ESTATISTICA 10

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Distribuições Teóricas 
de Probabilidade de 
Variáveis Aleatórias 
Discretas
 
Distribuições Teóricas de Probabilidades de 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Distribuição de Bernoulli
Consideremos uma única tentativa de um experimento 
aleatório. Podemos ter sucesso ou fracasso nessa tentativa.
Seja a probabilidade de sucesso e a probabilidade de 
fracasso, com , ou seja, 
Seja X: número de sucessos em uma única tentativa do 
experimento. 
p q
p+q=1 q=1−p .
X=0→ fracasso e P(X=0)=q
X=1→ sucessoe P(X=1)=p
 
Distribuições Teóricas de Probabilidades de 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Distribuição de Bernoulli
Se X: número de sucessos em uma única tentativa do 
experimento. 
Nestas condições a variável tem distribuição de 
BERNOULLI e sua função de probabilidade é dada por
A esperança da distribuição de Bernoulli é E(X)=p e sua 
variância é V(X)=pq. 
P(X=x)=px .q1−x
X=0→ fracasso e P(X=0)=q
X=1→ sucessoe P(X=1)=p
 
Distribuições Teóricas de Probabilidades de 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Uma urna contém 15 bolas brancas e 25 bolas vermelhas. 
Uma bola é retirada da urna e a variável aleatória X anota o 
número de boas brancas obtidas.
Calcule a média e a variância de X e determinar P(X). 
 
Distribuições Teóricas de Probabilidades de 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Uma urna contém 15 bolas brancas e 25 bolas vermelhas. 
Uma bola é retirada da urna e a variável aleatória X anota o 
número de boas brancas obtidas.
Calcule a média e a variância de X e determinar P(X). 
X=0→q=2540=
5
8
X=1→ p=1540=
3
8
 
Distribuições Teóricas de Probabilidades de 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Uma urna contém 15 bolas brancas e 25 bolas vermelhas. 
Uma bola é retirada da urna e a variável aleatória X anota o 
número de boas brancas obtidas.
Calcule a média e a variância de X e determinar P(X). 
X=0→q=2540=
5
8
X=1→ p=1540=
3
8
P(X=x)=( 3
8
)
x
( 5
8
)
1−x
E(X)=p=38
V (X )=pq=38 .
5
8=
15
64
 
Distribuições Teóricas de Probabilidades de 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Uma urna contém 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se 
uma bola dessa urna. Seja X: número de bolas verdes, 
calcular E(X), Var(X) e determinar P(X).
 
Distribuições Teóricas de Probabilidades de 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Uma urna contém 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se 
uma bola dessa urna. Seja X: número de bolas verdes, 
calcular E(X), Var(X) e determinar P(X).
X=0→q=3050=
3
5
X=1→ p=2050=
2
5
P(X=x)=( 2
5
)
x
( 3
5
)
1−x
 
Distribuições Teóricas de Probabilidades de 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Uma urna contém 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se 
uma bola dessa urna. Seja X: número de bolas verdes, 
calcular E(X), Var(X) e determinar P(X).
X=0→q=3050=
3
5
X=1→ p=2050=
2
5
P(X=x)=( 2
5
)
x
( 3
5
)
1−x
E(X)=p=25
V (X )=p .q=25 .
3
5=
6
25
 
Distribuições Teóricas de Probabilidades de 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Distribuição Binomial
Consideremos tentativas independentes de um mesmo 
experimento aleatório. Cada tentativa admite apenas dois 
resultados: fracasso com probabilidade e sucesso com 
probabilidade , As probabilidades de sucesso e 
fracasso são as mesmas para cada tentativa.
Seja X: número de sucessos em n tentativas.
Determinaremos a função de probabilidades da variável X, 
isto é, 
 onde
P(X=k ) .
p+q=1.
P(X=k )=(nk)pk qn−k
p
n
q
(nk)= n!k!(n−k)!
 
Distribuições Teóricas de Probabilidades de 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Distribuição Binomial
Se X: número de sucessos em n tentativas.
Determinaremos a função de probabilidades da variável X, 
isto é, 
 onde
A variável X tem distribuição binomial, com parâmetros e
 , e indicaremos pela notação
P(X=k ) .
X∼B (n , p)
P(X=k )=(nk)pk qn−k
p
n
(nk)= n!k!(n−k)!
 
Distribuições Teóricas de Probabilidades de 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual a probabilidade de 
saírem 8 caras?
X: número de sucessos (caras)
X = 0, 1, 2, 3, …, 20 → p = P(c) = ½.
X: B (20, ½)
P(X=8)=(208 )12
8 1
2
12
=0,12013
 
Distribuições Teóricas de Probabilidades de 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Será extraída uma amostra de 5 indivíduos de uma grande 
população, onde 60% são do sexo feminino. Qual a 
probabilidade de: 
a) exatamente 3 dos indivíduos escolhidos ser do sexo 
feminino?
b) pelo menos um dos indivíduos ser do sexo feminino?
c) ao menos 3 (uma maioria) ser do sexo feminino?
 
Distribuições Teóricas de Probabilidades de 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Será extraída uma amostra de 5 indivíduos de uma grande 
população, onde 60% são do sexo feminino. Qual a 
probabilidade de: 
a) exatamente 3 dos indivíduos escolhidos ser do sexo 
feminino?
Se X: número de indivíduos que são do sexo feminino, 
temos uma distribuição binomial.
Assim,
 
b) pelo menos um dos indivíduos ser do sexo feminino?
P(X=3)=(53)(0,6)3(0,4)2=0,3456
 
Distribuições Teóricas de Probabilidades de 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Será extraída uma amostra de 5 indivíduos de uma grande 
população, onde 60% são do sexo feminino. Qual a 
probabilidade de: 
b) pelo menos um dos indivíduos ser do sexo feminino?
A probabilidade de que pelo menos um dos indivíduos seja 
do sexo feminino é dada por:
 
c) ao menos 3 (uma maioria) ser do sexo feminino?
1−P(X=0)=1−(50)(0,6)0(0,4)5=1−0,0102=0,9898
 
Distribuições Teóricas de Probabilidades de 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Será extraída uma amostra de 5 indivíduos de uma grande 
população, onde 60% são do sexo feminino. Qual a 
probabilidade de: 
c) ao menos 3 (uma maioria) ser do sexo feminino?
A probabilidade de que ao menos 3 (uma maioria) seja do 
sexo feminino é dada por P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5),
ou seja,
 
(53)(0,6)3(0,4)2+(54)(0,6)4(0,4)1+(55)(0,6)5(0,4)0=0,6826
 
Distribuições Teóricas de Probabilidades de 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Média e Variância de uma v.a. com Distribuição 
Binomial
Se 
 
Então
X∼B (n , p)→ P(X=k )=(nk)pk qn−k
E(X)=n . p
V (X )=n. p.q
 
Distribuições Teóricas de Probabilidades de 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Em 100 lances de uma moeda honesta determine a média e 
a variância do número de caras.
 
 
Distribuições Teóricas de Probabilidades de 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Em 100 lances de uma moeda honesta determine a média e 
a variância do número de caras.
Seja X: número de caras → e 
Então,
p=12
E(X)=n . p=100 . 12=50
V (X )=n. p.q=100 . 12 .
1
2=25
q=12
 
Distribuições Teóricas de Probabilidades de 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Achar a média e variância da variável aleatória Y = 3X + 2, 
sendo X: B(20; 0,3).
 
 
Distribuições Teóricas de Probabilidades de 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Achar a média e variância da variável aleatória Y = 3X + 2, 
sendo X: B(20; 0,3).
 E(X)=n . p=20. 0,3=6
V (X )=n. p.q=20 . 0,3 .0,7=4,2
 
Distribuições Teóricas de Probabilidades de 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Achar a média e variância da variável aleatória Y = 3X + 2, 
sendo X: B(20; 0,3).
 
Logo,
E(X)=n . p=20. 0,3=6
V (X )=n. p.q=20 . 0,3 .0,7=4,2
E(Y )=E (3 X+2)=3E (X )+2=3 .6+2=20
Var(Y )=Var(3 X+2)=9Var (X )=9.4,2=37,8
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