Quadricas LISTA

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Universidade Federal da Bahia - Instituto de Matema´tica - DMAT
MAT A01 - Geometria Anal´ıtica - Turma 10 - 2016/2
Superf´ıcies Qua´dricas - Professora Simone Moraes
Uma superf´ıcie qua´drica1 e´ o lugar geome´trico de uma equac¸a˜o geral do segundo grau, nas
duas varia´veis x, y e z, do tipo:
Q : Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J = 0, (∗)
com A, B, C, D, E, F , G, H, I e J sa˜o nu´meros reais, sendo pelo menos um dos coeficientes A, B,
C, D, E e F na˜o-nulo.
Ale´m das superf´ıcies qua´dricas, a equac¸a˜o acima tambe´m pode representar: o conjunto vazio,
um ponto, uma reta, um plano, um par de planos paralelos, um par de planos concorrentes, estes
conjuntos sa˜o denominados qua´dricas degeneradas.
Vamos estudar algumas superf´ıcies qua´dricas Q, para isso vamos analisar as intersecc¸o˜es de Q
com os planos paralelos aos planos coordenados.
Tambe´m vamos analisar as simetrias das qua´dricas com respeito aos planos coordenados e com
respeito a` origem.
Observemos que um conjunto Q e´ sime´trico com respeito:
• Ao plano xy se: (x, y, z) ∈ Q ⇐⇒ (x, y,−z) ∈ Q.
• Ao plano xz se: (x, y, z) ∈ Q ⇐⇒ (x,−y, z) ∈ Q.
• Ao plano yz se: (x, y, z) ∈ Q ⇐⇒ (−x, y, z) ∈ Q.
• A` origem se: (x, y, z) ∈ Q ⇐⇒ (−x,−y,−z) ∈ Q.
E´ fa´cil verificar que se o conjunto Q e´ sime´trico com respeito aos planos xy, xz e yz, enta˜o e´
sime´trico com respeito a` origem.
1 - Elipso´ide
Neste caso a equac¸a˜o (∗) pode ser transformada em uma equac¸a˜o do tipo:
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1, (∗∗)
com a > 0, b > 0 e c > 0.
O elipso´ide Q e´ uma superf´ıcie sime´trica com respeito aos treˆs planos coordenados e com respeito
a` origem.
Nas intersecc¸o˜es de Q com os planos paralelos aos planos coordenados obtemos:
Q∩ {z = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗∗) se escreve como:
x2
a2
+
y2
b2
= 1− k
2
c2
.
Logo, Q∩ {z = k} =

o ponto P = (0, 0, )¸, se k = c
o ponto P = (0, 0, −c), se k = −c
o conjunto vazio, se k < −c ou k > c
uma elipse de centro C = (0, 0, k), se −c < k < c.
1Baseado no texto de Ka´tia Frensel, figuras retiradas do mesmo texto, dispon´ıvel em
http://www.professores.uff.br/katia frensel/aulasga2/ga2-aula10.pdf
1
Q∩ {y = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗∗) se escreve como:
x2
a2
+
z2
c2
= 1− k
2
b2
.
Logo, Q∩ {y = k} =

o ponto P = (0, b, 0), se k = b
o ponto P = (0, −b, 0), se k = −b
o conjunto vazio, se k < −b ou k > b
uma elipse de centro C = (0, k, 0), se −b < k < b.
Q∩ {x = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗∗) se escreve como:
y2
b2
+
z2
c2
= 1− k
2
a2
.
Logo, Q∩ {x = k} =

o ponto P = (a, 0, 0), se k = a
o ponto P = (−a, 0, 0), se k = −a
o conjunto vazio, se k < −a ou k > a
uma elipse de centro C = (k, 0, 0), se −a < k < a.
Figura 1: Intersecc¸o˜es de um elipso´ide com planos coordenados
2 - Hiperbolo´ide de uma folha
Neste caso a equac¸a˜o (∗) pode ser transformada em uma equac¸a˜o dos tipos:
−x
2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
x2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 1
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1
(∗∗)
com a > 0, b > 0 e c > 0.
O hiperbolo´ide de uma folha Q e´ uma superf´ıcie sime´trica com respeito aos treˆs planos coorde-
nados e com respeito a` origem.
Vamos analisar as intersecc¸o˜es de Q do tipo x
2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1 (∗ ∗ ∗) com os planos paralelos
aos planos coordenados e obtemos:
2
Q∩ {z = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗ ∗ ∗) se escreve como:
x2
a2
+
y2
b2
= 1 +
k2
c2
⇐⇒ x
2
a2
+
y2
b2
=
c2 + k2
c2
.
Logo, neste caso Q∩ {z = k} e´ uma elipse de centro C = (0, 0, k) para todos os valores de k.
Q∩ {y = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗ ∗ ∗) se escreve como:
x2
a2
− z
2
c2
= 1− k
2
b2
⇐⇒ x
2
a2
− z
2
c2
=
b2 − k2
b2
.
Logo, neste caso temos:
Q∩{y = k} =

par de retas concorrentes

x =
a
c
z
y = k,
ou

x = −a
c
z
y = k,
se k = b ou k = −b
uma hipe´rbole de centro C = (0, k, 0) se k 6= −b e k 6= b.
Q∩ {x = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗ ∗ ∗) se escreve como:
y2
b2
− z
2
c2
= 1− k
2
a2
⇐⇒ y
2
b2
− z
2
c2
=
a2 − k2
a2
.
Logo, neste caso temos:
Q∩{x = k} =

par de retas concorrentes

y =
b
c
z
x = k,
ou

y = −b
c
z
x = k,
se k = a ou k = −a
uma hipe´rbole de centro C = (k, 0, 0) se k 6= −a e k 6= a.
Figura 2: Intersecc¸o˜es de um hiperbolo´ide de uma folha com planos coordenados
3 - Hiperbolo´ide de duas folhas
Neste caso a equac¸a˜o (∗) pode ser transformada em uma equac¸a˜o dos tipos:
3
x2
a2
− y
2
b2
− z
2
c2
= 1
−x
2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1
−x
2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 1
(∗∗)
com a > 0, b > 0 e c > 0.
O hiperbolo´ide de duas folhas Q e´ uma superf´ıcie sime´trica com respeito aos treˆs planos coorde-
nados e com respeito a` origem.
Vamos analisar as intersecc¸o˜es de Q do tipo −x
2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 1 (∗ ∗ ∗) com os planos paralelos
aos planos coordenados e obtemos:
Q∩ {z = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗ ∗ ∗) se escreve como:
x2
a2
+
y2
b2
=
k2
c2
− 1⇐⇒ x
2
a2
+
y2
b2
=
k2 − c2
c2
.
Logo, neste caso temos:
Q∩{z = k} =

o ponto P = (0, 0, c), se k = c
o conjunto vazio, se −c < k < c
a elipse:

x2(
a
√
k2 − c2
c
)2 + y2(
b
√
k2 − c2
c
)2 = 1
z = k,
se k < −c ou k > c.
Q∩ {y = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗ ∗ ∗) se escreve como:
−x
2
a2
+
z2
c2
= 1 +
k2
b2
⇐⇒ −x
2
a2
+
z2
c2
=
b2 + k2
b2
.
Logo, neste caso Q∩ {y = k} e´ a hipe´rbole:
− x
2(
a
√
k2 + b2
b
)2 + z2(
c
√
k2 + b2
b
)2 = 1
y = k.
Q∩ {x = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗ ∗ ∗) se escreve como:
−y
2
b2
+
z2
c2
= 1 +
k2
a2
⇐⇒ −y
2
a2
+
z2
b2
=
a2 + k2
a2
.
Logo, neste caso Q∩ {x = k} e´ a hipe´rbole:
− y
2(
b
√
k2 + a2
a
)2 + z2(
c
√
k2 + a2
a
)2 = 1
x = k.
4
Figura 3: Intersecc¸o˜es de um hiperbolo´ide de duas folhas com planos coordenados
4 - Cone El´ıptico
Neste caso a equac¸a˜o (∗) pode ser transformada em uma equac¸a˜o dos tipos:
−x
2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 0
x2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 0
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 0
(∗∗)
com a > 0, b > 0 e c > 0.
O cone el´ıptico Q e´ uma superf´ıcie sime´trica com respeito aos treˆs planos coordenados e com
respeito a` origem.
Vamos analisar as intersecc¸o˜es de Q do tipo x
2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 0 (∗ ∗ ∗) com os planos paralelos
aos planos coordenados e obtemos:
Q∩ {z = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗ ∗ ∗) se escreve como:
x2
a2
+
y2
b2
=
k2
c2
.
Logo, neste caso temos:
Q∩ {z = k} =

o ponto P = (0, 0, 0), se k = 0
a elipse:

x2(
a|k|
c
)2 + y2(
b|k|
c
)2 = 1
z = k,
se k 6= 0.
Q∩ {y = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗ ∗ ∗) se escreve como:
x2
a2
− z
2
c2
= −k
2
b2
⇐⇒ −x
2
a2
+
z2
c2
=
k2
b2
.
5
Logo, neste caso temos:
Q∩ {y = k} =

o par de retas

x =
az
c
y = 0
ou

x = −az
c
y = 0
se k = 0
a hipe´rbole:

− x
2(
a|k|
b
)2 + z2(
c|k|
b
)2 = 1
y = k
se k 6= 0.
Q∩ {x = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗ ∗ ∗) se escreve como:
y2
b2
− z
2
c2
= −k
2
a2
⇐⇒ −y
2
b2
+
z2
c2
=
k2
a2
.
Logo, neste caso temos:
Q∩ {x = k} =

o par de retas

y =
bz
c
x = 0
ou

y = −bz
c
x = 0
se k = 0
a hipe´rbole:

− y2(
b|k|
a
)2 + z2(
c|k|
a
)2 = 1
x = k
se k 6= 0.
Figura 4: Intersecc¸o˜es de um cone el´ıptico com planos coordenados
5 - Cilindro El´ıptico
Neste caso a equac¸a˜o (∗) pode ser transformada em uma equac¸a˜o dos tipos:
6
y2
b2
+
z2
c2
= 1
x2
a2
+
z2
c2
= 1
x2
a2
+
y2
b2
= 1
(∗∗)
com a > 0, b > 0 e c > 0.
O cilindro el´ıptico Q e´ uma superf´ıcie sime´trica com respeito aos treˆs planos coordenados e com
respeito a` origem.
Vamos analisar as intersecc¸o˜es de Q do tipo x
2
a2
+
y2
b2
= 1 (∗ ∗ ∗) com os planos paralelos aos
planos coordenados e obtemos:
Q∩ {z = k}: Neste caso Q∩ {z = k} e´ a elipse:
x2
a2
+
y2
b2
= 1
z = k,
de centro C = (0, 0, k) para todos os valores de k.
Q∩ {y = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗ ∗ ∗) se escreve como:
x2
a2
= 1− k
2
b2
⇐⇒ x2 = a
2
b2
(b2 − k2).
Logo, neste caso temos: Q∩ {y = k} =
par de retas paralelas

x =
a
b
√
b2 − k2
y = k
ou

x = −a
b
√
b2 − k2
y = k
se −b < k < b
a reta paralela ao eixo z :
{
x = 0
y = b
se k = b
a reta paralela ao eixo z :
{
x = 0
y = −b se k = −b
o conjunto vazio se k < −b ou k > b.
Q∩ {x = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗ ∗ ∗) se escreve como:
y2
b2
= 1− k
2
a2
⇐⇒ y2 = b
2
a2
(a2 − k2).
7
Logo, neste caso temos: Q∩ {x = k} =
par de retas paralelas

y =
b
a
√
a2 − k2
x = k
ou

y = − b
a
√
a2 − k2
x = k
se −a < k < a
a reta paralela ao eixo z :
{
x = a
y = 0
se k = a
a reta paralela ao eixo z :
{
x = −a
y = 0
se k = −a
o conjunto vazio se k < −a ou k > a.
Figura 5: Intersecc¸o˜es de um cilindro el´ıptico com planos coordenados
6 - Cilindro Hiperbo´lico
Neste caso a equac¸a˜o (∗) pode ser transformada em uma equac¸a˜o dos tipos:
x2
a2
− y
2
b2
= 1 ou −x
2
a2
+
y2
b2
= 1
x2
a2
− z
2
c2
= 1 ou −x
2
a2
+
z2
c2
= 1
y2
b2
− z
2
c2
= 1 ou −y
2
b2
+
z2
c2
= 1
(∗∗)
com a > 0, b > 0 e c > 0.
O cilindro hiperbo´lico Q e´ uma superf´ıcie sime´trica com respeito aos treˆs planos coordenados e
com respeito a` origem.
Vamos analisar as intersecc¸o˜es de Q do tipo x
2
a2
− y
2
b2
= 1 (∗ ∗ ∗) com os planos paralelos aos
coordenados e obtemos:
Q∩ {z = k}: Neste caso Q∩ {z = k} e´ a hipe´rbole:
x2
a2
− y
2
b2
= 1
z = k,
8
de centro C = (0, 0, k) para todos os valores de k.
Q∩ {y = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗ ∗ ∗) se escreve como:
x2
a2
= 1 +
k2
b2
⇐⇒ x2 = a
2
b2
(b2 + k2).
Logo, neste caso temos: Q∩ {y = k} e´ o par de retas paralelas:
x =
a
b
√
b2 + k2
y = k
ou

x = −a
b
√
b2 + k2
y = k
para todos os valores de k.
Q∩ {x = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗ ∗ ∗) se escreve como:
y2
b2
= 1 +
k2
a2
⇐⇒ y2 = b
2
a2
(a2 + k2).
Logo, neste caso temos: Q∩ {x = k} e´ o par de retas paralelas:
y =
b
a
√
a2 − k2
x = k
ou

y = − b
a
√
a2 − k2
x = k
,
para todos os valores de k.
Figura 6: Intersecc¸o˜es de cilindro hiperbo´lico com planos coordenados
7 - Parabolo´ide El´ıptico
Neste caso a equac¸a˜o (∗) pode ser transformada em uma equac¸a˜o dos tipos:
x2
a2
+
y2
b2
= cz
x2
a2
+
z2
c2
= by
y2
b2
+
z2
c2
= ax
(∗∗)
9
com a, b e c nu´mero reais na˜o nulos.
Vamos analisar a qua´drica parabolo´ide el´ıptico Q do tipo
x2
a2
+
y2
b2
= cz com a > 0, b > 0 e c > 0 (∗ ∗ ∗)
que e´ uma superf´ıcie sime´trica com respeito aos treˆs planos coordenados xz e yz, pore´m na˜o sime´trica
com respeito ao plano coordenado xy e a` origem.
Determinemos as intersecc¸o˜es de Q com os planos paralelos aos planos coordenados:
Q∩ {z = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗ ∗ ∗) se escreve como:
x2
a2
+
y2
b2
= ck.
Logo, neste caso temos:
Q∩ {z = k} =

o ponto P = (0, 0, 0), se k = 0
a elipse:

x2(
a
√
ck
)2 + y2(
b
√
ck
)2 = 1
z = k,
se k > 0
o conjunto vazio se k < 0.
Q∩ {y = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗ ∗ ∗) se escreve como:
x2
a2
= cz − k
2
b2
⇐⇒ x2 = a2c
(
z − k
2
b2c
)
.
Logo, neste caso temos: Q∩ {y = k} e´ a para´bola de ve´rtice V =
(
0, k,
k2
b2c
)
:

x2 = a2c
(
z − k
2
b2c
)
y = k,
para todos os valores de k.
Q∩ {x = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗ ∗ ∗) se escreve como:
y2
b2
= cz − k
2
a2
⇐⇒ y2 = b2c
(
z − k
2
a2c
)
.
Logo, neste caso temos: Q∩ {x = k} e´ a para´bola de ve´rtice V =
(
k, 0,
k2
a2c
)
:

y2 = b2c
(
z − k
2
a2c
)
x = k,
para todos os valores de k.
10
Figura 7: Intersecc¸o˜es de um parabolo´ide el´ıptico com planos coordenados
8 - Parabolo´ide Hiperbo´lico
Neste caso a equac¸a˜o (∗) pode ser transformada em uma equac¸a˜o dos tipos:
x2
a2
− y
2
b2
= cz
x2
a2
− z
2
c2
= by
y2
b2
− z
2
c2
= ax
(∗∗)
com a, b e c nu´mero reais na˜o nulos.
Vamos analisar a qua´drica parabolo´ide el´ıptico Q do tipo
x2
a2
− y
2
b2
= cz com a > 0, b > 0 e c > 0 (∗ ∗ ∗)
que e´ uma superf´ıcie sime´trica com respeito aos treˆs planos coordenados xz e yz, pore´m na˜o sime´trica
com respeito ao plano coordenado xy e a` origem.
Determinemos as intersecc¸o˜es de Q com os planos paralelos aos planos coordenados:
Q∩ {z = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗ ∗ ∗) se escreve como:
x2
a2
− y
2
b2
= ck.
Logo, neste caso temos:
Q∩ {z = k} =

par de retas concorrentes:

bx = ay
z = k,
e

bx = −ay
z = k,
se k = 0
uma hipe´rbole:

x2
a2
+
y2
b2
= ck
z = k,
se k 6= 0.
11
Q∩ {y = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗ ∗ ∗) se escreve como:
x2
a2
= cz +
k2
b2
⇐⇒ x2 = a2c
(
z +
k2
b2c
)
.
Logo, neste caso temos: Q∩ {y = k} e´ a para´bola de ve´rtice V =
(
0, k, − k
2
b2c
)
:

x2 = a2c
(
z +
k2
b2c
)
y = k,
para todos os valores de k.
Q∩ {x = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗ ∗ ∗) se escreve como:
y2
b2
= −cz + k
2
a2
⇐⇒ y2 = −b2c
(
z − k
2
a2c
)
.
Logo, neste caso temos: Q∩ {x = k} e´ a para´bola de ve´rtice V =
(
k, 0,
k2
a2c
)
:

y2 = −b2c
(
z − k
2
a2c
)
x = k,
para todos os valores de k.
Figura 8: Intersecc¸o˜es de um parabolo´ide hiperbo´lico com planos coordenados
12
9 - Cilindro Parabo´lico
Neste caso a equac¸a˜o (∗) pode ser transformada em uma equac¸a˜o dos tipos:
x2
a2
= by ou
y2
b2
= ax
x2
a2
= cz ou
z2
c2
= ax
y2
b2
= cz ou
z2
c2
= by
(∗∗)
com a, b e c nu´mero reais na˜o nulos.
Vamos analisar a qua´drica cilindro parabo´lico Q do tipo
x2
a2
= cz com c > 0 (∗ ∗ ∗)
que e´ uma superf´ıcie sime´trica com respeito aos treˆs planos coordenados xz e yz, pore´m na˜o sime´trica
com respeito ao plano coordenado xy e a` origem.
Determinemos as intersecc¸o˜es de Q com os planos paralelos aos planos coordenados:
Q∩ {z = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗ ∗ ∗) se escreve como:
x2
a2
= ck ⇐⇒ x2 = a2ck.
Logo, neste caso temos:
Q∩ {z = k} =

eixo y se k = 0
par de retas paralelas
{
x =
√
a2ck
z = k
ou
{
x = −√a2ck
z = k
se k > 0
o conjunto vazio se k < 0.
Q∩ {y = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗ ∗ ∗) se escreve como:
x2
a2
= cz ⇐⇒ x2 = a2cz.
Logo, neste caso temos: Q∩ {y = k} e´ a para´bola de ve´rtice V = (0, k, 0):
x2 = a2cz
y = k,
para todos os valores de k.
Q∩ {x = k}: Neste caso a equac¸a˜o (∗ ∗ ∗) se escrevecomo:
a2
b2
= cz ⇐⇒ z = k
2
a2c
.
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Logo, neste caso temos: Q∩ {x = k} e´ a reta paralela ao eixo y:
z =
k2
a2c
x = k,
para todos os valores de k.
Figura 9: Intersecc¸o˜es de um cilindro hiperbo´lico com planos coordenados
14