ESTATISTICA 5

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Análise Exploratória de Dados
● Medidas de Posição (tendência central)
– Média
– Moda (medida mais frequente)
– Mediana (medida que ocupa a posição central)
● Medidas de Dispersão
indicam se valores relativamente próximos um dos 
outros, ou separados em torno de uma medida de 
posição: a média.
– Desvio padrão
– Variância
– Coeficiente de Variação
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
● Desvio padrão (S)
Mede o grau de dispersão dos dados numéricos em 
torno de um valor médio.
Sejam os elementos de uma amostra, 
portanto “n” valores da variável x. 
x1 , x2 , x3 ,... , xn
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
● Exemplo de cálculo do desvio padrão:
Seja a amostra 10, 12, 14, 16, 18.
1º – calcula-se a média
2º – calculam-se os desvios de cada valor em relação 
a média
3º – aplica-se a formula do desvio padrão
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
● Exemplo de cálculo do desvio padrão:
Seja a amostra 10, 12, 14, 16, 18.
1º – calcula-se a média: = 14.
2º – calculam-se os desvios de cada valor em relação a média
10 – 14 = -4 12 – 14 = -2 14 – 14 = 0
16 – 14 = 2 18 – 14 = 4
3º – aplica-se a formula do desvio padrão
 
x
S=√ (−4 )2+(−2)2+(0)2+(2)2+(4 )24 =√ 16+4+0+4+164 =√ 404 =√ 10
S=3,162277.
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
● Variância (S²)
Mede a variação média em torno da Média.
Sejam os elementos de uma amostra, 
portanto “n” valores da variável x. 
x1, x2 , x3 ,... , xn
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
● Exemplo de cálculo da variância:
Seja a amostra de tempo de serviço de cinco 
funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11.
1º – calcula-se a média
2º – calculam-se os desvios de cada valor em relação 
a média
3º – aplica-se a formula da variância
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
● Exemplo de cálculo da variância:
Seja a amostra 3, 7, 8, 10 e 11.
1º – calcula-se a média: = 7,8.
2º – calculam-se os desvios de cada valor em relação a média
 3 – 7,8 = -4,8 7 – 7,8 = -0,8 8 – 7,8 = 0,2
10 – 7,8 = 2,2 11 – 7,8 = 3,2
3º – aplica-se a formula da variância
S² = [(-4,8)² + (-0,8)² + (0,2)² + (2,2)² + (3,2)²] / 4
S² = [23,04 + 0,64 + 0,04 + 4,84 + 10,24] / 4
S² = 38,8 / 4 = 9,7. E o desvio padrão: S = 3,11448..
x
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
● Relação entre desvio padrão e variância:
Desvio padrão:
Variância:
Relação:
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
● Coeficiente de Variação (CV)
média relativa útil para comparação e observação em 
termos relativos ao grau de concentração em torno da 
média de séries distintas.
Representa o desvio padrão expresso como porcenta-
gem da média.
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
● Coeficiente de Variação
Classificação da distribuição quanto à dispersão:
● Dispersão baixa: CV ≤ 15%
● Dispersão média: 15% < CV < 30%
● Dispersão alta: CV ≥ 30%
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
● Exemplo de cálculo do coeficiente de variação:
Seja a amostra de tempo de serviço de cinco 
funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11.
1º – calcula-se a média
2º – calcula-se o desvio padrão
3º – aplica-se a formula do coeficiente de variação
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
● Exemplo de cálculo do coeficiente de variação:
Seja a amostra 3, 7, 8, 10 e 11.
1º – calcula-se a média: = 7,8.
2º – calcula-se o desvio padrão: S = 3,11448 = 3,11
3º – aplica-se a formula do coeficiente de variação
CV = (3,11 / 7,8) * 100
CV = 0,3987* 100
CV = 39,87%.
x
 
Propriedades
Medidas de Posição e Dispersão
Dados Não Agrupados
 
Medidas de Posição
Propriedades
Dados Não Agrupados
● Média Aritmética
– A soma algébrica dos desvios em relação a 
média é nula.
 onde 
 
– A soma dos quadrados dos desvios em relação 
a média é um mínimo.
∑
i=1
n
d i=∑
i=1
n
(x i−x)=0
∑
i=1
n
(x i−x)
2<∑
i=1
n
(xi−x0)
2
d i=x i−x
i=1, 2,... , n
 
● Média Aritmética
– Se números tem média , se números 
tem média , … , se números tem média 
então:
n1 x1 n2
x2 nk xk
x=
x1 .n1+ x2.n2+...+xk .nk
n1+n2+...+nk
x=
∑
j=1
k
x j .n j
∑
j=1
n
n j
Medidas de Posição
Propriedades
Dados Não Agrupados
 
● Média Aritmética
– Ao somar (ou subtrair) uma constante a cada 
elemento de uma série , a média fica somada (ou 
subtraída) por essa constante.
 
 
– Ao multiplicar (ou dividir) uma constante a cada 
elemento de uma série , a média fica multiplicada 
(ou dividida) por essa constante.
Y=X±X0⇒ y=x± x0
X0
X
c
X
Y=c . X⇒ y=c .x Y= Xc ⇒ y=
x
c
Medidas de Posição
Propriedades
Dados Não Agrupados
 
● Desvio Padrão
– Ao somar (ou subtrair) uma constante a cada 
elemento de uma série , o desvio padrão não se 
altera.
 
 
– Ao multiplicar (ou dividir) uma constante a cada 
elemento de uma série , o desvio padrão fica 
multiplicado (ou dividido) por essa constante.
Y=X±X0⇒SY=S X
X0
X
c
X
Y=c . X⇒SY=c . SX Y=
X
c
⇒SY=
S X
c
Medidas de Dispersão
Propriedades
Dados Não Agrupados
 
● Variância
– Ao somar (ou subtrair) uma constante a cada 
elemento de uma série , a variância não se altera.
 
 
– Ao multiplicar (ou dividir) uma constante a cada 
elemento de uma série , a variância fica multipli-
cada (ou dividida) pelo quadrado dessa constante.
Y=X±X0⇒SY
2=S X
2
X0
X
c
X
Y=c . X⇒SY
2=c2 . SX
2 Y= X
c
⇒SY
2=
S X
2
c2
Medidas de Dispersão
Propriedades
Dados Não Agrupados
 
Análise Exploratória de Dados
● Medidas de Posição (tendência central)
– Média
– Moda (medida mais frequente)
– Mediana (medida que ocupa a posição central)
● Medidas de Dispersão
indicam se valores relativamente próximos um dos outros, 
ou separados em torno de uma medida de posição: a 
média.
– Desvio padrão
– Variância
– Coeficiente de Variação
 
Medidas de Posição 
Dados Agrupados
● Média 
– Distribuição de frequência por valores simples
Faz-se a média aritmética de 
ponderados pelas respectivas frequências
absolutas 
 
 onde
k: quantidade de elementos distintos.
x1, x2 , x3 ,... , xn
f 1, f 2, ... , f n .
x=
∑
i=1
k
x i . f i
n
n=∑
i=1
k
f i
 
Medidas de Posição 
Dados Agrupados
● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC 
Calcular a média aritmética por valores simples
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total
41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60
3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total
41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60
3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total
41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60
3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20
123 84 43 44 45 92 100 51 52 54 57 116 120 981
x=
∑
i=1
13
x i . f i
20
=?
 
Medidas de Posição 
Dados Agrupados
● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC 
Calcular a média aritmética por valores simples
x=
∑
i=1
13
x i . f i
20
=
981
20
=49,05
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total
41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60
3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20
123 84 43 44 45 92 100 51 52 54 57 116 120 981
 
Medidas de Posição 
Dados Agrupados
● Média 
– Distribuição de frequência por classes
Faz-sea média aritmética dos pontos médios 
 de cada classe, ponderados pelas
respectivas frequências absolutas 
 onde
 
k: quantidade de classes.
x1 , x2 , x3 ,... , xn
f 1, f 2, ... , f n .
x=
∑
i=1
k
x i . f i
n
n=∑
i=1
k
f i
 
Medidas de Posição 
Dados Agrupados
● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC 
Calcular a média aritmética por classes
x=?
Classes Frequência
1 41 |-- 45 7
2 45 |-- 49 3
3 49 |-- 53 4
4 53 |-- 57 1
5 57 |-- 61 5
Total 20
 
Medidas de Posição 
Dados Agrupados
● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC 
Calcular a média aritmética por classes
Classes
1 41 |-- 45 7
2 45 |-- 49 3
3 49 |-- 53 4
4 53 |-- 57 1
5 57 |-- 61 5
Total 20
f i x i x i . f i
x=
∑
i=1
5
x i . f i
20
=?
 
Medidas de Posição 
Dados Agrupados
● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC 
Calcular a média aritmética por classes
x=
∑
i=1
5
x i . f i
20
=
996
20
=49,80
Classes
1 41 |-- 45 7 43 301
2 45 |-- 49 3 47 141
3 49 |-- 53 4 51 204
4 53 |-- 57 1 55 55
5 57 |-- 61 5 59 295
Total 20 996
f i x i x i . f i
 
Medidas de Posição 
Dados Agrupados
● Moda 
– Distribuição de frequência por valores simples
Faz-se pela simples observação do elemento que 
apresenta a maior frequência.
Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC
Como a maior frequência é então Mo = 41. 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total
41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60
3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total
41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60
3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20
f i=3
 
Medidas de Posição 
Dados Agrupados
● Moda 
– Distribuição de frequência por classes
Temos diversos métodos para o cálculo da moda 
neste caso. Usaremos o Método de Czuber:
● Identifica-se a classe modal (maior frequência)
Classe (Mo)
● Aplica-se a formula:
Mo=li+h .
Δ1
Δ2+Δ1
 
Medidas de Posição 
Dados Agrupados
● Moda 
– Distribuição de frequência por classes
em que:
 Limite inferior da classe modal
 (freq. modal – freq. anterior)
 (freq. modal – freq. posterior)
 amplitude da classe modal
Mo=li+h .
Δ1
Δ2+Δ1
li :
Δ1=f mo−f ant :
Δ2=f mo−f post :
h :
 
Medidas de Posição 
Dados Agrupados
● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC 
Calculando a moda por classes, temos:
Classe (Mo) = ?, , , 
Classes
1 41 |-- 45 7
2 45 |-- 49 3
3 49 |-- 53 4
4 53 |-- 57 1
5 57 |-- 61 5
Total 20
f i
li=? h=?
Δ1=f mo−f ant=?
Δ2= f mo−f post=?
Mo=li+h .
Δ1
Δ2+Δ1
 
Medidas de Posição 
Dados Agrupados
● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC 
Calculando a moda por classes, temos:
Classe (Mo) = 41 |-- 45, , , li=41 h=4
Δ1=f mo−f ant=7−0=7
Δ2=f mo−f post=7−3=4
Classes
1 41 |-- 45 7
2 45 |-- 49 3
3 49 |-- 53 4
4 53 |-- 57 1
5 57 |-- 61 5
Total 20
f i
Mo=li+h .
Δ1
Δ2+Δ1
 
Medidas de Posição 
Dados Agrupados
● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC 
Calculando a moda por classes, temos:
Classe (Mo) = 41 |-- 45, , , li=41 h=4
Δ1=f mo−f ant=7−0=7
Δ2=f mo−f post=7−3=4
Classes
1 41 |-- 45 7
2 45 |-- 49 3
3 49 |-- 53 4
4 53 |-- 57 1
5 57 |-- 61 5
Total 20
f i
Mo=li+h .
Δ1
Δ2+Δ1
=41+4 . 77+4
Mo=43,55
 
Medidas de Posição 
Dados Agrupados
● Mediana 
– Distribuição de frequência por valores simples
Verifica-se se o número de observações é par ou impar para
determinar o elemento mediano.
– Em seguida, acrescentam-se as frequências acumuladas a tabela 
original para encontrar a localização do elemento mediano.
 
Medidas de Posição 
Dados Agrupados
● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC 
Calcular a mediana por valores simples
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total
41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60
3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total
41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60
3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total
41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60
3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20
3 5 6 7 8 10 12 13 14 15 16 18 20
EMe=? Me=?
 
Medidas de Posição 
Dados Agrupados
● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC 
Calcular a mediana por valores simples
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total
41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60
3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total
41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60
3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total
41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60
3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20
3 5 6 7 8 10 12 13 14 15 16 18 20
EMe=
20
2 =10 Me=
46+50
2 =48
 
Medidas de Posição 
Dados Agrupados
● Mediana 
– Distribuição de frequência por classes
Procedimento:
● Calcula-se o elemento mediano 
● Pela identifica-se a classe com o valor da 
mediana – Classe (Me).
 Frequência acumulada.
● Aplica-se a formula:
Me=li+h .
EMe−Fant
f Me
EMe .
Fi
Fi :
 
Medidas de Posição 
Dados Agrupados
● Mediana 
– Distribuição de frequência por classes
em que:
 Limite inferior da classe mediana
 Amplitude da classe mediana
 Frequência acumulada anterior a classe mediana
 Frequência absoluta simples da classe mediana
 se n par se n impar
li :
Fant :
h :
f Me :
Me=li+h .
EMe−Fant
f Me
EMe=
n
2 : EMe=
n+1
2 :
 
Medidas de Posição 
Dados Agrupados
● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC 
Calculando a mediana por classes, temos:
 
Classes
1 41 |-- 45 7
2 45 |-- 49 3
3 49 |-- 53 4
4 53 |-- 57 1
5 57 |-- 61 5
Total 20
f i
Fant=?
f Me=?
Me=li+h .
EMe−Fant
f Me
EMe=? , li=? ,h=? ,
 
Medidas de Posição 
Dados Agrupados
● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC 
Calculando a mediana por classes, temos:
 
Fant=?
f Me=?
Me=li+h .
EMe−Fant
f Me
EMe=? , li=? ,h=? ,
Classes
1 41 |-- 45 7 7
2 45 |-- 49 3 10
3 49 |-- 53 4 14
4 53 |-- 57 1 15
5 57 |-- 61 5 20
Total 20
f i Fi
 
Medidas de Posição 
Dados Agrupados
● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC 
Calculando a mediana por classes, temos:
 Classe(Me) = 45|--49, 
Fant=7
f Me=3
Me=li+h .
EMe−Fant
f Me
=49
EMe=10⇒
Classes
1 41 |-- 45 7 7
2 45 |-- 49 3 10
3 49 |-- 53 4 14
4 53 |-- 57 1 15
5 57 |-- 61 5 20
Total 20
f i Fi
li=45,h=4,
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