ESTUDO_DE_FUNÇÕES

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Pré-requisitos para o estudo de funções. 
� INTERVALOS 
Intervalos são certos subconjuntos de IR, determinados por desigualdade. 
Assim, dados dois números reais a e b, com a < b: 
 
GRAFICO NA RETA REAL NOTAÇÃO 
 
{ } ] [/ ;x a x b a b∈ < < =ℝ 
INTERVALO ABERTO 
 
{ } [ ]/ ;x a x b a b∈ ≤ ≤ =ℝ 
INTERVALO FECHADO 
 
{ } [ [/ ;x a x b a b∈ ≤ < =ℝ 
INTERVALO FECHADO À 
ESQUERDA 
 
{ } ] ]/ ;x a x b a b∈ < ≤ =ℝ 
INTERVALO FECHADO À DIREITA 
 
GRAFICO NA RETA REAL NOTAÇÃO 
 
{ } ] [/ ;x x a a∈ > = +∞ℝ 
 
{ } ] [/ ;x x a a∈ < = −∞ℝ 
 
{ } [ [/ ;x x a a∈ ≥ = +∞ℝ 
 
{ } ] ]/ ;x x a a∈ ≤ = −∞ℝ 
 
 
 
 
 
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� Par ordenado: 
entendemos por par ordenados um conjunto de dois elementos, sendo: 
( a , b ) = ( c , d ) ⇔ a = c e b = d 
Exemplo: 
a) ( 3, b ) = ( a, -5 ) para a = 3 e b = -5 
 
� Produto cartesiano: 
Considerando dois conjuntos, A e B, não- vazios, chamamos de produto cartesiano de 
A por B o conjunto indicado por A x B, formado por todos os pares ordenados, nos 
quais o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo pertence ao conjunto 
B. 
A x B � Lê-se: A cartesiano B 
A x B = { (x,y)/ x Є A e y Є B } 
Exemplo: 
Dados os conjuntos A= {5,6 } e B = {2,3,4}, vamos determinar o produto cartesiano AxB 
A x B = { (5,2),(5,3),(5,4),(6,2)(6,3)(6,4)} 
� Relação Binária 
Considerando dois conjuntos, A e B, não-vazios, chamamos de relação binária de A em 
B qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B. 
Por convenção, chamamos de x os elementos do conjunto A e de y os elementos do 
conjunto B. 
Exemplo: Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {4,6,8}, efetuando o produto cartesiano 
A x B, temos: 
A x B = {(1,4),(1,6),(1,8),(2,4),(2,6),(2,8),(3,4),(3,6),(3,8)} 
 
� Gráfico cartesiano: 
O gráfico cartesiano de uma relação será constituído apenas pelos pontos 
correspondentes dos pares ordenados ( x , y ), estando cada par associado a um único 
ponto. Criado por René Descartes, o Plano cartesiano consiste em dois eixos 
perpendiculares, sendo o horizontal chamado de eixo das abscissas e o vertical de eixo 
das ordenadas. 
 
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� Funções 
Definição: Considerando dois conjuntos, A e B, não-vazios e uma relação binária de A 
em B, dizemos que essa relação é função de A em B, se e somente se, a cada 
elemento x do conjunto A corresponder um único elemento y do conjunto B. 
f: A � B (Lê-se f é função de A em B). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Domínio, Contradomínio e Imagem de uma função: 
 Se f é uma aplicação ou função de A em B, então: 
a) O conjunto de partida A passa a ser chamado Domínio da aplicação f e indicado por 
D(f). Assim : D(f)=A. 
b) O conjunto de chegada B será chamada Contradomínio da aplicação f e denotado por 
CD(f) Logo : CD(f)=B. 
O conjunto de todos os elementos y de B para os quais existe, pelo menos, um único 
elemento x de A, tal que f(x)=y, é denominado Imagem da Aplicação f e é indicado por 
Im(f). Assim: Im(f)={ y∈ B / ∃ x ∈ A, tal que y=f(x)} 
 
 
 
 
 
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� Domínio e Imagem através do gráfico: 
 Dado o gráfico de uma função f, temos: 
a) D(f) é o conjunto de todos os pontos do eixo Ox, que são obtidos pelas projeções 
dos pontos do gráfico f sobre o referido eixo. 
b) Im(f) é o conjunto de todos os pontos do eixo Oy, que são obtidos pelas projeções 
dos pontos do gráfico f sobre o referido eixo. 
Exemplos: 
1- Seja f a função definida pelo gráfico: 
a) D(f)= {x ∈ IR / -3 ≤ x ≤ 6 }, 
b) Im (f)= {y∈ IR / -1 ≤ x ≤ 2 }, 
c) CD(f)=IR 
 
 
 
 
� Estudo do Domínio de uma função: 
 “consideremos a função definida por y=f(x)” ou “ seja a função tal que 
 x → f(x)”, fica subentendido, salvo menção em contrário que: 
1°) CD(f)=IR 
2°) O domínio de f é o “maior” subconjunto de IR, para o qual tem sentindo a sentença 
aberta y=f(x). 
 
Exemplos: 
a) Seja f a função definida por y=2x+3. Neste caso, o domínio de f é IR, já que para todo 
x ∈ IR, é possível efetuar as operações indicadas em 2x+3. 
Portanto: ( )D f = ℝ 
b) Consideremos a função f que a cada elemento x associa o elemento 1
3
x
x
+
−
, ou seja : 
1
( )
3
x
f x
x
+=
−
 
como a divisão de x+1 por x-3 só é possível se x ≠ 3, então o domínio de f é IR – {3}. 
Portanto:. { }( ) 3D f = −ℝ 
 
Seja a função ( ) 2f x x= − . 
Como a extração da raiz quadrada em IR só tem sentindo para valores não negativos, 
então só devemos considerar os valores de x tais que 2 0x − ≥ , ou seja 2x ≥ . 
Assim sendo: { }( ) / 2D f x x= ∈ ≥ℝ
 
 
 
 
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� Função polinomial do 1º grau. 
A renumeração de um vendedor de uma loja de camisas é feita em duas parcelas: uma 
fixa, no valor de R$ 500,00 e a outra variável, correspondente a uma comissão de 12% 
do total de vendas realizadas na semana. 
Notamos que a remuneração semanal, R(x), do vendedor é calculada em função do 
total de vendas (x) na semana e pode ser escrita do seguinte modo: 
 R(x) = 500 + 0,12x 
Chamamos função polinomial do 1º grau a função f: →ℝ ℝ que associa a cada 
número real x, o número real ax + b, com a≠0. 
Função polinomial do 1º grau, sendo f(x) = ax + b com a,b ∈ℝ e a≠0. 
Exemplos: 
f(x) = 2x + 6, onde a = 2 e b=6 f(x) = 2x, onde a = 2 e b = 0 
 
� Definição: 
 É a função f: IR � IR , tal que f(x)= ax+b, com a≠ 0. 
 Domínio: IR 
Contradomínio = IR 
Conjunto Imagem = IR 
 
� Tipo de funções: 
• Se a≠ 0 e b≠ 0, f(x) recebe o nome de função afim. 
exemplos: 
a) f(x) = 15x + 3 b) f(x) = x – 10 
 
• Se a≠ 0 e b = 0, f(x) recebe o nome de função linear. 
exemplos: 
a) f(x) = 3x b) f(x) = √4 x c) f(x) = −6 x 
 
• Se a = 1 e b = 0, f(x) recebe o nome de função identidade. 
Exemplo: 
a) f(x) = x 
 
• Se a = 0 e b ≠ 0, f(x) recebe o nome de função constante. 
Exemplos: 
a) f(x) = 5 b) f(x) = − 6 c) f(x) = 4 
 
� Zero ou raiz da função : 
É o valor de x que anula a função, isto é, torna f(x)=0. 
0
b
ax b ax b x zero
a
−+ = ⇒ = − ⇒ = → ou raiz de f. 
Exemplo: 
1)Determine a raiz ou zero das seguintes funções: 
 
a) f(x) = 21x − 7 b) y = 4x + 2/3 c) f(x) = 54x + 9 
 
d) y = 5 − 3x e) f(x) = 10 – 12x f) y = 100x − 2 
 
 
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� Função crescente. 
Se para quaisquer elementos x1 e x2 , de um subconjunto M do domínio de uma função 
f,com x1 < x2, tivermos f(x1) < f(x2), então diremos que f é um função crescente em M. 
 
 
 
 
 
 
 
� Função decrescente. 
Se para quaisquer elementos x1 e x2 , de um subconjunto M do domínio de uma função 
f,com x1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2), então diremos que f é um função decrescente em M 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
EXERCÍCIOS 
1) Marque um x nas relações que representam uma função: 
 
 
 
 
2) A numeração usada na confecção de sapatos depende do comprimento do pé da pessoa. Os 
fabricantes de calçados brasileiros usam a fórmula 
5 28
4
c
N
++++==== , em que “c” é o tamanho do pé e “N” 
é o número do sapato. Qual o número do calçado de uma pessoa que tem o pé de 20 cm? 
 
3) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e uma 
parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,40 e cada quilômetro 
rodado custa R$ 1,20, calcule: 
a) o preço de uma corrida de 15Km; 
b) a distância percorrida por um passageiro que pagou R$22,00 pela corrida. 
 
4) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcelafixa, denominada bandeirada, e uma 
parcela que depende da distância percorrida. A bandeirada 2 em Cuiabá custa R$ 2,45 e cada 
quilômetro rodado custa R$ 3,00. Determine a lei de associação da função e calcule o preço de uma 
corrida de 15km. 
 
5) Dada à função y = -3x + 5, determine: 
a) o valor de a e b; 
b) a raiz ou zero da função; 
c) se a função é crescente ou decrescente; 
d) Construa o gráfico 
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6) Dada a f(x) = 2x - 4. Determine: 
a) os valores de a e b; 
b) a raiz da função; 
c) se a função é crescente ou decrescente; 
d) Construa o gráfico 
 
7) Um grupo de meninos vai comprar duas bolas que custam juntas R$ 336,00 e dividir igualmente as 
despesas. Chamando de “f” a função que dá a despesa “y” de cada um a partir do número “x” de 
meninos e sabendo que o grupo deve ter de 4 a 8 meninos, responda: 
a)Qual é o domínio de f? 
b) Qual é conjunto imagem? 
c) Qual é a lei que associa x e y? 
d) Qual é o valor de f(5)? 
e) Qual é o elemento do domínio cuja imagem é R$ 56,00? 
8) Para transformar graus Fahrenheit em graus centígrados, usa-se a fórmula ( )32
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5 −= FC onde F 
é o número de graus Fahrenheit e C é o número de graus centígrados.Transformar 35 graus 
centígrados em graus Fahrenheit. 
 
9) O custo C em reais para produzir x unidades de um produto eletrônico é dado por 
 f(x)= 18x + 4500. Qual é o custo para se produzir 1000 unidades desse produto? 
 
10) Construa o gráfico das seguintes funções: 
 
a) 3y x= + b) ( ) 3 1f x x= − − c) 2y x= 
 
d) 
1
( )
2
f x x= + e) y x= − f) ( ) 2 2f x x= − 
 
g)
1
3
y x= h) ( ) 4f x x= − − i) 5y =