Exercícios de Probabilidade

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INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
LISTA DE EXERCÍCIOS I – Introdução à Probabilidade, Análise Combinatória e Estatística Descritiva 
Professores: Aderson Passos, Paulo Henrique Maranhão, Luis Antônio Seabra 
 
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01. Quantos conjuntos de iniciais podem ser formados se todas as pessoas têm um sobrenome e: 
 
 a) exatamente dois nomes 
 b) no máximo dois nomes 
 c) no máximo três nomes 
 
02. Um inspetor visita 6 máquinas diferente durante um dia. A fim de evitar que os operários saibam 
quando ele os irá inspecionar, o inspetor varia a ordenação de suas visitas. De quantas maneiras 
isto poderá ser feito? 
 
03. Um produto é montado em três estágios. No primeiro estágio, existem 5 linhas de montagem; no 
segundo estágio, existem 4 linhas de montagem e no terceiro estágio, existem 6 linhas de 
montagem. De quantas maneiras diferentes poderá o produto se deslocar durante o processo de 
montagem? 
 
04. As letras do código Morse são formadas por uma sucessão de traços e pontos com repetições 
permissíveis. Quantas letras podem-se formar com dez símbolos ou menos? 
 
05. Um jogador A lança seis dados e ganha caso consiga pelo menos um resultado igual a um. Um 
outro jogador B lança doze dados e ganha caso consiga pelo menos dois resultados iguais a um. 
Quem tem maior probabilidade de ganhar? 
 
06. Suponha que de um total de n varetas cada uma seja quebrada em uma parte longa e em uma 
curta. As 2n partes são arrumadas em n pares dos quais novas varetas são formadas. Determina a 
probabilidade de que as partes sejam unidas na ordem original. 
 
07. Um carro está estacionado em uma das N vagas disponíveis, em um estacionamento (vagas 
dispostas em fila), mas não em nenhuma das pontas. Na sua volta, o dono do mesmo verifica que 
exatamente r dos N lugares ainda estão ocupados. Qual é a probabilidade de que ambos os lugares 
vizinhos estejam vazios? 
 
08. Sejam A1, A2, ..., eventos aleatórios. Mostre que: 
 
)(1
11
∑
==
−≥





Ρ
n
k
c
k
n
k
k
APAI 
 
09. Prove que se temos An eventos disjuntos e P(B/An) = P(C/An), então: 
 
( ) ( )UU nn ACAB // Ρ=Ρ . 
 
10. Pedro quer enviar uma carta a Marina. A probabilidade de que Pedro escreva a carta é de 0,8. A 
probabilidade de que o correio não a perca é de 0,9. A probabilidade de que o carteiro a entregue é 
de 0,9. Dado que Marina não recebeu a carta, qual a probabilidade condicional de que Pedro não a 
tenha escrito? 
 
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11. (Problema de Monty Hall) Existiu nos Estados Unidos um programa de auditório que oferecia aos 
participantes a chance de ganhar um grande prêmio. Eram oferecidas aos candidatos três portas 
onde em uma delas estaria o prêmio e nas outras duas um bode, um em cada porta (uma 
brincadeira indicando que o candidato não havia ganhado o prêmio). No início, o apresentador do 
programa dava a opção de que uma porta fosse escolhida. Depois de o candidato ter escolhido a 
sua porta, o apresentador abria uma porta onde havia um bode, nas duas portas que restavam 
(observe que ele sempre poderia fazer isso) e dava a opção para o candidato mudar de porta. 
Pergunta-se: para aumentar as chances de receber o prêmio o candidato deve mudar de porta, deve 
permanecer ou é indiferente? 
 
12. (Discriminação e Pena de Morte) Existe alguma relação entre a raça de acusados declarados 
culpados em julgamentos de assassinato e a imposição de pena de morte a esses acusados? Essa 
questão tem sido amplamente debatida. Diz-se que acusados brancos recebem a pena de morte 
com muito menos freqüência que os não brancos. Esse caso pode ajudar a entender uma razão 
para esse debate. A tabela A mostra informação observando 326 casos. 
Perguntas: 
a. Examinando a tabela A, estime P(Pena de Morte/Acusado Branco) e P(Pena de Morte/Acusado 
Negro). Qual a conclusão que se chega a partir dessa análise? 
b. A tabela B os mesmos dados associando com a raça da vítima. Utilizando esses dados calcule 
as seguintes probabilidades: 
P(Pena de Morte/Acusado Branco, Vítima Branca) 
P(Pena de Morte/Acusado Negro, Vítima Branca) 
P(Pena de Morte/Acusado Branco, Vítima Negra) 
P(Pena de Morte/Acusado Negro, Vítima Negra) 
 
Qual a sua conclusão? 
c. Explique as aparentes contradições entre suas respostas para questões 1 e 2. 
 
Tabela A 
Raça do Acusado Sofreu a Pena de 
Morte (sim) 
Sofreu a Pena de 
Morte (não) 
Total de Acusados 
Branco 19 141 160 
Negro 17 149 166 
Total 36 290 326 
 
Tabela B 
Raça da Vítima Raça do 
Acusado 
Sofreu a Pena de 
Morte (sim) 
Sofreu a Pena de 
Morte (não) 
Total de 
Acusados 
Branco 19 132 151 Branca 
Negro 11 52 63 
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Total 30 184 214 
Branco 0 9 9 Negra 
Negro 6 97 103 
Total 6 106 112 
Total 36 290 326 
 
13. Durante o mês de novembro a probabilidade de chuva é de 0,3. O Fluminense ganha um jogo 
em um dia de chuva com probabilidade 0,4; em um dia sem chuva com probabilidade 0,6. Se 
ganhou um jogo em novembro, qual é a probabilidade de que choveu nesse dia? 
 
14. Considere um espaço amostral S. Suponha A, B eventos de S. Prove ou “disprove” que: 
a. A, B independentes implica A, BC independentes. 
b. A, B independentes implica AC, B independentes. 
c. A, B independentes implica AC, BC independentes. 
 
15. Imagine um equilibrista bêbado caminhando sobre uma corda, tendo manter o seu equilíbrio, e 
dá um passo para frente com probabilidade p e um passo para trás com probabilidade (1-p). 
a. Qual a probabilidade que após 2 passos o equilibrista esteja no mesmo lugar sobre a corda? 
b. Qual a probabilidade que após 3 passos o equilibrista esteja um passo depois de onde ele 
começou? 
 
16. Um problema de confiabilidade envolvendo uma rede de linhas telefônicas não precisa ser 
sempre decomposto em uma sequência de conexões série e paralelo. Entretanto, o teorema da 
probabilidade total pode ser ainda útil para calcular a probabilidade de sucesso entre nós da rede. A 
seguir alguns exemplos: 
a. Na rede selecionada na figura A, calcule a probabilidade que haja pelo menos uma linha de 
conexão desbloqueada entre os nós A e B. 
b. Suponha que seja adicionada uma outra ligação conforme a figura B mostrada a seguir. Calcule 
novamente a probabilidade de existir pelo menos uma conexão desbloqueada entre A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
C 
F 
E 
B 
D 
0,75 
0,9 
0,8 
0,9 
0,85 
0,95 
0,9 
0,95 
Figura A 
A 
C 
F 
E 
B 
D 
0,75 
0,9 
0,8 
0,9 
0,85 
0,95 
0,9 
0,95 
0,8 
Figura B 
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17. Temos 2 jarros que contém inicialmente n bolas cada um. São realizadas quatro mudanças 
sucessivas de bolas. Em cada mudança são retiradas de forma aleatória e simultânea uma bola de 
um jarro e colocada em outro jarro. Qual a probabilidade que ao final das quatro mudanças todas as 
bolas estejam em sua posição inicial? 
 
18. Roberto possui um par de dados especial que possui quatro lados. Quando ele joga os dados, a 
probabilidade de qualquerresultado particular é proporcional ao produto dos resultados de cada 
dado. Todos os resultados que fornecem um dado produto são igualmente prováveis. 
a. Qual a probabilidade do produto ser par? 
b. Qual a probabilidade de Roberto conseguir um 2 e um 3? 
 
19. Um banco possui um cofre que possui uma tranca com combinação. A tranca requer oito 
diferentes inteiros entre 1 e 90, que devem ser colocados em qualquer ordem. Entretanto, a tranca 
permite que 10 inteiros diferentes variando entre 1 e 90 sejam utilizados como uma combinação ou 
seja, a tranca abrirá se 8 dos 10 números da combinação forem colocados. Encontre a probabilidade 
que um ladrão abra a porta na primeira tentativa. 
 
20. Assuma que os eventos A1, A2, A3 e A4 são independentes e que P(A3 ∪ A4) > 0. Mostre que: 
 
P(A1 ∪ A2 | A3 ∩ A4) = P(A1 ∪ A2) 
 
21. Considere um conjunto formado por m bolas pretas e n bolas brancas. Determine o número de 
seqüências simétricas que podem ser formadas utilizando-se todas as m+n bolas. Observação: uma 
seqüência é dita simétrica quando possui a mesma ordem de cores ao ser percorrida da direita para 
esquerda e da esquerda para a direita. 
 
22. Uma determinada cadeira de escola de nível superior possui um histórico de elevado número de 
faltas (não é o IME, sem dúvidas!). O professor da matéria, incomodado com a situação, decidiu que 
somente ministrará as suas aulas se pelo menos k dos n alunos estiverem em sala de aula. Cada 
aluno irá aparecer independentemente com probabilidade pb se o tempo estiver bom e e com 
probabilidade pr se o tempo estiver ruim. Dada a probabilidade de tempo ruim em um dado dia, 
calcule a probabilidade do professor dar aulas nesse dia. 
 
23. Uma urna contém n bolas dos quais m são vermelhas. Selecionamos k dessas bolas 
aleatoriamente, sem reposição (ou seja, as bolas selecionadas não são recolocadas na urna antes 
da próxima seleção). Qual é a probabilidade que i das bolas selecionadas sejam vermelhas? 
 
24. (Usando uma moeda viciada para tomar uma decisão não viciada) Kellem e Lucas desejam 
escolher entre ir ao cinema ou ir ao teatro lançando uma moeda. Infelizmente, a única moeda 
disponível é viciada (assim, não se sabe ao certo o comportamento dos possíveis resultados de cara 
ou coroa). Como eles podem utilizar essa moeda viciada de forma que qualquer uma das decisões 
(cinema ou teatro) sejam igualmente prováveis? 
 
25. Uma vara de 1 metro de comprimento é quebrada em dois pontos escolhidos “ao acaso”. Um 
possível modelo probabilístico para esta situação consiste em considerar que os pontos de quebra 
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são as coordenadas de um ponto escolhido ao acaso no quadrado [0,1] x [0,1]. De acordo com este 
modelo, qual é a probabilidade de que se possa formar um triângulo com os três pedaços 
resultantes? 
 
26. Num lote de n peças existem m defeituosas. Uma amostra sem reposição de r dessas peças, r < 
n, é sorteada ao acaso e deseja-se obter a probabilidade de obtermos k peças defeituosas, k ≤ 
min(r,m). 
 
27. Sendo A e B dois eventos no espaço amostral, indique sob que condições P(A/B) = P(B/A). 
 
28. Considere os eventos A, B e C em S e suponha que P(C)>0 e P(B∩C)>0. Verifique as 
afirmações (justifique sua resposta): 
a) P(A∩B/C) = P(A/B∩C) P(B/C) 
b) P(A∩B/C) = P(A/C) P(B/C) 
 
29. João e José disputam um jogo com uma moeda equilibrada. Cada jogador lança a moeda duas 
vezes e vence o jogo aquele que obtiver dois resultados iguais. João começa jogando e, se não 
vencer, passa a moeda para José e, continuam assim, alternando as jogadas até alguém vencer. A 
namorada de José desconfia da honestidade do jogo e reclama que João tem mais probabilidade de 
vitória por iniciar o jogo. Por outro lado, a namorada de João diz que isso é besteira, pois, como o 
número de jogadas pode ser infinito, tanto faz quem começa jogando. Quem será que tem razão? 
Justifique probabilisticamente. 
 
30. Considere um alfabeto que tem um total de n letras. Dentre todas as palavras formadas com 3 
letras escolhemos uma delas ao acaso. Seja s uma particular letra desse alfabeto, definimos os 
eventos: 
A: “A palavra escolhida começa com a letra s” 
B: “A palavra escolhida tem a letra s no meio” 
C: “A palavra escolhida tem exatamente duas letras iguais” 
 
Verifique a independência entre esses eventos. 
 
31. Analise os dados representados no histograma a segur usando as principais medidas descritivas 
(média, mediana, desvio padrão, coeficiente de assimetria e coeficiente de curtose). 
 
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Histogram (NEW.STA 1v*15c)
 y = 15 * 100 * normal (x; 226,94667; 240,32324)
POP
N
o
 o
f 
o
b
s
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
<= 0
(0;100]
(100;200]
(200;300]
(300;400]
(400;500]
(500;600]
(600;700]
(700;800]
(800;900]
(900;1000]
> 1000
 
 
32. Construa um histograma de freqüências para a distribuição de freqüências abaixo, calcule a 
média, a mediana, a moda, o primeiro e terceiro quartis, a amplitude semi-interquartílica (1/2 IQR), a 
variância e desvio padrão. 
 
Classes de 
salário 
Ponto 
médio 
freqüência Porcentagem 
4 |- 8 6 10 27,78 
8 |- 12 10 12 33,33 
12 |- 16 14 8 22,22 
16 |- 20 18 5 13,89 
20 |- 24 22 1 2,78 
Total - 36 100 
 
 
33. Observe o histograma a seguir, monte a tabela de freqüências e em seguida calcule a média, a 
mediana, a moda e a amplitude semi-interquartílica e comente os resultados encontrados. 
 
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Histogram (ESTAT.STA 1v*50c)
 y = 50 * 2 * normal (x; 15,698; 6,5671877)
VAR1
N
o
 o
f 
o
b
s
0
1
2
3
4
5
6
7
8
<= 0
(0;2]
(2;4]
(4;6]
(6;8]
(8;10]
(10;12]
(12;14]
(14;16]
(16;18]
(18;20]
(20;22]
(22;24]
(24;26]
(26;28]
> 28
 
 
34. Seja a distribuição de freqüência da Tabela abaixo. Analise a distribuição de freqüência quanto à 
assimetria e a curtose e compare as médias aritmética e geométrica. 
 
Altura freqüência 
151 |- 158 5 
159 |- 166 18 
167 |- 174 42 
175 |- 182 8 
183 |- 190 12 
 
35. Dado o rol de 50 notas, agrupe os elementos em classe, calcule as principais medidas 
descritivas, construa o histograma e o polígono de freqüências e analise os resultados encontrados. 
 
33 35 35 39 41 41 42 45 47 48 
50 52 53 54 55 55 57 59 60 60 
61 64 65 65 65 66 66 66 67 68 
69 71 73 73 74 74 76 77 77 78 
80 81 84 85 85 88 89 91 94 97 
 
 
36. Determinar a média (aritmética e geométrica), a mediana, a moda e os quartis dos números: 
 
a) 3,5; 2,6; 5,9; 5,2; 8,6; 5,3; 7,2; 5,4 
 
b) 51,6; 48,7; 50,3; 48,5; 48,9 
 
37. Os projeteis para o blindado URUVEL pesam em média 8,5 kg com desvio padrão de 0,10 kg. 
Os militares de um determinado regimento de cavalaria perceberam que alguns alvos não eram 
atingidos porque as distâncias alcançadas pelos projeteis eram menores que as indicadas pelo 
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manual do blindado em questão. Foi solicitado, então que a fábrica fornecedora desta munição 
fizesse um estudo para verificar se havia alguma falha no processo de fabricação. Um engenheiro 
militar foi encarregado de levantar as possíveis causas e traçou um plano que consistia retirar uma 
amostra a cada hora trabalhada durante o turno de oito horas diárias durante os 22 dias de trabalho 
do mês de março, de modo que foram retiradas 7 amostras diárias de cada máquina e suas 
respectivas médias anotadas na Tabela a seguir. A Tabela 1 mostra os dados coletados. Faça a 
análise descritiva e um pequeno relatório sobre as possíveis causas do problema (mesmo sabendo 
que há ferramentas estatísticas mais sofisticadas para uma análise mais fundamentada). 
 
Dia Maq. 1 Maq. 2 Maq. 3 
1 8,55 8,57 8,54 
2 8,54 8,54 8,55 
3 8,53 8,36 8,5 
4 8,43 8,37 8,52 
5 8,35 8,72 8,41 
6 8,50 8,73 8,44 
7 8,51 8,00 8,45 
8 8,56 8,22 8,49 
9 8,59 8,23 8,53 
10 8,55 8,24 8,52 
11 8,45 8,36 8,54 
12 8,49 8,77 8,51 
13 8,47 8,32 8,57 
14 8,55 8,36 8,36 
15 8,51 8,52 8,60 
16 8,65 8,36 8,65 
17 8,54 8,32 8,52 
18 8,49 8,32 8,51 
19 8,65 8,22 8,52 
20 8,32 8,11 8,55 
21 8,49 8,15 8,36 
22 8,55 8,19 8,54 
 
38. Faça um gráfico Box-plot para cada máquina do exercício anterior. 
 
39. Analise o gráfico a seguir quanto às medidas de tendência central, variabilidade e assimetria. 
 
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40. Os registros de uma instituição financeira indicam que 90% das contas de empréstimo 
consideradas inadimplentes apresentaram pagamentos com mais de duas semanas de atraso em 
pelo menos duas prestações. Sabe-se também que 10% de todas as contas de empréstimo tornam-
se inadimplentes e que 40% das contas de empréstimo integralmente liquidadas mostram pelo 
menos duas prestações com atraso no pagamento em mais de duas semanas. Qual a probabilidade 
de que uma conta de empréstimo com duas ou mais prestações pagas com atraso de duas semanas 
torne-se inadimplente.