Introdução à Ciência e Tecnologia dos Materiais - A estrutura dos sólidos cristalinos

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Introdução à Ciência e 
Tecnologia dos Materiais
A estrutura dos sólidos 
cristalinos
Cursos de Graduação em Engenharia de 
Produção e Engenharia Mecânica
Amostra de estanho branco (TCC) à esquerda e de estanho cinza (cúbica com 
ligações covalentes) à direita, após ser resfriada abaixo de 13,2ºC. 
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Por que estudar?
� As propriedades de alguns materiais estão diretamente 
relacionadas às suas estruturas cristalinas.
Ex.: Mg e Be são muito mais frágeis do que Au e Ag.
� Propriedades de materiais cristalinos e não cristalinos são 
extremamente diferentes.
Ex.: cerâmicas e polímeros não-cristalinos são opticamente 
transparentes. Na forma cristalina tendem a ser opacos.
Conceitos fundamentais
Quando os átomos se ligam, eles ocupam posições no 
espaço. Dependendo do tipo da ligação, podem-se formar 
substâncias com tamanhos e formas diferentes.
� Exemplo 1: A ligação covalente restringe a formação de 
compostos com muitos átomos, raramente formando cristais. A 
probabilidade maior é a formação de compostos em cadeias, como 
nos polímeros ou pequenas moléculas discretas, como nos líquidos 
e gases.
� Exemplo 2: Os metais tendem a formar compostos de muitos 
átomos organizados espacialmente em um arranjo de átomos 
repetitivo.
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Conceitos fundamentais
� Material cristalino: é aquele em que os átomos estão 
posicionados em um arranjo periódico ou repetitivo ao longo 
de grandes distâncias atômicas.
� Na solidificação, os átomos vão se posicionar em um padrão 
tridimensional repetitivo.
� Todos os metais, muitos materiais cerâmicos e certos 
polímeros formam estruturas cristalinas sob condições 
normais de solidificação.
Ordem x Longo alcance
� Estrutura não ordenada: os átomos ou moléculas estão 
randomicamente distribuídos. Ex.: gases nobres.
� Ordem de curto alcance: os átomos ou moléculas só
estão ordenados com os vizinhos mais próximos. Ex.: 
materiais amorfos.
� Ordem de longo alcance: átomos ou moléculas estão 
organizados em um arranjo repetitivo ou estrutura. Ex.: 
materiais cristalinos.
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Conceitos fundamentais
� Materiais que não se cristalizam: materiais não 
cristalinos ou amorfos (não existe ordem de 
longo alcance).
� Algumas das propriedades dos sólidos cristalinos 
dependem da estrutura cristalina do material, 
ou seja, da maneira segundo a qual os átomos, 
moléculas ou íons estão arranjados.
Estrutura cristalina
� Utiliza o modelo atômico da esfera rígida: átomos são 
considerados como esferas sólidas com diâmetros bem 
definidos.
Sólido metálico Sólido iônico Sólido covalente
CCC
Cloreto de sódio Diamante
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Estrutura cristalina
� Há um grande número de estruturas cristalinas, 
desde as mais simples (como nos metais) até as 
excessivamente complexas, como no caso de 
alguns materiais cerâmicos e poliméricos.
� Algumas vezes usamos o termo rede cristalina: 
significa um arranjo tridimensional de pontos que 
coincidem com as posições dos átomos.
Célula unitária
� Consiste no menor arranjo de 
átomos possível que, através 
de sua repetição, representa 
a estrutura cristalina de um 
material.
� Define, de acordo com sua 
geometria e a posição dos 
átomos em seu interior, a 
estrutura cristalina.
Representação da célula unitária por meio 
de esferas rígidas
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Célula unitária
� Uma célula unitária é escolhida para representar 
a simetria da estrutura cristalina, onde todas as 
posições dos átomos no cristal podem ser 
geradas por translações de comprimentos inteiros 
da célula unitária ao longo de cada uma de suas 
arestas.
Estrutura cristalina dos metais
� Ligação não direcional: resulta em mínimas restrições em 
relação à quantidade e à posição dos átomos vizinhos mais 
próximos.
� Resultado: números elevados de vizinhos e 
empacotamentos compactos dos átomos para a maioria das 
estruturas cristalinas dos metais.
� Três estruturas cristalinas são encontradas para a maioria 
dos metais comuns: cúbica de corpo centrado, cúbica de 
faces centradas e hexagonal compacta.
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Sistemas cristalinos
� Apresentam as estruturas cristalinas divididas em 
grupos, de acordo com a geometria de suas 
células unitárias.
� Nesse arranjo é estabelecido um sistema de 
coordenadas x, y e z que tem a sua origem 
localizada em um dos vértices da célula unitária.
Sistemas cristalinos
� Cada um dos eixos coincide com uma das três arestas da 
célula que se origina a partir desse vértice.
Parâmetros de rede
(definem a geometria da célula unitária)
- a, b e c
- α, β e γ
� Existem 7 combinações 
diferentes dos parâmetros de 
rede, cada uma representando um 
sistema cristalino diferente.
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Sistemas cristalinos
Sistemas cristalinos
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Sistemas cristalinos
� Dos 7 sistemas cristalinos, podemos identificar 
14 tipos diferentes de células unitárias, 
conhecidas com redes de Bravais.
� Cada uma destas células unitárias tem certas 
características que ajudam a diferenciá-las das 
outras células unitárias. Além do mais, estas 
características também auxiliam na definição das 
propriedades de um material particular.
Sistemas cristalinos
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Sistemas cristalinos
90% dos metais se cristalizam em uma dessas 3 
estruturas na solidificação:
Cúbico de corpo 
centrado (CCC)
Cúbico de face 
centrada (CFC)
Hexagonal compacta 
(HC)
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O sistema cúbico
� a = b = c e α = β = γ = 90º
� É o sistema com maior grau de simetria.
� Os átomos podem se agrupar neste sistema de 3 
formas diferentes:
� Cúbico simples
� Cúbico de corpo centrado
� Cúbico de face centrada
O Sistema cúbico
Cúbico simples (CS)
Cúbico de corpo 
centrado (CCC)
Cúbico de face 
centrada (CFC)
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Fator de empacotamento
� O fator de empacotamento mede a fração de espaço da rede que 
é efetivamente ocupada pelos átomos.
� É independente do tamanho do átomo, se apenas um tamanho 
está presente.
� Volume da célula unitária: Vc = a3
� Volume do átomo: 
Número de coordenação
� O número de coordenação corresponde ao 
número de vizinhos mais próximos, ou seja, 
corresponde ao número de átomos em contato.
� Nos metais, cada átomo possui o mesmo número 
de vizinhos mais próximos.
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Estrutura cúbica simples (CS)
� Apenas 1/8 de cada 
átomo cai dentro da célula 
unitária, ou seja, a célula 
unitária contém apenas 1 
átomo.
� Essa é a razão pela qual 
os metais não cristalizam 
na estrutura CS (devido 
ao baixo empacotamento 
atômico).
Modelo de esferas rígidas
Modelo de esferas reduzidas
Estrutura cúbica simples (CS)
Os átomos se 
tocam ao longo 
das arestas
a = 2r
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Estrutura cúbica simples (CS)
� Número de coordenação: 6
� Fator de empacotamento = 0,52
- Nº de átomos por célula: 1
- Volume dos átomos na célula: 
- Volume da célula unitária: 
Vc = a3 = (2r)3 = 8r3
Estrutura cúbica simples (CS)
1/8 do átomo
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A estrutura cúbica de corpo centrado (CCC)
� 1/8 átomo localizado 
em cada um dos 8 
vértices do cubo e 1 
átomo no centro.
� O átomo do centro 
pertence somente a 
sua célula unitária.
� Exemplos: Cr, Fe, W.
Modelo de esferas rígidas
Modelo de esferas reduzidas
A estrutura cúbica de corpo centrado (CCC)
� Os átomos no centro e nos vértices se tocam ao longo das 
diagonais do cubo.
Diagonal do cubo = 4r = a(3)½
333
4r
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A estrutura cúbica de corpo centrado (CCC)
� Número de átomos por célula unitária: 2
� Número de coordenação: 8
� Fator de empacotamento: 0,68
http://www.e-agps.info/angelus/cap1/cccdinamica.htm
Exemplo (Exercício 3.5)
� Mostre que o fator de empacotamento atômico 
para a estrutura cristalina CCC vale 0,68.
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A estruturacúbica de faces centradas (CFC)
� Os átomos estão localizados 
em cada um dos vértices e 
nos centros de cada face.
� Exemplos: Cu, Al, Ni, Au, 
Ag.
Modelo de esferas rígidas
Modelo de esferas reduzidas
A estrutura cúbica de faces centradas (CFC)
� 1/8 em cada vértice: 1 átomo
� ½ em cada face = ½.6 = 3 átomos
Total: 4 átomos 
por célula
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A estrutura cúbica de faces centradas (CFC)
� Os átomos se tocam ao longo 
da diagonal da face da célula 
unitária.
� FEA = 0,74 (mais eficiente)
� Número de coordenação = 12
d = a(2)½ = 4r 
Exemplos 3.1 e 3.2
� Calcule o volume de uma célula unitária CFC em 
termos do raio atômico r.
� Mostre que o fator de empacotamento atômico 
para a estrutura cristalina CFC é 0,74.
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Exemplo (Exercício 3.2)
� Se o raio atômico do chumbo (CFC) vale 0,175 
nm, calcule o volume de sua célula unitária em 
metros cúbicos.
A estrutura hexagonal compacta (HC)
� As faces superior e inferior da célula 
unitária são compostas por 6 
átomos que formam hexágonos 
regulares e que estão ao redor de 
um único átomo central.
� Há também outro plano que 
contribui com 3 átomos para a 
célula unitária, entre os planos 
superior e inferior.
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A estrutura hexagonal compacta (HC)
Exemplos: Cd, Mg, Ti, Zn.
A estrutura hexagonal compacta (HC)
� Número de coordenação: 12 
� Fator de empacotamento atômico = 0,74
� Número de átomos na célula = 6
- 1/6 em cada vértice do hexágono: 2
- ½ em dos átomos no centro de cada hexágono: 1
- 3 átomos no plano intermediário
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A estrutura hexagonal compacta (HC)
� Cálculo do volume da célula unitária HC
Vc = Área do hexágono x altura
Área do hexágono = 6 x área do triângulo equilátero
a
a
a
Área do triângulo equilátero = [a2(3)½]/4
Área do hexágono = 6 [a2(3)½]/4
Altura = c
Vc = 3c [a2(3)½]/2
Exercício 3.6
� Mostre que o fator de empacotamento atômico 
para a estrutura cristalina HC vale 0,74.
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Sistemas cristalinos mais comuns
a = 2ra = 2r(2)½a = 4r/(3)½Relação entre a e r
12128Número de 
coordenação
0,740,740,68Fator de 
empacotamento 
atômico
642Número de átomos 
por célula
HCCFCCCC
Cálculos da densidade
� O conhecimento da estrutura cristalina de um 
sólido metálico permite o cálculo da sua massa 
específica teórica (ρ).
- N = número de átomos na célula unitária
- A = peso atômico
- Vc = volume da célula unitária
- NA = número de Avogrado (6,023x1023
átomos/mol)
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Exemplo 3.3
� O cobre possui um raio atômico de 0,128 nm, 
uma estrutura cristalina CFC e um peso atômico 
de 63,5 g/mol. Calcule a sua massa específica e 
compare com a sua massa específica medida.
Exercício 3.9 
� Calcule o raio de um átomo de tântalo, sabendo 
que o Ta possui uma estrutura cristalina CCC, 
uma massa específica de 16,6 g/cm3 e um peso 
atômico de 180,9 g/mol.
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Exercício 3.10
� Algum metal hipotético possui a estrutura cúbica 
simples que está mostrada na figura abaixo. Se o 
seu peso atômico vale 74,5 g/mol e o raio 
atômico 0,145 nm, calcule sua massa específica.
Exercício 3.13
� O nióbio possui um raio atômico de 0,1430 nm e 
uma massa específica de 8,57 g/cm3. Determine 
se ele possui uma estrutura cristalina CFC ou 
CCC.
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Polimorfismo e alotropia
� Polimorfismo: caracteriza o fenômeno que alguns metais 
apresentam de possuir mais do que uma estrutura cristalina, 
dependendo da temperatura e da pressão externa.
� Alotropia: corresponde à condição de polimorfismo 
encontrada em sólidos elementares.
� Na maioria das vezes, uma transformação polimórfica é
acompanha de mudanças na massa específica e em outras 
propriedades físicas.
Polimorfismo e alotropia
� Exemplo 1: Carbono
Diamante
Grafita
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Polimorfismo e alotropia
� Exemplo 2: Estanho (primeiro slide)
Estanho branco (β): 
estrutura tetragonal de 
corpo centrado (TCC)
Estanho cinza (α): 
estrutura cúbica 
semelhante à do diamante
Expansão do 
volume
Redução da 
densidade
Polimorfismo e alotropia
Doença do estanho 
Tudo por causa de um botão...
Rússia, 1850
“Estavam os homens de Napoleão, quando os 
botões de seus uniformes se desintegraram, tão 
debilitados e gélidos que não tinham mais 
condições de atuar como soldados. Na falta de 
botões, passaram a ter de usar as mãos para 
prender e segurar as roupas e não mais para 
carregar as armas.”
Fonte: Os Botões de Napoleão: as 17 moléculas que 
mudaram a história / Penny Le Couteur. 
O exército de Napoleão usava uniformes cujos botões eram feitos de 
estanho. No rigoroso inverno, os botões se esmigalharam devido às 
condições extremamente frias.
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Polimorfismo e alotropia
Machined piece at -40°C. 1 second of video correspond 1 hour of real time. 
Fonte: http://www.periodictable.ru/050Sn/Sn_en.html
Polimorfismo e alotropia
� Exemplo 3: Ferro
Temperatura ambiente: 
CCC (ferrita α)
Magnética
Acima de 912ºC: CFC 
(austenita)
Não-magnética
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Pontos, direções e planos cristalográficos
� Frequentemente, torna-se necessário identificar uma 
direção (linha de átomos) ou plano particular no interior de 
uma célula unitária.
� Várias propriedades dos materiais dependem da direção na 
qual são medidas.
� Por convenção, 3 números inteiros (índices) são usados 
para determinar a localização destes, utilizando como base 
a célula unitária com um dos vértices posicionados na 
origem de um sistema de coordenadas tridimensionais.
Pontos, direções e planos cristalográficos
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Direções cristalográficas
� Consiste em uma linha entre dois pontos ou um vetor.
� Um vetor com comprimento conveniente é posicionado tal que ele 
passe através da origem do sistema de coordenadas.
� Os comprimentos das projeções do vetor sobre cada um dos 3 
eixos são medidos em termos das dimensões da célula unitária
(a,b,c).
� Esses três números são multiplicados ou divididos por um fator 
comum, para reduzi-los aos menores números inteiros.
� Os 3 índices não são separados por vírgulas, são colocados entre 
colchetes: [uvw]
Direções cristalográficas
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Direções cristalográficas
� Índices negativos também são possíveis e são 
representados pela colocação de uma barra sobre o índice 
apropriado.
Exemplo: teria uma componente na direção –y.
� Nos cristais cúbicos, a mudança dos sinais de todos os 
índices produz uma direção anti-paralela.
Exemplo: a direção é diretamente oposta à direção
.
Exemplo 3.6
� Determine os índices para a direção mostrada 
abaixo.
[120]Direção
021Redução
01½
0cba/2 Projeções
zyx
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Direções cristalográficas
[112]1½½6
[120]01½5
[111]1114
[101]1013
[010]0102
[100]0011
[uvw]zyxDireção
Com base nas interseções dos vetores com a célula unitária:
Direções cristalográficas
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Direções cristalográficas
Direções cristalográficas
� Para algumas estruturas cristalinas, várias 
direções não-paralelas com índices diferentes são 
equivalentes (o espaçamento dos átomos ao 
longo das direções é o mesmo).
� Por conveniência, as direções equivalentes são 
agrupadas em uma família, que é representada 
entre colchetes angulados: <100>
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Planos Cristalográficos
Planos Cristalográficos
� São representados de maneira similar às 
direções.
� Em todos os sistemas cristalinos, com exceção do 
sistema hexagonal, os planos cristalográficos são 
especificados por 3 Índices de Miller como 
(hkl).
� Planos paralelos entre si são equivalentes e 
possuem índices idênticos.
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Planos Cristalográficos
1 - Se o plano passa pela origem, outro plano paralelo deve 
ser construído no interior da célula unitária ou umanova 
origem deve ser estabelecida no vértice de outra célula 
unitária. Feito isso, o plano interceptará cada um dos três 
eixos ou será paralelo a algum dos eixos.
2 – Determinam-se as interseções do plano com x, y e z.
3 – Calcula-se o inverso das interseções obtidas.
4 – Se necessário, esses números são modificados para o 
conjunto de menores números inteiros.
5 – Os índices inteiros são colocados entre parênteses: (hkl).
Procedimento para determinação dos Índices de Miller
Exemplo 3.9
� Determine os índices de Miller para o plano 
mostrado na figura abaixo.
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Planos Cristalográficos
� Planos cristalinos de mesmo índice, mas pertencentes a 
diferentes estruturas possuem geralmente arranjos 
atômicos diferentes.
Planos cristalinos 
de mesmo índice 
(110) para as 
estruturas (a) 
CFC e (b) CCC.
(a)
(b)
Planos Cristalográficos
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Exemplo
� Construa um plano (011) no interior de uma 
célula cúbica.
Planos Cristalográficos
� Uma família de planos contém planos cristalograficamente 
equivalentes (com o mesmo empacotamento atômico) e é
representada por índices entre chaves: {100}.
� No sistema cúbico, os planos que possuem os mesmos 
índices, independentemente da sua ordem ou sinal, são 
equivalentes.
Exemplos: e pertencem à família . 
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Estruturas Cristalinas Compactas
� As estruturas mais compactas CFC e HC 
(FEA=0,74) podem ser descritas em termos de 
planos compactos de átomos.
� Ambas as estruturas podem ser geradas pelo 
empilhamento destes planos compactos uns 
sobre os outros.
� A diferença entre as duas estruturas consiste na 
sequência de empilhamento. 
Estruturas Cristalinas Compactas
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Estruturas Cristalinas Compactas
Sequência ABABABAB...
Estrututura: HC
Plano mais compacto: (0001)
Sequência ABCABCABC...
Estrututura: CFC
Plano mais compacto: (111)
Materiais monocristalinos
� São materiais sólidos cujo arranjo periódico dos átomos é
perfeito ou se estende ao longo da totalidade da amostra.
� Todas as células unitárias se interligam da mesma maneira 
e possuem a mesma orientação.
� Existem na natureza, mas também podem ser produzidos 
artificialmente, porém é difícil crescê-los (o ambiente deve 
ser cuidadosamente controlado).
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Materiais monocristalinos
Fotografia de um monocristal de granada que foi encontrado em 
Tongbei, na Província de Fujian, China.
Materiais Policristalinos
� A maioria dos sólidos cristalinos é composta por um 
conjunto de cristais muito pequenos, chamados de grãos.
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Materiais Policristalinos – Estágios da 
solidificação
� Estágio a: pequenos cristais ou núcleos se formam em 
várias posições, com orientações cristalográficas aleatórias.
� Estágio b: crescimento dos grãos pela adição de átomos 
oriundos do líquido vizinho.
Materiais Policristalinos – Estágios da 
solidificação
� Estágio c: fim do processo de solidificação. As extremidades 
dos grãos adjacentes interferem umas nas outras, com 
algum desalinhamento dos átomos na região onde dois 
grãos se encontram (contorno de grão).
� d: estrutura granular esquemática vista em microscópio. 
Linhas escuras representam os contornos de grão.
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Anisotropia
� Consiste na direcionalidade das propriedades físicas, ou 
seja, na variação das propriedades de acordo com as 
direções cristalográficas.
� A anisotropia está associada à variação do espaçamento 
atômico ou iônico em função da direção cristalográfica.
� O grau de anisotropia aumenta com a diminuição da 
simetria da estrutura cristalina. Estruturas triclínicas, por 
exemplo, são, em geral, altamente anisotrópicas.
Anisotropia
Valores do módulo de elasticidade para vários materiais em 
várias orientações cristalográficas.
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Anisotropia
� Nos materiais policristalinos, apesar de cada grão 
ser anisotrópico, uma amostra composta pelo 
agregado de grãos se comporta de maneira 
isotrópica.
� Neste caso, o valor medido de uma propriedade 
representa uma média dos valores direcionais.
Anisotropia
� Dizemos que o material possui uma textura 
quando os grãos possuem uma orientação 
cristalográfica preferencial.
Aço laminado a frio com 
grãos orientados.
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Referências
� Callister Jr, W.D. (2008) Ciência e Engenharia de 
Materiais: Uma Introdução. 7a ed. Rio de Janeiro. 
LTC Editora. 705 p.
� Van Vlack, Lawrence H. Princípios de ciência dos 
materiais. Tradução de Luiz Paulo Camargo 
Ferrão. São Paulo: Edgard Blücher, 2004. 427p.