Exercícios Extras Álgebra Linear

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EXERCICIOS EXTRAS DE ÁLGEBRA LINEAR - MA2220 – NA3220 – 2015 – 2o semestre 
1) Seja V=M2x2(R). Mostrar que os seguintes conjuntos formam um espaço vetorial: 
a) conjunto das matrizes diagonais: 






b
a
0
0
 
b) conjunto das matrizes simétricas: 






cb
ba
 
obs: mostrar que valem as 4 propriedades da adição e as 4 propriedades da multiplicação por um número 
real. 
2) Seja V=R3. Verificar se algum dos subconjuntos abaixo pode ser denominado espaço vetorial: 
 a) {(x,y,z) │x2-y2=z2; x,y,z ∊ R} : Resp. não ; b) {(x,y,z) │x=3y-4z; x,y,z ∊ R}; Resp. sim 
c) {(a, b, 2a+3b) │a,b ∊ R} Resp: sim; d) {(a,b,2a+3b+4) │a,b ∊ R} Resp: não 
3)Verificar se algum dos subconjuntos abaixo, do espaço vetorial R3, é subespaço vertorial: 
a) W={(x,y,z) │x 0 } R: não ; b) W={(x,y,z) │ x+3y=z} R: sim; c) W={(x,y,z) │xy=0} R: não 
d) W={(x,y,z) │x+y+3=0} R: não ; e) W={ (x,y,2x-3y+1) │x,y ∊ R) R: não 
3) Seja V=M2x2(R). Verificar se é subespaço vetorial de M2x2 cada um dos seguintes conjuntos: 
a) W = { 








aba
baa
 │a, b ∊ R} ; b) W= { 








aba
baa 1
│ a, b∊ R } 
Resp: (a) sim; (b) não 
4) soma de subespaços e soma direta: (obs: notação de soma direta: U

W) 
1) V=R3 . Sejam U e W os seguintes subespaços do R3: U= { (x,y,z) │x=y=z } e W = {(0,y,z) │y,z ∊ R } 
 De fato, U+W é soma direta pois: 
i) U ∩ W = {0} ; v= (x,y,z) ∊ U∩W 

 x=y=z e x=0 

 x=0, y=0 e z=0 
ii) R3 = U+W; v=u+w, sendo u=(x,x,x) e w=(0, y-x, z-x) 

 v=(x,y,z)=(x,x,x)+(0,y-x, z-x) ∊ R3 
 Portanto R3 é soma direta de U com W. 
2) Dados os subespaços do R3, verificar se alguma das somas abaixo é direta: 
 U= {(x,y,z) │ x-z=0}; W= {(x,y,z) │x=y=0 }; S= {(x,y,z) │ x+y+z=0} 
a) U+W; b) U+S ; c) W+S Respostas: a) sim; b) não; c) sim 
3) V=R3: Sejam U1, U2 e U3 subespaços do R
3 tais que: U1= {(x,y,0) │x,y ∊ R}; U2={(0,0,z) │z ∊ R} ; 
 U3= {(0,y,y) │ y ∊ R} 
 R3 U1

U2

U3 pois embora U1∩U2=U1∩U3=U2∩U3=(0,0,0) a soma (0,0,0)=(0,1,0)+(0,0,1)+(0,-1,-1) 
 não tem decomposição única. 
 
 
 
 
Exercícios de comb. Lineares e Geradores. 
A) Qual dos seguintes elementos de P3(x) não é C.L. de x+x
3, 2x-x3, 1-x? 
 i) –x+x3; ii) 2x+3x2+4x3 ; iii) x3 ; iv) -1 + x3 Resposta: ii 
 B) V=P2(R). Seja S=[ p1(x)=1+2x+3x
2, p2(x)= x-x
2 ]. Verificar se: i) f(x)=2+5x+5x2 é C.L. dos vetores de S 
 ii) g(x)=1-x+x2 é C.L. dos vetores de S Resposta: ii 
C) Sejam u=(1,-1,1) e v=(1,0,2) vetores do R3. Determinar o subespaço do R3 gerado pelos vetores u e v. 
 R: 2x-3y-z=0 
D) V=M2x2(R). Qual é o subespaço de M2x2(R) gerado pelas matrizes: 
 i) 












10
00
,
00
01
 R: subespaço das matrizes diagonais : 






b
a
0
0
 
 ii) 


















01
10
,
10
00
,
00
01
 R: subespaço das matrizes simétricas : 






bc
ca
 
E) determinar os geradores de cada um dos seguintes subespaços: 
 i) {(x,y,z) │3x+2y+z=0 } V=R3 R: 
 ii) {(x,y,z,w) │ 2x+y+w=0 e y+2z=0} V=R4 R: 
F) O subespaço vetorial do R4 gerado pelos vetores (2,1,2,-1) e (1,0,1,0) é: 
 i) W = {(x,y,z,t) │x – z= 0 e y + t = 0 } 
 ii) W = { (x,y,z,t) │ 2x – z= 0 e y + t = 0 } 
 iii) W = { (x,y,z,t) │ 2x=z } 
 iv) W = { (x,y,z,t) │ x = z } 
G) Seja V=M2x2(R) 
 Dados os subespaços de M2x2(R), W1 = { 





 
zy
xx
 │x,y,z∊ R } e W2 = { 






 ca
ba
│ a,b,c ∊ R } , 
determinar os geradores de W1 ∩ W2 R: W1∩W2 = [ 














10
00
,
01
11
 ] 
Exercícios de dep.linear, base e dimensão 
1) Seja V=R3 . Mostre que o subconjunto de V, S= {(1,1,1),(1,2,3),(2,-1,1)} é L.I. e escreva o vetor 
 v=(1,-2,5) como C.L. dos vetores do conjunto dado (obs: provar que é L.I. sem determinante). 
2) Seja V=R4. Determinar uma base e a dimensão para cada um dos seguintes subespaços do R4: 
a) W1= {(x,y,z, w) │w=x+y } R: b) W2= {(x,y,z,w) │w=x+y, z=x-y }R: 
c) W3= {(x,y,z,w) │w=x+y, z=x-y, 2x=z+w} R: 
3) Seja V=R3. Determinar a∊R para que o conjunto de vetores seja L.I.: {(a,0,0),(1,a+1,0),(1,1,a+2)} 
4) Seja V=P2(R). As coordenadas de p(x)=2x
2 em relação à base B={ x2+1, x-1,x2-x} de P2(R) são: 
 a) p(4,-1,-1); b) p=(1,1,1); c) p=(1,2,3); d) p=(2,0,0) R: 
5) O polinômio p(x)∊ P2(R) cujas coordenadas na base B={ x
2+1, x-1,x2-x} de P2(R) são (1,2,3) é: 
 a) (1,2,3); b) 4x2-x-1; c) x2; d) 1+2x+3x2 
6) Seja V=P3(R). O subconjunto de V, {x+x
3, 2x-x3,1-x} é L.D. ou L.I.? justificar 
7) Sejam S e T os seguintes subespaços do R4: S={(x,y,z,t) │x+y=0;z-t=0}, T{(x,y,z,t) │x-y-z=t}. 
 Dar uma base e a dimensão de S∩T. , R: 
8) Seja V=M2x2(R). Dados os subespaços de V, U={ 






dc
ba
│a=d e b=c com a,b,c,d ∊ R} e 
 W= {






dc
ba │a=c e b=d } determinar uma base e a dimensão de U ∩ W. R: