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Universidade Estadual de Santa Cruz
Departamento de Cieˆncias Exatas
Disciplina Geometria Anal´ıtica
Curso de Engenharia
Professores Paulo Gala˜o e Pryscilla Silva
Notas de Aula
Aula 2
1 A´lgebra Matricial
Manipular varia´veis ou inco´gnitas faz parte da natureza da a´lgebra. Entretanto,
como veremos a seguir, nada impede que a inco´gnita (ou varia´vel) venha a ser uma matriz.
1.1 Propriedades
Assim como se verifica algumas propriedades quando trabalhamos com nu´meros
reais, as operac¸o˜es com matrizes tambe´m possuem algumas propriedades que sera˜o bas-
tante ute´is no estudo da A´lgebra Matricial.
1.1.1 Propriedades da soma de matrizes
Proposic¸a˜o 1 Sejam A, B, C matrizes de ordem m× n. A adic¸a˜o de matrizes satisfaz
as seguintes propriedades:
1. associativa - (A+B) + C = A+ (B + C), quaisquer que sejam A, B e C ;
2. comutativa - A+B = B + A,quaisquer que sejam A e B;
3. elemento neutro - existe uma matriz M de ordem m× n tal que A + M = A, para
toda matriz A;
4. elemento sime´trico - dada uma matriz A, existe uma matriz A′ tal que A+A′ = M .
Prova-se que os elementos neutro e sime´trico da Proposic¸a˜o 1 sa˜o respectivamente
a matriz nula de ordem m× n e a matriz oposta de A (−A).
1.1.2 Propriedades do produto de constante por matriz
Proposic¸a˜o 2 Sejam a, b ∈ R, A e B matrizes de ordem m×n. O produto de constante
por matriz obdece a`s seguintes propriedades:
1. a · (b · A) = (ab) · A;
1
2. (a+ b) · A = a · A+ b · A;
3. a · (A+B) = a · A+ a ·B;
4. 1 · A = A.
1.1.3 Propriedades do produto de matrizes
Proposic¸a˜o 3 O produto de matrizes satisfaz as seguintes propriedades:
1. associativa - (AB)C = A(BC), quaisquer que sejam as matrizes Am×n, Bn×p e Cp×k.;
2. distributiva a` direita - A(B + C) = AB + AC, quaisquer que sejam as matrizes
Am×n, Bn×p e Cn×k;
3. distribuitva a` esquerda - (B + C)A = BA + CA, quaisquer que sejam as matrizes
Am×n, Bp×m e Cn×m;
4. k(AB) = (kA)B = A(kB), quaisquer que sejam as matrizes Am×n, Bn×p e k ∈ R.
Exemplo 1 Se A =
(
1 0
3 2
)
, B =
(
5 2
3 −1
)
e C =
(
0 1
1 1
)
. Determine a matriz
X tal que
2X + A = 3B + C.
Para determinar a matriz X vamos utilizar as propriedades vistas anteriormente.
1. Vamos somar −A em ambos os membros da igualdade:
2X + A− A = 3B + C − A
2. Pela Proposic¸a˜o 1 item 4 temos:
2X +O = 3B + C − A, onde O e´ a matriz nula de ordem 2.
3. Pela Proposic¸a˜o 1 item 3 temos:
2X = 3B + C − A
4. Multiplicando
1
2
em ambos os membros da igualdade:
1
2
(2X) =
1
2
(3B + C − A)
5. Pela Proposic¸a˜o 2 itens 1 e 3 temos:(
1
2
2
)
X =
3
2
B +
1
2
C − 1
2
A
2
6. Desse modo,
X =
3
2
B +
1
2
C − 1
2
A
X =
3
2
(
5 2
3 −1
)
+
1
2
(
0 1
1 1
)
− 1
2
(
1 0
3 2
)
X =
(
15/2 6/2
9/2 −3/2
)
+
(
0 1/2
1/2 1/2
)
−
(
1/2 0
3/2 1
)
7. Pela Propriedade 1 item 1:
X =
(
15/2 7/2
10/2 −2/2
)
−
(
1/2 0
3/2 1
)
=
(
14/2 7/2
7/2 −2
)
=
(
7 7/2
7/2 −2
)
Exemplo 2 Sejam A e B matrizes de ordem m×m. Calcule:
(A+B)(A−B).
Pelas propriedades 2 e 3 da Proposic¸a˜o 3
(A+B)(A−B) =
(A+B)A− (A+B)B =
AA+BA− AB −BB = A2 +BA− AB −B2.
Ale´m disso, se AB = BA obtemos: 1
(A+B)(A−B) = A2 −B2.
2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Uma pessoa consumiu na segunda-feira, no cafe´ da manha˜, 1 pedac¸o de bolo e 3
pa˜ezinhos num total de 140 gramas. No dia seguinte, tambe´m no cafe´ da manha˜, uma
pessoa consumiu 3 pedac¸os de bolo e 2 pa˜ezinhos (iguais ao do dia anterior e de mesma
massa), totalizando 210 gramas. A tabela a seguir fornece a quantidade aproximada de
energia em quilocalorias (kcal) contidas a cada 100 gramas de bolo e de pa˜ozinho.
1Lembre-se que em geral o produto de matrizes na˜o e´ comutativo, mesmo no caso em que as matrizes
sa˜o quadradas e de mesma ordem. Por exemplo:
para A =
(
1 0
2 3
)
e B =
(
4 5
6 0
)
,
temos
AB =
(
4 5
26 10
)
6= BA =
(
14 15
6 0
)
.
3
ALIMENTO ENERGIA
100 g de bolo 420 kcal
100 g de pa˜ozinho 270 kcal
Apo´s determinar a quantidade em gramas de cada pedac¸o de bolo e de cada
pa˜ozinho, use a tabela e calcule o total de quilocalorias (kcal) consumido pela pessoa,
com esses alimentos, no cafe´ da manha˜ de segunda-feira.
De fato, para podermos encontrar o que se pede, e´ preciso escrever o nosso prob-
lema utilizando linguagem matema´tica. Desse modo:
seja x a quantidade em gramas de um pa˜ozinho;
seja y a quantidade em gramas de uma fatia de bolo.
Assim: {
3x+ y = 140
2x+ 3y = 210
Expresso˜es como as que obtemos anteriormente sa˜o denominadas Sistemas Line-
ares. De certo modo, o surgimento do estudo dos sistemas lineares surgiu naturalmente.
Por gostar bastante de diagramas, os Chineses, por exemplo, representavam sistemas
lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados
de um tabuleiro. Nesta sec¸a˜o vamos estudar como resolver e analisar o comportamento
de sistemas de duas e treˆs indeterminadas. Mais a frente veremos me´todos de resoluc¸a˜o
de sistemas lineares que ira˜o nos auxiliar na resoluc¸a˜o do sistema anterior.
2.1 Sistemas Lineares
Definic¸a˜o 1 (Equac¸a˜o Linear) Uma equac¸a˜o e´ dita linear se e´ da forma a11x1+a12x2+
a13x3 + · · · + a1nxn = b, a1i ∈ R (1 ≤ i ≤ n). Nesse caso a1i sa´o ditos coeficientes e xi
sa˜o as indeterminadas (1 ≤ i ≤ n).
Exemplo 3 A equac¸a˜o 3x1 + 2x2 = 5 e´ uma equac¸a˜o linear, enquanto que a equac¸a˜o
2x21 + 4
√
x2 + 3x3 = 0 na˜o e´ linear.
Definic¸a˜o 2 (Soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o linear) A n−upla (α1, α2, . . . , αn) e´ dita
soluc¸a˜o da equac¸a˜o linear a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = b se a11α1 + a12α2 +
a13α3 + · · ·+ a1nαn = b. 2
Exemplo 4 (1, 2, 3,−2) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o linear 2x1 + 3x2 − x3 + x4 = 3. De fato,
2 · 1 + 3 · 2− 3− 2 = 3.
Definic¸a˜o 3 Um sistema linear e´ um conjunto de m (m ≥ 1) equac¸o˜es lineares nas
2Normalmente escreve-se a soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o linear dessa forma para que qualquer leitor possa
identificar a que indeterminada esta´ se referindo cada soluc¸a˜o.
4
inco´gnitas x1, x2, . . . , xn, isto e´:
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
.
2.2 Me´todos de soluc¸o˜es de sistemas lineares
2.2.1 Substituic¸a˜o
Como o pro´prio nome diz, esse me´todo constitui em isolar uma das indeter-
minadas em uma das equac¸o˜es e substituir em outra equac¸a˜o do sistema, fazendo esse
processo tantas vezes quanto necessa´rias para obter a soluc¸a˜o.
Exemplo 5 {
x− y = 1 (I)
x+ y = 2 (II)
Em (I) no´s temos x = 1 + y, substituindo em (II) obtemos 1 + 2y = 2 ⇒ y =
1/2⇒ x = 1 + 1/2 = 3/2. Logo a soluc¸a˜o do sistema e´ S = {(3/2, 1/2)}
Exemplo 6 Voltemos a` situac¸a˜o vista no in´ıcio da sec¸a˜o:
“ Uma pessoa consumiu na segunda-feira, no cafe´ da manha˜, 1 pedac¸o de bolo e
3 pa˜ezinhos num total de 140 gramas. No dia seguinte, tambe´m no cafe´ da manha˜, uma
pessoa consumiu 3 pedac¸os de bolo e 2 pa˜ezinhos (iguais ao do dia anterior e de mesma
massa), totalizando 210 gramas. A tabela a seguir fornece a quantidade aproximada de
energia em quilocalorias (kcal) contidas a cada 100 gramas de bolo e de pa˜ozinho.
ALIMENTO ENERGIA
100 g de bolo 420 kcal
100 g de pa˜ozinho 270 kcal
Apo´s determinar a quantidade em gramas de cada pedac¸o de bolo e de cada
pa˜ozinho, use a tabela e calcule o total de quilocalorias (kcal) consumido pela pessoa,
com esses alimentos, no cafe´ da manha˜ de segunda-feira.”
Com base nos dados acima, montamos o seguinte sistema:{
3x+ y = 140 (I)
2x+ 3y = 210 (II)
Desse modo, em (I) obtemos:
y = 140− 3x
Substituindo em (II):
2x+3(140−3x)= 210⇒ 2x+420−9x = 210⇒ −7x = 210−420⇒ 7x = 210⇒ x = 30
5
Logo, y = 140− 90 = 50.
Portanto, na segunda-feira a pessoa consumiu 50 gramas de bolo e 90 gramas de
pa˜o. Assim, com 50 gramas de bolo houve um consumo de 210 kcal. Por meio de uma
regra de treˆs simples obtemos a quantidade de quilocalorias obtidas ao consumir 90 gramas
de pa˜o:
100 g → 270 kcal
90 g → x ⇒ 100x = 90 · 270⇒ x = 243 kcal
Logo, no total houve um ganho de 453 kcal.
Exemplo 7 Resolva o sistema: {
X + Y = 3A (I)
X − Y = 2B (II) ,
onde A =
(
2 0
0 4
)
, B =
(
1 5
3 0
)
, X e Y sa¯o matrizes quadradas de ordem 2.
Para resolvermos esse sistema vamos utilizar os recursos das Proposic¸o˜es 1 e 2.
Com efeito, de (I) no´s obtemos: X = 3A− Y . Substituindo em (II) temos:
3A− Y − Y = 2B ⇒ −2Y = 2B − 3A⇒ Y = −B + 3/2A.
Logo,
X = 3A+B − 3/2A = 3/2A+B.
Por fim,
X = 3/2
(
2 0
0 4
)
+
(
1 5
3 0
)
=
(
4 5
3 6
)
Y = −
(
1 5
3 0
)
+ 3/2
(
2 0
0 4
)
=
(
2 −5
−3 6
)
.
2.2.2 Escalonamento
Dado um sistema linear S em que pelo menos um coeficiente e´ na˜o nulo, dizemos
que S esta´ na forma escalonada se o nu´mero de coeficientes nulos, antes do primeiro
coeficiente na˜o nulo, aumenta de equac¸a˜o para equac¸a˜o.
Na pra´tica, o escalonamento consiste em utilizarmos a soma , multiplicadas ou
na˜o por constantes, o produto por constante e ou a troca das equac¸o˜es do sistema de
modo a obter um sistema onde as equac¸o˜es juntas teˆm o formato de uma escada. Para
maiores esclarecimentos veja o exemplo abaixo.
6
Exemplo 8 Considere o sistema:
5x +11y −21z = −22
3x −2y +3z = 11
x +2y −4z = −4
Para escalonar esse sistema vamos seguir as etapas abaixo:
1. Antes de mais nada certifique-se que o sistema esta´ ordenado e na forma completa,
caso falte alguma indeterminada basta escreveˆ-la com um 0 multiplicando.
2. Como somar equac¸o˜es, constitui na verdade somar as constantes que aparecem no
sistema, vamos escrever uma matriz com apenas as constantes:
 5 11 −21 −223 −2 3 11
1 2 −4 −4

3. Para operar e´ sempre mais fa´cil estabelecermos que a primeira equac¸a˜o do sistema
tenha coeficiente de x igual a 1. Desse modo vamos trocar as equac¸o˜es de posic¸a˜o: 1 2 −4 −45 11 −21 −22
3 −2 3 11

4. Como o objetivo e´ deixar o sistema no formato de uma escada, vamos somar as
equac¸o˜es de modo a eliminar x e depois y:
(a) Eliminanddo x da segunda e da terceira equac¸a˜o. Considere linha = L. Para
fazer o que foi dito anteriormente vamos trocar a L3 por L3 − 3L1 e L2 por
L2 − 5L1:  1 2 −4 −40 1 −1 −2
0 −8 15 23

(b) Para eliminar y da terceira equac¸a˜o trocaremos L3 por L3 + 8L2: 1 2 −4 −40 1 −1 −2
0 0 7 7

5. Voltando a` escrita convencional de sistemas, obtemos:
x +2y −4z = −4
0 y −z = −2
0 0 7z = 7
7
6. Da terceira equac¸a˜o obtemos 7z = 7⇒ z = 1. Substituindo na segunda
y − 1 = −2
y = −1.
Por fim, substituindo os dois valores obtidos na primeira equac¸a˜o temos:
x− 2− 4 = −4
x = 2.
Prova-se que ao escalonarmos um sistema, o sistema obtido na forma escada com
as operac¸o˜es vistas anteriormente teˆm a mesma soluc¸a˜o do sistema original. Donde
conclu´ımos a soluc¸a˜o do sistema S = {(2, −1, 1)}.
Exemplo 9 Vamos obter a soluc¸a˜o do sistema:
x+ 2y + z = 9
2x+ y − z = 3
3x− y − 2z = −4
Na nossa soluc¸a˜o o s´ımbolo ↔ vai significar troca.
L3 ↔ L3 − 3L1: 
x+ 2y + z = 9
2x+ y − z = 3
0− 7y − 5z = −31
L2 ↔ L2 − 2L1 : 
x+ 2y + z = 9
0− 3y − 3z = −15
0− 7y − 5z = −31
L2 ↔ −1/3L2 : 
x+ 2y + z = 9
0 + y + z = 5
0− 7y − 5z = −31
L3 ↔ L3 + 7L2 : 
x+ 2y + z = 9
0 + y + z = 5
0 + 0 + 2z = 4
Logo, z = 2, y = 5 − 2 = 3, x = 9 − 2 − 6 = 1. Assim a soluc¸a˜o do sistema e´
S = {(1, 3, 2)}.
8
2.3 Classificac¸a˜o de sistemas lineares quanto a soluc¸a˜o
Vimos ate´ agora sistemas onde obtemos valores para todas as suas indetermi-
nadas. Esse tipo de sistemas sa˜o ditos poss´ıveis e determinados e nesse caso pode-se
provar que a soluc¸a˜o encontrada e´ u´nica. Pore´m nem todo sistema tem esse comporta-
mento. Existem sistemas que na˜o possuem soluc¸a˜o, nesse caso eles sa˜o ditos sistemas
imposs´ıveis, ha´ tambe´m sistemas que possuem infinitas soluc¸o˜es, nesse caso o sistema e´
dito poss´ıvel e determinado.
Exemplo 10 Considere o sistema
x+ 2y + 3z = 1
2x+ 4y + 6z = 2
3x+ 6y + 9z = 0
.
Ao tentar escalonar o sistema acima trocando L3 por L3 − 3L1 obtemos o sistema
x+ 2y + 3z = 1
2x+ 4y + 6z = 2
0x+ 0y + 0z = −3
⇔

x+ 2y + 3z = 1
2x+ 4y + 6z = 2
0 = −3
.
Observe que na u´ltima linha temos um absurdo. Desse modo temos um sistema imposs´ıvel.
Logo a soluc¸a˜o do sistema e´ S = ∅.
Exemplo 11 Considere o sistema
2x+ 3y + 2z = 5
x− 2y − z = 3
3x+ y + z = 8
.
Escalonando o sistema obtemos 
x− 2y − z = 3
7y + 4z = −1
0 = 0
,
a identidade na u´ltima equac¸a˜o nos diz que o sistema possui infinitas soluc¸o˜es e nesse caso
o sistema e´ poss´ıvel e indeterminado. Para obtermos a soluc¸a˜o do sistema escolhemos uma
indeterminada e isolamos as demais em func¸a˜o da mesma:
y = 1/7(−1− 4z)
x = 19/7− 1/7z
S = {(19/7− 1/7z, 1/7(−1− 4z), z), z ∈ R}
9
Refereˆncias
IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Fundamentos de matema´tica elementar: sequeˆncias,
matrizes, determinantes, sistemas. 7 ed. Sa˜o Paulo: Atual, 2004.
LIPSCHUTZ, Seymour. A´lgebra Linear. Sa˜o Paulo: Makron Books, 1994.
10