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1 Funções Vetoriais 1.1. Definição Uma função vetorial é aquela cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores. A equação ( ) ( ) ( ) ( )kthjtgitft rrrr ++=σ é chamada de equação vetorial e define uma curva C. As equações x=f(t), y=g(t) e z=h(t) são chamadas de equações paramétricas de C e pertencem a ℜ. 1.2. Limite de Funções Vetoriais Seja ( )tσr uma função com valores vetoriais cujos valores funcionais são dados por ( ) ( ) ( ) ( )kthjtgitft rrrr ++=σ . Então, o limite de ( )tσr quando t tende a t1 será definido por: k)]t(hlim[j)]t(glim[i)]t(flim[))t((lim 1tt1tt1tt1tt rrrr →→→→ ++=σ (1.1) se )t(flim 1tt→ , )t(glim 1tt→ e )t(hlim 1tt→ existirem. 1.3. Continuidade de Funções Vetoriais A função ( )tσr com valores vetoriais será contínua em t1 se, e somente se, as três condições seguintes forem satisfeitas: i. ( )tσr existe ii. ( )tlim 1tt σr → existe iii. ( ) ( )1 1tt ttlim σσ rr = → Capítulo 1 – Funções Vetoriais 9 1.4. Derivada de funções vetoriais Se ( )tσr for uma função com valores vetoriais, então a derivada de ( )tσr também será uma função com valores vetoriais, denotada ( )t'σr e definida por: t )t()tt(lim)t(' 0t Δ σΔσσ Δ rrv −+= → (1.2) se o limite existir. 1.4.1. Propriedades da Derivada Teorema: Sejam ( )tRr e ( )tFr funções vetoriais definidas num intervalo I C ℜn, r um escalar e f uma função real. 1. )t('F)t('R)FR( dt d rrrr ±=± 2. )t('Rr))t(Rr( dt d rr = 3. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )t'RtftRt'ftRtf dt d rrr += 4. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )t'FtRtFt'RtFtR dt d rrrrrr ⋅+⋅=⋅ 1. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )t'FtRtFt'RtFtR dt d rrrrrr ×+×=× 6. [ ] ( )( ) ( )dttdf)tf(d )tf(Fd))t(f(Fdtd ×= rr 1.4.2. Derivadas de Ordem Superior ))t(''h),t(''g),t(''f()t('' =σr (1.3) ))t(h),t(g),t(f()t( nnnn =σr (1.4) ( )tσr é de classe C1, se σr , 'σr forem contínuas e classe C2 se σr , 'σr e ''σr forem contínuas e assim sucessivamente. Capítulo 1 – Funções Vetoriais 10 1.4.3. Regra da Cadeia para Funções Vetoriais Teorema: Se ( )uσr é uma função vetorial diferenciável num intervalo I, e u é uma função real diferenciável de uma variável então: dt )t(du. )t(du ))t(u(d dt ))t(u(d σσ rr = (1.5) A expressão da regra da cadeia na forma escalar torna-se: ) dt )t(du. )t(du ))t(u(dh, dt )t(du. )t(du ))t(u(dg, dt )t(du. )t(du ))t(u(df( dt d =σ r (1.6) 1.4.4. Tangentes Eliminando-se t das equações paramétricas, obtém-se a equação cartesiana da curva C de forma implícita ou explícita, assim y é definida como uma ou mais funções de x, i-sto é, se x=f(t) e y=g(t), então y=h(x). Se h for uma função diferenciável de t, então, pela regra da cadeia: dt dx. dx dy dt dy = (1.7) Se, 0dt/dx ≠ podemos dividir ambos os membros da igualdade acima por dtdx e obter dt dx dt dy dx dy = (1.8) 1.4.5. Cálculo da Segunda Derivada O cálculo da segunda derivada é importante para se avaliar a concavidade de curvas definidas paramétricamente. dt dx dx dy dt d dx yd 2 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = (1.9) Capítulo 1 – Funções Vetoriais 11 1.5. Integral de funções vetoriais A integral definida de uma função vetorial ( )tσr pode ser definida da mesma forma que para a função real, exceto que a integral resulta num vetor. Pode-se expressar a integral de σr como a integral de suas funções componentes f, g e h como se segue: ( ) ( ) ( ) ( ) kdtthjdttgidttfdtt b a b a b a b a rrrr ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ∫∫∫∫σ (1.10) Estende-se o Teorema Fundamental do Cálculo para funções vetoriais contínuas como se segue: ( ) ( )] ( ) ( )arbrtrdtt ba b a −==∫σr (1.11) onde r é uma primitiva deσr . 1.6. Cálculo de Áreas Suponha que uma função vetorial seja definida pelas suas equações paramétricas x=f(t), y=g(t). Sabe-se que a área sob o gráfico de uma função y =F(x) é dada por: ∫= b a dx)x(FA (1.12) Para se calcular a área sob um gráfico de uma curva C definida por suas equações paramétricas, faz-se mudança de variáveis na expressão (1.12) como a seguir: ( ) ( )dtt'xdxt'x dt dx =⇒= e ( ) ( )tgxFy == (1.13) ( ) ( )∫= β α dtt'xtgA (1.14) 1.7. Comprimento de Arco Seja C a curva com equações paramétricas x=f(t) e y=g(t), com 'f e 'g contínuas no intervalo fechado [a,b]. Então, se L for o comprimento de arco da curva C entre os pontos (f(a),g(a)) e (f(b),g(b)) então: ∫ += b a 22 dt))t('g())t('f(L (1.15) Capítulo 1 – Funções Vetoriais 12 Para a curva C tendo como equações paramétricas x=f(t) e y=g(t), seja S o comprimento de arco de C do ponto (f(to),g(to)) ao ponto (f(t),g(t)) e vamos supor que S seja crescente enquanto t cresce. Então, S será uma função de t dada por: du)]u('g[)]u('f[S t to 22∫ += (1.16) Do primeiro teorema fundamental do cálculo 22 )]t('g[)]t('f[ dt dS += (1.17) 22 )]t('g[)]t('f[)t(' +=σr (1.18) Logo, dt dS)t(' =σr (1.19) Teorema: Seja C a curva com equação vetorial ( ) ( ) ( ) jtgitft rrr +=σ , com 'f e 'g contínuas no intervalo fechado [a,b]. Então, o comprimento de arco de C, traçado pelo ponto final da representação posicional de ( )tσr quando t cresce de a até b, é determinado por: ∫= b a dt)t('L σr (1.20) 1.8. Aplicações ao Movimento Seja C a curva tendo equações paramétricas x=f(t) e y=g(t). Se uma partícula estiver se movendo ao longo de C de tal forma que sua posição em qualquer instante t seja o ponto (x,y), então a velocidade instantânea da partícula no instante t será determinada pelo vetor velocidade dado por: ( ) ( ) ( ) jt'git'ftV rrr += (1.21) se ( )t'f e ( )t'g existirem. Como a direção de ( )t'σr no ponto P(f(t),g(t)) é ao longo da reta tangente à curva C no ponto P, o vetor velocidade V(t) tem o mesmo sentido ( )t'σr em P. O módulo do vetor velocidade é uma medida da velocidade escalar da partícula no instante t sendo dada por: 22 )]t('g[)]t('f[)t(V)t(v +== r (1.22) A velocidade escalar é a taxa de variação de S em relação a t e escreve-se da seguinte forma: Capítulo 1 – Funções Vetoriais 13 dt dS)t(V)t(v == r (1.23) A aceleração instantânea no instante t de uma partícula movendo-se ao longo de uma curva C, tendo como equações paramétricas x=f(t) e y=g(t), é determinada pelo vetor aceleração: )t('')t(A)t('V)t(A σ=⇔= (1.24) onde ( )t''σr existe. Exercícios: 1) Fazer uma parametrização da reta L no 3ℜ que passa pelo ),,( 000 zyxPo e é paralelo ao vetor V r 0),,( 321 ≠vvv Solução: )tvz, tvy, tvx()t( tvzz tvzz tvyy tvyy tvxx tvxx )v,v,v(t )zz,yyxx( 302010 3030 2020 1010 32100,0 +++= +==− +==− +==− =−−− σr 2) Parametrize a curva C que é interseção da semi-esfera 0 2222 ≥=++ zyzyx com o plano 01 =+− yz Solução: 1 2 sen 1 2 sen 2 sen)1( sen)1(2 cos 1)1(2 1242 022212 2)1( 2 z subst. 1 01 22 222 22 22222 222222 += +=⇒=−⇒=− = =−+ =+−+⇒=−+−+−++ =−++⇒=++ −= =+− ty tytytytx yx yyxyyyyx yyyxyzyx yz yz 2 tsenz 11 2 tsenz:teremos,1yzComo =⇒−+=−= Capítulo 1 – Funções Vetoriais 14 3) Considere o caminho regular )(0, t ),tln,t,t2()t( 2 ∞∈=γr . Verifique que os pontos (2,1,0) e (4,4,ln2) pertencem à trajetória de γr e calcule o comprimento de arco de γr entre estes pontos. Solução: [ ] 2ln3)1ln1()2ln4(ln )12()12())12(( )144( )144( 1)(' 2)(' 2)(' ))('())('())('()(' traj.a pontos os Logo 24 11 224 122 2 1 2 2 1 2 1 22 1 2 22 2 1 2 422 1 2 2 222 22 +=+−+=+ +=+=+ ++=++ = = = ++= ∈ =⇒=⇒==⇒=⇒= =⇒=⇒==⇒=⇒= ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ tt dt t tdt t tdt t t dt t ttdt t t t tz tty tx dttztytxdtt ttyyttyy ttxxttxx b a b a γ γ 4) Prove que a aplicação )2 , 0(t , 2 tsen2,tsen,tcos1)t( πγ ∈⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=r é um caminho cuja a trajetória está contida na interseção do cilindro { }0z ,1y)1x( ;)z,y,x(C 223 ≥=+−ℜ∈= e da esfera { }4zyx ; )z,y,x(S 2223 =++ℜ∈= . Solução: )2 , 0(t 2 tsen2z 2 tcos14z 2 tcos1 4 z 4 tcos22 4 z 4ztsentcostcos21 4ztsen)tcos1( tseny tseny tcos1x tcos1x tcos)1x( 4zyx 0z 1y)1x( 2 22 222 222 22 22 22222 π∈=⇒⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= −=⇒−= =++++ =+++ =⇒= +=⇒=−⇒=− =++≥=+− Capítulo 1 – Funções Vetoriais 15 5) Calcule o limite ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− −++ → k t ttgj 1t 1ti3tlim 21t rrr Solução: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⇒→⇒ =→ =′− ′→⇒− − =⇒+⇒→⇒+ tg1, 2 12, k tg11tk t ttg j 2 1 1t quando subst. t2 1 )1(t )1-(t L`hopital Aplicando 1ti 1t 1t 24 i 31 1t i 3t 22 rr r r rr 6) Dado )2t3,tsene(f(t) t3 −= calcule ( )t'f Solução: j3i)tcostsen3(e()t('f )3),tcostsen3(e((t)' f 3(t)y' tcosetsene3(t)x' 2-3ty(t) tsenex(t) (t))y'(t),(x'(t)' f t3 t3 t3t3 t3 ++= += =+= == = 7) Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical, para x= t (t2 – 3) e y= 3 (t2 – 3) Solução: ( ) 0 dt dy0 dt dx0 dt dy dt dx 9,0:horizontalétgaondepontos 0t/p )9t3(y)t3t(x 0t0t6 0 dt dx0 dt dy0 dt dx dt dy vertical é tangente a 0 dy dx Se.horizontal é tangente a 0 dx dy Se 23 ≠=⇒= − = −=−= =⇒= ≠=⇒= == )6,2(:verticalétgaondepontos 1t/p 1t1t03t3 22 −± ±= ±=⇒=⇒=− Capítulo 1 – Funções Vetoriais 16 8) ( )tσr denota o vetor posição de uma partícula se movendo, em cada instante t, determine: a) O vetor velocidade ( )tVr b) O vetor aceleração ( )tAr c) A velocidade escalar em t=t1, sendo t1= 9 π d) Dois vetores tangentes unitários à trajetória da partícula em t=t1. Para: σr (t)=(2+cos 6t, 2+ sen 6t) Solução: 12 1 1 1 222222 1 -TT e 2 1, 2 3- 6 3)- ,3(-3 )(' )(' )(tT d) 6v(t) ))9/(6cos)9/(636(sen ))9/(6cos6())9/(6(-6v(t) (t)'v(t) 9 tc) 6t)sen 36- 6t, cos (-36 (t)A (t) '' (t)A b) 6t) cos 6 6t,sen (-6 (t)V (t) '(t)V a) =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=== = +=+= = = = = = = t t sen σ σ ππππ σ π σ σ r rr r r rr r rr 1.9. Vetores Tangente Unitário e Normal Principal A cada ponto da curva no plano associamos dois outros vetores unitários, o vetor tangente unitário e o vetor normal principal. Esses valores aparecem em muitas aplicações de funções com valores vetoriais. 1.9.1. Vetor Tangente Unitário Se ( )tσr for o vetor posição da curva C num ponto de P em C, então o vetor tangente unitário de C em P, denotado por ( )tTr ,será o vetor unitário na direção de ( )tDtσr se ( )tDtσr ≠ 0. O vetor unitário na direção de ( )tDtσr é dado por: )t(' )t(')t(T σ σr rr = (1.25) Capítulo 1 – Funções Vetoriais 17 1.9.2. Vetor Normal Principal Se ( )tTr for o vetor tangente unitário da curva C no ponto P, então, o vetor normal principal denotado por ( )tNr , será um vetor unitário na direção de ( )tDtσr . )t('T )t('T)t(N r rr = (1.26) Ilustração: Será mostrado que a aceleração possui duas componentes: uma normal ao movimento e uma tangencial. Teorema: Considere uma partícula se movendo com vetor posição ( )tσr . Se 0)t(')t(v ≠= σr é a velocidade da partícula, então o vetor aceleração é dado por )t('T)t(v)t(T)t('v)t(A rrr += (1.27) Se )(' )(')( t ttT σ σr rr = então: ( ) ( ) )t(T)t('v)t(v)t('TtN)t(A )t(T)t('v)t(v)t('TtN)t('')t(A )t('v)t(T)t(v)t('T)t('')t(A )t(')t(T)t(' rrrr rrrrr rrrr rr += +== +== = σ σ σσ (1.28) 1.9.3. Curvatura A curvatura fornece a taxa de variação da direção de uma curva em relação à variação de seu comprimento. A curvatura de uma curva é a medida da taxa de variação em relação ao comprimento de arco, e não em relação ao parâmetro. Se s representa o comprimento de arco de um certo ponto fixo, então a curvatura k é dada por: )(' )(' t tT k σr r = (1.29) Capítulo 1 – Funções Vetoriais 18 Demonstração: )(' )(' Então, )(' dt ds )(')(' )(' )(' )(' )('. 22 t tT k tdttytxS t tT t tT ds dt dt Tdk σ σ σσ β α r r r r r r rr = =+= === ∫ (1.30) Quando a curva é plana como a mostrada na Figura 1 e tem equação cartesiana )(xfy = , a equação da curvatura se escreve da seguinte forma: 2 3 2 2 2 1 )( ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ = dx dy dx yd xk (1.31) θ F’(x) x y Figura 1- Curva Plana Demonstração: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 3 2 2 2 22 2 2 2 1 1 )( )('1 1. )('1 )('')( )('1 )('1 se )('1 )('' x temosa relação em derivando )(' )(' )( ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ = ++ = += +=+= = == ∫ − dx dy dx yd xk xfxf xfxk xf dx ds dxxfs xf xf dx d xftg xftgxfy φ φ φ (1.32) Capítulo 1 – Funções Vetoriais 19 Exercícios: 1) Dada a curva descrita pelas equações paramétricas 23 3 e 3 tyttx =−= ache ( )tTr e ( )tNr em t=2. Solução: ( ) ( ) ( ) ( ) jijiTji j t ti t t tT tT t t t tt t tt t ttT j t ti t ttT j t ti t t t t tt tttjtitt jtittt rrrrrrrrr rr r rr r rrr rr r rr rrrr rrr 5 3 5 4(2)N 5 4 5 3)2( 122)2( 1 1 1 2 )(' )('(t)N 1t 2 )1( )1(4 )1( 484 )1( 484 )1( 16)(' )1( 22 )1( 4)(' 1 2 1 1 ' '(t)T 1)3(t )12(9 36)33(' 6)33(' 3)3()( 2 2 2 2 42 22 42 42 42 42 42 2 22 2 22 22 2 2 24 2222 23 −=+=+= + −++== += + += + ++= + +−++= + −++= +++ −== += ++= +−=+−= +−= σ σ σ σσ σ 2) Considere a equação vetorial dada 1t , jti)t1()t( 2 =++= rrrσ . Determinar o vetor tangente unitário e normal principal: Solução: ( ) ( )( ) jt ti tt ttT vv v vv 22 41 2 41 1 ' ' + + + == σσ em t = 1 ( ) ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛= 5 2, 5 1tT v j t i t ttT tT tT rrr r rr 3232 )41( 2 )41( 4)(' )(' )('(t)N + + + −= = Capítulo 1 – Funções Vetoriais 20 ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛==+++ −== += 5 1, 5 2-(t)N 1 em 41 1 41 2 )(' )('(t)N 14 2)(' 22 2 rrr r rr r tj t i t t tT tT t tT 3) Dada a circunferência com raio a e equações paramétricas 0 a tsenay tcosax >== . Ache o vetor curvatura e a curvatura em qualquer t. Solução: curvatura 1k(t) curvatura vetor cos)( ;cos )(' )(')( )(' cos)(' cos)( a j a senti a ttk jtisent t ttT atjtaiasentt jasentitat = −−= +−== =+−= += rr rr r rr rrrr rrr σ σ σσ σ 4) Uma partícula se move com velocidade constante de 10 unidades por segundo, no sentido anti-horário, ao longo da elipse 1 94 22 =+ yx . Ache o vetor aceleração Ar no instante em que a partícula passa pelo ponto (0,3). Solução: Derivando implicitamente em relação a x : 22 2 16 3636 dx yd 4 9 0 9 2 2 y dx dyxy y x dx dy dx dyyx +− = −==+ ( ) 4 3 01 4 3 1 logo 4 3 dx yd e 0 : temos3y e 0 xquando Assim, 2 3 2 3 2 2 2 2 2 = + − = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ = ==== dx dy dx yd k dx dy Capítulo 1 – Funções Vetoriais 21 )75,0()1,0()10( 4 3 daí e (0,-1)N (0,3), ponto no Portanto ponto). neste elipse da econcavidad da direção (na baixo para aponta N principal normal vetor o que modo de ,horizontal é T gente vetor tano (0,3),y)(x, Quando 22 −=−=== = NkvA rr
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