VETORES - RESUMO GERAL

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João Carlos Lemos Júnior 
Monitoria de Geometria Analítica –Resumo de Vetores 
 Matemática - Licenciatura 
 
1. Vetores: 
“Vetor determinado por um segmento AB é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.” 
 
Obs: para dois ou mais vetores serem equipolentes, é necessário que possuam o mesmo módulo, 
sentido e que tenha a mesma direção, como na figura abaixo: 
 
ALGUMAS DEFINIÇÕES: 
 
 
Vetores Iguais 
 
 
 
Dois vetores são iguais se, e somente se, forem equipolentes 
entre si. 
 
 
 
Vetor Nulo 
 
 
 
Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um 
único vetor ou vetor zero e que é indicado por 
 
 
Vetor Oposto 
 
 
 
Dado um vetor o vetor é o oposto de e é indicado por 
 - ou 
 
 
 
Vetor Unitário 
 
 
 
Um vetor é unitário se | | = 1. 
 
 
Versor 
 
 
 
Versor de um vetor não nulo é o vetor unitário de mesma direção e 
mesmo sentido de . 
 
 
Vetores Colineares 
 
 
 
Dado dois vetores são colineares se tiverem a mesma direção, ou 
seja, pertencem a mesma reta ou a retas paralelas. 
 
 
Vetores Coplanares 
 
 
 
Se os vetores não nulos pertencentes a um mesmo plano , 
diz-se então que são coplanares. 
 
 
 
 
 
 
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João Carlos Lemos Júnior 
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1.1 Expressão Analítica dos Vetores 
 
 
 
 
 
 
 
Condição de Paralelismo de Dois Vetores 
 
 
Dado dois vetores e , são paralelos se, e 
somente se, a divisão entre as coordenadas 
(abcissa1/abcissa2, coordenada1/coordenada2 e 
cota1/cota2 resultarem em uma mesma 
constante k. 
 
 
Condição de Ortogonalidade de Dois Vetores 
 
 
 
Dado dois vetores e são ortogonais se, e 
somente se, o produto escalar entre esses vetores 
resultar em zero(0). 
 
2. Produtos de Vetores 
 
2.1 Produto Escalar 
Trata-se da soma dos produtos entre as coordenadas semelhantes, ou seja, dado dois 
vetores distintos, para calcular o produto escalar, basta multiplicar coordenada com 
coordenada e fazer a respectiva soma. Lembrando que o produto é feito abcissa com abcissa, 
ordenada com ordenada, e cota com cota. Exemplo: 
 
2.1.1 Módulo de um Vetor 
O módulo de um vetorv(x,y,z) , representado por |v|, é o número real não negativo. 
Calculado da seguinte maneira: 
 
2.1.2 Versor de um Vetor 
 
 
 
X - abcissa (i) 
Y - ordenada(j) 
Z - cota (k) 
(x,y,z) = (i,j,k) 
Dado um vetorv = (x,y,z), temos que: 
 
 
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2.1.3 Distancia entre dois pontos 
 
 
2.2 Ângulo entre Vetores 
 
 
2.3 Produto Vetorial 
 
Uma maneira fácil de memorizar esta fórmula é utilizar a notação: 
 
 
Obs: O produto vetorial resultado no cálculo de um terceiro vetor, de tal modo que este vetor será 
simultaneamente ortogonal aos outros dois vetores. 
 
2.3 Projeção de um Vetor 
 
 
Tal que: 
u = ( x1, y1, z1 ) 
v = ( x2, y2, z2 ) 
 
 
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2.4 Produto Misto 
 
 
Obs: Se (u,v,w) forem coplanares, o vetor obtido através do produto misto por ser ortogonal aos vetores 
, será também ortogonal ao vetor 
 
De forma análoga dizemos que quatro pontos A,B, C e D pertencem a um plano se os vetores 
forem coplanares, ou seja, para que isso aconteça, o produto misto entre estes vetores 
deverá ser igual à zero. 
 
 
3. Cálculo de Áreas e Volumes utilizando os Produtos de Vetores 
3.1 Área do Paralelogramo 
 
 
 
 
3.2 Área do Triângulo 
 
 
 
 
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3.3 Volume do Paralelepípedo 
 
 
 
 
 
 
3.4 Volume do Tetraedro 
 
 
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Referência:STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica: Cônicas. São Paulo: Makron Books 
Editora Ltda.