DISTRIBUICaO DE PROBABILIDADES - PARTE I

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Bruno Baierle
Maurício Furigo
Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora)
Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES
PARTE I
Variável Aleatória
Por definição uma variável aleatória pode ser entendida como
sendo uma variável quantitativa, cujo resultado depende de
fatores aleatórios.
Exemplos:
 número de coroas obtidos no lançamento de moedas;
 número de defeitos de azulejo que sai da linha de produção;
 tempo de resposta de um sistema computacional;
 resistência ao desgaste de um tipo de aço, num teste padrão;
Variável Aleatória
Uma variável aleatória é uma função que associa elementos do
espaço amostral ao conjunto de números reais.
Exemplo 1. (BARBETTA, pg 117) No lançamento de 2 moedas, o
espaço amostral mais completo é Ω = {(cara, cara), (cara, coroa),
(coroa, cara), (coroa, coroa)}, enquanto que a variável aleatória
número de coroas assume valores no conjunto {0, 1, 2}.
A relação entre os dois conjuntos, é esquematizada a
seguir.
Variável Aleatória
Uma variável aleatória pode ser:
Discreta: onde os possíveis resultados estão
contidos em um conjunto finito ou enumerável.
Exemplo:
Variável Aleatória
Uma variável aleatória pode ser:
Contínua: onde os possíveis resultados abrangem
todo um intervalo de números reais.
Exemplo:
Variáveis Aleatórias Independentes
Variável aleatória independente, pode ser entendida quando o
conhecimento de uma variável não altera as distribuições de
probabilidade das demais variáveis (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛).
Para variáveis aleatórias independentes:
V X + Y = V X + V(Y)
V X − Y = V X + V(Y)
Variáveis Aleatórias Independentes
Exemplo 2. (MEYER), seja X e Y a duração da vida de dois
dispositivos eletrônicos. Suponha que sua fdp conjunta seja
dada por
𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒆−(𝒙+𝒚), 𝒙 ≥ 𝟎, 𝒚 ≥ 𝟎,
por fatoração temos
𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒆−𝒙𝒆−𝒚,
desta forma a independência de X e Y fica estabelecida.
Variáveis Aleatórias Independentes
Definição: seja (X, Y) uma variável aleatória discreta
bidimensional. Então X e Y serão variáveis aleatórias
independentes se, e somente se:
𝑃 𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 = 𝑝(𝑥𝑖)𝑞(𝑦𝑗) para quaisquer 𝑖 e 𝑗.
Portanto,
P 𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑗 = 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 𝑃(𝑌 = 𝑦𝑗) para todo 𝑖 e 𝑗
Variáveis Aleatórias Independentes
Definição: seja (X, Y) uma variável aleatória contínua
bidimensional. Então X e Y serão variáveis aleatórias
independentes se, e somente se:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑔 𝑥 ℎ(𝑥) para todo 𝑥 e 𝑦,
onde 𝑓 é a fdp conjunta, e 𝑔 e ℎ são as fdp marginais
de X e Y, respectivamente.
Variável Aleatória Discreta
Variável Aleatória Discreta
Teorema 1: Se X é uma variável aleatória discreta com
distribuição de probabilidade 𝑓 𝑥 . Definindo Y = 𝑢 𝑋 a
transformação um a um entre os valores de X e Y, então a
equação 𝑦 = 𝑢 𝑥 pode ser unicamente resolvida por 𝑥 em função
de 𝑦, digamos 𝑥 = 𝑤 𝑦 .
Então a distribuição de probabilidade de Y é
𝒈 𝒚 = 𝒇 𝒘(𝒚)
Variável Aleatória Discreta
Teorema 2: Supondo que 𝑋1 e 𝑋2 são variáveis aleatórias
discretas com distribuição de probabilidade conjunta 𝑓 𝑥1, 𝑥2 ,
definindo a transformação um a um entre os pontos 𝑥1, 𝑥2 e
𝑦1, 𝑦2 , então as equações
𝑦1 = 𝑢1 𝑥1, 𝑥2 e 𝑦2 = 𝑢2 𝑥1, 𝑥2 , 
podem ser unicamente solucionadas para 𝑥1 e 𝑥2 em função de 𝑦1
e 𝑦2.
Variável Aleatória Discreta
Onde:
𝑥1 = 𝑤1(𝑦1, 𝑦2) e 𝑥2 = 𝑤2(𝑦1, 𝑦2)
Portanto a distribuição de probabilidade conjunta 𝑌1 e 𝑌2
é:
𝒈 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 = 𝒇[𝒘𝟏 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 , 𝒘𝟐 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 ]
Variável Aleatória Discreta – Função de 
Probabilidade
Se X for discreta, com valores {𝑋1, 𝑋2, … }, então a distribuição de probabilidade de
X, pode ser apresentada pela função de probabilidade, a qual associa a cada
valor possível 𝑋𝑖 a sua probabilidade de ocorrência 𝑝(𝑋𝑖).
Ou seja
𝒑 𝒙𝒊 = 𝑷(𝑿 = 𝒙𝒊)
Satisfazendo:
𝑝 𝑥𝑖 ≥ 0
 
𝑖
.
𝑝 𝑥𝑖 = 1
Variável Aleatória Discreta – Função 
de Probabilidade
Representação gráfica da distribuição de probabilidade da variável
aleatória X, a qual representa o número obtido no lançamento de
um dado comum.
Variável Aleatória Discreta – Função 
de Distribuição Acumulada
Por definição:
𝑭 𝒙 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙 , ∀𝒙 ∊ ℜ
Assim, para todo 𝑥 ∊ ℜ, a função de distribuição acumulada 
descreve a probabilidade de ocorrer um valor até 𝒙.
Exemplo: 
Variável Aleatória Discreta – Função 
de Distribuição Acumulada
X = número obtido no lançamento de um dado comum.
𝐹 𝑥
0 𝑠𝑒 𝑥 < 1
 1 6 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 ≥ 2
 2 6 𝑠𝑒 2 ≤ 𝑥 ≥ 3
 3 6 𝑠𝑒 3 ≤ 𝑥 ≥ 4
 4 6 𝑠𝑒 4 ≤ 𝑥 ≥ 5
 5 6 𝑠𝑒 4 ≤ 𝑥 ≥ 5
1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 6
Variável Aleatória Discreta – Valor 
Esperado e Variância
Valor esperado:
μ = 𝑬 𝑿 = 
𝒋=𝟏
𝒌
𝒙𝒋𝒑𝒋
Variância:
σ𝟐 = 𝑽 𝑿 = 
𝒋=𝟏
𝒌
(𝒙𝒋 − μ)
𝟐𝒑𝒋
Ou
𝑽 𝑿 = 𝑬(𝑿𝟐) − μ𝟐
Variável Aleatória Discreta – Valor 
Esperado e Variância
Propriedades:
a) 𝐸 𝑐 = 𝑐
b) 𝐸 𝑋 + 𝑐 = 𝐸 𝑋 + 𝑐
c) 𝐸 𝑐𝑋 = 𝑐𝐸(𝑋)
d) 𝐸 𝑋 + 𝑌 = 𝐸 𝑋 + 𝐸 𝑌
e) 𝐸 𝑋 − 𝑌 = 𝐸 𝑋 − 𝐸(𝑌)
f) V 𝑐 = 0
g) V 𝑋 + 𝑐 = 𝑉 𝑋
h) V 𝑐𝑋 = 𝑐2𝑉(𝑋)
i) DP 𝑐𝑋 = |𝑐|𝐷𝑃(𝑋)
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Bernoulli
A distribuição de Bernoulli tem somente 2
resultados possíveis: sucesso e fracasso.
Onde:
𝟎 ≤ 𝒑 ≤ 𝟏
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Bernoulli
Função da probabilidade p(x)
X 𝑝 𝑥
0
1
1 − 𝑝
𝑝
total 1
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Bernoulli
Função acumulada F(x)
𝑭 𝑿 = 
𝟎
𝟏 − 𝒑
𝟏
𝒔𝒆 𝒙 < 𝟎
𝒔𝒆 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏
𝒔𝒆 𝒙 ≥ 𝟏
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Bernoulli
Esperança E(X)
𝑬 𝑿 = 𝒑
Variância V(X)
𝐕 𝑿 = 𝒑. 𝟏 − 𝒑
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Bernoulli
Exemplos.
Lançamento de uma moeda:
 Caso obtenha-se uma cara: sucesso
 Caso obtenha-se uma coroa: fracasso
A direção que segue um veículo em bifurcação (caminho A e B):
 Se segue o caminho A: sucesso
 Se segue o caminho B: fracasso
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Bernoulli
Exemplo 3. Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma
bola dessa urna. Seja X: nº de bolas verdes. Calcular E(X) e V(X).
Solução
X = {1 → p = 20 50 = 
2
5
E X = p = 𝟐 𝟓 = 𝟎, 𝟒 𝐛𝐨𝐥𝐚𝐬 𝐯𝐞𝐫𝐝𝐞𝐬
V X = p ∙ 1 − p = 2 5 ∙ 1 − 
2
5 
𝟔
𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟒 𝐛𝐨𝐥𝐚𝐬 𝐯𝐞𝐫𝐝𝐞𝐬
𝟐
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Considere n experimentos independentes identicamente distribuídos,
cada um com distribuição Bernoulli de parâmetro p. Se a variável de
interesse x corresponde ao número de sucessos obtidos nestes n
experimentos, então x é conhecida como uma variável aleatória
binomial de parâmetros n e p.
Onde:
n é o número de ensaios independentes;
e P (sucesso) = p, constante para todo ensaio 0 < 𝑝 < 1
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Função da probabilidade p(x)
𝒑 𝒙 =
𝒏
𝒙
∙ 𝒑𝒙 ∙ (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒙 x = 0,1, 2, … , n
Onde:
𝑛
𝑥
=
𝑛!
𝑛 − 𝑥 ! 𝑥!
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Função acumulada F(x)
𝑭 𝒙 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙𝒊 = 
𝒊=𝟏
𝒏𝒊
𝒇(𝒙𝒊)
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Esperança E(x)
𝑬 𝑿 = 𝒏 ∙ 𝒑
Variância V(X)
𝑽 𝑿 = 𝒏 ∙ 𝒑(𝟏 − 𝒑)
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Exemplos.
 Lançar uma moeda 5 vezes e observar o número de
caras;
 Verificar o número de bits que não estão afetados por
ruídos, em um pacote com n bits;
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Representação gráfica com n = 5 e p = 0,5
E(X)=25
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Exemplo 4. (DÍAZ) Um médico aplica um teste em dez alunos de um
colégio, para detectar uma enfermidade cuja incidência sobre uma
população de crianças é de 10%. A sensibilidade do teste é de 80% e
a especificidade é de 75%. Qual a probabilidade de que 4 pessoas
apresentem um resultadopositivo?
Dados:
P E = 0,1
𝑃(𝑇+|𝐸) = 0,8
𝑃(𝑇−|𝐸) = 0,75
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Solução:
Pelo Teorema da Probabilidade Total
𝑃(𝑇+) = 𝑃(𝑇+|𝐸) ∙ 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝑇+|𝐸) ∙ 𝑃 𝐸 = 𝑂, 8 ∙ 0,1 + 0,25 ∙ 0,9 = 0,305
seja 𝑋1 a v.a que contabiliza o número de resultados positivos ,
e chamando 𝑝1 = 𝑃(𝑇
+), então X segue uma distribuição binomial.
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Portanto
𝑋1 𝑛1 = 10, 𝑝1 = 0,305 ↔ 𝑃 𝑋1 = 𝑥 =
𝑛1
𝑥
𝑝1
𝑥 (1 − 𝑝)𝑛1−𝑥
Logo a probabilidade de que o resultado do teste dê positivo para 4
pessoas é de:
𝑃(𝑋1 = 4) =
10
4
0,3054 ∙ 0,6956 = 0,2048 ≡ 𝟐𝟎, 𝟒𝟖%
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Exemplo 5. (WALPOLE) A probabilidade de que um paciente se
recupere de uma doença sanguínea rara é de 0,4. Se 15 pessoas
contraíram essa doença, calcule:
a) A probabilidade de que pelo menos 10 pessoas sobrevivam.
b) A probabilidade de que 3 a 8 pessoas sobrevivam.
c) A probabilidade de que exatamente 5 pessoas sobrevivam.
d) A esperança.
e) A variância.
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Solução: seja X o número de pessoas que sobreviverão
a)
P X ≥ 10 = P X = 10 + P X = 11 +⋯+ P X = 15
Onde:
𝑝 𝑥 =
𝑛
𝑥
∙ 𝑝𝑥 ∙ (1 − 𝑝)𝑛−𝑥
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Portanto
P x = 10 →
15
10
∙ 0,410 ∙ (0,6)5 = 0,0245
P x = 11 →
15
11
∙ 0,411 ∙ (0,6)4 = 7,42X10−3
P x = 12 →
15
12
∙ 0,412 ∙ (0,6)3 = 1,65X10−3
P x = 13 →
15
13
∙ 0,413 ∙ (0,6)2 = 2,54X10−3
P x = 14 →
15
14
∙ 0,414 ∙ (0,6)1 = 2,42X10−5
P x = 15 →
15
15
∙ 0,415 ∙ (0,6)0 = 1,07X10−6
𝐩 𝐱 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟔𝟏 ≡ 𝟑, 𝟔𝟏%
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Solução: seja X o número de pessoas que sobreviverão
b) 𝑃 3 ≤ 𝑋 ≤ 8 = 𝑃(𝑋 ≤ 8) − 𝑃(𝑋 ≤ 3) →
P X = 8 + P X = 7 +⋯+ P X = 3 + P X = 2 + P X = 1
+P X = 0 − [P X = 3 + P X = 2 + P X = 1 + P X = 0 ]
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Portanto
𝑃 3 ≤ 𝑋 ≤ 8 = P X = 8 + P X = 7 + 𝑃 𝑋 = 6 + 𝑃 𝑋 = 5 + 𝑃 𝑋 = 4
Onde:
P x = 8 →
15
8
∙ 0,48 ∙ (0,6)7 = 0,12 P x = 7 →
15
7
∙ 0,47 ∙ (0,6)8 = 0,18
P x = 6 →
15
6
∙ 0,46 ∙ (0,6)9 = 0,21 P x = 5 →
15
5
∙ 0,45 ∙ (0,6)10 = 0,19
P x = 4 →
15
4
∙ 0,44 ∙ (0,6)11 = 0,13
𝐩 𝐱 = 𝟎, 𝟖𝟑 ≡ 𝟖𝟑%
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Solução: seja X o número de pessoas que sobreviverão 
c)
p x = P X = 5 →
15
5
0,45 ∙ 0,610 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟔 ≡ 𝟏𝟖, 𝟔%
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
d)
𝐸 𝑋 = 𝑛 ∙ 𝑝 → 15 ∙ 0,4 = 𝟔 pessoas
e)
𝑉 𝑋 = 𝑛. 𝑝 1 − 𝑝 → 15 ∙ 0,4 1 − 0,4 = 𝟑, 𝟔 𝐩𝐞𝐬𝐬𝐨𝐚𝐬𝟐
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Hipergeométrica
A distribuição hipergeométrica não necessita de independência e
se baseia na amostragem feita sem reposição.
O número X de sucessos de um experimento hipergeométrico é
chamado de variável aleatória hipergeométrica.
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Hipergeométrica
A distribuição de probabilidade de uma variável hipergeométrica é
chamada de distribuição hipergeométrica, onde seus valores são
denotados por (x, N, n, r).
Onde:
N: O número de itens na população.
r: O número de itens na população que são classificados como sucessos.
n: O número de itens na amostra.
X: O número de itens na amostra que são classificados como sucesso.
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Hipergeométrica
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Hipergeométrica
Função da probabilidade p(x)
𝒑 𝒙 =
𝒓
𝒙
∙
𝑵 − 𝒓
𝒏 − 𝒙
𝑵
𝒏
[𝑥 = 0,1,… ,min 𝑟, 𝑛 ]
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Hipergeométrica
Função acumulada F(x)
𝑭 𝒙 = 
𝒊=𝟎
𝒙 𝒓
𝒙
𝑵 − 𝒓
𝒏 − 𝒙
𝑵
𝒏
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Hipergeométrica
Esperança E(x)
𝑬 𝑿 = 𝒏 ∙ 𝒑
Variância V(X)
𝑽 𝑿 = 𝒏 ∙ 𝒑 ∙ (𝟏 − 𝒑) ∙
𝑵− 𝒏
𝑵 − 𝟏
Onde: 
𝒑 =
𝒓
𝑵
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Hipergeométrica
Exemplo 6. (BARBETTA, pg 133) Placas de vidro são expedidas em lotes
de 30 unidades. Antes que a remessa seja aprovada, um inspetor escolhe
aleatoriamente 5 placas do lote e as inspeciona. Se nenhuma das placas
for defeituosa, o lote é aprovado. Se uma ou mais forem defeituosas, todo
lote é inspecionado. Supondo que haja 3 placas defeituosas no lote:
a) Qual é a probabilidade de que o controle da qualidade aponte para a
inspeção total?
b) Encontre a esperança e variância.
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Hipergeométrica
Solução: Seja X o número de placas defeituosas na amostra.
𝑃 𝑋 ≥ 1 = 1 − 𝑃(𝑋 = 0), 
então:
a) p X = p 0 →
3
0
∙
30−3
5−0
30
5
=
80,730
142,506
= 𝟎, 𝟓𝟔𝟔𝟓
Logo, P X ≥ 1 = 1 − 0,5665 = 𝟎, 𝟒𝟑𝟑𝟓 ≡ 𝟒𝟑, 𝟑𝟓%
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Hipergeométrica
b)
E X = n ∙ p → 5 ∙ 0,1 = 𝟎, 𝟓 𝐩𝐥𝐚𝐜𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝐯í𝐝𝐞𝐨𝐬
V X = n ∙ p ∙ 1 − p ∙
N−n
N−1
→ 5 ∙ 0,1 ∙ 0,9 ∙ 0,86 𝟎, 𝟑𝟗 𝐩𝐥𝐚𝐜𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝐯í𝐝𝐞𝐨𝐬𝟐
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Hipergeométrica
Exemplo 7. No fichário de um hospital, estão arquivados os prontuários
de 20 pacientes, que deram entrada no PS apresentando algum problema
cardíaco. Destes 5 sofreram infarto. Retirando‐se uma amostra ao acaso
de 3 destes prontuários, qual a probabilidade de que dois deles sejam de
pacientes que sofreram infarto?
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Hipergeométrica
Solução:
N = 20; r = 5; n = 3; x = 2
p X =
5
2
∙
20 − 5
3 − 2
20
3
=
150
1140
= 𝟎, 𝟏𝟑𝟏 ≡ 𝟏𝟑, 𝟏%
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson
Propriedades
1- O número de resultados que ocorrem em um intervalo de tempo
ou em uma região específica é independente do número de
resultados que ocorre em outro intervalo de tempo disjunto ou
região do espaço disjunta – Processo de Poisson não tem
memória.
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson
Propriedades
2- A probabilidade de que um único resultado ocorrerá durante
um breve intervalo de tempo ou em uma região pequena é
proporcional à extensão do intervalo de tempo ou ao tamanho
da região, e não depende do número de resultados que ocorrem
fora desse intervalo de tempo ou dessa região.
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson
Propriedades
3- A probabilidade de que mais de um resultado ocorrerá em um
intervalo de tempo muito breve ou em uma região muito pequena é
desprezível.
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é empregada quando se está
interessado no número de sucessos ocorridos durante um
intervalo contínuo (tempo, espaço, etc...). Exemplos:
 Carros que passam por um cruzamento por minuto, durante
certa hora do dia;
 O número de suicídios ocorridos em uma cidade durante um
ano;
 Número de chegadas a um caixa automático de um banco
durante um período de 15 minutos.
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson
Uma variável aleatória X admite distribuição de Poisson se:
1. X = 0, 1, 2, … (não tem limites)
2. P X = x =
e−λλ
x
x!
, x = 0, 1, 2, … n.
3. E X = μ = λ
4. V X = σ2 = λ
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson – Uma justificativa
X= número de ocorrência em [t, t+1]
n = intervalos de amplitude 1/n
p = probabilidade de ocorrência em cada intervalo
𝑷 𝑿 = 𝒙 ≈
𝒏
𝒙
∙ 𝒑𝒙 ∙ 𝟏 − 𝒑 𝒏−𝒙
𝒏 → ∞
𝒑 → 𝟎
𝒏 𝒑 → λ >0
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson
Função da probabilidade p(x)
𝒑 𝒙 =
𝒆−λ λ𝒙
𝒙!
𝑥 = 0, 1, 2…
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson
Função acumulada F(x)
𝑭 𝒙 = 
𝒊=𝟎
𝒙
λ𝒊 𝒆λ
𝒊!
para x = 0,1,2…
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson
Esperança E(x)
𝑬 X = λ
Variância V(X)
𝑽 X = λ
Onde:
𝑬 X = 𝑽 X = λ
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson
Exemplo 8. (BARBETTA, pg. 135) Supondo que as consultas em
um banco de dados ocorrem de forma independentes ealeatórias,
com uma taxa média de 3 consultas por minuto. Calcule a
probabilidade de que no próximo minuto ocorram menos do que 3
consultas.
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson
Solução: Seja X o número de consultas por minuto.
p x = P X < 3 = p 0 + p 1 + p(2) →
𝑒−3 30
0!
+
𝑒−3 31
1!
+
𝑒−3 32
2!
= 𝟎, 𝟒𝟐𝟑𝟐 ≡ 𝟒𝟐, 𝟑𝟐%
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson
Exemplo 9. (BARBETTA, pg. 136) Mensagens chegam a um
servidor de acordo com uma distribuição de Poisson, com taxa
média de cinco chegadas por minuto.
a) Qual é a probabilidade de que duas chegadas ocorram em um
minuto?
b) Qual é a probabilidade de que uma chegada ocorra em 30
segundos?
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson
Solução
a)
𝑝 𝑥 =
𝑒−5 52
2!
= 𝟎, 𝟎𝟖𝟒 ≡ 𝟖, 𝟒%
b) 
𝑝 𝑥
𝑒−2,5 2,51
1!
= 𝟎, 𝟐𝟎𝟓𝟐 ≡ 𝟐𝟎, 𝟓𝟐%
Referências
BARBETTA, P. A. REIS, M. M. BORNIA, A. C. Estatística para Cursos de 
Engenharia e Informática. 3ª Edição. Atlas S.A. São Paulo - SP, 2010.
COLCHER, Sérgio. Algumas Distribuições Discretas. Disponível em: 
<http://www.inf.pucrio.br/~inf2511/inf2511_files/menu/material/transparencias/0
7-Distribuicoes.pdf>. Acesso em: 17 de Outubro de 2013.
DÍAZ, F. R. LÓPEZ, F. J. B. Bioestatística. Thonson. São Paulo – SP, 2007.
MEYER, P. L. Probabilidade: Aplicação à estatística. 2ª Edição. LTC. Rio de 
Janeiro – RJ, 2012.
WALPOLE, R. E. et. al. Probabilidade e Estatística para Engenharia e 
Ciências. 8ª Edição. Pearson. São Paulo – SP, 2009.