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UNIDADE 02: FUNDAMENTOS SOBRE FUNÇÕES LINEARES E APLICAÇÕES 1. FUNÇÕES LINEARES A. Definição: Funções Lineares são aquelas em que a variável independente está elevada a potência unitária (ou zero). O gráfico de uma Função Linear é sempre uma reta. B. Função Constante: f ( x ) = c onde c é uma constante Real C. Função Linear: f ( x ) = a x Se a < 0 a função é decrescente O Gráfico contém o ponto ( 0 , 0 ) D. Função Afim: f ( x ) = a x + b Se a < 0 a função é decrescente O Gráfico contém os pontos ( 0 , b ) e ( b a , 0 ) 2. FUNÇÕES LINEARES: APLICAÇÕES Exemplo 01: Para animar uma festa de formatura, o conjunto A cobra uma taxa fixa de R$400,00, mais R$90,00 por hora. Pelo mesmo serviço, o conjunto B cobra R$600,00, mais R$60,00 por hora. Com base nessas informações: a. escreva a fórmula do preço a ser pago ao conjunto A e a fórmula do preço a ser pago ao conjunto B em função do tempo de duração da festa; b. esboce o gráfico de cada uma dessas funções; c. descreva, observando os gráficos, o significado do ponto em que eles se interceptam. Solução a) Sendo t o tempo em horas e o preço em reais a ser pago ao conjunto A, podemos escrever: CA: CA (t) = 400 + 90 t De modo semelhante, sendo t o tempo em horas e o preço em reais a ser pago ao conjunto B, temos: CB (t) = 600 + 60 t Essas duas funções são lineares e o gráfico de cada uma delas é uma reta e ambas estão definidas para . t ≥ 0 Função Constante x y f (x) Função Linear x y f (x) Função Afim x y f (x) b) Um esboço do gráfico de cada uma dessas funções está a seguir: BANDA A t CA 0 400 10 1300 BANDA B t CB 0 600 10 1200 c) O ponto de interseção dos gráficos corresponde ao tempo t de duração da festa para o qual o preço a ser pago a cada conjunto é o mesmo, ou seja, CA = CB. Assim: 400 + 90 t = 600 + 60 t Resolvendo essa equação, temos: .t = 6,66 HORAS = 6 h e 40 min. Se a festa durar mais de 6h 40 min, será mais barato contratar o conjunto B; caso a festa dure menos de 6h 40 min, contratar o conjunto A será mais barato. Exemplo 02: Para produzir um objeto, uma firma gasta R$ 1,20 por unidade. Além disso, há uma despesa fixa de R$ 4 000,00, independente da quantidade produzida. O preço de venda é de R$ 2,00 por unidade. a) ESBOCE os gráficos das funções Custo e Receita num mesmo plano cartesiano; e HACHURE no gráfico o espaço onde a receita é superior ao custo. b) CALCULE a partir de quantas unidades produzidas a firma terá lucro. Solução a) Para a Função Custo: C (q) = 4000 + 1,20 q Para a função Receita: R (q) = 2 q CUSTO q CA 0 4000 10000 16000 RECEITA q CA 0 0 10000 20000 b) Igualando as funções C e R: 4000 + 1,20 q = 2 q TEM-SE: q = 5000, ou seja, a partir de 5000 unidades vendidas há lucro. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO: 1. Seja y : [ 2 , 7 [ R, onde y = 1: a . Faça o gráfico de y. b . Dê a imagem de y. c . Para quais valores de x temos y < 0 d . Para quais valores de x temos y = 1 2. Faça o gráfico das funções: a . y = - 2x + 3 b . y = - 5x + 1 c . y = 2 x + 1 3. Dê a equação da reta que passa por ( 2 , 3 ) e ( 5 , 7 ). 4. Faça o gráfico e dê a imagem: f ( x ) = 3 2 1 2 4 2 4 se x x se x x se x 5. Um carro parte do ponto P no instante t = 0 e viaja a 80 km/h a) Escreva uma função y(t) para a distância que o carro percorre em t horas saindo do ponto P. b) Faça o gráfico da função. 6. Um vendedor de planos de saúde recebe de salário $ 300,00, mais uma comissão de $ 5,00 por plano vendido. a) Determine uma expressão que relacione o salário total (S) em função da quantidade de planos (x) vendidos. b) Sabendo que seu salário em um mês foi de $ 1.550,00, qual a quantidade de planos vendidos? c) Esboce o gráfico da função obtida no item (a). 7. Um operário recebe de salário $ 600,00, mais $ 10,00 por hora extra trabalhada. a) Determine uma expressão que relacione o salário em função da quantidade de horas extras trabalhadas no mês. b) Sabendo que 50 é o número máximo permitido de horas extras em um mês, esboce o gráfico da função obtida no item anterior. 8. Um vendedor de uma confecção recebe de salário $ 350,00, mais 3% do valor das vendas realizadas. a) Determine uma expressão que relacione o salário em função do valor das vendas realizadas no mês. b) Em um mês em que o salário foi de $ 800,00, qual o valor das vendas? c) Esboce o gráfico da função obtida no item (a). 9. . O valor inicial de um carro é $ 20.000,00, e a cada ano esse valor é depreciado em $ 1.250,00. a) Determine uma expressão que relacione o valor do carro em função do número de anos passados após a compra. b) Após quanto tempo o carro vale a metade do valor inicial? c) Esboce o gráfico da função obtida no item (a). 10. Um produto, quando comercializado, apresenta as funções Custo e Receita dadas, respectivamente, por C=3q + 90 e R = 5q, onde q é a quantidade comercializada que se supõe ser a mesma para custo e receita. a) Em um mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos de custo e receita. Determine também e indique no gráfico o break-even point. b) Obtenha a função Lucro, L, esboce o seu gráfico e determine as quantidades necessárias para que o lucro seja negativo, nulo e positivo. 11. Podemos enunciar a lei da oferta de um produto em relação ao preço da seguinte forma: "A predisposição para a oferta ou demanda de um produto pelos fornecedores no mercado geralmente aumenta quando o preço aumenta e diminui quando o preço diminui". Em uma safra, a oferta e o preço de uma fruta estão relacionados de acordo com a tabela: Oferta (q) 10 25 40 55 Preço (p) 4,50 4,80 5,10 5,40 a) Determine a expressão que relaciona preço e oferta. b) Esboce o gráfico da função do item anterior. A função é crescente ou decrescente?
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