Medições e Incertezas em Laboratório de Física

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO - UERJ
FACULDADE DE TECNOLOGIA/DMFC - CAˆMPUS RESENDE • LABORATO´RIO DE FI´SICA I
ROTEIRO 1 - INSTRUMENTOS, MEDIDAS E INCERTEZAS
I. OBJETIVO
• Aprender a utilizar instrumentos de precisa˜o, tais
como o paqu´ımetro e o microˆmetro, analisando as
suas incertezas.;
• Fazer medidas diretas de comprimento e massas de
pec¸as meta´licas;
• Fazer medidas indiretas de volume e densidade de
objetos esfe´ricos e cil´ındricos;
• Utilizar a teoria de erros para calcular corretamente
a incerteza no valor do volume e da densidade.
II. INTRODUC¸A˜O
Em cieˆncias exatas, precisamos frequentemente fazer
uma medic¸a˜o. Em qualquer medida de uma grandeza
f´ısica ha´ sempre a presenc¸a de fatores aleato´rios que
introduzem erros nas medic¸o˜es. Cabe ao pesquisa-
dor determinar as principais fontes de erros durante
a medic¸a˜o e reduzir ao ma´ximo a sua importaˆncia.
Por exemplo, ao se realizar medic¸a˜o de massa com
uma balanc¸a, as correntes de ar ou vibrac¸o˜es podem
alterar o valor real da massa de um objeto. Con-
tudo, esses dois fatores espec´ıficos podem ser redu-
zidos ou praticamente eliminados colocando-se a ba-
lanc¸a numa mesa a prova de vibrac¸o˜es e protegendo-
se a balanc¸a em uma caixa de vidro ou mesmo em
va´cuo quando se desejar alta precisa˜o.
Nesta pra´tica laboratorial sera˜o apresentados os con-
ceitos fundamentais do processo de medida, que sa˜o
aplicados em todo tipo de experimentos ou ensaios de
laborato´rio, e sera˜o mostrados os crite´rios utilizados
para apresentar os resultados obtidos.
II.A MEDIDAS DIRETAS E INDIRETAS
Nas medidas diretas, o valor nume´rico atribu´ıdo a`
grandeza F´ısica e´ lido diretamente da escala do ins-
trumento. Podemos citar como exemplos o compri-
mento medido com uma re´gua, o tempo medido com
um cronoˆmetro ou a corrente ele´trica medida com
amper´ımetro.
Nas medidas indiretas, a grandeza resulta de um
ca´lculo realizado com valores de grandezas medidas
diretamente. Por exemplo, o volume de um objeto
pode ser medido indiretamente, a partir das medidas
diretas de suas dimenso˜es com re´gua ou paqu´ımetro.
A maioria das grandezas f´ısicas e´ medida indireta-
mente.
II.B PRECISA˜O DOS INSTRUMENTOS
Ao utilizar instrumentos de medida direta, temos que
saber identificar a precisa˜o dos valores observados e
utilizar instrumentos “adequados”.
• Em instrumentos com escalas de comparac¸a˜o ou
ponteiros de agulha (re´guas, trenas, paqu´ımetros, ba-
lanc¸as analo´gicas, veloc´ımetro, etc...) a ma´xima pre-
cisa˜o pode ser identificada como a metade da mı´nima
divisa˜o da escala que o observador e´ capaz de me-
dir. Por exemplo, em uma re´gua, com a menor escala
sendo 1mm, a precisa˜o na medida de um objeto seria
de 0, 5mm.
• Quando for utilizado um instrumento digital, a pre-
cisa˜o e´ sempre a u´ltima casa decimal mostrada.
II.C ERROS DE MEDIDA
Como todo processo de medida possui uma incerteza
intr´ınseca, chamada comumente de erro, nunca sabe-
remos dizer se o valor que foi medido e´ exatamente o
verdadeiro. Para saber avaliar de que ordem e´ o erro,
1
devemos notar que existem treˆs fontes fundamentais
de erro:
• Erros Grosseiros: sa˜o cometidos por imper´ıcia do
operador, como por exemplo em erros de leitura ou
pelo pro´prio desconhecimento do me´todo experimen-
tal ou do uso dos instrumentos.
• Erros Sistema´ticos: sa˜o cometidos de forma
ideˆntica durante o experimento, tipicamente cau-
sados por uma limitac¸a˜o do me´todo de medida, do
uso de fo´rmulas teo´ricas aproximadas, ma´ calibrac¸a˜o
ou ate´ mesmo mal funcionamento dos instrumentos
utilizados. Esse tipo de erro torna o valor da medida
menos exato, embora em alguns casos possa ser bas-
tante preciso.
• Erros Estat´ısticos (Acidentais): estes sa˜o os er-
ros mais importantes de analisar. Sa˜o causados por
mudanc¸as aleato´rias, na˜o controladas, nas condic¸o˜es
do processo de medida incluindo o operador, os ins-
trumentos, o ambiente do experimento e o pro´prio
sistema f´ısico. Estes erros sa˜o inevita´veis, mas pela
sua natureza aleato´ria e´ poss´ıvel definir estrate´gias
experimentais para minimiza´-los e para estimar o
quanto influenciam na confiabilidade do resultado
nume´rico.
II.D INCERTEZA NA MEDIDAS DIRETAS
Na˜o existem resultados experimentais sem incerteza,
enta˜o, nunca deixe valores medidos sem a sua res-
pectiva incerteza. Para se reduzir erros realizados
durante uma medida, costumamos fazer uma se´rie de
N medidas. Estes valores observados xi sa˜o utiliza-
dos para estimar o valor verdadeiro da grandeza f´ısica
atrave´s do ca´lculo do valor me´dio
x¯ =
1
N
N∑
i=1
xi (1)
enquanto que a melhor estimativa para o erro es-
tat´ıstico e´ obtida pelo ca´lculo do desvio-padra˜o le-
vando a
σest =
√√√√ 1
N (N − 1)
N∑
i=1
(xi − x¯)2 . (2)
Os experimentos de maior precisa˜o sa˜o aqueles onde o
erro estat´ıstico e´ o menor poss´ıvel. Contudo, um ex-
perimento bastante preciso na˜o necessariamente cor-
responde a um experimento com muita exatida˜o: a
presenc¸a de erros sistema´ticos pode afastar todos os
valores de xi do valor verdadeiro. Observe que na ex-
pressa˜o (2), o erro estat´ıstico depende inversamente
do nu´mero de medidas N e, portanto, tende a ser
reduzido quando N aumenta. Este comportamento
pareceria indicar que podemos aumentar a precisa˜o
do experimento sem limites, simplesmente repetindo
as medidas, o que e´ falso. Temos sempre que lem-
brar que a precisa˜o da medida esta´ limitada pela
precisa˜o dos pro´prios instrumentos. Portanto, preci-
samos tambe´m considerar o erro sistema´tico dos ins-
trumentos
σsist = ∆inst . (3)
Finalmente, a incerteza em uma medida direta deve
ser sempre calculada pela seguinte fo´rmula
σ =
√
σ
2
est + σ
2
sist . (4)
Desta forma, o resultado final da mendida e´ dado por
x¯± σ.
II.E INCERTEZAS NAS MEDIDAS INDI-
RETAS
Geralmente, se a medida indireta de uma grandeza
f´ısica w e´ calculada em func¸a˜o de medidas diretas de
outras grandezas f´ısicas, ou seja,
w(x, y, z, ...) (5)
enta˜o a incerteza σw tambe´m sera´ determinada pelas
incertezas das demais grandezas σx , σy e σz. Se os
erros nas varia´veis x, y, z, ... sa˜o completamente inde-
pendentes entre si, a incerteza na medida indireta e´
obtida pela equac¸a˜o
σw =
√(
∂w
∂x
)2
σ2x +
(
∂w
∂y
)2
σ2y +
(
∂w
∂z
)2
σ2z . (6)
No caso do volume de uma pec¸a cil´ındrica, temos que
V = piR2h =
1
4
piD2h . (7)
Neste caso, iremos medir diretamente no laborato´rio
a altura h e o diaˆmetro D da pec¸a cil´ındrica. Logo, a
2
expressa˜o geral para o ca´lculo da incerteza na medida
do volume e´ dada por
σV =
√(
∂V
∂h
)2
σ
2
h +
(
∂V
∂D
)2
σ
2
D (8)
E´ facilmente verificado que as derivadas parciais sa˜o
∂V
∂h
=
1
4
piD
2
e
∂V
∂D
=
1
2
piDh (9)
e, portanto, a incerteza final na determinac¸a˜o do vo-
lume e´ dada por
σV =
√(
1
4
piD2
)2
σ
2
h +
(
1
2
piDh
)2
σ
2
D (10)
Observe que se estive´ssemos interessados no ca´lculo
da densidade volume´trica dessa pec¸a cil´ındrica,
ter´ıamos que considerar uma outra medida direta, a
massa. Para isso, considere a equac¸a˜o da densidade
ρ =
m
V
(11)
A partir da Eq.(6), verificamos que a incerteza sera´
obtida atrave´s da relac¸a˜o
σρ =
√(
∂ρ
∂m
)2
σ2m +
(
∂ρ
∂V
)2
σ
2
V (12)
onde σm e´ o erro sistema´tico da balanc¸a e σV e´ a
incerteza no volume calculada pela Eq.(8). Resta
enta˜o determinar as derivadas parciais da densidade
em func¸a˜o da massa e do volume,
∂ρ
m
=
1
V
e
∂ρ
V
= − m
V 2
(13)
e obter a expressa˜o final para a incerteza no valor da
densidade da pec¸a cil´ındrica medida
σρ =
√(
1
V
)2
σ2m +
(
− m
V 2
)2
σ
2
V (14)
II.F ALGARISMOS SIGNIFICATIVOSQuando expressamos uma medida, devemos sempre
considerar o nu´mero correto de algarismos significa-
tivos de uma medida. Definimos o algarismo signi-
ficativo como sendo a leitura de todos os algarismos
significativos de que temos certeza mais um duvidoso.
Por exemplo, se medimos um objeto com uma re´gua
graduada em mil´ımetros e obtemos 3, 8 cm, o resul-
tado da medida e´ dado por 3, 80± 0, 05 cm.
Podemos resumir as regras para definir os algarismos
significativos como segue:
• Os zeros a` esquerda do primeiro algarismo signifi-
cativo diferente de zero na˜o sa˜o significativos;
• A incerteza auxilia na determinac¸a˜o da quantidade
de algarismos significativos;
• Os zeros a` direita do primeiro algarismo significa-
tivo diferente de zero sa˜o significativos.
Exemplos:
(a) 27, 40 cm
(b) 0, 027 cm
(c) 27 cm
(d) 27, 0 cm
(e) 3, 15× 103 cm
(f) 3000 cm
(g) 0, 040 cm
(i) Represente x¯ ± σ = (0, 000463918 ± 0, 00000353)
cm
Obs: Em operac¸o˜es com algarismos significa-
tivos consideramos:
Soma e subtrac¸a˜o: Algarismos com maior in-
certeza, ou seja, menos d´ıgitos depois do
ponto decimal;
Multiplicac¸a˜o e divisa˜o: Na˜o mais algarismos
que o nu´mero com menos algarismos signifi-
cativos.
Na˜o existe uma regra muito bem definida para o
nu´mero de algarismos que devem ser indicados na in-
certeza, quando apresentada junto com a respectiva
grandeza experimental. A tendeˆncia atual e´ indicar
a incerteza com 2 algarismos, ale´m de zeros a es-
querda. Entretanto, muitos pesquisadores utilizam 1
ou 2 algarismos conforme o caso. Ao longo de todos
os experimentos feitos no laborato´rio sera˜o adotadas
as regras apresentadas abaixo. Estas regras sempre
se aplicam ao caso em que as incertezas (4) ou (6)
sa˜o escritas acompanhando a grandeza experimental.
• A incerteza deve ser dada com 2 algarismos quando
3
o primeiro algarismo for 1 ou 2.
• A incerteza pode ser dada com 1 algarismo quando
o primeiro algarismo for 3 ou maior.
II.G ARREDONDAMENTO E TRUNCA-
MENTO
Em qualquer um dos casos, a grandeza experimental
deve sempre conter o mesmo nu´mero de casas de-
cimais que a incerteza final. Para representarmos os
nu´meros com a quantidade de casas decimais adequa-
das, devemos considerar aproximac¸o˜es como segue:
• Arredondamento: 1, 23 ≈ 1, 2 → 3 < 5 e
1, 25 ≈ 1, 3→ 5 ≥ 5
• Truncamento: 1, 23 ≈ 1, 2 e 1, 25 ≈ 1, 2
Obs: E´ comum utilizarmos o erro cha-
mado percentual para comparar o valor ob-
tido experimentalmente com o valor teo´rico
previsto. E neste caso, consideramos a
definic¸a˜o:
Erro percentual =
|teorico− experimental|
teorico
× 100%
(15)
III. MATERIAL UTILIZADO
• Re´gua, Paqu´ımetro e Microˆmetro;
• Balanc¸a;
• Pec¸as Cil´ındricas e Esfe´ricas.
IV. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS
Precisa˜o do Paqu´ımetro
a. Medir as dimenso˜es de uma esfera e de um cilin-
dro, utilizando um paqu´ımetro.
b. Repetir o procedimento 5 vezes.
c. Calcular o valor me´dio das medidas obtidas.
d. Calcular o erro estat´ıstico das medidas e determi-
nar as suas respectivas incertezas.
e. Medir a massa das duas pec¸as e estimar o erro
sistema´tico associado a` balanc¸a.
f. Calcular o volume das pec¸as e determinar as res-
pectivas incertezas no volume.
g. Calcular a densidade das pec¸as e determinar a
incerteza na densidade.
Precisa˜o do Microˆmetro
Repetir todos os procedimentos anteriores, utilizando
dessa vez um microˆmetro.
V. ANA´LISE DOS RESULTADOS
Ao final das medic¸o˜es ou dos ca´lculos, fac¸a os arre-
dondamentos necessa´rios de forma a apresentar valo-
res e incertezas sempre com o mesmo nu´mero de casas
decimais. Na˜o se esquec¸a de identificar claramente
nas tabelas as unidades dos valores apresentados!
VI. ALGUNS PONTOS A SEREM DISCU-
TIDOS
• Analisando seus dados e as dificuldades encontra-
das, quais sa˜o suas concluso˜es sobre a precisa˜o e as
limitac¸o˜es das medidas realizadas com o paqu´ımetro
e o microˆmetro?
• Ficou evidente que para se ter medidas mais preci-
sas e´ necessa´rio o uso de instrumentos mais precisos?
• Comparando os seus resultados com os valores apre-
sentados na Tabela 1, e´ poss´ıvel identificar o tipo de
material das pec¸as medidas.
• Organize todos os seus resultados, separando por
tipo de pec¸as e instrumentos de medida utilizados.
Disponha-os em tabelas de acordo com o modelo pro-
posto no anexo IX deste roteiro.
VII. BIBLIOGRAFIA
[1] J.H. Vuolo, “Fundamentos da Teoria de Erro”,
Sa˜o Paulo: Edgard Blucher (1996).
[2] Texto adaptado da Apostila “Laborato´rio de
F´ısica Experimenta” da Universidade Federal do
ABC (UFABC).
[3] Texto adaptado da Apostila “Laborato´rio de
F´ısica I” do Instituto de F´ısica de Sa˜o Carlos da Uni-
versidade de Sa˜o Paulo (IFSC-USP).
[4] Texto adaptado da Apostila “Medidas diretas e
propagac¸a˜o de erros”. Roteiro para as pra´ticas de
F´ısica Teo´rica e Experimental I da Universidade Es-
tadual do Rio de Janeiro (FAT-UERJ). [5] Texto
adaptado da Apostila “Instrumento, medidas e in-
certezas”. Roteiro para as pra´ticas de F´ısica Teo´rica
e Experimental I da Universidade Estadual do Rio de
Janeiro (FAT-UERJ/2015).
VIII. APEˆNDICE
• Quando e´ necessa´rio mais precisa˜o, podemos usar
4
um paqu´ımetro, como o mostrado na Figura 1. Para
medirmos diaˆmetros externos, colocamos a pec¸a entre
as esperas (a), no caso de medidas internas usamos
as esperas (b), e para medir a profundidade de um
orif´ıcio usamos a haste (c). O cursor e´ uma pec¸a que
move as treˆs partes ao mesmo tempo, e deve ser des-
lizado ate´ que se acomode ao corpo que esta´ sendo
medido. Em geral ele possui um trava como a mar-
cada pela letra (d), que deve ser pressionada para que
o cursor possa ser deslocado.
Para fazer a leitura do comprimento, usamos uma
escala chamada vernier, que vemos em detalhe na
parte inferior direita da Figura 1. Pela posic¸a˜o do
zero vemos qual sera´ aproximadamente o valor da
medida, na figura, 1, 2 cm mais alguns cente´simos de
cent´ımetro que iremos descobrir quanto valem verifi-
cando quais dos riscos do vernier coincide com um dos
riscos da escala. Vemos que este e´ o caso do se´timo
risco, portanto a leitura e´ 1, 270± 0, 005 cm.
Caso o paqu´ımetro na˜o tenha a precisa˜o necessa´ria
podemos usar o microˆmetro (veja Figura 2). Neste
caso, posicionamos o objeto e fazemos a leitura que
no nosso caso e´ 4, 82± 0, 01 mm.
IX. Tabelas e Figuras
Tabela 1: Densidade t´ıpica de alguns materiais.
Material Densidade [g/cm3]
Alumı´nio 2, 70
Lata˜o 8, 53
Ferro 7, 87
Cobre 8, 92
Acr´ılico 1, 19
Ac¸o 7, 83
PVC r´ıgido 1, 40
Nylon 1, 12
Polietileno 0, 95
Vidro 2, 0− 2, 9
Tabela 2: Medic¸o˜es das dimenso˜es de objetos feitas com paqu´ımetro.
N Desf (±σsist)mm Dcil (±σsist)mm h (±σsist)mm mesf (±σsist) kg mcil (±σsist) kg
1
2
3
4
5
x¯
σest
σ
Roteiro de pra´tica laboratorial modificado pela prof. Silvaˆnia A. Carvalho (FAT/UERJ).
5
Tabela 3: Medic¸o˜es das dimenso˜es de objetos feitas com microˆmetro.
N Desf (±σsist)mm Dcil (±σsist)mm h (±σsist)mm mesf (±σsist) kg mcil (±σsist) kg
1
2
3
4
5
x¯
σest
σ
Tabela 4: Volume e densidade obtidos com diferentes instrumentos de medida.
Instrumento Volume [mm3] Densidade [kg/mm3]
Paqu´ımetro
Microˆmetro
(a)
(b)
(d)
(c)
Figura 1: Figura ilustrando um paqu´ımetro e a leitura do mesmo.
Figura 2: Figura ilustrando um microˆmetro e a leitura do mesmo.
6