3 Relações

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RELAÇÕES
III - RELAÇÕES
Uma relação é uma correspondência existente entre conjuntos não vazios.
Ex.: dois conjuntos A e B. O conjunto A é denominado conjunto de partida e o
conjunto B é denominado conjunto de chegada.
A correspondência entre os dois conjuntos é dada em termos de pares
ordenados, onde o primeiro elemento do par ordenado procede do conjunto de
partida A e o segundo elemento do par ordenado procede do conjunto de
chegada B.
Os conjuntos de partida e de chegada não tem necessariamente que ter uma
estrutura. Entretanto, segundo o tipo de estrutura que é sobreposta a esses
conjuntos e o tipo de restrição que se impõe à própria relação, tem-se tipos
especiais de relações, cada qual com um nome específico.
Uma classe de relações especialmente importante é a classe das funções.
1 – Plano Cartesiano
Um sistema de coordenadas auxilia na determinação de um ponto através de um
conjunto de informações. Para se determinar um ponto de um plano, podemos fixar
nesse plano dois eixos reais Ox e Oy, perpendiculares entre si no ponto O:
• esse sistema de eixos é conhecido como sistema
cartesiano ortogonal de coordenadas;
• o plano que contém esse sistema é chamado de plano
cartesiano;
• o ponto O é a origem do sistema;
• os eixos Ox e Oy, denominados de eixos coordenados,
são respectivamente o eixo das abscissas e o eixo das
ordenadas;
• os eixos coordenados separam o plano cartesiano em
quatro regiões denominadas de quadrantes, que devem
ser enumeradas conforme a figura
2 – Coordenadas de um Ponto
Dado um ponto P do plano cartesiano, chamamos de projeção ortogonal de P
sobre um dos eixos Ox ou Oy a intersecção desse eixo com a perpendicular a ele,
traçada por P.
P´ - é a projeção ortogonal de P sobre o eixo Ox;
P´´ - é a projeção ortogonal de P sobre o eixo Oy;
Dizemos que as coordenadas do ponto P são: a 
abscissa do ponto P´ e a ordenada do ponto P´´.
3 – Par Ordenado
Para indicarmos que um ponto P possui abscissa a e ordenada b, usaremos a
notação P(a, b). O símbolo (a, b) é chamado de par ordenado.
Ex.:
- P(5, 4), significa que a abscissa(eixo x) de P é 5 e a ordenada(eixo y) é 4;
- Q(4, 5), significa que a abscissa(eixo x) de Q é 4 e a ordenada(eixo y) é 5.
(a,b) = (c,d)  a = c e b = d
3 – Par Ordenado
Ex.:
a) O ponto A(5, 0) pertence ao eixo das abscissas;
b) O ponto B(0, 4) pertence ao eixo das ordenadas;
c) O ponto C(3, 4) pertence ao I Q;
d) O ponto D(-2, 5) pertence ao II Q;
e) O ponto E(-4, -6) pertence ao III Q;
f) O ponto F(5, -2) pertence ao IV Q.
3 – Par Ordenado
Ex.: Localizar os pontos:
A(2,0) B(0,-3) C(2,5) D(-3,4) E(-7,-3)F(4,-5) G(5/2,9/2) H(-2/5,-9/2)
55) Dê as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano abaixo
Exercícios
A
B
C
D
E
F
G
H
I
4 – Produto Cartesiano
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A
por B o conjunto AxB cujos elementos são todos pares ordenados (x,y) em que o
primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B,
A x B = {(x, y) x  A e y  B}
O símbolo AxB lê-se “A cartesiano B” ou “produto cartesiano de A por B”
4 – Produto Cartesiano
Se A ou B for o conjuntos vazio, definiremos o produto cartesiano de A por B como
sendo o conjunto vazio.
A x =  x B =  x =
Ex.: Sendo A = {1, 2, 3} e B = {5, 8}, temos:
A X B = {(1, 5), (1, 8), (2, 5), (2, 8), (3, 5), (3, 8)}
Ex.: Se A = {2, 3}
AxA = A² = {(2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}
4 – Produto Cartesiano
Ex.: Se A = {x  R  1  x < 3} e B = {2}, temos:
A X B = {(x, 2) x  A}
Ex.: Se A = {x  R  1  x  3} e B = {x  R  1  x  5}, temos:
A X B = {(x, y)  R² 1  x  3 e 1  y  5}
4 – Produto Cartesiano
OBS.:
 Se A ≠ B, então AxB ≠ BxA, isto é, o produto cartesiano não goza da propriedade
comutativa.
Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos respectivamente, então AxB
é um conjunto finito com m.n elementos.
Se A ou B for infinito e nenhum deles for vazio, então AxB é um conjunto infinito.
Exercícios
56) Dados os conjuntos
A = {1, 3, 4} B = {-2, 1} C = {-1, 0, 2}
Represente pelos elementos e pelo gráfico cartesiano os seguintes
produtos:
a) A x B
b) B x A
c) A x C
d) C x A
e) B²
f) C²
Exercícios
57) Dados os conjuntos:
A = { x   1  x  3 }
B = { x    -2  x  2 }
C = { x    -4 < x  1 }
represente graficamente os seguintes produtos:
a) AxB
b) AxC
c) BxC
d) CxB
e) A²
f) C²
5 – Relações
Seja R um conjunto. Suponhamos que todos os elementos de R são pares
ordenados. Dizemos então que R é uma relação.
Se (x, y)  R, então dizemos que x e y estão associados (ou relacionados) através
de R.
Ex.: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 6, 10}, determinar cada um dos
conjuntos seguintes:
(a) o produto cartesiano A X B;
A X B = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 10), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 10), (3, 1), (3,
2), (3, 4), (3, 6), (3, 10)}
(b) a relação R1 de A em B, dada por R1 = {(x, y)  A X B | y = 2x};
R1 é o subconjunto de A X B formado pelos pares ordenados em que o segundo
elemento (y) de cada par é o dobro do primeiro elemento (x). Assim: A X B = {(1,
2), (2, 4), (3, 6)}
Exercícios
58) Dados os conjuntos
A = {2, 3, 4} B = {2, 3, 4, 5, 6}
a) Quantos ele elementos tem o produto cartesiano A X B
b) Determine a relação R1 de A em B, dada por
R1 = {(x, y)  A X B | x/y}
59) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4}, quais são os elementos da relação R =
{(x, y) | x < y} de A em B?
60) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, quais são os elementos da relação
binária R de A em B assim definida rRy  y = x + 2?
6 – Conjunto de Partida e Contradomínio
Sejam A e B conjuntos. Suponhamos que R  AxB.
Dizemos que R é uma relação de A em B e que A é o conjunto de partida de R e
B é o conjunto de chegada ou contradomínio de R.
7 – Domínio
Seja R relação. Consideremos o conjunto formado pelas primeiras
coordenadas dos pares de R. Dizemos que tal conjunto é o domínio de R e
escrevemos D(R).
8 – Imagem
Seja R uma relação. Consideremos o conjunto formado pelas segundas
coordenadas dos pares de R. Dizemos que tal conjunto é a imagem de R e
escrevemos I(R) .
Ex.: Considere a relação R de A em B, a seguir:
A = {0, 2, 3, 4} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
R = {(x, y)  A X B | y é múltiplo de x}
Os conjuntos A e B são conjunto de partida (CP) e contradomínio (CD) da relação R.
R = {(2, 2), (2, 4), (2,6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}
O domínio da relação R é o conjunto: D(R) = {2, 3, 4}
D(R) é o conjunto formado por todos os elementos de A que estão relacionados 
com elementos de B, através de R.
O conjunto imagem da relação R é o conjunto: Im(R) = {2, 3, 4, 6}
Im(R) é o conjunto formado por todos os elementos de B que estão relacionados 
com elementos de A, através de R.
• 0
• 2
• 3
• 4
• 1
• 2
• 3
• 4
• 6
• 5
A
B
R = {(2, 2), (2, 4), (2,6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}
Im
D
Exercícios
62) Se A = {x   | 1  x  3} e B = {y   | 1  y  2} , pede-se a representação
cartesiana de AxB e R = {(x, y)  AxB| y = x}.
61) Se A = {-1, 0, 1, 2}, quais são os elementos da relação R = {(x, y)A² | y = x²}?
63) Se A = {x   | 1  x  3} e B = {y   | 1  y  4} , qual é o domínio e a
imagem da relação R = {(x, y)  AxB| y = 2x}.
64) Estabeleça o domínio e a imagem das seguintes relações:
a) {(1,1), (1,3), (2,4)}
b) {(-2,4), (-1,1), (3,-7), (2,1)}
c) {(2,1), (1,-3), (5,2)}
d) {(1+2,2), (1-3,1)}
e) {(3,1/2), (5/2,-1), (3/2,0)}