Lugar Geométrico das Raízes

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EGCAS, EGPS e EGMS | Modelagem e Controle | 2017_1 
Lugar Geométrico das Raízes 
REPRESENTAÇÃO VETORIAL, DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES 
Foto: Engenharia de Software na Prática 
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5. Introdução 
 
5.1. O Problema do Sistema de Controle 
 
 
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Fig. 8.1 (a) Sistema em malha fechada; (b) Função de transferência equivalente; 
5.2. Representação Vetorial de Números Complexos 
 
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Fig. 8.2 Representação vetorial de números complexos; (a) s=σ+jω; (b) (s+a); (c) representação alternativa 
de (s+a); (d) (s+7) para s  5+j2; 
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Exemplo 5.1 
 
Fig. 8.3 Representação vetorial da equação 8.7; 
 
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Exercício 5.1 
Problema: Dado: 
𝐹(𝑠) =
(𝑠 + 2)(𝑠 + 4)
𝑠(𝑠 + 3)(𝑠 + 6)
 
Determine F(s) no ponto s=-7+j9 das seguintes formas: 
a) Substituindo diretamente o ponto em F(s); 
b) Calculando o resultado utilizando vetores; 
 
RESPOSTA: -0,0339-j0,0899 = 0,096 < -110,7° 
5.3. Definindo o Lugar Geométrico das Raízes 
 
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(a) 
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ança
 
Fig. 8.4 (a) Câmeras de segurança com rastreamento automático podem ser utilizadas para seguir objetos 
em movimento; (b) Diagrama de blocos; (c) Função de transferência em malha fechada; 
 
 
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Fig. 8.5 (a) Diagrama dos polos da Tabela 8.1; (b) Lugar Geométrico das Raízes; 
 
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5.4. Propriedades do Lugar Geométrico das Raízes 
 
 
 
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Fig. 8.6 (a) Sistema exemplo; (b) Diagrama de polos e zeros; 
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Fig. 8.7 (a) Representação vetorial de G(s) a partir da figura 8.6(a) em -2+j3; 
Exercício 5.2 
c. K = 10 
 
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5.5. Esboçando o Lugar Geométrico das Raízes 
 
Fig. 8.8 Polos e zeros de um sistema em malha aberta geral com pontos de teste, Pp sobre o eixo real; 
 
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Fig. 8.9 Segmentos do eixo real do lugar geométrico das raízes para o sistema da figura 8.6; 
 
 
Fig. 8.10 Lugar geométrico das raízes completo para o sistema da figura 8.6; 
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Exemplo 5.2 
 
 
Fig. 8.11 Sistema para o exemplo 5.2; 
Nota(1) Os sistemas físicos, contudo, possuem mais polos finitos do que zeros finitos, uma vez que a derivação decorrente resultaria 
em saídas infinitas para as funções de entrada descontínuas, como entradas em degrau; 
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Fig. 8.12 Lugar geométrico das raízes e assíntotas para o sistema da figura 8.11; 
 
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Exercício 5.3 
 
Exemplo 5.3 
 
Exemplo 5.4 
 
 
Bibliografia: NISE, NORMAN S.; Engenharia de Sistemas de Controle, LTC, 6ªEd., 2012, Rio de Janeiro; 
ARAUJO, FABIO MEGEGUETTI DE; CT – Dep. Engª. Automação - UFRN, 2007, Natal/RN;