lista6

Prévia do material em texto

GEOMETRIA ANALÍTICA - LISTA 6 -10/06/2011
Está …xado um sistema de coordenadas ortogonal (
�!
i ;
�!
j;
�!
k ).
1) Veri…que se as retas r e s são ortogonais ou perpendiculares. Se são perpendiculares, encontre P 2 r \ s.
a) r : X = (1; 1; 1) + �(2; 1;�3)(� 2 R) e s : X = (0; 1; 0) + �(�1; 2; 0)(� 2 R).
b) r :
�
x� y + 2z = 1
x+ y � 2z = 2 e s :
�
2x� y + z = 1
x� y = 0
c) r : x+ 3 = y = z3 e s :
x�4
2 =
4�y
�1 = �z
2) Ache equações paramétricas da reta r que passa por P e é perpendicular à reta s nos seguintes casos.
a) P = (�1; 3; 1) e s : x�12 = y�13 = z.
b) P = (1; 0; 1) e s é a reta que passa por A = (0; 0;�1) e B = (1; 0; 0).
3) Dê uma equação vetorial da reta paralela ao plano �, perpendicular à reta que passa por A e B, e que intercepta a reta
s, sendo � : 2x� y + 3z � 1 = 0, A = (1; 0; 1); B = (0; 1; 2), s : X = (4; 5; 0) + �(3; 6; 1)(� 2 R).
4) Veri…que se r é perpendicular a �. Em caso a…rmativo encontre P 2 � \ r.
a) r : X = (0; 1; 0) + �(1; 1; 3)(� 2 R) e � : X = (3; 4; 5) + �(6; 7; 8) + �(9; 10; 11).
b) r : X = (3; 1; 4) + �(1;�1; 1)(� 2 R) e � : X = (1; 1; 1) + �(0; 1; 0) + �(1; 1; 1).
c) r :
8<: x = 1 + 3�y = 1� 3�
z = �
e � : 6x� 6y + 2z � 1 = 0.
5) Ache equações na forma simétrica da reta r que passa por P e é perpendicular ao plano �, nos seguintes casos:
a) P = (�1; 3; 5) e � : x� y + 2z � 1 = 0;
b) P = (1; 3; 7) e � o plano que passa por A = (0; 0; 6); B = (1; 1; 5) e C = (3; 0; 0).
6) Ache uma equação geral do plano � que passa por P = (0; 1;�1) e é perpendicular a r : X = (0; 0; 0)+�(1;�1; 1)(� 2 R).
7) Ache o simétrico de P = (1; 4; 2) em relação ao plano � : x� y + z � 2 = 0.
8) Ache o simétrico de P = (0; 2; 1) em relação à reta r : X = (1; 0; 0) + �(0; 1;�1).
9) Ache equações na forma simétrica da reta t perpendicular às retas r :
8<: x = 1 + �y = �
z = 0
e s :
8<: x = 0y = �
z = 1 + �
e que passa pela
interseção de r e s.
10) Veri…que se são perpendiculares os planos �1 e �2:Em caso a…rmativo, dê uma equação vetorial para r :
�
�1
�2
a) �1 : X = (0; 0; 1) + �(1; 0; 1) + �(�1;�1; 1) e �2 : 2x� 7y + 16z = 40;
b) �1 : X = (1;�3; 4) + �(1; 0; 3) + �(0; 1; 3) e �2 : X = (0; 0; 0) + �(1; 1; 6) + �(1;�1; 0)(�; � 2 R);
1
c) �1 : x+ y � z � 2 = 0 e �2 : 4x� 2y + 2z = 0;
11) Dados os planos �1 : x � y + z + 1 = 0, �2 : x + y � z � 1 = 0 e �3 : x + y + 2z � 2 = 0, ache uma equação do plano
que contém �1 \ �2 e é perpendicular a �3.
12) Ache a medida em radianos do ângulo entre as retas r : X = (1; 1; 9) + �(0; 1;�1) e s :
�
x� 1 = y
z = 4
13) Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos X 2 E3 tais que a medida em radianos do ângulo entre o eixo z
e a reta que passa por X e P = (0; 0; 2) seja �4 .
14) Ache a medida em radianos do ângulo entre as retas r : x = 1�y2 =
z
3 e s :
�
3x+ y � 5z = 0
2x+ 3y � 8z = 1 .
15) Ache a medida em radianos do ângulo entre a reta r e o plano � nos seguintes casos:
a) r : X = (0; 1; 0) + �(�1;�1; 0)(� 2 R) e � : y + z � 10 = 0;
b) r :
�
x = 0
y = z
e � : z = 0
c) r : X = (0; 0; 1) + �(�1; 1; 0)(� 2 R) e � : 3x+ 4y = 0;
16) Obtenha equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto P = (1; 1; 1), é paralela ao plano �1 : x+ 2y � z = 0, e
forma com o plano �2 : x� y + 2z = 1 um ângulo de �3 rad.
17) Ache a medida em radianos do ângulo entre os planos �1 e �2 nos seguintes casos:
a) �1 : x� y + z = 20 e �2 : x+ y + z = 0;
b) �1 : 2x+ y � z � 1 = 0 e �2 : x� y + 3z � 10 = 0;
c) �1 : X = (1; 0; 0) + �(1; 0; 1) + �(�1; 0; 0) e �2 : x+ y + z = 0
18) Obtenha uma equação geral do plano �, que contém a reta r :
�
x� 2y + 2z = 0
3x� 5y + 7z = 0 e forma com o plano � : x+ z = 0
um ângulo de 60 graus.
19) Ache a reta que passa por P = (1;�2; 3) e que forma ângulos de �4 e �3 rad respectivamente com o eixo x e eixo y.
20) Ache uma reta que passa por P = (1; 1; 1), intercepta a reta r : x2 = y = z e forma com ela um ângulo �, onde cos � =
p
3
3 .
21) Obtenha uma equação para o lugar geométrico dos pontos de E3 que equidistam dos pontos A = (1; 1; 1) e B = (1; 2; 3).
Obs. Este lugar geométrico é um plano.
22) Calcule a distância do ponto P à reta r nos casos:
a) P = (1; 1;�1), r :
�
x� y = 1
x+ y � z = 0 ;
b) P = (�2; 0; 1), r :
8<: x = 3�+ 1y = 2�� 2
z = �
;
23) Obtenha uma equação vetorial da reta r, paralela à reta s : X = (1; 1; 0)+�(2; 1; 2), contida no plano � : x� 4y+ z = 0
e que dista
p
20
3 do ponto P = (1; 0; 1).
24) Encontre os pontos de r : x� 1 = 2y = z que equidistam dos pontos A = (1; 1; 0) e B = (0; 1; 1).
25) Ache os pontos de r : x� 1 = 2y = z que equidistam de s :
�
x = 2
z = 0
e t :
�
x = 0
z = 0
.
26) Calcule a distância do ponto P ao plano � nos casos:
2
a) P = (1; 2;�1), � : 3x� 4y � 5z + 1 = 0;
b) P = (1; 3; 4), � : X = (1; 0; 0) + �(1; 0; 0) + �(�1; 0; 3);
c) P = (0; 0; 0), � : 2x� y + 2z � 3 = 0
27) Sejam P = (1; 0; 2) e r : x � y = x + 2z = x + z. Obtenha uma equação geral do plano � que contém r e dista 2 do
ponto P:
28) Ache os pontos da reta r :
�
x+ y = 2
x = y + z
que distam
p
6 de � : x� 2y � z = 1:
29) Ache os pontos de r : x� 1 = 2y = z que equidistam dos planos �1 : 2x� 3y � 4z � 3 = 0 e �2 : 4x� 3y � 2z + 3 = 0
30) Calcule a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:
a) r : X = (�1; 2; 0) + �(1; 3; 1)(� 2 R) es :
�
3x� 2z � 3 = 0
y � z � 2 = 0
b) r :
�
x = z � 1
y = 3z � 2 e s :
�
3x� 2z + 3 = 0
y � z � 2 = 0
c) r :
8<: x = 2� �y = 1 + �
z = ��
e s a reta que passa pelos pontos A = (0;�1; 1) e B = (1; 1;�2).
31) Dados o ponto P = (1; 3;�1), o plano � : x + z = 2 e a reta s :
�
x� y � z = 2
x+ y � z = 2 , obtenha equações paramétricas da
reta r que passa por P , é paralela a � e dista 3 da reta s:
32) Calcule a distância entre os planos paralelos �1 e �2 nos seguintes casos:
a) �1 : 2x� y + 2z + 9 = 0, �2 : 4x� 2y + 4z � 21 = 0
b) �1 : x+ y + z + 2 = 0, �2 : X = (1; 1;�2) + �(1; 1;�2) + �(�1; 0; 1).
3