Exercícios de Cálculo II - Unidade 06

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FACULDADE DE ENGENHARIA E INOVAÇÃO 
TÉCNICO PROFISSIONAL - FEITEP 
 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II Profª Ma. Érika Maia 
 
 
6ª Lista de exercícios 
 
1) Determine 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 e 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
. 
 a) z = 4𝑒𝑥²𝑦³ b) z = x³ln(1 + 𝑥𝑦
−3
5 ) c) z = 
𝑥𝑦
𝑥2+𝑦²
 
 
2) Determine 𝑓𝑥 e 𝑓𝑦, onde f(x, y) = √3𝑥5𝑦 − 7𝑥3𝑦. 
 
3) Seja f(x, y, z) = x²𝑦4z³ + xy + z² + 1. Determine: 
 a) 𝑓𝑥(x, y, z) b) 𝑓𝑦(x, y, z) c) 𝑓𝑧(x, y, z) 
 d) 𝑓𝑥(1, y, z) e) 𝑓𝑦(1, 2, z) f) 𝑓𝑧(1, 2, 3) 
 
4) Determine 𝑓𝑥, 𝑓𝑦 e 𝑓𝑧, onde f(x, y, z) = zln(x²ycos(z)). 
 
5) Encontre as derivadas parciais da função f (v, w, x, y) = 4v²w³x4y5 
 
6) Seja f(x, y) = 4x² - 2y + 7𝑥4𝑦5. Determine: 
 a) 𝑓𝑥𝑥 b) 𝑓𝑦𝑦 c) 𝑓𝑥𝑦 d) 𝑓𝑦𝑥 
 
7) Seja z = √𝑥 cosy. Determine: 
 a) 
𝜕²𝑧
𝜕𝑥²
 b) 
𝜕²𝑧
𝜕𝑦²
 c) 
𝜕²𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
 d) 
𝜕²𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
 
 
8) Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas a seguir: 
a) 𝑤 = 𝑥𝑒
𝑦
𝑧⁄ 𝑥 = 𝑡2, 𝑦 = 1 − 𝑡, 𝑧 = 1 + 2𝑡 
b) 𝑤 = ln √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧² 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑦 = cos 𝑡 , 𝑧 = 𝑡𝑔 𝑡 
c) 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos ∅ , 𝜃 = 𝑠𝑡2, ∅ = 𝑠²𝑡 
 
9) Se z = f(x;y), onde f é diferenciável, e 
 
 
 
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TÉCNICO PROFISSIONAL - FEITEP 
 
x = g(t) g(3) = 2 g’(3) = 5 fx (2,7) = 6 
y = h(t) h(3) = 7 h’(3) = - 4 fy (2,7) = - 8 
Determine 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
 quando t = 3. 
 
10) Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. 
Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis. 
a) u = f(x; y), onde x = x(r, s, t), y = y(r, s, t) 
b) R = f(x; y; z; t), onde x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w), t = (u, v, w) 
 
11) Calcule 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 e 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 usando a diferenciação implícita. 
a) (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
3
2 = 1 
b) x² + ysen(xyz) = 0 
c) x² + y² + z² = 3xyz