1988). 
 
 Usando este procedimento é possível construir uma rede de igual área. Nesta rede, 
as curvas traçadas de N para S representam projecções de igual área de planos com 
diferentes pendores e que contêm o eixo horizontal N-S da esfera de projecção. A segunda 
série de curvas representam projecções de igual área de cones circulares cujos vértices se 
situam no centro da esfera de projecção e cujos eixos são coaxiais com o eixo N-S da 
esfera de projecção (Fig. 1.6). Assim, a rede de igual área é análoga à rede de Wulff e é 
usada, da mesma forma, para projectar rectas, planos e polos. As curvas numa rede de 
igual área são arcos elípticos e não segmentos de arcos circulares como na rede de igual 
ângulo. As linhasda rede com direcção N-S são designadas por círculos máximos e o 
outro conjunto de linhas por círculos menores. 
 
Projecção estereográfica e de igual área 
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 Em síntese, as propriedades da projecção estereográfica de igual ângulo são (Fig. 
1.9): 
 a) a projecção preserva as relações angulares; isto significa que o ângulo entre as 
tangentes a dois traços de círculos máximos no seu ponto de intersecção é o mesmo que o 
ângulo entre os dois planos representados pelos referidos traços (Fig. 1.9a); 
 b) a projecção estereográfica não conserva a área; círculos idênticos inscritos em 
diferentes partes da esfera de projecção são representados por círculos de diferentes 
tamanhos no estereograma; um círculo com uma determinada área parece maior se 
projectado próximo da primitiva do que se projectado no centro da rede (Fig. 1.9b); 
 c) as áreas 10°x10° próximas dos limites da rede são maiores do que no centro 
(Fig. 1.9c); esta propriedade faz com que a rede de Wulff não seja adequada para o 
tratamento estatístico de dados; concentrações iguais de polos em diferentes posições na 
superfície da esfera de projecção aparecem como concentrações desiguais de polos no 
plano da projecção estereográfica. 
 
 
 
FIGURA 1.9. Propriedades da projecção estereográfica de igual ângulo (MARSHAK & MITRA, 1988) 
(ver texto). 
 
 
 As propriedades da projecção de igual área são (Fig. 1.10): 
 a) círculos idênticos na esfera de projecção projectam-se como elipses com várias 
relações axiais mas com a mesma área (Fig. 1.10a); 
 b) as áreas 10°x10° próximas dos limites da rede têm a mesma dimensão que no 
centro (Fig. 1.10b). 
 
Projecção estereográfica e de igual área 
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FIGURA 1.10. Propriedades da projecção de igual área (MARSHAK & MITRA, 1988) (ver texto). 
 
 
 Tendo em conta as propriedades enunciadas, a projecção de igual área ou Lambert 
é usada em problemas onde a concentração de pontos é significativa, ou seja, para análise 
de um grande número de medidas. 
 
 
1.3. Técnicas de projecção 
 
 Para resolver os exercícios que lhe são propostos necessita do seguinte material: 
rede estereográfica, folha de papel vegetal, “punaise”, lápis e borracha. 
 Antes de usar a sua rede é conveniente colá-la num cartão resistente e forrá-la com 
papel transparente. Assim poderá usá-la na sala de aula e no campo sem receio de a sujar 
ou molhar. Fure o centro da rede com o “punaise” e insira-o na parte de trás da rede. Se o 
fixar com fita cola isso impede que o buraco do centro aumente durante a resolução dos 
exercícios. Quando não está a usar a rede tape o “punaise” com um pedaço de borracha. 
Coloque a folha de papel vegetal sobre a rede e fure-a com o “punaise” (Fig. 1.11). Este 
serve de eixo de rotação para a folha de papel vegetal. Assinale na folha de papel vegetal a 
posição do N. 
 
 
 
Projecção estereográfica e de igual área 
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FIGURA 1.11. Montagem da rede estereográfica, papel vegetal e 
“punaise” para resolver exercícios (DAVIS & REYNOLDS, 1996). 
 
 
1.3.1. Projecção de uma linha 
 Considere uma linha com orientação 38°;S42°W (Fig. 1.12a). Conte 42° no 
sentido dos ponteiros do relógio, a partir do Sul, e desenhe um pequeno traço sobre a 
primitiva indicando a direcção da linha (Fig. 1.12b). Rode o papel vegetal de forma a 
colocar a 
 
 
 
Rede Papel vegetal 
Projecção estereográfica e de igual área 
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FIGURA 1.12. Projecção estereográfica de uma linha com atitude 
38°;S42°W (MARSHAK & MITRA, 1988) (ver texto). 
marca coincidente com o Sul da rede (Fig. 1.12c). Conte 38°, da primitiva para o centro, 
ao longo 
do diâmetro N-S da rede, e desenhe um ponto para representar a linha (Fig. 1.12c). Rode o 
papel vegetal para a sua posição inicial (Fig. 1.12d). Note que para marcar o mergulho 
desta linha usámos o diâmetro N-S, no entanto, podemos projectar a linha contando o 
ângulo de mergulho no diâmetro E-W. O ponto resultante tem exactamente a mesma 
localização. 
 
1.3.2. Projecção de um plano e do seu polo 
 A orientação de qualquer plano pode ser representada especificando a orientação 
da normal ao plano. A projecção de um plano é um arco circular e a da linha perpendicular 
ao plano é um ponto. O polo de um plano é um ponto no estereograma que representa a 
normal ao plano. Pode, facilmente, visualizar o polo de um plano segurando um lápis 
entre os dedos da sua mão (Fig. 1.13a). A mão representa o plano e o lápis o polo. 
 Consideremos um plano com atitude N30°W;50°SW (Fig. 1.13a e b). Conte 30° 
para W, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, a partir do N, e desenhe um 
pequeno traço sobre a primitiva para indicar a direcção (Fig. 1.13c). Rode o papel vegetal, 
no sentido dos ponteiros do relógio, de forma a fazer coincidir o traço que acabou de 
marcar com o N da rede. Conte 50° ao longo da linha E-W, a partir da primitiva, da 
esquerda para a direita, de acordo com a direcção do pendor. Localize e desenhe o círculo 
máximo que representa o plano com um pendor de 50° para SW e direcção N30°W (Fig. 
1.13d). A partir do traço do círculo máximo conte 90° ao longo do diâmetro E-W e no 
sentido do centro da rede e projecte o ponto P. A orientação do polo P é 40°;N60°E. Note 
que o ângulo de mergulho do polo é complementar do pendor do plano (40°+60°=90°) e a 
direcção do polo é complementar da direcção do plano (30°+60°=90°). Rode o papel 
vegetal para a sua posição original, fazendo coincidir a marca do N com o N da rede (Fig. 
1.13e). 
 
 
 
 
Projecção estereográfica e de igual área 
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FIGURA 1.13. Projecção de plano, com atitude N30°W;50°SW, e do seu polo (MARSHAK & MITRA, 
1988) (ver texto). 
 
 
1.3.3. Determinação da intersecção de dois planos 
 Considere dois planos com as seguintes coordenadas S80°E;20°S (estratificação) e 
N30°E;70°E (clivagem de fluxo) (Fig. 1.14a). Lembre-se que a intersecção de dois planos 
é uma linha. Assim, projecte os planos desenhando os respectivos círculos máximos (Fig. 
1.14b). Os dois círculos máximos intersectam-se num ponto que representa uma lineação 
de intersecção L. Rode o papel vegetal de forma a trazer a lineação ao diâmetro N-S (Fig. 
1.14b). Meça o mergulho a partir da primitiva, no sentido do centro da rede, e marque, 
com um traço, a posição em que uma linha traçada a partir de L, sobre o diâmetro N-S, 
intersecta a primitiva (Fig. 1.14b). Este traço indica a direcção da linha. Rode o papel 
vegetal para a posição inicial (Fig. 1.14c). A lineação de intersecção mergulha 20° 
segundo a direcção S24°W. 
 
 
 
 a b c 
d e 
normal ao plano 
 
Projecção estereográfica e de igual área 
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FIGURA 1.14. Linha de intersecção entre dois planos (MARSHAK & MITRA, 1988) (ver texto). 
 
 
1.3.4. Determinação do ângulo entre duas linhas 
 Considere as linhas 16°;N42°E e 80°;S16°E. O ângulo entre duas linhas é medido 
no plano que as contém. Projecte as linhas na rede estereográfica (Fig. 1.15a). Determine 
o plano definido pelas linhas rodando o papel vegetal até que os dois pontos que 
representam as linhas fiquem sobre o mesmo círculo máximo (Fig. 1.15b). O plano assim 
traçado tem direcção N40°E e pendor 81°SE. O ângulo entre as duas linhas é medido ao 
longo deste círculo máximo contando os círculos menores, de 2 em 2°, que o intersectam 
(Fig. 1.15c). O ângulo agudo que separa os pontos é de 80° e o obtuso de 100°. 
 
 
 
FIGURA 1.15. Ângulo entre duas linhas (ver texto). 
 
 
 
 
b c 
linha 1=16°;N42°E 
linha 2=80°;S16°E 
linha 1 
linha 2 
80° 
b c a 
a 
clivagem 
estratificação 
Projecção estereográfica e de igual área 
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1.3.5.Determinação do ângulo entre dois planos 
 O ângulo diedro é o ângulo entre dois planos medido num terceiro plano 
perpendicular aos dois primeiros. O ângulo diedro é facilmente determinado medindo o 
ângulo entre os polos. Em muitos casos o ângulo diedro é especificado como sendo o 
agudo. Então, se o ângulo medido é agudo pode ser usado como ângulo diedro, mas se o 
ângulo entre os polos é obtuso o suplementar é registado como sendo o ângulo diedro. 
Todavia, quando se pede o ângulo inter-flancos (ver Glossário) o problema é um pouco 
mais complicado. O ângulo inter-flancos é sempre o suplementar do ângulo entre os polos 
e pode ser agudo ou obtuso. O problema é que nem sempre é fácil decidir se usamos o 
ângulo agudo ou obtuso entre os polos para calcular o suplementar. Para efectuar a 
escolha acertada tem de se visualizar a dobra e, se necessário, efectuar um perfil 
esquemático. 
FIGURA 1.16. Ângulo inter-flancos de uma dobra (MARSHAK & MITRA, 1988) (ver texto). 
 
 Considere uma dobra cujos flancos têm as seguintes coordenadas: N20°E;70°NW 
(flanco A) e N30°W;65°NE (flanco B) (Fig. 1.16a). Projecte os dois flancos e respectivos 
polos (Fig. 1.16b e c). Rode o papel vegetal até que os polos fiquem alinhados no mesmo 
círculo máximo (Fig. 1.16d). O plano representado por este círculo máximo é 
 
P1 
P2
Projecção estereográfica e de igual área 
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perpendicular à linha de intersecção dos flancos. O ângulo entre os polos, medido ao 
longo deste círculo máximo é obtuso e igual a 114° (Fig. 1.16d). Se voltarmos à Figura 
1.16a, para visualizar a dobra, percebemos que o ângulo é agudo e, por isso, consideramos 
o suplementar (66°). 
 
1.3.6. Pendor verdadeiro e aparente 
 Reveja os conceitos de pendor verdadeiro e aparente, no Glossário. 
 Considere um dique (D) com a atitude N25°E;65°SE. O dique está exposto numa 
parede (P) N10°W;vertical de uma pedreira (Fig. 1.17a). Qual o pendor aparente do dique 
na parede da pedreira? Trace o círculo máximo que representa o dique (Fig. 1.17b). 
Marque com um traço, sobre a primitiva, a direcção N10°W. O diâmetro da rede que passa 
por este traço representa a parede vertical da pedreira (Fig. 1.17c). O ponto de intersecção 
entre esta recta e o círculo máximo que representa o dique é a projecção estereográfica da 
linha de intersecção destes dois planos. Rode o papel vegetal para que o traço que indica a 
direcção N10°W coincida com o diâmetro N-S (Fig. 1.17d). Leia o ângulo a partir da 
primitiva até ao ponto de intersecção dos dois planos. O pendor aparente é 52° e a 
direcção do pendor aparente S10°E. 
 
D
P 
Projecção estereográfica e de igual área 
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FIGURA 1.17. Pendor aparente de um plano com pendor verdadeiro conhecido (MARSHAK & MITRA, 
1988) (ver texto). 
1.3.7. “Pitch” ou “Rake” de uma linha 
 Reveja o conceito de “pitch” ou “rake” de uma linha, em anexo. 
 Considere um plano de xistosidade, 110°;43°SW, e uma lineação mineralógica 
contida nesse plano, 34°;160° (Fig. 1.18a). Determine o “pitch” da lineação no plano de 
xistosidade. Siga os procedimentos enunciados nas alíneas 1.3.1 e 1.3.2 para projectar o 
plano e a linha. Rode o papel vegetal de forma a que a direcção da foliação coincida com 
o N da rede (Fig. 1.18b). Leia o ângulo a partir da primitiva, ao longo do círculo máximo, 
até à lineação, tendo em atenção que o “pitch” é sempre um ângulo inferior a 90° (Fig. 
1.18b). Rode o papel vegetal para a posição inicial (Fig. 1.18c). Neste caso, a orientação 
da lineação mineralógica é dada por um “pitch” de 58°E na xistosidade 110°;43°S. 
 
 
FIGURA 1.18. “Pitch” ou “rake” de uma linha contida num plano (MARSHAK & MITRA, 1988) (ver 
texto). 
 
 
1.3.8. Ângulo entre uma linha e um plano 
 O ângulo entre uma linha e um plano é o ângulo medido entre a linha e a sua 
projecção ortográfica no plano. Este ângulo deve ser medido num segundo plano que 
contém a linha e é perpendicular ao primeiro ou, por outras palavras, contém o seu polo. 
Numa estereograma o ângulo entre uma linha e um plano é medido ao longo do círculo 
máximo que contém a linha e o polo do plano. 
 Considere a charneira de uma dobra, com coordenadas 30°;260°, exposta numa 
diaclase, com atitude 150°;60°E (Fig. 1.19a). Determine o ângulo entre a charneira da 
dobra e a superfície da diaclase. Projecte a charneira (C) (Fig. 1.19b) e o círculo máximo 
 
 a b c 
Projecção estereográfica e de igual área 
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que representa a diaclase no estereograma. Projecte, igualmente, no diâmetro E-W, o polo 
(P) deste plano (Fig. 1.19c). Rode a folha de papel vegetal de forma a alinhar no mesmo 
círculo máximo a charneira C e o polo P (Fig. 1.19d). O plano assim obtido intersecta o 
círculo máximo que representa a diaclase no ponto X. Meça o ângulo entre as linhas C e X 
ao longo deste círculo máximo (Fig. 1.19d). O ângulo entre a linha de charneira e a 
diaclase é de 75°. 
 
 
FIGURA 1.19. Ângulo entre uma linha e um plano (MARSHAK & MITRA, 1988) (ver texto). 
 
 
1.3.9. Bissecção do ângulo entre dois planos. 
 Um plano que bissecta o ângulo entre dois planos que se intersectam deve conter a 
linha de intersecção entre os dois planos e a linha que bissecta o ângulo diedro entre os 
planos. Para a maioria das dobras em “chevron” e “kinks” é razoável assumir que o plano 
que bissecta o ângulo entre os dois flancos da dobra e contém a charneira é o plano axial. 
 Considere os dois flancos de uma dobra em “chevron” (flanco A e flanco B) com 
coordenadas N60°E;40°SE e N80°W;50°NE, respectivamente (Fig. 1.20a). Determine a 
atitude do plano axial (PA) desta dobra. Vamos assumir que o plano axial bissecta o 
 
charneira da dobra 
D 
C 
C 
C 
Projecção estereográfica e de igual área 
 17
ângulo entre os dois flancos. Projecte os planos e respectivos polos (Fig. 1.20b). A recta C 
representa a linha de charneira. Rode a folha de papel vegetal até que os polos fiquem 
alinhados no mesmo círculo máximo e determine o ponto B, à mesma distância angular de 
cada polo (Fig. 1.20c). Rode o papel vegetal de forma a alinhar B e C no mesmo círculo 
máximo (Fig. 20d). Este círculo máximo representa o plano que bissecta o ângulo entre os 
flancos e contém a charneira, ou seja, o plano axial da dobra. Rode o papel vegetal para a 
sua posição original (Fig. 1.20e). O plano axial tem atitude N84°E;84°S. 
 
 
FIGURA 1.20. Plano bissector do ângulo entre dois planos que se intersectam (MARSHAK & MITRA, 
1988) (ver texto). 
 
 
1.3.10. Rotações 
 Para resolver alguns problemas em geologia estrutural é necessário simular a 
rotação física de um elemento estrutural em torno de um eixo no espaço. 
 Existem dois procedimentos básicos usados para efectuar uma rotação: (1) rotação 
em torno de um eixo vertical e (2) rotação em torno de um eixo horizontal. A rotação em 
 
 
 
 
 
b a 
c e d 
PA 
C 
C 
C 
C 
Projecção estereográfica e de igual área 
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torno de um eixo inclinado é facilmente realizada pela combinação dos dois métodos 
anteriores. 
Rotação de uma linha em torno de um eixo vertical 
 Considere a linha 40°;S50°E. Qual a sua orientação após ter sido rodada 40° no 
sentido dos ponteiros do relógio em torno de um eixo vertical? (Nota: o ponto de vista do 
observador é de cima para baixo, conforme a Figura 1.21a). 
 Conforme representação na Figura 1.21a, à medida que a linha roda descreve um 
segmento de um cone circular cujo eixo passa através do centro da rede estereográfica. 
Projecte o ponto L que representa a linha (Fig. 1.21b). Desenhe um traço na primitiva 
indicando a direcção da linha. Sem mover a folha de papel transparente conte 40°, no 
sentido dos ponteiros do relógio, ao longoda primitiva e desenhe um segundo traço 
marcando a direcção S10°E. Rode a folha de papel transparente de forma a colocar o 
segundo traço no diâmetro NS (Fig. 1.21c). Conte 40°, a partir da primitiva, no sentido do 
centro da rede, e marque o ponto L’ que representa a posição final da linha, depois da 
rotação, com coordenadas 40°;S10°E (Fig. 1.21d). Repare que a direcção da linha mudou 
mas o mergulho se manteve. 
 
 
Projecção estereográfica e de igual área 
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FIGURA 1.21. Rotação de uma linha inclinada em torno de um eixo vertical (MARSHAK & MITRA, 
1988) (ver texto). 
 
Rotação de um plano em torno de um eixo vertical 
 Considere um plano com atitude N30°W;40°SW. Qual a orientação desse plano 
após ter sido rodado 70° no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio em torno de um 
eixo vertical? (Nota: o ponto de vista do observador é de cima para baixo, conforme a 
Figura 1.22a). 
 Desenhe o círculo máximo que representa o plano e o seu polo (Fig. 1.22b). 
Coloque a marca da direcção N30°W alinhada com o N da rede estereográfica, conte 70° 
no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, ao longo da primitiva, e marque um 
traço, sobre a primitiva, representando a direcção S80°W (Fig. 1.22b). Esta é a nova 
direcção do plano. Coloque a marca S80°W no eixo N-S da rede, conte 40° no eixo W-E e 
desenhe o círculo máximo e o polo P’ do novo plano (Fig. 1.22c). Rode o papel 
transparente para a sua posição original. Após a rotação a atitude do plano é N80°E;40°SE 
(Fig. 1.22d). Note que o pendor do plano não se altera após a rotação. O polo P’ está a 70° 
de P se considerarmos uma rotação no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio ao 
longo de um círculo concêntrico com a primitiva. 
 
Projecção estereográfica e de igual área 
 20
 
FIGURA 1.22. Rotação de um plano em torno de um eixo vertical (MARSHAK & MITRA, 1988) (ver 
texto). 
Rotação de uma linha em torno de um eixo horizontal 
 Uma linha que representa um eixo de rotação horizontal projecta-se como dois 
pontos sobre a primitiva da rede estereográfica. Para simular a rotação em torno de um 
eixo horizontal devemos rodar o papel transparente de forma a trazer o eixo de rotação 
para a linha N-S da rede. A rotação de qualquer linha em torno deste eixo é efectuada 
movendo o ponto, que representa a linha, ao longo de um círculo menor da rede 
estereográfica. A rotação de um plano é efectuada movendo todos os pontos do círculo 
máximo, que representa o plano, segundo distâncias angulares iguais, ao longo dos 
círculos menores. 
 Considere uma lineação de estiramento que mergulha 30° segundo o azimute 220°. 
Qual a orientação desta lineação depois de ter sido rodada 30°, no sentido contrário ao dos 
ponteiros do relógio, quando se olha para N, em torno de um eixo horizontal com direcção 
N10°W (Fig. 1.23a)? 
 Projecte o ponto L, que representa a lineação, e desenhe um traço sobre a primitiva 
indicando a direcção N10°W do eixo de rotação (Fig. 1.23b). Rode o papel vegetal 10°, no 
sentido dos ponteiros do relógio, de forma a que o eixo de rotação coincida com a linha 
NS da rede. Conte 30°, para a direita, ao longo do círculo menor que contém o ponto L, e 
projecte o novo ponto L’, representando a nova posição da linha depois da rotação (Fig. 
1.23c). Note que a rotação aumenta o mergulho da linha e modifica a sua direcção. L’ 
mergulha 51° segundo o azimute 202°. 
 
 
 
 Eixo de rotação 
 
Lineação rodada 
Projecção estereográfica e de igual área 
 21
 
FIGURA 1.23. Rotação de uma linha em torno de um eixo horizontal (MARSHAK & MITRA, 1988) (ver 
texto). 
Rotação de um plano em torno de um eixo paralelo à sua direcção 
 Considere um plano com coordenadas N20°E;20°SE. (a) Qual é a atitude do plano 
depois de ter sido rodado 30° no sentido dos ponteiros do relógio, quando se olha para 
NE, em torno de um eixo paralelo à direcção (Fig. 1.24a)? (b) Qual a atitude do plano 
depois de ter sido rodado 30° no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, quando se 
olha para NE, em torno de um eixo paralelo à direcção (Fig. 1.24a)? 
 Projecte o círculo máximo e o polo P do plano original. Coloque o traço da 
direcção do plano coincidente com o eixo N-S da rede estereográfica. Conte 30° para a 
esquerda, ao longo do diâmetro W-E, e desenhe o novo polo e o novo círculo máximo do 
plano com coordenadas N20°E;50°SE (Fig. 1.24b). Para rodar no sentido contrário ao dos 
ponteiros do relógio conte 30° para a direita, a partir do polo e do traço original do plano. 
Note que depois de contar 20° alcança a primitiva e o plano é horizontal. Se continuarmos 
a rotação o plano começa a inclinar para NW, e os 10° restantes são contados do lado 
oposto a partir da primitiva (Fig. 1.24c). O plano rodado tem agora as coordenadas 
N20°E;10°NW. No caso (a) a rotação origina um aumento do pendor do plano enquanto 
no (b) a inclinação do plano é menor do que a do original. 
 
 
FIGURA 1.24. Rotação de um plano em torno de um eixo paralelo à sua direcção (MARSHAK & MITRA, 
1988) (ver texto). 
 
Rotação de um plano em torno de um eixo horizontal oblíquo à sua direcção 
 
Lineação 
Eixo de rotação 
(N20°E) 
Projecção estereográfica e de igual área 
 22
 Uma camada inclinada tem coordenadas N20°E;70°SE. Qual a orientação da 
camada após ter sido rodada 30°, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio 
(olhando de S para N), em torno de um eixo horizontal com direcção N10°W(Fig. 1.25a)? 
 Projecte o plano e o respectivo polo (P) (Fig. 1.25b). Marque, com um traço sobre 
a primitiva, a direcção N10°W do eixo de rotação. Rode o papel vegetal, no sentido dos 
ponteiros do relógio, de forma a que o traço marcado coincida com o N da rede 
estereográfica. O polo P situa-se agora sobre outro círculo menor da rede (Fig. 1.25c). 
Conte 30°, para a direita, ao longo desse cículo menor, e projecte o ponto P’, que 
representa o polo do plano rodado. Rode o papel vegetal de forma a que P’ coincida com o 
diâmetro E-W da rede e desenhe o traço de círculo máximo do plano rodado (Fig. 1.25d). 
O plano rodado tem coordenadas N30°E;45°SE (Fig. 1.25e). Assim, a rotação em torno de 
um eixo horizontal oblíquo à direcção de um plano modifica a direcção e o pendor desse 
plano. 
 
FIGURA 1.25. Rotação de um plano em torno de um eixo horizontal oblíquo à direcção do plano 
(MARSHAK & MITRA, 1988) (ver texto). 
 
Rotação de uma lineação num plano 
 
Eixo de rotação
Camada 
inclinada Camada 
rodada 
 
Projecção estereográfica e de igual área 
 23
 Uma camada invertida tem coordenadas N30°W;40°SW. Uma lineação no plano 
de estratificação tem um “pitch” de 30°NW. Qual era a orientação da lineação quando a 
estratificação era horizontal? 
 A camada deve ser, inicialmente, rodada para o plano horizontal. Para isso, deve 
ser rodada, em torno da sua linha de direcção, primeiro 50°, no sentido contrário ao dos 
ponteiros do relógio, olhando de SE para NW, até ficar na posição vertical, e depois 90°, 
no mesmo sentido, para ficar horizontal (Fig. 1.26a). Projecte o plano e a lineação (L). 
Oriente a folha de papel vegetal de forma a que a direcção do plano coincida com o N da 
rede estereográfica (Fig. 1.26b). A partir do traço do círculo máximo conte 140° para a 
direita ao longo do diâmetro E-W e desenhe o novo círculo máximo que coincide com a 
primitiva. Conte, também, 140° para a direita ao longo do círculo menor que contém o 
ponto L e projecte L’ sobre a primitiva. O ponto L’ representa a lineação na posição 
horizontal após a rotação. Note que a rotação modifica o mergulho e a direcção da 
lineação. Rode o papel vegetal para a posição inicial (Fig. 1.26c). A lineação é horizontal 
e tem direcção NS.FIGURA 1.26. Rotação de uma lineação contida num plano em torno de um eixo paralelo à direcção desse 
plano (MARSHAK & MITRA, 1988) (ver texto). 
 
Rotação em torno de um eixo inclinado 
Horizontalizando o eixo de rotação 
 A estratificação no flanco de uma dobra tem coordenadas N60°W;40°SW. Qual a 
orientação da estratificação após ter sido rodada 40° no sentido contrário ao dos ponteiros 
do relógio (olhando de baixo para cima segundo a direcção da inclinação) em torno de um 
eixo com atitude 30°;S80°W (Fig. 1.27a)? 
 
Lineação 
Projecção estereográfica e de igual área 
 24
 Projecte o eixo de rotação R e o polo do flanco da dobra P (Fig. 1.27b). Rode o 
papel vegetal, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, de forma que R se 
posicione sobre o diâmetro EW da rede. Rode R para a horizontal, contando 30° para a 
esquerda, ao longo do diâmetro EW, até à primitiva e projecte R’ nessa posição. Mouva P, 
o mesmo valor angular e na mesma direcção ao longo do círculo menor que o contém, e 
projecte P’ (Fig. 1.27c). Rode o papel vegetal até que R’ coincida com o N da rede. Rode 
P’, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio contando 40° para a direita ao longo 
do círculo menor que o contém, e projecte P’’ nesta posição (Fig. 1.27d). R’ não se move 
durante esta operação porque é o eixo de rotação. Rode o papel vegetal de forma a que R’ 
se posicione, novamente, no diâmetro EW. Conte 30°, ao longo do diâmetro EW, de forma 
a que R’ volte para a sua posição inicial R (Fig. 1.27e). Mouva P’’, ao longo do círculo 
menor que o contém, 30° para a direita e projecte um novo ponto P’’’. P’’’ é a posição 
final do polo da estratificação após a rotação. Trace, agora, o círculo máximo que 
representa o plano de estratificação rodado (Fig. 1.27f). A sua orientação é N88°W;71°S. 
 
FIGURA 1.27. Rotação de um plano em torno de um eixo inclinado horizontalizando o eixo de rotação 
(MARSHAK & MITRA, 1988) (ver texto). 
 
 
Flanco da dobra 
rodado 
Flanco da 
dobra 
Projecção estereográfica e de igual área 
 25
Projectando o plano de rotação 
 Projecte o eixo de rotação R e a recta A a ser rodada (Fig. 1.28). Meça o ângulo 
entre R e A. 
Projecte o traço do círculo máximo cujo polo é R. Este plano, porque é perpendicular a R, 
representa o plano de rotação. Desenhe o círculo máximo que contém R e A de forma a 
obter a projecção ortográfica de A (a) no plano de rotação. Rode a recta a no sentido 
pedido, ao longo do plano de projecção, tantos graus quanto a amplitude da rotação, e 
projecte a’. Desenhe o traço de círculo máximo que contém a’ e R. Localize sobre esse 
círculo máximo a recta A’, tal que o ângulo entre R e A’ seja igual ao ângulo entre R e A. 
A’ é a projecção da recta A depois de rodada em torno de um eixo inclinado R com a 
amplitude e sentido pretendidos. 
 
 
FIGURA 1.28. Rotação em torno de um eixo inclinado (RAMSAY & HUBER, 1983) 
 
 
1.4. Determinação da atitude das camadas a partir de sondagens 
 
 A sondagem é uma técnica importante utilizada na prospecção de reservatórios de 
petróleo, na determinação das dimensões e localização de corpos mineralizados ou 
simplesmente para obter dados importantes da geologia abaixo da superfície. 
 O uso dos dados das sondagens para obter informação sobre a orientação das 
camadas abaixo da superfície é condicionado por limitações geométricas inerentes a esses 
dados. Estas limitações dependem do número e da orientação dos furos de sondagem. 
 
Projecção estereográfica e de igual área 
 26
 Se durante a execução de um furo de sondagem pudessemos evitar que o 
testemunho rodasse teríamos informação equivalente à obtida à superfície, quando 
medimos as coordenadas de um camada com a bússola num afloramento. Infelizmente, 
não se pode evitar a rotação do testemunho durante a sua extracção. Assim, as únicas 
informações obtidas a partir de um testemunho de sondagem não orientado são a 
profundidade de um horizonte particular e o ângulo entre as estruturas planares 
(estratificação, xistosidade, fracturas, etc.) e o eixo da sondagem (Fig. 1.29a). A 
orientação das estruturas planares só é determinada se estas forem perpendiculares ao eixo 
do testemunho. A atitude de planos com outras orientações não pode ser determinada a 
partir de uma só sondagem não orientada. 
 
 
 
 
FIGURA 1.29. (a) Ângulo δ entre o eixo do testemunho e o polo π do plano de estratificação num furo de 
sondagem. (b) Duplo cone circular descrevendo o conjunto de todas as posições possíveis do polo da 
estratificação em relação ao eixo do testemunho (RAMSAY & HUBER, 1983). 
 
 
 Imagine um testemunho que contém um plano de estratificação inclinado em 
relação ao seu eixo. Se rodarmos o testemunho 360° o lugar de todas as orientações 
possíveis da estratificação é um duplo cone circular cujo eixo é o eixo do testemunho (Fig. 
1.29b). Consoante a orientação do furo de sondagem e do ângulo que a estrutura planar 
faz com o eixo do testemunho, o cone que define todas as orientações possíveis da 
estrutura planar intersecta a superfície do solo como um círculo, uma elipse, uma parábola 
ou uma hipérbole (Fig. 1.30). 
 
a b 
Eixo do testemunho 
Projecção estereográfica e de igual área 
 27
 
FIGURA 1.30. A inclinação do eixo da sondagem determina o tipo de secção cónica (circular, elíptica, 
parabólica ou hiperbólica) segundo a qual o cone intersecta a superfície do solo (MARSHAK & MITRA, 
1988). 
 
 
 Durante a execução de sondagens pouco profundas pode-se desenhar uma marca 
de orientação, para que a orientação do testemunho relativamente ao furo de sondagem 
seja conhecida, mesmo que o testemunho se parta ou rode durante a realização da 
sondagem. A orientação do testemunho deve ser efectuada se os trabalhos tiverem como 
objectivo a recolha de dados paleomagnéticos ou quando se pretende fazer a análise da 
anisotropia da rocha. A orientação do testemunho é feita fixando uma marca no topo do 
testemunho (Fig. 1.31a), se a sondagem é vertical, ou gravando uma linha na parte lateral 
do testemunho (Fig. 1.31b), se a sondagem é inclinada. 
 
 
Elíptica 
Parabólica Hiperbólica 
 
Sondagem vertical Sondagem inclinada 
 
Circular 
Eixo do testemunho 
 
Projecção estereográfica e de igual área 
 28
 
FIGURA 1.31. Marcas de orientação usadas em sondagens pouco profundas. (a) Sondagem vertical com 
marca no topo. (b) Sondagem inclinada com marca lateral (MARSHAK & MITRA, 1988). 
 
Dados de três furos de sondagem 
 Em sondagens não orientadas podemos determinar as coordenadas de um plano 
estrutural relacionando dados de diferentes sondagens. Assim, três furos de sondagem não 
paralelos permitem-nos determinar a atitude de um plano estrutural. O ponto de 
intersecção dos círculos, representando o lugar de todos os polos possíveis para a 
estratificação, na rede estereográfica dá um único polo para o plano estrutural cuja atitude 
se quer determinar. Este tipo de análise é condicionada pelo paralelismo das superfícies de 
estratificação em toda a área investigada e pela ausência de curvatura no furo de 
sondagem. 
 Três furos de sondagem não paralelos têm as seguintes coordenadas e ângulos 
eixo- 
-estratificação: 
 Sondagem Ângulo eixo-estratificação 
1 29°;N45°W 39° 
2 51°;S13°W 41° 
3 46°;N55°E 51° 
 
Determine a atitude da estratificação. 
 Projecte o furo de sondagem 1 num estereograma. O ângulo entre o polo da 
estratificação e o eixo do testemunho é 90°-39°=51°. Faça coincidir o ponto que 
representa o furo de sondagem com o eixo EW da rede estereográfica. Trace a recta que 
une esse ponto com o N da rede (Fig. 1.32a) até intersectar a primitiva. Conte 51°, sobre aMarca de orientação 
Marca de orientação 
Projecção estereográfica e de igual área 
 29
primitiva, para ambos os lados do ponto marcado. Una os novos pontos sobre a primitiva 
com o N da rede e registe a intersecção destas rectas com a linha EW. Esses pontos na 
linha EW definem o diâmetro da circunferência. Determine o ponto médio e desenhe a 
circunferência com um compasso. Projecte o furo de sondagem 2 no estereograma. O 
ângulo entre o polo da estratificação e o eixo do testemunho é 90°-41°=49°. Desenhe a 
circunferência em torno da sondagem 2, usando o mesmo método utilizado para a 
sondagem 1 (Fig. 1.32b). Projecte o furo de sondagem 3 no estereograma e use o mesmo 
método utilizado para os furos anteriores, sabendo que o ângulo entre o polo da 
estratificação e o eixo do testemunho é 90°-51°=39° (Fig. 1.32c). 
 As três circunferências intersectam-se num ponto que representa o polo da 
estratificação. Usando este polo desenhe o traço de círculo máximo correspondente à 
estratificação. A atitude da estratificação é N75°E;13°S (Fig. 1.32d). 
 
FIGURA 1.32. Determinação da atitude da estratificação a partir de três furos de sondagem não paralelos 
(MARSHAK & MITRA, 1988). 
 
 
 
Projecção estereográfica e de igual área 
 30
1.5. Análise de dobras com uma rede de igual área 
 
 Geometricamente uma dobra é uma superfície curva. Há dois tipos de dobras: (1) 
dobras cilíndricas (Fig. 1.33a) são geradas pelo movimento de uma linha recta imaginária 
paralelamente a ela própria no espaço (a linha que gera a dobra é designada por eixo da 
dobra) e (2) dobras não cilíndricas (Fig. 1.33b) geradas por uma linha que se move no 
espaço de forma não paralela a ela própria. Se uma extremidade da linha é fixada a dobra 
resultante é designada por dobra cónica. Se o movimento da linha não é sistemático a 
dobra resultante é complexa. Por vezes, as dobras complexas podem ser subdivididas em 
partes que são aproximadamente cilíndricas. A geometria de superfícies cilíndricas ou 
cónicas pode ser analisada em diagramas ß e π numa rede de igual área. 
 
FIGURA 1.33. (a) Dobras cilíndricas; (b) Dobras não cilíndricas (ROWLAND & DUEBENDORFER, 
1994). 
 
1.5.1. Diagramas ß de dobras cilíndricas 
 Cada segmento de uma superfície cilindricamente dobrada contém uma linha que é 
paralela ao eixo da dobra. Quaisquer dois planos tangentes à superfície dobrada 
intersectam-na ao longo de uma linha que é paralela ao eixo da dobra. Numa projecção de 
igual área os círculos máximos representando as atitudes da superfície dobrada em 
diferentes pontos da dobra devem todos intersectar-se num ponto comum que representa o 
eixo da dobra. Este ponto é designado por eixo ß. 
 Na prática, todavia, as dobras reais não têm uma morfologia perfeitamente 
cilíndrica, de forma que as medições da direcção e pendor em vários pontos da dobra 
 
Projecção estereográfica e de igual área 
 31
produzem círculos máximos que não se intersectam num ponto comum, embora os pontos 
de intersecção se concentrem numa determinada área que dá uma orientação média para o 
eixo ß. Para n atitudes planares projectadas (Fig. 1.34) o número de intersecções x é dado 
pela progressão aritmética 
 x = 0 + 1 + 2 +...+ (n-1) = n (n-1) / 2. 
Assim, se houver 200 planos projectados o número de intersecções é 19 900. O contorno 
dos pontos de intersecção salienta uma área com máxima concentração das intersecções. 
 
 
FIGURA 1.34. Diagrama β de dobras cilíndricas. O número de intersecções de círculos máximos aumenta 
rapidamente à medida que o número de planos projectados também aumenta (MARSHAK & MITRA, 
1988). 
 
 
4 planos, 1+2+3 pontos β n planos, n(n-1)/2 pontos β 
2 planos, 1 ponto β 
3 planos, 1+2 pontos β 
Projecção estereográfica e de igual área 
 32
 Uma projecção de eixos ß não é a melhor forma de representar as atitudes medidas 
numa dobra, por várias razões: 
 1) O número de pontos numa projecção do eixo ß é maior do que o número de 
medidas; assim, o número de dados pode parecer superior à realidade; 
2) Se houver dispersão dos dados originais podem ocorrer concentrações do eixo ß 
afastadas da concentração principal, originando interpretações irróneas; tais erros tornam-
se inaceitáveis se o ângulo inter-flancos é muito pequeno (<40°) ou muito grande (>140°); 
3) A construção do diagrama ß é morosa devido ao elevado número de círculos 
máximos a projectar e o número de intersecções pode ficar demasiado grande, mesmo 
para um pequeno conjunto de dados. 
 
1.5.2. Diagramas π de dobras cilíndricas 
Um diagrama π é uma projecção de igual área dos polos dos planos tangentes à 
superfície dobrada. Na prática isto significa que se tivermos medidas de direcção e pendor 
em muitos pontos de uma dobra, projectamos o polo de cada plano em vez do traço de 
círculo máximo. Numa dobra cilíndrica cada um dos polos é perpendicular ao eixo da 
dobra. Assim, os polos são paralelos ao plano perpendicular ao eixo da dobra. Numa 
projecção de igual área os polos definem o traço de círculo máximo de um plano, 
designado por cículo π (Fig. 1.35). O polo do círculo π é o eixo π e representa o eixo da 
dobra. O eixo π deve coincidir com o eixo ß numa projecção. 
 
FIGURA 1.35. Diagrama π de dobras cilíndricas. Os polos dos planos concentram-se ao longo de um 
círculo máximo cujo polo é o eixo (π=β) (MARSHAK & MITRA, 1988). 
Numa dobra muito aberta, com um ângulo inter-flancos grande, a distribuição dos 
polos, numa rede de igual área, corresponde a uma elipse (Fig. 1.36b). Com o decréscimo 
Círculo π
Projecção estereográfica e de igual área 
 33
do ângulo inter-flancos o padrão de distribuição dos polos muda para uma cerca de círculo 
máximo incompleta e, finalmente, para uma cerca de círculo máximo completa (Fig. 
1.36c). 
 
 
FIGURA 1.36. Modificações no padrão de distribuição dos polos num diagrama π com o aumento do 
ângulo inter-flancos (MARSHAK & MITRA, 1988). 
 
 
 Um diagrama π dá informação, não só, sobre o eixo da dobra, mas também sob a 
forma da dobra. Por exemplo, se uma dobra possui uma zona de charneira larga e 
arredondada a densidade dos pontos será uniforme no círculo π e os dois pontos extremos 
no círculo definem o ângulo inter-flancos (Fig. 1.37a). O círculo π para uma dobra com 
flancos planares e zona de charneira estreita possui duas zonas de distribuição máxima 
correspondentes aos dois flancos e estes máximos podem ser usados para determinar o 
ângulo inter-flancos (Fig. 1.37b). Para uma dobra em “chevron”o círculo π na projecção é 
definido por dois pontos máximos correspondentes aos dois flancos (Fig. 1.37c). Muitas 
dobras naturais mostram padrões que são intermédios entre um círculo π de charneira 
larga e um círculo π de dois máximos (flancos). 
 
Camada inclinada não dobrada 
Dobra muito aberta Dobra fechada 
Projecção estereográfica e de igual área 
 34
 
FIGURA 1.37. Variação dos diagramas π função da forma da dobra. (a) Dobra com charneira larga 
arredondada; (b) dobra com charneira estreita; (c) dobra em “chevron”; (d) dobras assimétricas 
(MARSHAK & MITRA, 1988). 
 
 Normalmente, não é possível dizer nada de conclusivo sobre a simetria das dobras 
a partir de um diagrama π, porque outros factores para além do pendor dos flancos da 
dobra determinam a simetria da dobra. A concentração de pontos ao longo da cerca que 
 
 
 
Projecção estereográfica e de igual área 
 35
define o círculo π pode ser consequência da amostragem. Se a distribuição espacial das 
medidas numa série de dobras é uniforme haverá poucas leituras dos flancos curtos das 
dobras assimétricas, resultando numa assimetria no padrão de polos do diagrama π (Fig. 
1.37d).FIGURA 1.38. Determinação da atitude do plano axial a partir de um diagrama π (MARSHAK & MITRA, 
1988). 
 
 
 A orientação do plano axial pode ser determinada se o eixo π for conhecido e se a 
orientação do traço axial numa localidade for determinada. O círculo máximo que contém 
esses dois pontos dá a orientação do plano axial (Fig. 1.38). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Traço axial 
Plano axial 
Círculo dos polos da estratificação 
Eixo π 
Projecção estereográfica e de igual área 
 36