Geometria Diferencial Ulysses Sodre

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Geometria Diferencial
Superfı´cies no espac¸o tridimensional
Prof. Ulysses Sodre´
Londrina-PR, 20 de Setembro de 2007.
Conteu´do
1 Topologia de Rn 3
1.1 Bola aberta em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Conjuntos abertos em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Propriedades dos conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Propriedade de separac¸a˜o de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Conjunto fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Ponto isolado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7 Ponto de acumulac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.8 Ponto de adereˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.9 Caracterizac¸a˜o de conjunto fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.10 Conjunto conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.11 Conjunto conexo por caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.12 Conjunto compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Func¸o˜es vetoriais de va´rias varia´veis reais 7
2.1 Aplicac¸a˜o vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Aplicac¸a˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Aplicac¸a˜o linear e posto de uma aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Aplicac¸o˜es contı´nuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5 Homeomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.6 Derivadas direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Geometria Diferencial - Superfı´cies em R3 - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
CONTEU´DO 2
2.7 Aplicac¸a˜o diferencia´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.8 Matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.9 Regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.10 Teorema da func¸a˜o inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Superfı´cies no espac¸o tridimensional 12
3.1 Superfı´cies em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Parametrizac¸a˜o regular para um conjunto S de R3 . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Curvas coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4 Vetores tangentes a uma superfı´cie S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 Vetor Normal e Plano tangente a uma superfı´cie S . . . . . . . . . . . . . . 16
3.6 Parametrizac¸a˜o de uma superfı´cie pelo gra´fico . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.7 Ponto crı´tico, valor crı´tico e valor regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.8 Superfı´cie regular como imagem inversa de um valor regular . . . . . . . 17
3.9 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.10 Superfı´cies regradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.11 Mudanc¸a de paraˆmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.12 Superfı´cies orienta´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.13 Vetor normal a uma superfı´cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.14 Superfı´cies de revoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.15 Superfı´cie tubular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Geometria Diferencial - Superfı´cies em R3 - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
Sec¸a˜o 1 Topologia de Rn 3
1 Topologia de Rn
1.1 Bola aberta em Rn
Definic¸a˜o 1.1. (Bola aberta de raio r em um ponto) Uma bola aberta de raio r centrada
em um ponto p ∈ Rn, denotada por Br(p), e´ o conjunto de todos os pontos x ∈ Rn tal que
|x − p| < r. Quando x pertence a esta bola aberta, denotamos tal fato por x ∈ Br(p).
Exemplo 1.1. (Bolas abertas)
1. O conjunto {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < r2} e´ uma bola aberta em R2.
2. O conjunto {(x, y) ∈ R2 : (x − x0)2 + (y − y0)2 < r2} e´ uma bola aberta em R2.
1.2 Conjuntos abertos em R3
Definic¸a˜o 1.2. (Conjunto aberto) Um conjunto A e´ aberto em Rn se, para cada ponto
p ∈ A, existe uma bola aberta Br(p) de raio r centrada em p inteiramente contida em A.
Exemplo 1.2. (Conjuntos abertos)
1. O intervalo aberto (a, b) e´ aberto em R.
2. A bola aberta Br(p) e´ um conjunto aberto em Rn.
3. O conjunto {(x, y) ∈ R2 : x > 0} e´ um conjunto aberto em R2.
4. O conjunto {(x, 0) ∈ R2 : x > 0} na˜o e´ um conjunto aberto em R2.
1.3 Propriedades dos conjuntos abertos
Proposic¸a˜o 1.3. (Propriedades dos conjunto abertos em Rn)
1. ∅ e Rn sa˜o conjuntos abertos em Rn
2. Se (Ak) e´ uma colec¸a˜o de conjuntos abertos em Rn, enta˜o, qualquer reunia˜o de conjuntos
dessa colec¸a˜o e´ um conjunto aberto em Rn.
3. Se (Ak) e´ uma colec¸a˜o de conjuntos abertos em Rn, enta˜o a intersec¸a˜o  de conjuntos
dessa colec¸a˜o e´ um conjunto aberto em Rn.
Exercı´cio: Sera´ possı´vel demonstrar que
1. a intersec¸a˜o A ∩ B e a reunia˜o A ∪ B sa˜o conjuntos abertos em R2, desde que
A = {(x, y) ∈ R2 : x > 0} e B = {(x, y) ∈ R2 : y > 0}.
2. a intersec¸a˜o de todos os conjuntos abertos da formageralAn = {(x, 0) ∈ R2 : x > 1/n}
e´ um conjunto aberto em R2?
3. a reunia˜o de todos os conjuntos abertos da forma geral An = {(x, 0) ∈ R2 : x > 1/n}
e´ um conjunto aberto em R2?
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1.4 Propriedade de separac¸a˜o de Hausdorff 4
1.4 Propriedade de separac¸a˜o de Hausdorff
Proposic¸a˜o 1.4. (Propriedade da separac¸a˜o de pontos em Rn) Se p e q sa˜o pontos distintos em
Rn, existem bolas abertas Br(p) e Bs(q), com r > 0 e s > 0, tal que Br(p) ∩ Bs(q) = ∅.
1.5 Conjunto fechado
Definic¸a˜o 1.3. (Conjunto aberto) Um conjunto F e´ fechado em Rn se o seu complementar
Fc e´ um conjunto aberto em Rn.
Exercı´cio: Apresentar exemplos de conjuntos fechados em Rn.
1.6 Ponto isolado
Definic¸a˜o 1.4. (Ponto isolado) Um ponto p de um conjunto C em Rn e´ um ponto isolado,
se existe uma bola aberta Br(p) com r > 0 contendo apenas o ponto p.
Exercı´cio: Exibir alguns pontos isolados do conjunto C = {( 1
m
,
1
n
) : (m,n) ∈ N2}.
1.7 Ponto de acumulac¸a˜o
Definic¸a˜o 1.5. (Ponto de acumulac¸a˜o) Um ponto p e´ ponto de acumulac¸a˜o do conjunto
S em Rn se, toda bola Br(p) possui pontos de S que sa˜o diferentes do pro´prio ponto p.
Exercı´cio: Exibir um ponto de acumulac¸a˜o do conjunto C = {( 1
m
,
1
n
) : (m,n) ∈ N2}.
1.8 Ponto de adereˆncia
Definic¸a˜o 1.6. (Ponto de adereˆncia) Um ponto p e´ ponto de adereˆncia de um conjunto S
em Rn se toda bola Br(p) possui possui pontos de S.
Exercı´cio: Exibir um ponto de adereˆncia do conjunto C = {( 1
m
,
1
n
) : (m,n) ∈ N2}.
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1.9 Caracterizac¸a˜o de conjunto fechado 5
Proposic¸a˜o 1.5. (Ponto de acumulac¸a˜o e´ ponto de adereˆncia) Se um ponto p e´ ponto de
acumulac¸a˜o de um conjunto S em Rn, enta˜o p e´ ponto de adereˆncia do conjunto S.
Exercı´cio: Seja C = {( 1
m
,
1
n
) : (m,n) ∈ N2}. Exibir um ponto de adereˆncia de C que na˜o e´
ponto de acumulac¸a˜o de C.
1.9 Caracterizac¸a˜o de conjunto fechado
Proposic¸a˜o 1.6. (Conjunto fechado atrave´s de pontos de acumulac¸a˜o) Um conjunto S em Rn e´
fechado se, e somente se, S conte´m todos os seus pontos de acumulac¸a˜o.
1.10 Conjunto conexo
Definic¸a˜o 1.7. (Conjunto conexo) Um conjunto S de Rn e´ conexo, se N˜ pode decom-
posto na reunia˜o disjunta de dois conjuntosabertos na˜o vazios de Rn.
Pelo gra´fico em anexo, observamos que a intersec¸a˜o de dois conjuntos conexos na˜o
necessariamente e´ um conjunto conexo.
1.11 Conjunto conexo por caminhos
Definic¸a˜o 1.8. (Conjunto conexo por caminhos) Um conjunto S de Rn e´ conexo por
caminhos se, dados quaisquer dois pontos p e q do conjunto S, existe uma aplicac¸a˜o
(curva) contı´nua f : [0, 1] → S com f (0) = p e f (1) = q tal que a imagem f ([0, 1]) esta´
inteiramente contida em S.
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1.12 Conjunto compacto 6
Exemplo 1.7. (Conjunto conexo por caminhos) O pente e´ conexo por caminhos.
Observac¸a˜o 1.1. As definic¸o˜es de conjuntos conexos e conexos por caminhos coincidem
na reta real R, mas em Rn tais definic¸o˜es na˜o sa˜o equivalentes.
Exercı´cios: Demonstrar que
1. um conjunto S em R e´ conexo se, e somente se, S e´ um intervalo.
2. conjuntos conexos por caminhos sempre sa˜o conjuntos conexos.
3. existem conjuntos de R2 que sa˜o conexos mas na˜o sa˜o conexos por caminhos.
4. se um conjunto S e´ conexo e aberto em Rn, enta˜o S e´ conexo por caminhos.
1.12 Conjunto compacto
Definic¸a˜o 1.9. (Conjunto limitado) Um conjunto K de Rn e´ limitado se, existe uma bola
Br(p) contendo inteiramente o conjunto K para todo p ∈ K.
Exercı´cio: Apresentar exemplos de conjuntos limitados em Rn.
Definic¸a˜o 1.10. (Conjunto compacto) Um conjunto K de Rn e´ compacto se K e´ limitado
e e´ fechado em Rn.
Observac¸a˜o 1.2. Existem va´rias maneiras equivalentes de definir conjuntos compactos.
Exercı´cio: Sobre conjuntos compactos
1. Apresentar exemplos de conjuntos compactos em Rn.
2. Qual e´ a importaˆncia de conjuntos compactos em Rn.
3. Qual e´ a ligac¸a˜o entre conjuntos fechados e conjuntos compactos em Rn.
4. Qual e´ a ligac¸a˜o entre conjuntos limitados e conjuntos compactos em Rn.
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Sec¸a˜o 2 Func¸o˜es vetoriais de va´rias varia´veis reais 7
2 Func¸o˜es vetoriais de va´rias varia´veis reais
2.1 Aplicac¸a˜o vetorial
Definic¸a˜o 2.1. (Aplicac¸a˜o vetorial) Seja V ⊂ Rm. Uma aplicac¸a˜o f : V → Rn e´ uma
aplicac¸a˜o vetorial com varia´veis reais se, a cada v ∈ V associa um vetor f (v) ∈ Rn. Aqui,
Dom( f ) = V e´ um conjunto de vetores e Im( f ) tambe´m e´ um conjunto de vetores.
Exemplo 2.1. (Aplicac¸o˜es vetoriais)
1. f : R2 → R3, f (x, y) = (x, y, x2 + y2)
2. g : R3 → R2, g(x, y, z) = (x, y)
2.2 Aplicac¸a˜o linear
Definic¸a˜o 2.2. (Aplicac¸a˜o linear) Uma aplicac¸a˜o f : Rm → Rn e´ linear se, para quaisquer
u, v ∈ Rm e quaisquer escalares a, b ∈ R, se tem que f (a.u + b.v) = a. f (u) + b. f (v).
Exemplo 2.2. (Aplicac¸o˜es lineares)
1. f : R2 → R3, f (x, y) = (x, y, x + y)
2. f : R3 → R2, f (x, y, z) = (y, x)
3. f : R3 → R3, f (x, y, z) = (x, 0, 0)
4. f : R3 → R2, f (x, y, z) = (0, 0)
A matriz da aplicac¸a˜o linear f nas bases canoˆnicas de Rm e Rn e´ denotada porM = [ f ] e
o posto de uma matrizM e´ o nu´mero de linhas linearmente independentes deM.
2.3 Aplicac¸a˜o linear e posto de uma aplicac¸a˜o
Teorema 2.3. (Linearidade e posto) Se f : R3 → R3 e´ uma aplicac¸a˜o linear e M = [ f ], enta˜o
1. f e´ bijetora se, e somente se, posto(M) = 3.
2. f aplica R3 sobre um plano de R3 se, e somente se, posto(M) = 2.
3. f aplica R3 sobre uma curva de R3 se, e somente se, posto(M) = 1.
Exercı´cio: Determinar o posto da aplicac¸a˜o linear f (x, y, z) = (3x + 2y, 4x − 5y, 6x − 8y).
Teorema 2.4. Se f : R2 → R3 e´ uma aplicac¸a˜o linear e M = [ f ], enta˜o
1. f aplica R2 injetivamente sobre um plano de R3 se, e somente se, posto(M) = 2.
2. f aplica R2 sobre uma curva de R3 se, e somente se, posto(M) = 1.
Exercı´cio: Seja T : R3 → R3 definida por T(x, y, z) = (2x+ y−2z, x+ y− z,−x+ z). Mostrar
que a aplicac¸a˜o T e´ linear e que posto(T) = 2, pois T aplica R3 sobre o plano x− y+ z = 0.
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2.4 Aplicac¸o˜es contı´nuas 8
2.4 Aplicac¸o˜es contı´nuas
Definic¸a˜o 2.3. (Aplicac¸a˜o contı´nua em um ponto) Seja S ⊂ Rm. A aplicac¸a˜o f : S → Rn
e´ contı´nua em um ponto p ∈ S se, para cada bola aberta Bε( f (p)) na imagem f (S) existe
uma bola aberta Br(p) ⊂ S tal que
f (Br(p)) ⊂ f (Bε( f (p))
Definic¸a˜o 2.4. (Aplicac¸a˜o contı´nua em um ponto) A aplicac¸a˜o f : S ⊂ Rm → Rn e´
contı´nua em p ∈ S se, dado ε > 0 existe r > 0 tal que se x ∈ Br(p) enta˜o f (x) ∈ Bε( f (p)).
Teorema 2.5. (Continuidade componente a componente) A aplicac¸a˜o f = ( f1, f2, f3, ..., fm) e´
contı´nua em x = p se, e somente se, cada componente fi e´ contı´nua em x = p, para todo
i = 1, 2, 3, ...,m.
Definic¸a˜o 2.5. (Continuidade sobre um conjunto) Uma aplicac¸a˜o f : S ⊂ Rm → Rn e´
contı´nua sobre o conjunto S se f e´ contı´nua em todos os pontos do conjunto S.
Definic¸a˜o 2.6. (Aplicac¸a˜o contı´nua por conjuntos abertos) Uma aplicac¸a˜o f : S → T com
S ⊂ Rm e T ⊂ Rn e´ contı´nua sobre o conjunto S, se para cada conjunto W aberto em T,
f −1(W) e´ um conjunto aberto em S.
Proposic¸a˜o 2.6. (Propriedades das aplicac¸o˜es vetoriais contı´nuas) Se f e g sa˜o aplicac¸o˜es veto-
riais contı´nuas em x = p e α e´ uma func¸a˜o escalar contı´nua em x = p, enta˜o tambe´m sa˜o
contı´nuas no ponto x = p as aplicac¸o˜es:
1. Valor absoluto | f |
2. Adic¸a˜o f + g
3. Subtrac¸a˜o f − g
4. Produto de func¸o˜es α. f
5. Produto escalar f · g
6. Produto vetorial f × g
Teorema 2.7. (Continuidade e conexa˜o) Se uma aplicac¸a˜o f : S → T com S ⊂ Rm e T ⊂ Rn e´
contı´nua sobre o conjunto S e A e´ um conjunto conexo em S, enta˜o f (A) tambe´m e´ um conjunto
conexo em T.
Teorema 2.8. (Continuidade e compacidade) Se uma aplicac¸a˜o f : S → T com S ⊂ Rm e T ⊂ Rn
e´ contı´nua sobre o conjunto S e K e´ um conjunto compacto em S, enta˜o f (K) tambe´m e´ um
conjunto compacto em T.
Teorema 2.9. (Valores extremos) Se uma aplicac¸a˜o f : S → R com S ⊂ Rm e´ contı´nua sobre o
conjunto S e K e´ um conjunto compacto em S, enta˜o a func¸a˜o f assume os seus valores extremos
(valor ma´ximo e valor mı´nimo) sobre o conjunto K.
Teorema 2.10. (Composta de func¸o˜es contı´nuas) Sejam A,B,C ⊂ R3. Se f : A → B e´ contı´nua
e g : B → C e´ contı´nua, enta˜o g ◦ f : A → C e´ contı´nua.
2.5 Homeomorfismo
Teorema 2.11. (Homeomorfismo)Uma aplicac¸a˜o f : S → T e´ homeomorfismo entre os conjuntos
S e T se, f e´ uma aplicac¸a˜o contı´nua cuja inversa f −1 : T → S tambe´m e´ uma aplicac¸a˜o contı´nua.
Quando existe um homeomorfismo f : S → T, diz-se que S e T sa˜o homeomorfos.
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2.6 Derivadas direcionais 9
Exemplo 2.12. (Homeomorfismos) Demonstrar que:
1. o intervalo (a, b) e´ homeomorfo ao intervalo (0, 1).
2. o intervalo (0, 1) e´ homeomorfo ao intervalo (−1, 1).
3. o intervalo (−1, 1) e´ homeomorfo ao intervalo (−pi, pi).
4. o intervalo (−pi, pi) e´ homeomorfo a` reta real R.
5. o conjunto S1 = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 = 1} − {(0, 1)} e´ homeomorfo a R.
6. o conjunto S2 = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + y2 + z2 = 1} − {(0, 0, 1)} e´ homeomorfo a R2.
Proposic¸a˜o 2.13. (Homeomorfismos) Sejam R,S,T ⊂ R3.
1. Se f e´ um homeomorfismo entre R e S, enta˜o f −1 e´ um homeomorfismo entre S e R.
2. Se f e´ um homeomorfismo entre R e S e g e´ um homeomorfismo entre S e T enta˜o g ◦ f e´
um homeomorfismo entre R e T.
2.6 Derivadas direcionais
Definic¸a˜o 2.7. (Derivada direcional) Seja f : V → Rn,V um conjunto aberto de Rm, p ∈ V
e v um vetor na˜o nulo de Rm. A derivada direcional de f no ponto p na direc¸a˜o do vetor
v e´ o vetor denotado por Dv f (p), obtido pelo limite
Dv f (p) = lim
t→0
f (p + tv) − f (p)
t
quando este limite existe.
Quando definimos F(t) = f (x0 + tv0), segue que F
′(0) = Dv f (p).
Exercı´cio: Construir um gra´fico indicando a derivada direcionalde f em um ponto.
Exemplo 2.14. (Derivada direcional) Para f (x, y) = (x, y, x + y), p = (2, 4) e v = (6, 2):
D(6,2) f (2, 4) = lim
t→0
f ((2, 4) + t(6, 2)) − f (2, 4)
t
= lim
t→0
f ((2 + 6t, 4 + 2t) − f (2, 4)
t
= lim
t→0
(2 + 6t, 4 + 2t, 6 + 8t) − (2, 4, 6)
t
= (6, 2, 8)
Observac¸a˜o 2.1. Se ek = (0, ..., 1, ..., 0) e´ um vetor com 1 na componente k e 0 nas outras
componentes e f = ( f1, f2, ..., fm), enta˜o a derivada direcional de f na direc¸a˜o do vetor ek,
e´ igual a` derivada parcial de f com relac¸a˜o a xk (k-e´sima varia´vel), isto e´,
Dek f (x) = (
∂ f1
∂xk
,
∂ f2
∂xk
, · · · , ∂ fm
∂xk
)
Exemplo 2.15. Se f (x, y) = (x, y, x + y), p = (a, b) e v = (1, 0):
D(1,0) f (a, b) = lim
t→0
f ((a, b) + t(1, 0)) − f (a, b)
t
= lim
t→0
f ((a + t, b) − f (a, b)
t
= lim
t→0
(a + t, b, a + b + t) − (a, b, a + b)
t
= lim
t→0
(t, 0, t)
t
= (1, 0, 1) =
∂ f
∂x
(a, b)
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2.7 Aplicac¸a˜o diferencia´vel 10
2.7 Aplicac¸a˜o diferencia´vel
Definic¸a˜o 2.8. (Aplicac¸a˜o diferencia´vel) Seja V um conjunto aberto de Rm. A aplicac¸a˜o
f : V → Rn e´ diferencia´vel em p ∈ V, se existe uma aplicac¸a˜o linear Lp : Rm → Rn que
associa a cada v ∈ Rm um vetor Lp(v) ∈ Rn tal que
f (p + v) = f (p) + Lp(v) + R(p, v)
se lim
|v|→0
R(p, v)
|v| = 0. Considerando que Lp e´ uma aplicac¸a˜o linear, este limite pode ser
reescrito na forma lim
t→0
R(p, tv)
t
= 0 e segue que Dv f (p) = Lp(v).
Teorema 2.16. (Diferenciabilidade garante existeˆncia de derivadas direcionais) Se a aplicac¸a˜o f
e´ diferencia´vel em x = p, enta˜o f possui derivadas direcionais no ponto p em todas as direc¸o˜es.
Exercı´cio: Construir uma aplicac¸a˜o vetorial que possui derivadas direcionais em todas
as direc¸o˜es em um ponto, mas que na˜o e´ uma aplicac¸a˜o diferencia´vel neste ponto.
Teorema 2.17. (Diferenciabilidade implica continuidade) Se f e´ uma aplicac¸a˜o vetorial dife-
rencia´vel em p, enta˜o f e´ contı´nua em p.
Definic¸a˜o 2.9. (Diferencial de uma aplicac¸a˜o) A aplicac¸a˜o linear Lp e´ denominada a
diferencial de f em p, denotada por uma das formas d f (p) = f ′(p) = Df (p) = Lp.
2.8 Matriz jacobiana
Definic¸a˜o 2.10. (Matriz jacobiana) Seja f = ( f1, f2, ..., fm) definida e diferencia´vel em
x = (x1, x2, ..., xn). Definimos matriz jacobiana de f no ponto x, por
J( f ) =
∂( f1, f2, ..., fm)
∂(x1, x2, ..., xn)
=

∂ f1
∂x1
· · · ∂ f1
∂x j
· · · ∂ f1
∂xn
...
. . .
...
...
...
∂ fi
∂x1
· · · ∂ fi
∂x j
· · · ∂ fi
∂xn
...
...
...
. . .
...
∂ fm
∂x1
· · · ∂ fm
∂x j
· · · ∂ fm
∂xn

Exemplo 2.18. Amatriz jacobiana da aplicac¸a˜o f (u, v,w) = (u + 2v + 3w, 4u − 5v − 6w) e´
J( f ) =
(
1 2 3
4 −5 −6
)
Proposic¸a˜o 2.19. (Propriedades das aplicac¸o˜es vetoriais diferencia´veis) Se f e g sa˜o aplicac¸o˜es
diferencia´veis em p e α e´ uma func¸a˜o escalar diferencia´vel em p, enta˜o sa˜o diferencia´veis no ponto
p as aplicac¸o˜es:
Geometria Diferencial - Superfı´cies em R3 - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
2.9 Regra da cadeia 11
1. Valor absoluto | f |
2. Adic¸a˜o f + g
3. Subtrac¸a˜o f − g
4. Produto de func¸o˜es α. f
5. Produto escalar f · g
6. Produto vetorial f × g
Teorema 2.20. (Diferenciabilidade versus derivadas parciais) Uma aplicac¸a˜o vetorial f e´ con-
tinuamente diferencia´vel em x = p se, e so´ se,  as suas derivadas parciais sa˜o continuas em
x = p.
2.9 Regra da cadeia
Teorema 2.21. (Derivada da composta) Sejam A,B,C ⊂ R3. Se f : A → B e´ uma aplicac¸a˜o
vetorial diferencia´vel em p e g : B → C e´ uma aplicac¸a˜o vetorial diferencia´vel em f (p), enta˜o a
aplicac¸a˜o composta g ◦ f : A → C e´ uma aplicac¸a˜o vetorial diferencia´vel em x = p e ale´m disso
D(g ◦ f )(p) = D(g( f (p)) ·D( f (p))
Exemplo 2.22. (Regra da cadeia) Para f (x, y) = (x+ y, x− y, x2+ y2), x = 1+ t2 e y = sin(t):
d f
dt
=
d f
dx
dx
dt
+
d f
dy
dy
dt
= 2t(1, 1, 2(1 + t2)) + cos(t)(1,−1, 2 sin(t))
= (2t + cos(t), 2t − cos(t), 4t + 4t3 + sin(2t))
2.10 Teorema da func¸a˜o inversa
Teorema 2.23. (Teorema da func¸a˜o inversa) Se f : V ⊂ R3 → R3 e J( f )(p) , 0, enta˜o existe
uma vizinhanc¸a aberta S(p) ⊂ V tal que
1. f restrita a` vizinhanc¸a aberta S(p) e´ injetiva;
2. f (S(p)) e´ um conjunto aberto, e,
3. a func¸a˜o inversa f −1 e´ diferencia´vel em f (S(p)).
Exercı´cio: Exibir um exemplo de uma func¸a˜o f = f (x, y, z) para a qual possamos aplicar
o Teorema da func¸a˜o inversa.
Teorema 2.24. Uma aplicac¸a˜o linear f : R2 → R3 e´ bijetiva sobre um plano de R3 se, e somente
se, posto([ f ]) = 2.
Teorema 2.25. (Teorema da func¸a˜o implı´cita) Se f : R2 × R → R e´ diferencia´vel tal que
f (x0, y0, z0) = 0 e fz(x0, y0, z0) , 0), enta˜o existe z = z(x, y) definida sobre um conjunto
S(x0, y0, z0) tal que f (x, y, z(x, y)) = 0 para todo par (x, y) ∈ Spi(x0, y0) e ale´m disso
zx = − fxfz , zy = −
fy
fz
Exercı´cio: Exibir um exemplo de uma func¸a˜o f = f (x, y, z) para a qual possamos aplicar
o Teorema da func¸a˜o implı´cita.
Geometria Diferencial - Superfı´cies em R3 - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
Sec¸a˜o 3 Superfı´cies no espac¸o tridimensional 12
3 Superfı´cies no espac¸o tridimensional
3.1 Superfı´cies em R3
Uma superfı´cie(1) e´ um objeto geome´trico bi-dimensional estendido no espac¸o com
algumas condic¸o˜es de suavidade. Existem va´rios modos de usar a Matema´tica para
expressar quantitativamente este fato sobre superfı´cies bi-dimensionais em R3.
No espac¸o euclidiano tri-dimensional R3, a escolha de um ponto arbitra´rio implica a
existeˆncia de treˆs grausde liberdade, pois umponto e´ determinadopor treˆs coordenadas.
Para reduzir a extensa˜o dessa liberdade, no´s podemos relacionar as treˆs coordenadas de
um ponto arbitra´rio por uma equac¸a˜o:
F(x, y, z) = 0 (3.1)
Assim, a escolha de duas coordenadas determina a terceira coordenada de um ponto.
Isto significa que no´s podemos definir uma superfı´cie por meio de uma equac¸a˜o em
algum sistema de coordenadas (que pode ser um sistema de coordenadas caretsianas).
Ja´ usamos este me´todo de definir superfı´cies quando estudamos uma curva como a
intersec¸a˜o de duas superfı´cies definidas por f (x, y, z) = 0 e g(x, y, z) = 0.
Outromodo de definir uma superfı´cie e´ ome´todo parame´trico. Damesmamaneira que no
estudo de curvas, as superfı´cies podem ser parametrizadas por dois paraˆmetros, aqui
denotados por u e v, atrave´s de uma aplicac¸a˜o:
f (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k (3.2)
que e´ a expressa˜o do raio-vetor de cada ponto de uma superfı´cie em um sistema de
coordenadas cartesianas em func¸a˜o dos paraˆmetros u e v.
Em geral, so´ uma parte de uma superfı´cie e´ representada na forma parame´trica, assim,
considerando o par ordenado (u, v) ∈ R2, no´s podemos assumir que o ponto (u, v) se
desloca sobre algum domı´nio(2) U ⊂ R2. Vamos denotar por W = f (U) a imagem de U
pela aplicac¸a˜o 3.2. Assim, W e´ denominado o domı´nio mapeado(3), U e´ o mapa ou a carta
e a func¸a˜o 3.2 e´ a carta que mapeia U sobre D.
A classe de suavidade (isto e´, a classe de diferenciabilidade) da superfı´cie D e´ determi-
nada pela classe de suavidade da func¸a˜o f (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v), que equivale a`
classe de suavidade das func¸o˜es componentes x = x(u, v), y = y(u, v) e z = z(u, v).
Na sequ¨eˆncia, no´s consideraremos somente as superfı´cies para as quais estas func¸o˜es
sa˜o pelo menos continuamente diferencia´veis.
Diferenciando as componentes de f = f (u, v), no´s podemos tomar as suas derivadas na
1Parte deste material foi adaptada do trabalho do Sharipov, que esta´ disponı´vel na Internet.
2Um domı´nio e´ um conjuntoaberto e conexo
3Tambe´m conhecido como imagem ou trac¸o da superfı´cie
Geometria Diferencial - Superfı´cies em R3 - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
3.2 Parametrizac¸a˜o regular para um conjunto S de R3 13
matriz de Jacobi (matriz jacobiana):
J f =
∂(x, y, z)
∂(u, v)
=
xu xvyu yvzu zv
 (3.3)
3.2 Parametrizac¸a˜o regular para um conjunto S de R3
Definic¸a˜o 3.1. Uma parametrizac¸a˜o regular para um conjunto S ⊂ R3 e´ uma aplicac¸a˜o:
(S1) f : U → S continuamente diferencia´vel, onde U e´ um aberto de R2,
(S2) f e´ um homeomorfismo,
(S3) a matriz jacobiana tem posto igual a 2.
Quando um conjunto S de R3 possui uma parametrizac¸a˜o regular, este conjunto S recebe
o nome de superfı´cie regular.
Intuitivamente, uma superfı´cie S e´ um conjunto de pontos de R3, sendo que cada ponto
de S pode ser confundido com um plano tangente a S trac¸ado neste ponto.
Observac¸a˜o 3.1. Afirmar que uma superfı´cie S possui uma parametrizac¸a˜o regular tem o
mesmo significado que exibir:
1. Um domı´nio U ⊂ R2,
2. Uma aplicac¸a˜o  bijetiva f : U → S,
3. A inversa f −1 : S → U dada por treˆs aplicac¸o˜es continuamente diferencia´veis
regulares em todos os pontos do domı´nio S.
Exemplo 3.1. (Parametrizac¸o˜es e superfı´cies)
1. O parabolo´ide S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 1
2
(x2 + y2)}, pode ser parametrizado pela
aplicac¸a˜o f : R2 → R3 de classe C∞ definida por f (u, v) = (u + v,u − v,u2 + v2).
2. A esfera S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2+ z2 = 1}, pode ser parametrizada pela aplicac¸a˜o
f : R2 → R3 definida por f (u, v) = (cos(u) sin(v), sin(u) sin(v), cos(v)).
3. Um cilindro e´ uma superfı´cie gerada por uma reta r (gerada pelo vetor unita´riow)
que se move paralelamente sobre uma curva C : g = g(u). Uma parametrizac¸a˜o
para o cilindro e´ f : R2 → R3 definida por f (u, v) = g(u) + vw.
4. O hemisfe´rio norte de uma esfera de raio unita´rio pode ser parametrizado pela
aplicac¸a˜o f : R2 → R3 definida por f (u, v) = (u, v, √1 − u2 − v2).
5. O hemisfe´rio norte de uma esfera de raio unita´rio pode ser parametrizado pela
aplicac¸a˜o f : R2 → R3 definida por f (u, v) = (cos(u) sin(v), sin(u) sin(v), cos(v)).
6. O hemisfe´rio norte de um elipso´ide possui uma parametrizac¸a˜o regular definida
por f : R2 → R3 definida por f (u, v) = (a cos(u) sin(v), b sin(u) sin(v), c cos(v)).
Geometria Diferencial - Superfı´cies em R3 - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
3.2 Parametrizac¸a˜o regular para um conjunto S de R3 14
Quando uma aplicac¸a˜o parametrizada e´ regular, amatriz jacobiana J f =
∂(x, y, z)
∂(u, v)
possui
treˆs determinantes menores de ordem 2, que sa˜o:∣∣∣∣∣xu xvyu yv
∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣yu yvzu zv
∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣zu zvxu xv
∣∣∣∣∣ (3.4)
sendo que pelo menos um deles e´ na˜o nulo.
Renomeando as varia´veis x, y e z, sempre podemos fazer com que o primeiro determi-
nante seja na˜o nulo, isto e´: ∣∣∣∣∣xu xvyu yv
∣∣∣∣∣ , 0. (3.5)
Aqui, tomamos as duas componentes da parametrizac¸a˜o f (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
como aplicac¸o˜es e escrevemos as mesmas como segue:
x = x(u, v) (3.6)
y = y(u, v) (3.7)
Em func¸a˜o de 3.5, as aplicac¸o˜es acima possuem inversas locais. Restringindo estas
duas aplicac¸o˜es a alguma vizinhanc¸a pro´xima de um ponto escolhido arbitrariamente,
podemos construir duas func¸o˜es continuamente diferencia´veis
u = u(x, y) (3.8)
v = v(x, y) (3.9)
que sa˜o as inversas das aplicac¸o˜es 3.6 e 3.7, fato conhecido como uma versa˜o do Teorema
da Func¸a˜o Implı´cita.
Substituindo u = u(x, y) e v = v(x, y) nos argumentos da func¸a˜o z = z(u, v) na aplicac¸a˜o
f (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), obtemos a func¸a˜o f (x, y) = z(u(x, y), v(x, y)) tal que, cada
parte regular de uma superfı´cie pode ser localmente (isto e´, em alguma vizinhanc¸a
do ponto sob refereˆncia) representada como o gra´fico de uma func¸a˜o continuamente
diferencia´vel de duas varia´veis z = f (x, y).
Definic¸a˜o 3.1. (Superfı´cies simples) Uma superfı´cie simples e´ aquela que na˜o possui
autointersec¸o˜es.
Observac¸a˜o sobre singularidade: A condic¸a˜o de regularidade, que posto(Jp) = 2, pode
gerar a existeˆncia de pontos singulares sobre uma superfı´cie. Como exemplo:
S1 : f (u, v) = (u3, v3,u2 + v2) (3.10)
S2 : g(u, v) = (u3, v3,u4 + v4) (3.11)
sa˜o superfı´cies definidas por func¸o˜es suaves, mas observamos que:
1. Nos dois casos, a condic¸a˜o de regularidade falha em (u, v) = (0, 0).
2. A superfı´cie S1 possui uma singularidade na origem.
3. A superfı´cie S2 na˜o possui singularidade na origem.
Geometria Diferencial - Superfı´cies em R3 - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
3.3 Curvas coordenadas 15
3.3 Curvas coordenadas
Usando uma parametrizac¸a˜o regular de S definida por f : U → S, podemos estudar
coordenadas curvilı´neas sobre a superfı´cie e vetores tangentes a` superfı´cie.
Figura 101 (Sharipov) Figura 102 (Sharipov)
As condic¸o˜es u = constante e v = constante determinam duas famı´lias de linhas coorde-
nadas sobre o plano de paraˆmetros u e v, formando uma malha coordenada em U. A
aplicac¸a˜o f (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) aplica esta malha (Figura 101) sobre uma outra
malha coordenada que esta´ sobre a superfı´cie S (Figura 102).
Definic¸a˜o 3.2. (Plano tangente e reta normal) Se f : R2 → R3 e´ uma parametrizac¸a˜o
regular de classe C1 para uma superfı´cie simples S e as func¸o˜es reais u = u(t) e v = v(t)
parametrizac¸o˜es de uma curva regular g = g(t) apoiada no plano R2, enta˜o
1. f (t) = f (u(t), v(t)) define uma curva apoiada sobre a superfı´cie S.
2. f ′(t) define o vetor tangente a` curva em f (t) desde que f ′(t) , 0.
3.4 Vetores tangentes a uma superfı´cie S
Consideremos os vetores fu e fv tangentes a`s curvas da malha coordenada, em cada
ponto da superfı´cie S.
Se a aplicac¸a˜o vetorial f (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) que define a parametrizac¸a˜o esta´
expandida na base canoˆnica do sistema de coordenadas cartesianas, podemos exibir os
vetores tangentes a` superfı´cie S: fu e fv atrave´s dos vetores da base {i, j, k}:
fu(u, v) =
∂
∂u
[x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k] (3.12)
fv(u, v) =
∂
∂v
[x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k] (3.13)
Teorema 1. Os vetores tangentes fu e fv sa˜o linearmente independentes em cada ponto de uma
superfı´cie. Portanto, eles geram um plano que e´ um campo de vetores tangentes em S.
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3.5 Vetor Normal e Plano tangente a uma superfı´cie S 16
Demonstrac¸a˜o. Vamos considerar os vetores-colunas compostos pelas coordenadas carte-
sianas dos vetores tangentes fu e fv:
fu =
xuyuzu
 fv =
xvyvzv
 (3.14)
Os vetores-colunas acima coincidem com as colunas da matriz jacobiana 3.3. Usando a
condic¸a˜o de regularidade (posto(J f ) = 2), segue que as colunas da matriz jacobiana J f
sa˜o linearmente independentes, o que demonstra o teorema. �
3.5 Vetor Normal e Plano tangente a uma superfı´cie S
Osvetores fu e fv calculados emalgumponto deuma superfı´cie S geramoplano tangente
a` superfı´cie S neste ponto e todo vetor tangente a S neste ponto pertence a este plano
tangente e pode ser ser escrito como combinac¸a˜o linear dos vetores fu e fv.
Consideremos uma curva parametrizada g = g(t) inteiramente contida na superfı´cie
(ver Figura 101 e Figura 102), definida por duas func¸o˜es de um paraˆmetro t:
u = u(t), v = v(t) (3.15)
Substituindo u = u(t) e v = v(t) em f (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), obtemos o raio-
vetor de um ponto da curva na base canoˆnica do sistema de coordenadas cartesianas
f (t) = f (u(t), v(t)).
Derivando f = f (t) com respeito a` varia´vel t, obtemos o vetor velocidade da partı´cula
f ′(t) que e´ tangente a` curva f = f (t) em func¸a˜o das duas func¸o˜es 3.15 acima:
f ′(t) =
d f
dt
= fu
du
dt
+ fv
dv
dt
= u′(t) fu + v′(t)fv (3.16)
Esta relac¸a˜o garante que o vetor tangente f ′(t) e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores fu
e fv que geram o plano tangente.
Se uma curva g = g(t) esta´ apoiada na superfı´cie, o vetor tangente g′(t) esta´ apoiado no
plano tangente a esta superfı´cie e as derivadas u′(t) e v′(t), sa˜o as componentes do vetor
f ′(t) gerado pelos vetores tangentes fu e fv.
Definic¸a˜o 3.3. (Vetor normal, plano tangente e reta normal) Seja f : R2 → R3 uma
parametrizac¸a˜o regular continuamente diferencia´vel para uma superfı´cie simples S e
uma parametrizac¸a˜o para uma curva regular g = (u(t), v(t) apoiada sobre o plano R2.
Definimos:
1. um vetor normal a S no ponto p, atrave´s de N(p) = fu × fv.
2. a reta normal a S no ponto p, por r(t) = p + t N(p), (t ∈ R).
3. o plano tangente a S no ponto p, por g(u, v) = p + a fu + b fv, ( b ∈ R).
Geometria Diferencial - Superfı´cies em R3 - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
3.6 Parametrizac¸a˜o de uma superfı´cie pelo gra´fico 17
3.6 Parametrizac¸a˜o de uma superfı´cie pelo gra´fico
Proposic¸a˜o 3.2. (Parametrizac¸a˜o pelo gra´fico) Se f : U → R e´ uma aplicac¸a˜o diferencia´vel
definida sobre um conjunto aberto U ⊂ R2, enta˜o o gra´fico de f , e´ uma aplicac¸a˜o diferencia´vel
g : U → R3 definida por g(x, y) = (x, y, f (x, y)) representando uma superfı´cie regular em R3.
3.7 Ponto crı´tico, valor crı´tico e valor regular
Definic¸a˜o 3.4. (Ponto crı´tico, valor crı´tico e valor regular.) Seja f : U ⊂ R2 → R3 uma
aplicac¸a˜o diferencia´vel.
1. Diz-se que p ∈ U e´ um ponto crı´tico de f se a matriz jacobiana e´ identicamente
nula em p, isto e´, (J f )(p) ≡ θ. (Neste caso (J f )p na˜o e´ sobrejetiva.)
2. O ponto f (p) e´ denominado valor crı´tico de f .
3. Se f (p) na˜o e´ valor crı´tico, enta˜o f (p) e´ um valor regular.
A partir das definic¸o˜es acima, a ∈ f (U) e´ um valor regular de f se, e somente se,
grad( f ) = ( fx, fy, fz) , θ em qualquer ponto da imagem inversa e
f −1(a) = {(x, y, z) ∈ U : f (x, y, z) = a}
3.8 Superfı´cie regular como imagem inversa de um valor regular
Proposic¸a˜o 3.3. (Superfı´cie como imagem inversa de um valor regular) Se f : U ⊂ R3 → R e´
uma aplicac¸a˜o diferencia´vel definida sobre um conjunto aberto U de R3 e a ∈ f (U) e´ um valor
regular de f , enta˜o f −1(a) e´ uma superfı´cie regular em R3.
Demonstrac¸a˜o. Seja p = (x0, y0, z0) ∈ f −1(a) onde a e´ um valor regular em f (U). Assim, e´
possı´vel assumir que fz(p) , 0. Definindo F : U ⊂ R3 → R3 por
F(x, y, z) = (x, y, f (x, y, z))
e tomando F(p) = F(x0, y0, z0) = (u, v,w), segue que
Fp =
1 0 fx0 1 fy0 0 fx
 (p) = fz(p) , 0
e pelo Teoremada func¸a˜o inversa, segue a existeˆncia de umavizinhanc¸aV = Vp e de uma
vizinhanc¸aW =W f (p) tal que F : V → W e´ uma aplicac¸a˜o inversı´vel e assim F−1 : W → V
e´ uma aplicac¸a˜o diferencia´vel.
Para (u, v,w) ∈ W) segue que F−1(u, v,w) = (u, v, g(u, v,w)) e temos em particular que
z = g(u, v, a) = h(x, y)
Geometria Diferencial - Superfı´cies em R3 - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
3.8 Superfı´cie regular como imagem inversa de um valor regular 18
e´ diferencia´vel definida sobre a projec¸a˜o de V sobre o plano z = 0 e como
F( f −1{a} ∩ V) =W ∩ {(u, v,w) : w = a}
enta˜o o gra´fico de h e´ f −1(a) ∩V e pela proposic¸a˜o anterior f −1(a) ∩V e´ uma vizinhanc¸a
coordenadade p e p ∈ f −1(a) pode ser coberta porumavizinhanc¸a coordenada epodemos
garantir que f −1(a) e´ uma superfı´cie regular. �
Exemplo 3.4. (Superfı´cie regular) Mostraremos que e´ regular a superfı´cie elipsoidal
definida por
S :
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
Seja S = {(x, y, z) ∈ R3 : f (x, y, z) = 0}, onde f : R3 → R e´ definida por
f (x, y, z) =
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
− 1
Semostrarmosque 0 e´ umvalor regular para f : R3 → R teremosmostradoqueS = f −1(0)
e´ uma superfı´cie regular.
Realmente,
fx =
2x
a2
, fy =
2y
b2
, fz =
2z
c2
e como fx(0, 0, 0) = fy(0, 0, 0) = fz(0, 0, 0) = 0 e (0, 0, 0) < f −1(0) segue que 0 e´ um valor
regular para f .
Exercı´cio: Exibir parametrizac¸o˜es para o Helico´ide e para o Toro.
Exercı´cios: Mostrar que cada uma das superfı´cies abaixo e´ regular.
1. (Hiperbolo´ide de 2 folhas) S : x2 + y2 − z2 + 1.
2. (Parabolo´ide) S : z = x2 + y2
3. (Cilindro) S : x2 + y2 = a2, z ∈ R
4. (Plano) S : ax + by + cz + d = 0
5. (Parabolo´ide hiperbo´lico) S : z = axy
Proposic¸a˜o 3.5. Se S ⊂ R3 e´ uma superfı´cie regular e p ∈ S, enta˜o, existe uma vizinhanc¸a Vp
em S tal que Vp e´ o gra´fico de uma aplicac¸a˜o diferencia´vel de uma das treˆs formas seguintes:
z = f (x, y), y = g(x, z), x = h(x, z)
Demonstrac¸a˜o. Seja F : U ⊂ R2 → S ⊂ R3 uma parametrizac¸a˜o de S em p e tomemos
F(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ U
Como (JF)(p) = 2, pelo menos um dos determinantes jacobianos:
∂(x, y)
∂(u, v)
,
∂(x, z)
∂(u, v)
,
∂(y, z)
∂(u, v)
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3.8 Superfı´cie regular como imagem inversa de um valor regular 19
deve ser diferente de zero no ponto q = F−1(p)
Se
∂(x, y)
∂(u, v)
(q) , 0 e a composta pi ◦ F : U ⊂ R2 → R2 onde a projec¸a˜o e´ definida por
pi(x, y, z) = (x, y) Assim (pi ◦ F)(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) e ale´m disso ∂(x, y)
∂(u, v)
(q) , 0.
Aplicando o Teorema da func¸a˜o inversa, podemos garantir que existem vizinhanc¸as V1
de q e V2 de (pi ◦ F)(q) tal que V1 e V2 sa˜o difeomeorfos pela aplicac¸a˜o pi ◦ F, assim, pelo
Teorema da func¸a˜o inversa
(pi ◦ F)−1(V2) = V1
e como F e´ um homeomorfismo, segue que
(pi ◦ F)−1(x, y) = (u(x, y), v(x, y))
garantindo que
F(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
Desse modo
F(x, y) = (x(u(x, y), v(x, y)), y(u(x, y), v(x, y)), z(u(x, y), v(x, y)))
o que significa que
F(x, y) = (x, y, z(x, y))
e´ a parametrizac¸a˜o pelo gra´fico da superfı´cie z = z(x, y). �
Exemplo 3.6. Seja a superfı´cie S parametrizada por x = u + v, y = u − v e z = u2 + v2
sendo (u, v) ∈ R2.
Como
∂(x, y)
∂(u, v)
=
∣∣∣∣∣1 11 −1
∣∣∣∣∣ , 0
enta˜o existe z = z(x, y) cujo gra´fico representa a superfı´cie S.
Como (
du
dv
)
=
∂(x, y)
∂(u, v)
(
dx
dy
)
enta˜o podemos escrever z = 12 (x
2 + y2) que representa a superfı´cie S.
Exercı´cio: Usando a Proposic¸a˜o (3.5), mostrar que o cone de uma folha, definido para
(x, y) ∈ R2 por
z =
√
x2 + y2
na˜o e´ uma superfı´cie regular.
Exercı´cio: Qual e´ o domı´nio de definic¸a˜o do cone como superfı´cie regular?
Exercı´cio: Mostrar que o cone de duas folhas z2 = x2 + y2 na˜o e´ uma Superfı´cie Regular.
Geometria Diferencial - Superfı´cies em R3 - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
3.9 Exercı´cios 20
Proposic¸a˜o 3.7. Seja p ∈ S e F : U ⊂ R2 → R3 sendo p ∈ F(U), satisfazendo as condic¸o˜es S1 e
S2 da definic¸a˜o (3.1). Se F for injetiva, enta˜o F−1 e´ contı´nua.
Demonstrac¸a˜o. Seja F(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), com (u, v) ∈ U e q = F−1(p) ∈ U.
Suponhamos que
∂(x, y)
∂(u, v)
(q) , 0 e que pi : R3 → R2 e´ definida por pi(x, y, z) = (x, y).
Pelo Teorema da func¸a˜o inversa, existem V = V(q) e W = W((pi ◦ F)(q)) tal que pi ◦ F :
V → W e´ um difeomeorfismo sobreW.
Como F e´ injetiva, enta˜o
F−1|F(V) = (pi ◦ F)−1 ◦ pi|F(V)
e como (pi ◦ F)−1 e pi sa˜o contı´nuas, segue que F−1 e´ contı´nua sobre F(U), isto e´, F−1 e´
contı´nua sobre o conjunto F(U). �
Exercı´cio: Seja P = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y} um plano e F : U ⊂ R2 → R3 definida por
F(u, v) = (u + v,u + v,uv)
onde U = {(u, v) ∈ R2 : u > v}.
Observamos que F(U) ⊂ P, mas temos a pergunta: F e´ uma parametrizac¸a˜o para o plano
P? A resposta e´ NAˆO, pois F na˜o e´ injetiva e pela Proposic¸a˜o (3.7) segue que F−1 na˜o e´
contı´nua, assim F sa˜o satisfaz a` condic¸a˜o S2, isto e´, F na˜o e´ um homeomorfismo.
3.9 Exercı´cios
1. Mostrar que o cilindro C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2= 1} e´ uma Superfı´cie Regular e
encontrar parametrizac¸o˜es cujas vizinhanc¸as coordenadas cobrem este cilindro.
2. O conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0 e x2 + y2 ≤ 1} e´ uma Superfı´cie Regular?
3. O conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0 e x2 + y2 < 1} e´ uma superfı´cie regular?
4. Exibir outra demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o (1) para h(x, y, z) = f (x, y) − z.
5. Seja f (x, y, z) = z2. Provar que 0 na˜o e´ um valor regular de f mas f −1(0) e´ uma
superfı´cie regular.
6. Seja f (x, y, z) = (x + y + z − 1)2.
(a) Localizar os pontos crı´ticos e os valores crı´ticos de f .
(b) Para quais valores de c, o conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : f (x, y, z) = c} e´ uma
Superfı´cie Regular.
7. Realizar uma ana´lise semelhante a` do ı´tem anterior para f (x, y, z) = xyz2.
8. Seja F = F(u, v) com esta´ na definic¸a˜o de Superfı´cie Regular. Verificar que JFq :
R2 → R3 e´ injetiva se, e somente se, (Fu × Fv)(q) , 0.
9. Construir uma parametrizac¸a˜o f = f (u, v) para o elipso´ide S :
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 e
descrever as curvas coordenadas para u = Constante sobre o elipso´ide.
Geometria Diferencial - Superfı´cies em R3 - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
3.9 Exercı´cios 21
10. Sera´ que e´ regular a superfı´cie S obtida pela anexac¸a˜o de dois cilindros circulares
retos, representada graficamente por
11. Consideremos a esfera S2 : x2 + y2 + z2 = 1 e a projec¸a˜o estereogra´fica definida
por pi : S2 − {(0, 0, 1)} → R2 que associa a cada ponto P que esta´ na intersec¸a˜o entre
S2 − {(0, 0, 1)} e o plano z = 0 com a reta que liga o polo norte (0, 0, 1) ao ponto P.
(a) Mostrar que pi−1 : R2 → S2 e´ definida por
pi−1(u, v) =
(2u, 2v,u2 + v2)
u2 + v2 + 1
(b) Mostrar que e´ possı´vel cobrir a esfera S2 comaprojec¸a˜o estereogra´fica, usando
apenas duas parametrizac¸o˜es.
(c) Seja V um conjunto aberto do plano z = 0. Mostrar que o conjunto {(x, y, z) ∈
R3 : (x, y) ∈ V e z = 0} e´ uma Superfı´cie Regular.
12. Mostrar que S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 − y2} e´ uma Superfı´cie Regular e analisar as
duas parametrizac¸o˜es abaixo para saber que partes de S sa˜o cobertas por F1 e F2.
(a) F1(u, v) = (u + v,u − v, 4uv), (u, v) ∈ R2
(b) F2(u, v) = (u cosh(v),u sinh(v),u2), (u, v) ∈ R2
Geometria Diferencial - Superfı´cies em R3 - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
3.10 Superfı´cies regradas 22
13. Construir uma parametrizac¸a˜o f = f (u, v) para z2−x2−y2 = 1 e descrever as curvas
coordenadas para u = Constante sobre o elipso´ide.
14. Mostrar que 4x3 − 2xy + z = 0 representa uma Superfı´cie Regular em R3.
3.10 Superfı´cies regradas
Definic¸a˜o 3.5. (Superfı´cie regrada) Uma superfı´cie regrada S e´ uma superfı´cie que em
cada ponto p ∈ S existe um segmento de reta contido em S passando por p.
Observac¸a˜o: Uma forma de obter superfı´cies regradas e´ tomar uma parametrizac¸a˜o da
forma f (u, v) = g(u) + v h(u), onde g e h sa˜o curvas diferencia´veis.
Exemplo 3.8. (Superfı´cies regradas)
1. A func¸a˜o f (u, v) = (cos(u), sin(u), 1) + v(0, 0, 1) define uma superfı´cie regrada.
2. O helico´ide definido por f (u, v) = g(u) + vh(u) onde g(u) = (a cos(u), a sin(u),u) e
h(u) = (− cos(u),− sin(u), 0), e´ uma superfı´cie regrada.
Exercı´cio: Mostrar que a func¸a˜o f (u, v) = (u, v,uv) parametriza a superfı´cie z = xy.
3.11 Mudanc¸a de paraˆmetros
Se f : U → S e f : U → S sa˜o parametrizac¸o˜es para uma superfı´cie S, enta˜o existe uma
aplicac¸a˜o h : ( f )−1(W) → f −1(W) tal que f = f ◦ h e´ um difeomorfismo.
Exercı´cio: Mostrar que f (u, v) = (cos(u), sin(u), v) com 0 < u < 2pi e −∞ < v < ∞ e
g(x, y) = (
x√
x2 + y2
,
y√
x2 + y2
,
√
x2 + y2) onde (x, y) ∈ R2 − {(0, 0)}, sa˜o parametrizac¸o˜es
para o cilindro circular reto x2 + y2 = 1 em R3. Mostrar que existe um difeomorfismo h
tal que g = f ◦ h. Dica: Voceˆ deve obter h(x, y) = (arctan(y/x), √x2 + y2).
Exercı´cio: Construir um difeomorfismo entre as superfı´cies S : x2 + y2 + z2 = a2 e
E :
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1, sendo a < b < c.
Exercı´cio: Mostrar que o parabolo´ide z = x2 + y2 e´ difeomorfo ao plano z = 0.
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3.12 Superfı´cies orienta´veis 23
3.12 Superfı´cies orienta´veis
Uma superfı´cie S e´ orienta´vel, se existem duas parametrizac¸o˜es f = f (u, v) e g = g(u, v)
e existe um conjunto aberto W tal que se p ∈ W ∩ S e p ∈ f (u, v) ∩ g(u, v), enta˜o o
difeomeorfismo h existente entre f −1(W) e g−1(W) tem jacobiano positivo em p.
Exercı´cio: Mostrar que o parabolo´ide de revoluc¸a˜o z = x2 + y2 e´ orienta´vel.
Observac¸a˜o: Toda superfı´cie que pode ser coberta por uma ´ parametrizac¸a˜o e´ uma
superfı´cie orienta´vel.
Exercı´cio: Mostrar que a esfera x2 + y2 + z2 = a2 e´ orienta´vel.
Exercı´cio: Estudar a Faixa de Mo¨bius com respeito a` sua orientabilidade.
3.13 Vetor normal a uma superfı´cie
Definic¸a˜o 3.6 (Vetor normal a uma superfı´cie). Se S e´ uma superfı´cie e p ∈ S, o vetor
normal unita´rio a` superfı´cie S no ponto p ∈ S e´ definido por
N(u, v) =
fu × fv
| fu × fv|
onde f = f (u, v) e´ uma parametrizac¸a˜o para S e a reta normal a` superfı´cie S passando
pelo ponto p ∈ S e´ dada para cada t ∈ R, por
r(t) = p + t N
Definic¸a˜o 3.7 (Campo diferencia´vel). Um campo diferencia´vel de vetores normais em
U ⊂ S e´ uma aplicac¸a˜o diferencia´vel N : U → R3 que associa a cada p ∈ U um vetor
normal Np.
Definic¸a˜o 3.8 (Diferenciabilidade em um ponto da superfı´cie). Seja f : V ⊂ S → R
definida em um aberto V de S.
f e´ diferencia´vel em p ∈ V se existe uma parametrizac¸a˜o φ : U ⊂ R2 → S ∩ V tal que
f ◦ φ e´ uma aplicac¸a˜o diferencia´vel sobre φ−1(p).
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3.14 Superfı´cies de revoluc¸a˜o 24
Definic¸a˜o 3.9 (Diferenciabilidade entre superfı´cies). Diz-se que f : S1 → S2 e´ uma
aplicac¸a˜o diferencia´vel, se existem duas parametrizac¸o˜es φ : U ⊂ R2 → S1 e ψ : V ⊂
R2 → S2 tal que h = ψ−1 ◦ f ◦ φ : U ⊂ R2 → V ⊂ R2 e´ diferencia´vel.
S1
f−−−−→ S2
φ
x xψ
U ⊂ R2 h−−−−→ V ⊂ R2
3.14 Superfı´cies de revoluc¸a˜o
Seja z = f (y) uma curva. Para rodar esta curva em torno do eixo OZ, basta tomar
y =
√
X2 + Y2 e z = Z para obter Z = f (
√
X2 + Y2).
Exemplo 3.9. (Superfı´cie de revoluc¸a˜o) Obtemos a superfı´cie de revoluc¸a˜o gerada por
1. z = y2 em torno do eixoOZ, tomamos y =
√
X2 + Y2 e z = Z para obter Z = X2+Y2.
2. x = 1y em torno do eixoOY, tomamos x =
√
X2 + Z2 e y = Y para obterX2+Z2 = 1Y2 .
3. y = e−x2 , (x > 0) em torno do eixo OY, tomamos x =
√
X2 + Z2 e y = Y para obter
Y = exp(−(X2 + Z2)).
3.15 Superfı´cie tubular
Seja g : I → R3 uma curva regular com curvatura na˜o nula, que esteja parametrizada
pelo comprimento de arco. Uma superfı´cie tubular pode ser parametrizada por
f (s, v) = g(s) +m (cos(v)N(s) + sin(v)B(s))
onde m e´ uma constante na˜o nula, N = N(s) e´ o vetor normal e B = B(s) e´ o vetor
binormal a` curva g = g(s).
Exercı´cio: Mostrar que a parametrizac¸a˜o f (s, v) = g(s) + m (cos(v)N(s) + sin(v)B(s))
define uma superfı´cie tubular regular e cujo vetor normal a` superfı´cie e´ definido por
N(s, v) = − cos(v)N(s) + sin(v)B(s)).
Exercı´cio: Seja a superfı´cie parametrizada por f (u, v) = (g(u) cos(v), g(u) sin(v), h(u)).
Mostrar que passam pelo eixo OZ as normais a` superfı´cie, onde g = g(u) e h = h(u)
sa˜o func¸o˜es na˜o nulas.
Exercı´cio: Mostrar que z = x2 + y2 e´ uma superfı´cie fechada em R3.
Exercı´cio: Se abc , 0, mostrar que cada equac¸a˜o x2 + y2 + z2 = 2ax, x2 + y2 + z2 = 2by e
x2+ y2+z2 = 2cz define uma superfı´cie regular e que estas treˆs superfı´cies se interceptam
ortogonalmente.
Exercı´cio: Mostrar que na˜o existe uma curva contı´nua contida inteiramente na superfı´cie
z2 = 1 + x2 + y2 ligando os pontos (0, 0, 1) e (0, 0,−1).
Geometria Diferencial- Superfı´cies em R3 - Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2007
	Topologia de Rn
	Bola aberta em Rn
	Conjuntos abertos em R3
	Propriedades dos conjuntos abertos
	Propriedade de separação de Hausdorff
	Conjunto fechado
	Ponto isolado
	Ponto de acumulação
	Ponto de aderência
	Caracterização de conjunto fechado
	Conjunto conexo
	Conjunto conexo por caminhos
	Conjunto compacto
	Funções vetoriais de várias variáveis reais
	Aplicação vetorial
	Aplicação linear
	Aplicação linear e posto de uma aplicação
	Aplicações contínuas
	Homeomorfismo
	Derivadas direcionais
	Aplicação diferenciável
	Matriz jacobiana
	Regra da cadeia
	Teorema da função inversa
	Superfícies no espaço tridimensional
	Superfícies em R3
	Parametrização regular para um conjunto S de R3
	Curvas coordenadas
	Vetores tangentes a uma superfície S
	Vetor Normal e Plano tangente a uma superfície S
	Parametrização de uma superfície pelo gráfico
	Ponto crítico, valor crítico e valor regular
	Superfície regular como imagem inversa de um valor regular
	Exercícios
	Superfícies regradas
	Mudança de parâmetros
	Superfícies orientáveis
	Vetor normal a uma superfície
	Superfícies de revolução
	Superfície tubular