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Relações Binárias
Vamos introduzir agora um dos conceitos mais importantes de toda a matemática: o conceito de relação entre
dois conjuntos. A partir daí, construiremos a definição de função de um conjunto em outro; este último conceito é simplesmente a viga mestra de toda a chamada matemática moderna.
Pares ordenados: Dados dois elementos a e b formamos um novo elemento indicado por (a;b) e denominado par ordenado, cujo primeiro elemento é a e o segundo elemento é b. Impomos a seguinte condição de igualdade entre pares ordenados:
(a;b) = (c;d ) ↔ a = c e b = d
Com a definição de igualdade acima, temos, por exemplo:
(1,2) ≠ (2,1)
Representação gráfica: a representação gráfica de um par ordenado é um ponto pertencente a um plano (chamado plano cartesiano).
Exemplo: O par ordenado (1;2) é representado pelo ponto A da figura seguinte; 
Indica-se: A(1;.2).
OBS: O 1º elemento do par ordenado é sempre representado no eixo Ox e o 2º, no eixo Oy.
Produto cartesiano de conjunto: Se A e B são conjuntos não vazios, o produto cartesiano de A por B é o conjunto de todos os pares ordenados com primeiro elemento em A e segundo elemento em B. Indica-se o produto cartesiano de A por B por AX B.
AX B = {(a,b) A X B| a A e b B}
Se A ou B é vazio, coloca-se AXB = Ø .
OBS: O produto cartesiano de IR por IR indicamos por IR2. Isto é: IR X IR = IR2.
Relações: Se A e B são dois conjuntos quaisquer, podemos relacionar ou associar elementos de A com elementos de B de alguma maneira, à nossa escolha. Quando fazemos isso, dizemos que fica estabelecida uma relação binária entre os conjuntos A e B. 
Vejamos alguns exemplos:
1- Dados os conjuntos A = {2,.3,.4} e B = {6,.8,.9}, podemos associar um elemento qualquer x de A com elementos y de B através, por exemplo, da sentença: “ x se associa com y se, e somente se, x dividir y”.
Com a sentença acima e com os conjuntos dados, temos:
2 associa-se com 6 e 8, pois 2 divide 6 e 8;
2 não se associa com 9, pois 2 não divide 9;
3 associa-se com 6 e 9, pois 3 divide 6 e 9;
3 não se associa com 8, pois 3 não divide 8;
4 associa-se com 8, pois 4 divide 8;
4 não se associa com 6 nem com 9, pois 
4 não divide 6 nem 9.
Obtemos assim uma relação ou correspondência do conjunto A no conjunto B.
2- No conjunto A = {0,.1,.2,.3} formemos uma relação R associando um elemento x A com um elemento y A
se, e somente se, x < y.
Os elementos da relação R são, então, todos os pares ordenados de AX A, nos quais o primeiro elemento é menor que o segundo. Logo,
R={(0;1), (0;2), (0;3), (1;2), (1;3), (2;3)}.
Exercícios
1 - Os pares ordenados ( x+2y, 2x-y) e (5, -3) são iguais. Determine x e y.
2 – Obter a, sabendo-se que o ponto A(2a+1, 5) está no eixo das ordenadas.
3 - Sendo (x + 2, 2y - 4) = (8x, 3y - 10), determine o valor de x e de y.
4 - Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas (x + 3y, - x - y) e também por (4 + y, 2x + y), em relação a um mesmo sistema de coordenadas. Nestas condições, xy é igual a
a) -8.	b) -6.	c) 1.	d) 8.	e) 9 
5 – Sejam A = {x IR 0 x 2} e B = {x IR 0 x 3}. Quantos pares ordenados, cujas coordenadas são todas inteiras, existem no produto cartesiano
AX B ?
a) 12 b) 10 c) 9 d) 8 e) 6
6- Sejam os conjuntos A e B tais que AXB = {(-1,0), (2,0), (-1,2), (2,2), (-1,3), (2,3)}. O número de elementos do conjunto A B é:
a) 0 
b) 1	 
c) 2	 
d) 3	 
e) 4
7 - sejam os conjuntos A={2,6,8} e B {2,4,5} e R:A → B definida por:
R={(x,y) e AxB/x+y menor ou igual 10}
a) dê os pares ordenados de R.
b) faça a representação em diagrama
8 - Se A={0,1,2,3,4} e AXB é formando por 45 pares, quantos elementos possui B?