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Universidade Estadual de Santa Cruz
Departamento de Cieˆncias Exatas
Disciplina Geometria Anal´ıtica
Curso de Engenharia
Professores Pryscilla Silva e Paulo Gala˜o
Notas de Aula
Aula 4
1 Determinantes
A teoria dos determinantes surgiu em meados do se´culo XV II, quando eram
estudados processos para a resoluc¸a˜o de sistemas lineares. Hoje em dia sabe-se que essa
teoria tem uma vasta aplicac¸a˜o sendo usada principalmente para sintetizar expresso˜es
matema´ticas complicadas. Nessa sec¸a˜o iremos apresentar o ca´lculo sem fazer menc¸a˜o a
definic¸a˜o de determinantes no caso geral, devido a sua complexidade. Ale´m disso, iremos
apresentar algumas de suas propriedades e aplicac¸o˜es.
Consideremos o conjunto de matrizes quadradas sobre os nu´meros reais. Seja A
uma matriz quadrada de ordem n. Chamamos o determinante da matriz A (e indicamos
por detA ou |A|) o nu´mero que obtemos operando com os elementos de A de acordo com
as definic¸o˜es abaixo.
Definic¸a˜o 1 Se A e´ uma matriz quadrada de ordem 1, isto e´, A = (aij), enta˜o detA =
aij.
Exemplo 1 Se A = (6), enta˜o detA = 6.
Definic¸a˜o 2 Dada uma matriz quadradada A =
(
a11 a12
a21 a22
)
de ordem 2×2, definimos
o determinante de A por:
|A| =
∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣∣ = a11 · a22 − a12 · a21.
Para facilitar a memorizac¸a˜o do ca´lculo pode-se usar o seguinte recursso:
a11 a12
a22a21
+-
1
Exemplo 2 Para A =
(
1 2
−2 −1
)
. Temos:
|A| = −1 − (−4) = −1 + 4 = 3.
Definic¸a˜o 3 Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 × 3, definimos e denotamos o
determinante de A por:
|A| = a11 · a22 · a33+a12 · a23 · a31+a13 · a21 · a32−a13 · a22 · a31−a11 · a23 · a32−a12 · a21 · a33.
Para memorizar pode-se utilizar um dos me´todos seguintes:
a11 a12
a22a21
-
a13
a23
a33a32a31 a31
a21
a11 a12
a22
a32
+++- -
Figura 1.1: Me´todo I
a11 a12
a22a21
-
a13
a23
a33a32a31 +
+
+
-
-
a31
a11
a33
a13
Figura 1.2: Me´todo II
Exemplo 3 Calcule:
∣∣∣∣∣∣∣
2 1 1
0 5 −2
1 −3 4
∣∣∣∣∣∣∣ = 2 · 5 · 4 + 1 · (−2) · 1 + 1 · (−3) · 0− 1 · 5 · 1− (−3) · (−2) · 2− 4 · 1 · 0 =
40− 2 + 0− 5− 12− 0 = 21.
1.1 Ca´lculo de determinantes de matrizes quadradas com ordem
maior que 3
Menor complementar
Consideremos uma matriz A de ordem n ≥ 2 e aij um elemento de A. Definimos o
menor complementar do elemento aij e indicamos por Dij como o determinante da matriz
que se obte´m suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A.
Exemplo 4 Tomando A =

 4 3 42 1 5
3 3 2

, calcule D11, D21.
2
Por definic¸a˜o para obtermos D11 basta retirar a linha 1 e a coluna 1 da matriz A
e em seguida calcular o determinante da matriz que restou, isto e´,
D11 =
∣∣∣∣∣ 1 53 2
∣∣∣∣∣ = 2− 15 = −13.
Analogamente, D21 e´ obtido suprimindo a linha 2 e a coluna 1 e em seguida calculando o
determinante da matriz (
4 4
3 2
)
,
logo D21 = −4.
Cofator ou complemento alge´brico
Seja A uma matriz de ordem n ≥ 2 e aij ∈ A. Definimos o cofator (ou comple-
mento alge´brico) do elemento aij , indicado por Aij , como o nu´mero (−1)
i+j ·Dij .
Exemplo 5 Se
A =

 2 3 22 4 8
1 1 1

 ,
enta˜o A11 = (−1)
1+1 ·D11 = 1 · (−4) = −4 e A12 = (−1)
1+2 ·D12 = (−1) · (−6) = 6.
Caso a matriz quadrada tenha ordem maior ou igual que 3 usa-se o me´todo de
Laplace para calcular os determinantes. 1
Me´todo de Laplace
O determinante de uma matriz
A =


a11 a12 . . . a1j . . . a1n
a21 a22 . . . a2j . . . a2n
...
...
...
...
...
...
an1 an2 . . . anj . . . ann


e´ dado por |A| = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj.
Observe que no me´todo acima fixamos uma coluna qualquer j, pore´m, normal-
mente opta-se por fixar a linha ao inve´s da coluna. Prova-se que isso na˜o altera o ca´lculo
do determinante. O exemlo a seguir mostra na pra´tica como funciona ese me´todo:
Exemplo 6 Na pra´tica o Me´todo de Laplace consiste das seguintes etapas:
1O me´todo tambe´m se aplica a matrizes de ordem 2 e 3, pore´m da forma como definimos anteriormente
os ca´lculos sa˜o mais ra´pidos.
3
1. Considere a matriz A =


1 2 4 3
1 0 0 0
3 −1 7 −2
1 −3 6 2

 ;
2. Fixe uma linha da matriz, por exemplo vamos fixar a linha 2;
3. Elimine a primeira coluna e a segunda linha da matriz A, obtendo a matriz
A21 =


2 4 3
−1 7 −2
−3 6 2

 ;
4. Elimine a segunda coluna e a segunda linha da matriz A, obtendo a matriz
A22 =

 1 4 33 7 −2
1 6 2

 ;
5. Elimine a terceira coluna e a segunda linha da matriz A obtendo a matriz
A23 =


1 2 3
3 −1 −2
1 −3 2

 ;
6. Elimine a quarta coluna e a segunda linha da matriz A obtendo a matriz
A24 =


1 2 4
3 −1 7
1 −3 6

 ;
7. O determinante da matriz A e´ dado por: |A| = a21 · (−1)
2+1 · |A21|+ a22 · (−1)
2+2 ·
|A22|+ a23 · (−1)
2+3 · |A23|+ a24 · (−1)
2+4 · |A24| = 1 · (−1) · |A21|+ 0 · (1) · |A22|+
0 · (−1) · |A23|+ 0 · (1) · |A24| = −131.
2 Propriedades dos determinantes
Proposic¸a˜o 1 Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz sa˜o todos
nulos enta˜o o determinante da matriz e´ igual a zero.
Prova. Seja An = (aij)n uma matriz quadrada de ordem n. Suponhamos que a i−e´sima
linha dessa matriz tenha todos os elemntos igual a zero, isto e´, ai1 = ai2 = . . . = ain = 0.
Utilizando o Me´todo de Laplace por essa linha obtemos: detA = 0 ·Ai1+0 ·Ai2+
· · ·+ 0 · Ain = 0.
4
Se fixa´ssemos uma coluna ao inve´s de uma linha a prova seria ana´loga, desse
modo o resultado tambe´m e´ verificado para o caso de uma coluna nula. �
Proposic¸a˜o 2 (Produto de linha ou coluna por constante) Se multiplicarmos uma
linha (ou coluna) de uma matriz A = (aij) por uma constante k enta˜o o determinante da
matriz fica multiplicado por essa constante.
Prova. Com efeito se
A =


a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
ai1 ai2 . . . ain
...
...
...
...
an1 an2 . . . ann


,
multiplicndo a i−e´sima linha da matriz A pela constante k obtemos a matriz
A′ =


a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
kai1 kai2 . . . kain
...
...
...
...
an1 an2 . . . ann


.
Fixando a i−e´sima linha da matriz A′ e aplicando o Me´todo de Laplace obtemos:
det(A′) = kai1·Ai1+kai2·Ai2+· · ·+kain·Ain = k(ai1·Ai1+ai2·Ai2+· · ·+ain·Ain) =
k · detA. Se fixa´ssemos uma coluna ao inve´s de uma linha a prova seria ana´loga, desse
modo o resultado tambe´m e´ verificado para o caso de uma coluna ser multiplicada pela
constante. �
Exemplo 7 Note que ∣∣∣∣∣∣∣
1 2 7
1 5 2
0 2 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 31,
para calcularmos o ∣∣∣∣∣∣∣
7 14 49
1 5 2
0 2 7
∣∣∣∣∣∣∣ ,
pela proriedade anterior, basta observar que a primeira linha da matriz e´ 7 vezes a primeira
linha da matriz anterior, assim
∣∣∣∣∣∣∣
7 14 49
1 5 2
0 2 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 7 · 31 = 127.
5
Exemplo 8 A Proposic¸a˜o 2, tambe´m pode ser utilizada pra reduzir o tamanho dos ca´lculos
do determinante de uma matriz. Com efeito vamos calcular
∣∣∣∣∣∣∣
5 7 2
10 28 8
15 7 16
∣∣∣∣∣∣∣ .
Note que:∣∣∣∣∣∣∣
5 7 2
10 28 8
15 7 16
∣∣∣∣∣∣∣ = 5
∣∣∣∣∣∣∣
1 7 2
2 28 8
3 7 16
∣∣∣∣∣∣∣ = 5 · 2
∣∣∣∣∣∣∣
1 7 2
1 14 4
3 7 16
∣∣∣∣∣∣∣ = 5 · 2 · 7
∣∣∣∣∣∣∣
1 1 2
1 2 4
3 1 16
∣∣∣∣∣∣∣
= 5 · 2 · 7 · 2
∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1
1 2 2
3 1 8
∣∣∣∣∣∣∣ = 5 · 2 · 7 · 2 · 7 = 980.
Proposic¸a˜o 3 (Troca de linhas ou colunas paralelas) Se torcarmos as linhas (ou
colunas) paralelas de uma matriz A enta˜o teremos uma nova matriz A′;
detA = −detA′.
Exemplo 9 Se ∣∣∣∣∣ 3 47 2
∣∣∣∣∣ = −28 + 6 = −22,
enta˜o, pela Proposic¸a˜o 3, ∣∣∣∣∣7 23 4
∣∣∣∣∣ = 22.
Proposic¸a˜o 4 (Linhas ou colunas iguais) Se uma matriz A possui linhas (ou colu-
nas) iguais enta˜o detA = 0.
Exemplo 10 De fato, pela Proposic¸a˜o 4,
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 5 2 1 4 5
1 3 2 1 2 6
1 4 2 1 1 7
1 2 4 1 4 8
1 3 7 1 0 9
1 1 6 1 0 9
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0
pois a coluna 1 e´ igual a coluna 4.
Exemplo 11 Pela Proposic¸a˜o 4,
∣∣∣∣∣∣∣
a b c
1 2 3
a b c
∣∣∣∣∣∣∣ = 0,
6
pois a linha 1 e´ igual a linha 3.
Proposic¸a˜o 5 (Linhas ou colunas proporcionais) Se as linhas (ou colunas) de uma
matriz A sa˜o proporcionais, enta˜o detA = 0.
Exemplo 12 Pela Proposic¸a˜o 5,
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a a + b e a2ba
b e e a2bb
c d2 a a2bc
d f e a2bd
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0,
pois a coluna 4 e´ a2b a coluna 1.
Proposic¸a˜o 6 Se a matriz quadrada A e´ da forma:
A =


a11 a12 . . . b1j + c1j . . . a1n
a21 a22 . . . b2j + c2j . . . a2n
...
...
...
...
...
...
an1 an2 . . . bnj + cnj . . . ann

 ,
enta˜o teremos:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . b1j + c1j . . . a1n
a21 a22 . . . b2j + c2j . . . a2n
...
...
...
...
...
...
an1 an2 . . . bnj + cnj . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . b1j . . . a1n
a21 a22 . . . b2j . . . a2n
...
...
...
...
...
...
an1 an2 . . . bnj . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . c1j . . . a1n
a21 a22 . . . c2j . . . a2n
...
...
...
...
...
...
an1 an2 . . . cnj . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
O resultado e´ ana´logo se ao inve´s de uma coluna tive´ssemos uma linha.
Exemplo 13 Se ∣∣∣∣∣∣∣
x a m
y c n
z e p
∣∣∣∣∣∣∣ = 5 e
∣∣∣∣∣∣∣
x b m
y d n
z f p
∣∣∣∣∣∣∣ = 3,
calcule ∣∣∣∣∣∣∣
x a+ b m
y c+ d n
z e + f p
∣∣∣∣∣∣∣ .
De fato, pela Proposic¸a˜o 6
∣∣∣∣∣∣∣
x a+ b m
y c+ d n
z e + f p
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣
x b m
y d n
z f p
∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣
x a m
y c n
z e p
∣∣∣∣∣∣∣ = 3 + 5 = 8.
7
Proposic¸a˜o 7 Se uma linha (ou coluna) da matriz A e´ a soma de outras linhas (ou
colunas) da matriz previamente multiplicadas por uma constante enta˜o o detA = 0.
Exemplo 14 Note que na matriz
A =


1 2 3 1
3 3 0 −1
10 11 3 −2
1 1 0 2

 ,
a linha 3 e´ a linha 1 somada com 3 vezes a linha 2. Logo detA = 0.
Proposic¸a˜o 8 Se trocarmos uma linha (ou coluna) de uma matriz An pela linha (ou
coluna) adicionada a uma outra linha (ou coluna) previamente multiplicada por uma con-
stante, obteremos uma nova matriz A′;
detA = detA′.
Exemplo 15 Considere a matriz
A =

 1 3 54 2 7
4 1 −6


trocando a coluna 2 pela coluna 2 menos 3 vezes a coluna 1 (em s´ımbolos: C2 ↔ C2−3C1)
obtemos uma nova matriz
A′ =


1 0 5
4 −10 7
4 −11 −6

 ;
pela Proposic¸a˜o 8,
detA = 117 = detA′.
Apesar de sabermos a definic¸a˜o de matriz inversa, se prestarmos bastante atenc¸a˜o
veremos que na˜o e´ fa´cil dizer se uma matriz e´ ou na˜o invers´ıvel. Com a proposic¸a˜o abaixo
grande parte dos nossos problemas estara˜o resolvidos.
Proposic¸a˜o 9 (Determinantes e matriz inversa) Uma matriz quadrada A e´ invers´ıvel
se, e somente se |A| 6= 0.
Exemplo 16 A matriz
A =
(
1 1
3 2
)
e´ invers´ıvel, pois |A| = 2− 3 = −1 6= 0.
8
Proposic¸a˜o 10 Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Enta˜o
det (A · B) = detA · detB.
Uma da consequeˆncias mais importantes da propriedade anterior e´ a seguinte
proposic¸a˜o:
Proposic¸a˜o 11 Se a matriz quadrada A de ordem n e´ invers´ıvel, enta˜o
detA−1 =
1
detA
.
Prova. Se A e´ invers´ıvel, enta˜o A · A−1 = I (onde I e´ a matriz identidade de ordem n).
Aplicando o determinante em ambos os lados da igualdade, temos
det (A · A−1) = det I.
Pela Propriedade 10,
detA · detA−1 = det I.
Ale´m disso, prova-se que , det I = 1. Logo, como detA 6= 0 (Proposic¸a˜o 9), temos
detA−1 =
1
detA
.
�
Exemplo 17 Seja a ∈ R e considere as matrizes reais de ordem 2.
A =
(
3a −1
−1 3a
)
e B =
(
7a−1 8a−3
7 2−3
)
.
O produto AB sera´ invers´ıvel se e somente se:
(a) a2 − 5a + 6 6= 0
(b) a2 − 3a 6= 0
(c) a2 − 2a 6= 0
(d) a2 − 5a 6= 0
(e) a2 − 2a+ 1 6= 0
Com efeito, para que AB seja invers´ıvel, e´ necessa´rio e suficiente que detAB 6= 0. Para
resolver a questa˜o, poder´ıamos calcular o produto de A por B e em seguida analisar
para quais valores de a o detAB 6= 0. Pore´m, esse e´ um caminho um pouco a´rduo em
comparac¸a˜o ao que vamos sugerir a seguir. Pela Proposic¸a˜o 10, temos que
detAB = detA · detB.
9
Assim detAB 6= 0 se, e somente se detA ·detB 6= 0, isto e´, detA 6= 0 e detB 6= 0. Desse
modo, vamos calcular |A| e |B|:
∣∣∣∣∣ 3
a −1
−1 3a
∣∣∣∣∣ = 32a − 1
∣∣∣∣∣ 7
a−1 8a−3
7 2−3
∣∣∣∣∣ = 2−37a−1 − 8a−37
Logo, |A| 6= 0 ⇔ 32a − 1 6= 0 ⇔ a 6= 0. Analogamente, |B| 6= 0 ⇔ 2−37a−1 −
8a−37 6= 0:
(2−37a−1 − 8a−37 6= 0) · 8
(7a−1 − 8a−27 6= 0) · 7
7a − 728a−2 6= 0
7a
8a
6=
72
82
a 6= 2
Note que a2 − 2a 6= 0⇔ a 6= 0 e a 6= 2. Resposta letra (c).
Refereˆncias
IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Fundamentos de matema´tica elementar: sequeˆncias,
matrizes, determinantes, sistemas. 7 ed. Sa˜o Paulo: Atual, 2004.
LIPSCHUTZ, Seymour. A´lgebra Linear. Sa˜o Paulo: Makron Books, 1994.
10