Lista 4

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CA´LCULO I - 2015.2 - LISTA 4
1. Derive cada func¸a˜o. (Se possı´vel, simplifique a func¸a˜o e/ou a derivada da func¸a˜o)
a) f (x) = 2(x2 + 2x + 1)tgx
b) f (x) =
√
xsenx + x1/3
c) f (x) = 2xcosxtgx
d) f (x) =
x2 − 2x + 2
x4 + x2 + 1
e) f (x) =
xsecx
x2 + 2x + 3
f) f (x) =
 x
3sen(x) , x , 0
0 , x = 0
g) f (x) = |2x − 8|, x , 4
h) f (x) =
4√
2x4 + 2x
cos2x
i) G(r) =
5
√
2r2 − 2
r − 1
j) f (x) = (sen2x)(x3 + 2x)2/3
l) M(x) =
√
x +
√
x +
√
x
m) F(u) =
u3 − 3u2
(u4 + 1)5/2
n) f (x) =
 x
3sen
( 1
x4
)
se x , 0
0 se x = 0
2. Calcule a derivada das func¸o˜es:
a) f (x) = e
(
x3 − 2x + 1
x7 − 81
)
+ sen−1(x · lnx)
b) g(x) = sen2
(
x2
3
√
x3 +
√
x
)
c) f (x) =
x
e
( x
x7 + x6 + 7
)
d) f (x) = 4
√
sec
(
ln( 1x )
)
e) f (x) =
( 1
x + 1
)
·
(
arctg(x2 + 2x + 9)
)
f) f (x) = xxesec(x1001)
3. Sejam f (x) =
√
2x + 1 e g(x) =
√
tgx. Calcule ( f ◦ g)′
(
pi
4
)
.
4. Considere f uma func¸a˜o diferencia´vel e g definida por g(x) = f 2(cosx). Sabendo que f (0) = 1 e f ′(0) = −1
2
,
calcule g′
(
pi
2
)
.
1
5. Seja g : R→ R diferencia´vel; g(0) = 1
2
e g′(0) = 1. Calcule f ′(0), onde f (x) = (cosx)g2
(
tg
x
x2 + 2
)
.
6. Sejam g diferencia´vel e f (x) = xg(x2).
(a) Mostre que f ′(x) = g(x2) + 2x2g′(x2);
(b) Calcule g(4), sabendo que g(4) + g′(4) = 1 e f ′(2) = −1.
7. Calcule f ′′ para f (r) =
5
√
2r2 − 2
r − 1 .
8. Calcule f ′′ para f (x) =
 x3sen 1x4 , x , 00 , x = 0 .
9. Calcule f ′′, f ′′′ e seus respectivos domı´nios para f (x) =
 x2cos1x , x , 00 , x = 0 .
10. Seja h(x) = |x2 − 4|, x ∈ R.
(a) Deˆ os pontos onde h e´ duas vezes diferencia´vel e determine h′(x) e h′′(x);
(b) Esboce o gra´fico de h.
11. Considere as func¸o˜es f (x) =
 1 se x < −1|x| se x ≥ −1 e g(x) =
 1 se x < 01 − x2 se x ≥ 0 .
(a) Encontre ( f ◦ g)(x);
(b) Usando (a), encontre ( f ◦ g)′(x) e determine seu domı´nio D;
(c) Determine o conjunto C onde podemos aplicar a regra da cadeia para calcular ( f ◦ g)′(x);
(d) Usando a regra da cadeia, encontre ( f ◦ g)′(x),∀x ∈ C
(e) Compare (b) e (d);
(f) Esboce os gra´ficos de g, f e f ◦ g;
(g) Indique nos gra´ficos os pontos onde g, f e f ◦ g na˜o sa˜o diferencia´veis.
12. Considere g(x) = cosx · f 2(x), onde f : R→ R e´ duas vezes diferencia´vel, f (0) = −1 e f ′(0) = f ′′(0) = 2. Calcule
g′′(0).
2