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MECÂNICA GERAL PARA ENGENHEIROS Profª: Acilayne Freitas de Aquino Capítulo 2 Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Vetores– são entes matemáticos que possuem intensidade, direção e sentido. Vetores Iguais São vetores de mesma intensidade, direção e sentido, quer tenham ou não o mesmo ponto de aplicação. Podem ser identificados pela mesma letra Profª: Acilayne Freitas Noções de Vetores P P Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Vetor Oposto É definido como sendo um vetor que tem a mesma intensidade, direção e sentido oposto ao de P P= -P Profª: Acilayne Freitas Noções de Vetores P -P Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Adição de Vetores Profª: Acilayne Freitas Noções de Vetores Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Subtração de Vetores Profª: Acilayne Freitas Noções de Vetores Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Adição de três ou mais vetores Regra do triângulo Profª: Acilayne Freitas Noções de Vetores Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Produto de um escalar por um Vetor Profª: Acilayne Freitas Noções de Vetores – Produto de um escalar k (positivo ou negativo) por um vetor P =kP – Tem a mesma direção; – Tem o mesmo sentido, se k for positivo; – Tem sentido oposto se k for negativo; – A intensidade é igual ao produto da intensidade de P pelo valor k -2P P 1,5P Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Resultante de duas forças sobre uma partícula Geometricamente a resultante de duas forças sobre uma partícula, assim como visto desde o ensino médio, poderá ser determinada a partir dos métodos do paralelogramo e do polígono. Profª: Acilayne Freitas Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Determinação do módulo da Resultante de duas forças sobre uma partícula A partir dos métodos anteriormente apresentados, podemos determinar o módulo da força resultante através das Leis do Senos e dos Cossenos. Profª: Acilayne Freitas Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Determinação do módulo da Resultante de duas forças sobre uma partícula Lei dos Senos senA a senB b senBasenAbh senC c senB b senBcsenCbh 2 1 De I e II concluímos: senC c senA a senB b Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Lei dos Cossenos AcbbAAsenca AcAcbbAsenca AcbsenAcaHAbha cos2)cos( coscos2 )cos()()( 22222 222222 222222 Concluímos: Acbbca cos2222 Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Exercício resolvido 01 Determine o módulo da força resultante e sua direção medida no sentido horário a partir do eixo x positivo. OBS: Nos casos de triângulos de força o módulo da força resultante pode ser determinado pela Lei dos cossenos e a direção pela Lei dos senos. y x 30º 10KN 4KN Profª: Acilayne Freitas Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Solução: Profª: Acilayne Freitas Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Exercício resolvido 02 Determine os módulos das componentes da força de 600N nas direções das barras AC e AB da treliça abaixo Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Exercício resolvido 03 A viga da figura é suspensa por meio de dois cabos. Se a força resultante é de 600N, direcionada ao longo do eixo y positivo, determine FA e FB e a direção θ de modo que FB seja mínimo. A força de módulo FA atua a um ângulo de 30º com o eixo y, conforme ilustração. Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Solução Para que FB seja mínima a componente deverá ser perpendicular a força FA (conforme a ilustração). Logo, θ=60º. Assim, os valores de FA e FB são facilmente encontrados pela lei dos senos Resposta: FA=520N; FB= 300N Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Exercício resolvido 04 Uma barcaça é puxada por 2 rebocadores. Se a resultante das forças exercidas pelos rebocadores é de 5kN e tem a direção do eixo da barcaça, determine: a) a tração em cada corda, sabendo-se que α=45º b) o valor de α para que a tração na corda 2 seja mínima Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Solução: Alternativa a: 5kN 5kN KNT KNT sen KN sen T sen T 59,2 66,3 105 5 3045 2 1 00 2 0 1 Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Solução: Alternativa b: 5kN Para que T2 seja mínimo, T1 e T2 devem ser ortogonais, isto é, devem formar um ângulo de 90º. Sen30º = T2 / 5 T2 = 5 sen30º T2 = 2,5 kN Cos30º = T1 / 5 T1 = 5 cos30º T1 = 4,33 kN α = 90º – 30º = 60º 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 5kN Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Exercício proposto 01 Determine trigonometricamente a intensidade e direção da força P de tal modo que a resultante de P e da força de 900N seja vertical de 2700N dirigida para baixo. Resposta: P=2990N; ângulo=17,24º Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Resposta: R=92,7N Exercício proposto 02 As forças P e Q agem sobre um parafuso A. Determinar a sua resultante. Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Exercício proposto 03 Duas peças estruturais B e C são rebitadas ao suporte A. Sabendo-se que a tração na peça B é de 6KN e que a tração na peça C é de 10KN, determine graficamente a intensidade, a direção e o sentido da força resultante exercida sobre o suporte. Resposta: FR=14,3KN; ângulo=20,10º Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Exercício proposto 04 Uma estaca é arrancada do solo com o auxílio de duas cordas, como na figura abaixo. a) Com α=30º e utilizando a trigonometria, determine o módulo da força P necessária para que a resultante na estaca seja vertical. b) Qual o módulo da resultante? Resposta: P=101,43N; Fr=196,6N Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Na seção anterior, estudamos a determinação do módulo da força resultante pelo método do paralelogramo e o método do polígono. Estes métodos são pouco eficientes em casos que envolvem maisde duas forças. Nestes casos, determinaremos a força resultante a partir da soma das componentes ortogonais. Para entendermos como funciona esta soma vetorial, devemos rever o processo de decomposição Resultante de forças pela soma das componentes ortogonais Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Abaixo está ilustrado um vetor de módulo F com um ângulo θ em relação ao eixo horizontal x e suas componentes ortogonais obtidas por relações trigonométricas. Resultante de forças pela soma das componentes ortogonais Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Resultante de duas forças pela soma das componentes ortogonais Na figura abaixo demonstra a soma de três vetores e a sua resultante obtida a partir da soma das componentes ortogonais. Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Resultante de forças pela soma das componentes ortogonais Fy j Fx i Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Resultante de forças pela soma das componentes ortogonais Exercício resolvido 01: Uma força de 800 N é exercida sobre um parafuso A. Determine as componentes horizontal e vertical da força F. Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Resultante de forças pela soma das componentes ortogonais Solução: Fx = - F cosα = - 800.cos35º Fx = - 655 N Fy = + F senα = - 800.sen35º Fy = + 459 N Componentes vetoriais de F: Fx = - (655 N)i Fx = + (459 N)j F = - (655 N)i + (459 N)j Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Resultante de forças pela soma das componentes ortogonais Exercício resolvido 02: Determine o módulo da força resultante e sua direção medida no sentido horário a partir do eixo x positivo. Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Resultante de forças pela soma das componentes ortogonais Solução: Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Resultante de forças pela soma das componentes ortogonais Exercício resolvido 03: Quatro forças atuam no parafuso A. Determine a resultante das forças que agem no parafuso. Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Resultante de forças pela soma das componentes ortogonais Solução: Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Resultante de forças pela soma das componentes ortogonais Exercício proposto 01 Um homem puxa, com uma força de 300 N, uma corda fixada a uma construção. Quais as componentes horizontal e vertical da força exercida pela corda no ponto A? Resposta: a=36,87º Fx = (240N)i ; Fy =(-180N)j Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Resultante de forças pela soma das componentes ortogonais Exercício proposto 02 A força F=(3,5kN)i + (7,5kN)j é aplicada a um parafuso A. Determine a intensidade da força e o ângulo que ela forma com a horizontal. F y = 7 ,5 k N Fy = 3,5 kN Resposta: =35º F = 8,28kN Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Resultante de forças pela soma das componentes ortogonais Exercício proposto 03 Uma força de 2,5 kN está aplicada a um cabo ligado a um suporte. Quais as componentes horizontal e vertical desta força? Resposta: Fx = (-2,35KN)i ; Fy =(0,855KN)j Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Resultante de duas forças pela soma das componentes ortogonais Exercício proposto 04 Resposta: Fx = (250N)i ; Fy =(-600N)j A tração no cabo de sustentação AB é 650N. Determine as componentes horizontal e vertical da força atuante no pino A. Resposta: +250N, - 600N Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Equilíbrio de uma partícula no plano Profª: Acilayne Freitas Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Diagrama de corpo Livre Profª: Acilayne Freitas Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Profª: Acilayne Freitas Tem-se um caixote de 75kg que estava em 2 prédios e está agora sendo colocado sobre um caminhão. O caixote é suportado por um cabo vertical, unido no ponto A a duas cordas que passam por roldanas fixadas nos prédios em B e C. Deseja-se determinar a tração nas 2 cordas AB e AC Exercício resolvido 01 Diagrama de corpo livre Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Exercício resolvido 01 Condição de equilíbrio do ponto A Σ F = 0 0 0 y x F F CACAAC BABAAB CACAAC BABAAB TsenTTy TsenTTy TTTx TTTx 50,0º30. 766,0º50. 866,0º30cos. 643,0º50cos. NT NT TTTTF TTTTF AB AC ACACACABy ACBAACABx 53,648 39,480 073650,0)35,1(766,0073650,0766,00 35,10866,0643,00 Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Exercício resolvido 02 Determine os módulos F1 e F2 de modo que a partícula da figura fique em equilíbrio. 0 0 y x F F Condição de equilíbrio do ponto Σ F = 0 Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Exercício proposto 01 Forças no Plano sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Exercício proposto 02 Forças no espaço sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Forças no espaço sobre uma partícula C A P Í T U L O 2 Exercício proposto 01 Uma força de 500N forma ângulos de 60º, 45º e 120º, respectivamente com os eixos x, y e z. Determinar as componentes Fx, Fy e Fz da força.
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