Redes de Bravais e Estrutura Cristalina

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Rede de Rede de BravaisBravais
Cap 1 KITTEL
Cap 4 ASHCROFT- MERMIN (todo)
Cap 7 ASHCROFT- MERMIN (parte)
Cap 4 IVAN
�� Rede de Rede de BravaisBravais. Vetores primitivos. Vetores primitivos
�� Redes 2D e 3DRedes 2D e 3D
�� CCéélula unitlula unitáária primitivaria primitiva
ccéélula primitiva de WIGNERlula primitiva de WIGNER--SEITZSEITZ
ccéélula unitlula unitáária convencionalria convencional
�� Estrutura cristalina: rede + baseEstrutura cristalina: rede + base
�� Alguns exemplosAlguns exemplos
�� SimetriasSimetrias
Veremos hoje
Em 3D
Rede de Bravais
VETORES PRIMITIVOS DA REDE 
(linearmente independentes)
332211 anananR
rrrr
++=
321 ,, aaa
rrr
321 ,, nnn
1) Arranjo infinito e discreto de pontos tal que a disposição e 
orientação dos pontos é EXATAMENTE idêntica a partir de 
qualquer ponto da rede.
2) Conjunto de pontos R definidos por
Em 2D
2211 ananR
rrr
+=
varrem todos os valores inteiros
1os vizinhos: sítios mais próximos 
Número de coordenação (z) : número de 1os vizinhos
Para uma dada rede de Bravais o conjunto de vetores primitivos 
não é único – na realidade, existem infinitas escolhas.
Auguste Auguste BravaisBravais
Em 1845 enumerou todas as 
possíveis redes fundamentais
2D
3D 
5 redes 
14 redes
Redes de Redes de BravaisBravais 2D2D
retangularretangularobloblííquaqua
quadradaquadrada
retangularretangular centradacentrada
hexagonalhexagonal
Redes de Redes de BravaisBravais 2D2D
quadradaquadrada a = b a = b ϕϕ = 90= 90ºº
hexagonalhexagonal
retangularretangular
Retangular centradaRetangular centrada
obloblííquaqua
a = b a = b ϕϕ = 120= 120ºº
a a ≠≠ b b ϕϕ = 90= 90ºº
a a ≠≠ b b ϕϕ = 90= 90ºº
a a ≠≠ b b ϕϕ ≠≠ 9090ºº
Redes de Redes de BravaisBravais 3D3D
Centrada em uma única face (A, B ou C): um 
ponto adicional no centro de um tipo de face 
P
I
F
C
Primitive centering: pontos de rede nos apenas 
nos cantos da célula
Corpo centrado: um ponto adicional no centro da 
célula
Face centrada: um ponto adicional no centro de 
cada face da célula
CCúúbicabica
P I F
BCCBCC FCCFCC
hexagonalhexagonal
ortorrômbicaortorrômbica
C
tetragonaltetragonal
tricltriclíínicanica
monoclmonoclíínicanica
RhomboRhomboéédricadrica
((trigonaltrigonal))
SCSC
____________________________________________________________
CUBIC (3) a1 =a2 = a3 α = β = γ = 90°
TETRAGONAL (2) a1 =a2 ≠ a3 α = β = γ = 90°
ORTHORHOMBIC (4) a1 ≠a2 ≠ a3 α = β = γ = 90°
MONOCLINIC (2) a1 ≠a2 ≠ a3 α = γ = 90° ≠ β
TRICLINIC (1) a1 ≠a2 ≠ a3 α ≠ β ≠ γ
TRIGONAL (1) a1 =a2 = a3 α = β = γ <120°, ≠ 90°
HEXAGONAL (1) a1 =a2 ≠ a3 α = β = 90° γ =120°
_______________________________________________________________ 
3a
r
1a
r
2a
r
α
γβ
aa )0,0,1(1 =
r
aa )0,1,0(2 =
r
aa )1,0,0(3 =
r
z=6
a ⇒ parâmetro de rede
Rede cúbica simples
Rede cúbica de corpo centrado - BCC
)0,0,1(1 aa =
r
)0,1,0(2 aa =
r
)1,1,1(
2
3
a
a =
r
z=8
BCC
2
3
a
Distância entre primeiros vizinhos
)1,1,1(
2
1 −=
a
a
r
)1,1,1(
2
2 −=
a
a
r
)1,1,1(
2
3 −=
a
a
r
Rede cúbica de face centrada - FCC
)1,1,0(
2
1
a
a =
r
)1,0,1(
2
2
a
a =
r
)0,1,1(
2
3
a
a =
r
z=12
2
2
a
Distância entre primeiros vizinhos
FCC
CÉLULA UNITÁRIA ou CÉLULA UNITÁRIA CONVENCIONAL
Qualquer volume (área) finito que preenche completamente o 
espaço mediante translações convenientes sem 
superposições ou faltas
convenientes = 
subconjunto de todas as 
possíveis { t } 
t 
1
2
3
1 e 3 ⇒ o subconjunto 
é todo conjunto { t } 
2 ⇒ o subconjunto é um 
subconjunto de { t } 
4 ⇒ não é célula unitária
4
t 
A célula unitária primitiva é uma célula unitária de área mínima.
Não há maneira única de se escolher uma célula primitiva para 
uma dada rede de Bravais.
O volume da célula primitiva é independente da escolha da célula.
Uma célula primitiva deve conter somente um ponto da rede.
CÉLULA UNITÁRIA PRIMITIVA
( ) 3210 aaaV
rrr
•×=
210 aaA
rr
×=2D
3D
Escolhas possíveis de célula unitária primitiva
Contém 1 (e apenas 1) ponto da rede
n : densidade de pontos na rede
nv = 1 ⇒⇒⇒⇒ v = 1/n
célula unitária convencional
(cúbica) 
volume da célula primitiva
)1,1,0(
2
1
a
a =
r
( )
4
3
3210
a
aaaV =•×=
rrr
)1,0,1(
2
2
a
a =
r
Rede FCC )0,1,1(23
a
a =
r
Rede BCC
04VV = 4 átomos/célula
02VV = 2 átomos/célula
02VV =
CÉLULA PRIMITIVA DE WIGNER-SEITZ
A célula de Wigner-Seitz tem a mesma simetria da rede de Bravais. 
A célula de Wigner-Seitz em torno de um ponto da rede é a região 
do espaço que é mais perto deste ponto do que de qualquer outro 
ponto da rede.
A célula de Wigner-Seitz em torno de um ponto da rede pode ser 
construída ligando o ponto a todos os outros da rede, passando 
planos ⊥⊥⊥⊥s ao ponto médio de cada linha e tomando o menor poliedro 
contendo o ponto e limitado por estes planos.
Rede com baseRede com base
A rede A rede honeycombhoneycomb
não não éé uma rede uma rede 
fundamentalfundamental
A orientaA orientaçção ão éé idêntica a idêntica a 
partir de partir de AA e e CC, mas , mas 
não de não de AA e e BB ou ou CC e e BB
AA
CC
BB
Rede Rede honeycombhoneycomb
1) Arranjo infinito e discreto de pontos tal que a disposição e 
orientação dos pontos é EXATAMENTE idêntica a partir de 
qualquer ponto da rede.
z = 3
Rede com baseRede com base
base
Rede triangular
Rede triangular + base
z = 6
Rede fundamental
ESTRUTURA CRISTALINA: REDE + BASE
)ˆˆˆ(
2
,0 zyx
a
++
r
ESTRUTURA CRISTALINA: REDE + BASE
BCC
rede SC + base com 4 pontos)ˆˆ(
2
),ˆˆ(
2
),ˆˆ(
2
,0 xz
a
zy
a
yx
a
+++
r
base com 2 pontos
Para enfatizar a simetria cúbica das redes BCC e FCC
rede SC + 
FCC
)ˆˆˆ(
4
zyx
a
++
o
r
z = 4Rede diamante
Não é uma rede de Bravais
FCC + BASE
o
r
Átomos de Zn e S em uma rede diamante 
)ˆˆˆ(
4
zyx
a
++
Zn
S
Estrutura Zincblende
Não é uma rede de Bravais
FCC + BASE
z = 4
zcayax
a
axaa ˆ,ˆ
2
3
ˆ
2
,ˆ 321 =+==
rr
Rede hexagonal
é uma rede de Bravais
0
r
233
321 aaa
rrr
++
“ideal” 63.1
3
8
≅=
a
c
Estrutura HCP (hexagonal closed packed) Não é uma rede de Bravais
rede de Bravais hexagonal simples + base
0
r
)ˆˆˆ(
2
zyx
a
++
Na
Estrutura do NaCl
Cl
o
r
Cs
Cl
)ˆˆˆ(
2
zyx
a
++
Estrutura do CsCl
Simetrias do estado cristalinoSimetrias do estado cristalino
Cap 7 ASHCROFT- MERMIN (parte)
Cap 4 IVAN
Operações que deixam um dado 
ponto da rede fixo
OperaOperaçções de simetria ões de simetria 
pontuaispontuais
Reflexão em um plano vertical 
E
I
Cn
 σh
Identidade: Leva todas as 
coordenadas nelas mesmas 
I(x,y,z)=(-x,-y,z)
eixo z 
C4(x,y,z)=(y,-x,z)
 σv
Reflexão em um plano horizontal 
 σd Reflexão em um plano diagonal
Sn Sn= σhCn
E(x,y,z)=(x,y,z)
Inversão: Todas as coordenadas são 
invertidas em relação a um ponto
Rotação: Rotação de 360º/n em 
torno de um eixo 
Rotação imprópria: Rotação de 
360º/n seguida por uma reflexão 
em um plano horizontal
ExemploExemplo
Possui os elementos de simetria
C4, , C42,C43 e C44=E
Possui os elementos de simetria
C42 e C44=E
Não possui os elementos de 
simetria C4, e C43
(1) Translações por vetores da rede de Bravais
(2) Operações de simetria pontuais
Grupo de simetria de uma rede de Bravais
(3) Operações construídas pela aplicação sucessiva 
de (1) e (2) 
____________________________________________________________
Point Groups 7 (seven crystal systems)
Space Groups 14 ( 14 Bravais lattices)
_______________________________________________________________
CUBIC (3) a1 =a2 = a3 α = β = γ = 90°
TETRAGONAL (2) a1 =a2 ≠ a3 α = β = γ = 90°
ORTHORHOMBIC (4) a1 ≠a2 ≠ a3 α = β = γ = 90°
MONOCLINIC (2) a1 ≠a2 ≠ a3 α = γ = 90° ≠ β
TRICLINIC (1) a1 ≠a2 ≠ a3 α ≠ β ≠ γ
TRIGONAL (1) a1 =a2 = a3 α = β = γ <120°, ≠ 90°
HEXAGONAL (1) a1 =a2 ≠ a3 α = β = 90° γ =120°
_______________________________________________________________ 
3a
r
1a
r
2a
r
α
γβ
Grupo de simetria pontual (subconjunto do 
grupo de simetria da rede de Bravais)
Grupo de simetria de uma rede de Bravais: grupo 
espacial
Estrutura cristalina: rede +base
Redes Redes óóticasticas
COLCOLÓÓQUIO DO IFQUIO DO IF--UFRJUFRJ
5a5a--FEIRA, 27 de FEIRA, 27 de agostoagosto
11H 11H -- SALA 343ASALA 343A
Anderson localization of ultraAnderson localization of ultra--cold atomscold atoms
Prof. Alain AspectProf. Alain Aspect
InstitutInstitut d'Optiqued'Optique
PalaiseauPalaiseau, , FranFranççaa..
DeverDever de casa:de casa:
Ashcroft – capítulo 4
Problemas 1, 2, 3 e 6
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