Ciência dos Materiais II

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ESTRUTURA 
CRISTALINA
Segundo nível de estrutura dos materiais Arranjos assumidos pelos átomos 
no estado sólido
Ordenacao dos átomos
Ordem a longo 
alcance 
Materiais cristalinos
Ordem a curto 
alcance 
Materiais amorfos 
ou nao-cristalinos
Sem ordenamento
♦ As propriedades de alguns materiais estão diretamente associadas à sua estrutura 
cristalina. 
 Ex: magnésio e berílio que têm a mesma estrutura (HC) se deformam muito menos que 
ouro e prata (CFC) que têm outra estrutura cristalina. 
♦ Materiais cristalinos e não cristalinos de mesma composição !diferentes 
propriedades. Ex: cerâmicas e polímeros não-cristalinos são opticamente 
transparentes; os mesmos materiais em forma cristalina tendem a ser opacos ou 
translúcidos. 
♦ Dois cristais com mesma composição e estruturas cristalinas 
diferentes!POLIMORFISMO ou ALOTROPIA. 
.
Conceitos Fundamentais
 POLIMORFISMO ou ALOTROPIA !mudanca na densidade e outras propriedades físicas. Ex: carbono, 
nitreto de boro, ferro.
Conceitos Fundamentais
Diminuicao 
 do volume
Conceitos Fundamentais
Cristais : Átomos ordenados em longas distâncias atômicas 
 formam uma estrutura tridimensional. 
 condições geométricas 
Regularidade dos átomos no cristal tipo ligação atômica 
 (estrutura) compacidade 
 rede espacial (conceito geométrico)
{
Regras para estrutura ! arranjo + estável, mínimizacao de energia
Conceitos Fundamentais
Redes de Bravais 
Rede espacial: arranjo infinito, tridimensional de pontos, cada ponto com 
 vizinhancas idênticas. 
14 modos rede de Bravais 
CRISTAL !CÉLULA UNITÁRIA: é a menor subdivisao da rede cristalina que 
 retém todas as características da rede. 
POSICOES dos átomos podem ser geradas por translacoes proporcionais a distâncias 
Inteiras da célula unitária ao longo de cada uma de suas arestas.
14 redes de Bravais ! 7 sistemas cristalinos
Geometria das células! 6 parâmetros de rede 
Hexagonal Compacto
SISTEMA CÚBICO
Número de átomos por célula unitária: Número de pontos em cada célula unitária. 
 
Composto por três estruturas cristalinas: CS, CCC, CFC
SISTEMA CÚBICO
Polimorfismo ou Alotropia. 
Caso: Fe. Como o aumento de temperatura, a 912°c, o Fe com estrutura CCC 
passa para a estrutura CFC.
Exercício: Calcule a mudança de volume que ocorre quando o FeCCC é 
aquecido e transforma-se em FeCFC. Na transformação o parâmetro de rede 
muda de aCCC = 2,863A para aCFC = 3,591A
Solucao
Volume da célula CCC = a3 = 23,467A3 
Volume da célula CFC = a3 = 46,307A3 
FeCCC 2 átomos 
FeCFC 4 átomos 1FeCFC 2FeCCC
Mudança de Volume = Vf - Vi * 100 = 46,307 - 46,934 * 100 
 Vi 46,934 
Mudança de Volume = -1,34% 
SISTEMA CÚBICO
Relação entre raio atômico e parâmetro de rede: Determina-se como os átomos estão 
em contato. Após, determinar geometricamente a relação entre o raio atômico 
(r) e o parâmetro de rede (ao). 
Contato entre os átomos 
ocorre através da aresta da 
célula unitária
SISTEMA CÚBICO
Contato entre os átomos 
ocorre através da 
diagonal do cubo da 
célula unitária
d2 = a02 + a02 
SISTEMA CÚBICO
Contato entre os 
átomos ocorre 
através da 
diagonal da face 
da célula unitária
SISTEMA CÚBICO
Número de coordenação: número de vizinhos mais próximos, depende de: 
 1. Covalência. Ex: Grupo VII 1 lig cov ! NC = 1 
 2. Empacotamento atômico ! material + estável com 
 átomos arranjados em forma + fechada e com distâncias 
 interatômicas reduzidas. 
NC = 
NC = NC = 
NC = 
SISTEMA CÚBICO
Fator de empacotamento: volume da célula unitária efetivamente ocupada por átomos
FE = (n° átomos / célula) * volume cada átomo 
 volume da célula unitária
CS FE = (1 átomo / célula) * (4πr3/3) 
 ao3 
 FE = (1 átomo / célula) * (4πr3/3) = 0,52 
 (2r)3
SISTEMA CÚBICO
Densidade:A densidade teórica de um cristal pode ser calculada usando-se as 
propriedades da estrutura cristalina. 
ρ = (n° átomos / célula)*(massa atômica de cada átomo) 
 (volume da célula unitária) * (n° de Avogadro)
 Átomos Número de Parâmetro Fator de 
 por célula coordenação de rede empacotamento 
 CS 1 6 2R 0,52 
CCC 2 8 4R/(3)1/2 0,68 
CFC 4 12 4R/(2)1/2 0,74 
SISTEMA HEXAGONAL
Estrutura Hexagonal Simples (HS): 
Metais não cristalizam no sistema HS o fator de empacotamento é muito baixo 
Cristais com mais de um tipo de átomo podem cristalizar neste sistema
SISTEMA HEXAGONAL
Estrutura Hexagonal Compacta (HC): 
O sistema Hexagonal Compacta é mais comum nos metais (ex: Mg, Zn) 
Cada átomo em seu nível está localizado acima ou abaixo do interstício de 3 
átomos de níveis adjacentes.
NC = 
át/celula = 
c/a ideal é 1,633 
FE = 0,74 
Parametros de rede 
a = 2r 
c2 = 8a2/3 
c/2
Dica
Vista superior Vista lateral
C/2
2h/3
Calcule a densidade para o Fe CCC e CFC 
raio = 1,24 å; peso molar = 55,85 g/mol 
R = 7,9 g/cm3 e 8,6 g/cm3
Calcule o FE e a densidade para o diamante 
Raio do carbono = 7,72.10-9 cm 
R: 0,34 e 3,5 g/cm3 
a/2 = A
a/2 = A
a/2 
a/2 
d
4r
Triângulo da base 
d2=(a/2)2 +(a/2)2 
d2 = 2a2/4 
d = a/(2)1/2
Triângulo do cubo 
(4r)2=(a/2)2 + d2 
(4r)2=(a/2)2 +(a/(2)1/2)2 
16r2 = a2/4 + a2/2 
16r2 = 3a2/4 
64/3r2 = a2 
a = (8/(3)1/2)r
Fator de empacotamento atômico 
FEA = 8 . 4/3πr3 
 ((8/(3)1/2)r)3 
Densidade 
d = 8 . 12 g/mol = 3,52 g/cm3 
 ((8/(3)1/2) 7,72.10-9 cm)3.6,02x1023át/mol 
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
⇒As propriedades de muitos materiais são direcionais, por exemplo o módulo de 
elasticidade do FeCCC é maior na diagonal do cubo que na direção da aresta. 
⇨Foram estabelecidos covencoes com 3 números inteiros, utilizados para identificar as 
posicoes, direcoes e planos.
Posicoes
⇒ Pode-se localizar os pontos das posições 
atômicas da célula unitária cristalina 
construindo-se um sistema de eixos 
coordenados.
Direções da célula unitária cúbica
⇒ Algumas direções da célula unitária são de particular importância, por exemplo os metais se 
deformam ao longo da direção de maior empacotamento. 
⇒ Algumas propriedades dos materiais dependem da direção do cristal em que se encontram e 
são medidas. 
⇒Direção: linha entre 2 pontos, um vetor. 
⇒Os índices de Miller das direções são usados para descrever estas direções.
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
ÍNDICES DE MILLER PARA DIREÇÕES: 
1. Definir dois pontos por onde passa a direção 
2. Definir o ponto alvo e origem, fazendo-se: ALVO-ORIGEM 
3. Eliminar as frações e reduzir ao m.m.c. 
4. Escrever entre colchetes, e se houver n° negativo o sinal é colocado sobre o n°. 
[h k l]
x y z 
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Direção A: 
1. alvo= 1, 0, 0; origem= 0, 0, 0 
2. alvo - origem = 1, 0, 0 
3. sem frações 
4. [1 0 0]
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Algumas observações: 
 - direção e suas múltiplas são idênticas [111] ≡ [222]; 
 (direções e suas negativas não são idênticas) [111] ≠ [�1�1�1];
Direções da célula unitária cúbica
FAMÍLIA DE DIREÇÕES: Para algumas estruturas, várias posições nao-paralelas são 
equivalentes, ou seja, o espaçamento entre os átomos ao longo de cada direção é o mesmo. 
Conjunto de Índices de Miller onde todos tem mesma simetria. 
Por conveniência, agrupa-se em famílias: <> 
 Exemplo para 
 simetria cúbica:
Isto nao é, em geral, verdadeiro para outros sistemas cristalinos.
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Para o sistema cúbico: 
 A simetria da estrutura permite que as direções equivalentes sejam 
agrupadas: 
 Família de direções: <100> para as faces <110> para as diagonaisdas faces 
<111> para a diagonal do cubo 
CCC 
Família de direções <111> 
empacotamento atômico 
fechado
CFC 
Família de direções <110> 
empacotamento atômico 
fechado
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Direções da célula unitária cúbica
Índices de Miller-Bravais para a Célula Hexagonal
Estabelecem-se 4 eixos. 
⇒ Eixos: a1 a2 a3 c 
⇒Direções na célula unitária hexagonal [h k i l], 
onde h+k = -i 
⇒São determinados da mesma forma que os 
índices de Miller para simetria cúbica. 
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Direções da célula unitária Hexagonal
D1 D2
D3
Direção D1
a1 a2 a3 c
Alvo 1 -1.cos 60˚ -1.cos 60˚ 0
Origem 0 0 0 0
1 -½ -½ 0
mmc 2 -1 -1 0
60˚
[2 1 1 0]
 Direções da célula unitária
⇒ Outra maneira de caracterizar as direções é através da distância de repetição, fator de 
empacotamento e densidade linear.
DENSIDADE LINEAR: É o número de átomos no plano
ρL = número de átomos 
 unidade de comprimento
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
DISTÂNCIA DE REPETIÇÃO: De quanto em quanto se 
repete o centro de um átomo. É o inverso da densidade linear.
FATOR DE EMPACOTAMENTO LINEAR: É quanto da direção está definitivamente 
coberta por átomos.
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Calcule a distância de repetição, densidade linear e o fator de empacotamento para a direção [1 1 
1] do Cu CFC. (ao=3,6151 A)
Distância de repetição 
o centro do átomo se repete 
a cada diagonal do cubo 
Dr = a0 31/2 
Dr = 3,6151 10-8*31/2 
Dr = 6,262 10-8 cm
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Densidade linear ρL 
ρL = 1/ Dr = 1/ 6,262 10-8 
 
ρL = 1,597 107 átomos/cm 
Fator de empacotamento FE 
FE = 2r/ Dcubo = 0,408
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Planos da célula cúbica 
⇒ Um cristal possui planos de átomos que influenciam as propriedades e o comportamento de 
um material.Ex: deformação em metais envolve o deslizamento de planos atômicos e este ocorre 
mais facilmente nos planos e direções de maior densidade atômica. 
⇒ Os Índices de Miller também são determinados para planos. 
ÍNDICES DE MILLER PARA PLANOS: 
1. Definir três pontos onde o plano corta x, y e z. 
2. Calcular os recíprocos dos valores obtidos. 
3. Eliminar as frações sem reduzir ao m.m.c. 
4. Escrever entre parênteses, e se houver n° negativo o sinal é colocado sobre este n°. 
OBS.: Se o plano passar pela origem, desloque-a.
(h k l)
x y z 
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Determine os Índices de Miller para os planos A da figura abaixo.
Plano A: 
 x y z 
1. 1 1 1 
2. 1/1 1/1 1/1 
3. Não tem frações 
4. (1 1 1)
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Planos da célula cúbica 
Plano B: 
 x y z 
1. 1 2 
2. 1/1 1/2 0 
3. Eliminar fração 
4. (2 1 0)
(0,0)
Plano C: 
 x y z 
1. - 1 
2. 0 -1/1 0 
3. Sem fração 
4. (0 1 0)
Observações importantes: 
- Iguais Índices de Miller para direção e plano, 
significa que estes apresentam perpendicularidade. 
 Exemplo: (1 0 0) ⊥ [1 0 0] 
- Índices de Miller simétricos são o mesmo plano, 
depende apenas do referencial (planos e seus 
negativos são idênticos). 
 Exemplo: (0 2 0) ≡ (0 2 0) 
- Planos e seus múltiplos não são idênticos 
(densidade planar diferente).
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Planos da célula cúbica 
DENSIDADE PLANAR: É o número de átomos por unidades de área.
ρP = número de átomos no plano 
 área do plano
FATOR DE EMPACOTAMENTO PLANAR: É quanto da área está efetivamente coberta por 
átomos.
FEP = área dos átomos 
 área do plano
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Planos da célula cúbica 
DISTÂNCIA INTERPLANAR: É a distância de dois planos com mesmos 
índices de Miller.
D (h, k, l) = a0 
 (h2 + k2 + l2)1/2
Para o sistema cúbico
Calcule a densidade planar e o fator de empacotamento planar para os planos (0 1 0) e (0 2 
0), para o sistema cúbico simples do polônio, o qual tem a0 = 3,34 10-8 cm.
ρplanar (0 2 0) = zero
FEplanar (0 2 0) = zero
ρplanar = n° átomos 
 área
ρplanar (0 1 0) = 1 átomo = 8,96 1014 átomos/cm2 
 ao2
FEplanar = área de átomos por face 
 área da face 
FEplanar (0 1 0) = 1 átomo (πr2)= 0,79 
 ao2
(010)
(020)
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Arranjo atômico para um plano depende da estrutura critalina. 
Representacao do plano (110)
Observe que o 
empacotamento atômico 
é diferente 
Família de planos: contém todos aqueles planos cristalograficamente equivalentes, ou seja, 
possuem o mesmo empacotamento atômico.
Exemplo: planos da família {1 1 0} (1 1 0) (1 0 1) (0 1 1) 
(1 1 0) (1 0 1) (0 1 1)
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Planos da célula cúbica 
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
FAMÍLIA DE PLANOS {111} 
CCC 
Família de planos {110}: 
maior densidade atômica 
CFC 
Família de planos {111}: 
maior densidade atômica 
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Planos da célula cúbica 
Determine os índices de Miller para o plano B e para a direção D
Plano B: 
 h k i l 
 a1 a2 a3 c 
1. 1 1 -1/2 1 
2. 1/1 1/1 -2/1 1/1 
3. 1 1 -2 1 
4. (1 1 -2 1) ou (1 1 1) 
Lembre h+k=-i
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Planos da célula hexagonal 
Determina-se da mesma forma que para o sistema cúbico
 Direção D: 
1. alvo= -1/2, 1, -1/2, 0; origem= 
1,-1/2,-1/2,0 
2. alvo - origem = -3/2,3/2, 0 
3. (-3/2,3/2, 0 ) x 2 
4. [3 3 0 0]