EDO- Método fator integrante

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PUC Minas
Livro texto: Equac¸o˜es Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - William
E. Boyce e Richard C. Diprima.
Equac¸o˜es Lineares de Primeira Ordem
As equac¸o˜es (diferenciais ordina´rias) lineares de 1a ordem podem ser escritas como
a(t)
dy
dt
+ b(t)y = c(t).
Vamos considerar as equac¸o˜es lineares de 1a ordem na forma
dy
dt
+ p(t)y = q(t).
1o Caso: Equac¸o˜es em que p(t) = 0
Se a func¸a˜o p(t) = 0 a equac¸a˜o torna-se
dy
dt
= q(t), que e´ facilmente resolvida integrando-se os
dois lados. Assim, a soluc¸a˜o geral desta equac¸a˜o e´ dada por
y(t) =
∫
q(t)dt+ c,
Exemplo: Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial
dy
dt
= sen(2t).
2o Caso: Caso geral
Vamos considerar equac¸o˜es da forma
dy
dt
+ p(t)y = q(t) em um intervalos em que p(t) e q(t)
sa˜o cont´ınuas. Para resolver esse tipo de equac¸a˜o, definiremos uma func¸a˜o auxiliar, µ(t), de forma
que, ao multiplicarmos a equac¸a˜o dada por esta func¸a˜o, a equac¸a˜o obtidda e´ uma equac¸o˜a linear
com p(t) = 0, ou seja, cairemos no primeiro caso, que ja´ sabemos resolver. Uma func¸a˜o com esta
propriedade e´ chamada fator integrante da equac¸a˜o linear.
1
Seja
µ(t) = e
∫
p(t)dt.
Vamos mostrar que µ(t) e´ um fator integrante da equac¸a˜o dada.
Exemplos: Resolva as equac¸o˜es diferenciais abaixo:
• dy
dt
+
1
2
y =
1
2
et/3;
2
• dy
dt
− 2y = 4− t,
• tdy
dt
+ 4y = 5t.
Exemplos: Resolva os PVI’s abaixo:
3
• tdy
dt
+ 4y = 5t;
• y′ − 4
x
y = − 2
x3
.
4