Introdução ao Cálculo: Limites e Sequências

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Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 11 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
LIMITE DE FUNÇÕES 
 
 Os gregos antigos, desde antes da era cristã, propunham uma ideia conhecida como método da exaustão, creditado a 
Eudóxio: 
 
 “Se de uma grandeza subtrai-se uma parte não menor que sua metade, do restante outra parte não menor que 
sua metade, e assim por diante, numa determinada etapa do processo chega-se a uma grandeza menor que qualquer 
outra da mesma espécie fixada a priori.” 
 
 Isso era feito para se evitar processos infinitos, dos quais os gregos desconfiavam. 
 Considera-se que Arquimedes, séc. III a.C., foi quem melhor utilizou o método da exaustão. Suas maiores 
contribuições à Matemática foram problemas nos quais se usa atualmente o Cálculo Diferencial e Integral. 
 O Cálculo, como é chamado na maioria das vezes, é uma importante área da Matemática que, pode-se dizer, de 
maneira bastante simplificada, trata de questões relacionadas a variações de funções e de superfícies de regiões delimitadas 
por gráficos. 
 
 Agora estudar-se-á limites, um dos conceitos iniciais do Cálculo e, de modo geral, ver-se-á as aplicações em outros 
conceitos como derivadas e em resolução de problemas relacionados a negócios, tecnologia, entre outros. 
 
SUCESSÕES OU SEQUÊNCIAS 
 
 Quando se afirma que um conjunto está ordenado, se quer dizer que existe um primeiro elemento do conjunto, um 
segundo elemento, e assim sucessivamente. 
 Na realidade, o que se faz é colocar esse conjunto em correspondência com os elementos do conjunto dos números 
naturais – , ou parte deste conjunto. 
 Assim, chama-se de sucessão ou sequência a toda função real cujo domínio é o conjunto dos números naturais – , 
ou parte deste conjunto, 
 
Exemplos 
 1) Seja a sucessão dada por , com n ∈*. As imagens dessa função serão dadas por: 
 ; ; ; ; ... 
 Portanto, essa função pode ser representada pelos pares ordenados . 
 É comum se representar uma sucessão (ou sequência) escrevendo-se, ordenadamente, suas imagens – em 
correspondência direta com os elementos do conjunto dos números naturais – . Assim, a sucessão acima poderá ser 
representada por: . 
 2) Encontre a sucessão dada por . 
 Se for feito o mesmo raciocínio do exemplo anterior, obter-se-á, no final do processo, a sequência dada por 
. 
 3) A função definida por , com n ∈*, terá uma sequência de imagens de seus elementos dada por 
. 
 4) A função definida por , terá uma sequência de imagens de seus elementos dada por 
. 
 5) A função definida por f n( ) = − 1( )n . n , terá uma sequência de imagens de seus elementos dada por 
. 
 
CONVERGÊNCIA DE SUCESSÕES OU SEQUÊNCIAS 
 
 Diz-se que uma sucessão (ou sequência) converge para um número fixo “k” se, à medida que o valor de “n” aumenta, 
o valor de se aproxima desse valor fixo. 
 Formalmente, se diz que uma sucessão (ou sequência) converge para um número fixo “k” se para todo intervalo “ I ”, 
centrado em “k” existir um número natural “a” tal que as imagens , , , ... , pertencerem todas ao 
intervalo “ I ”. 
f n( ) = 1n
f 1( ) = 1 1 ⇒ f 1( ) = 1 f 2( ) =
 1 
2
f 3( ) = 1 3 f 4( ) =
 1 
4
1 , 1( ) ; 2 , 1 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ; 3 , 1 
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ; 4 , 1 
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ; 
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
1 , 1 
2
 , 1 
3
 , 1 
4
 , 
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
f n( ) = nn+1
 1 
2
 , 2 
3
 , 3 
4
 , 4 
5
 , 
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
f n( ) = n
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ( )
f n( ) = − 2n−1( )
− 1 , − 3 , − 5 , − 7 , − 9 , ( )
− 1 , 2 , − 3 , 4 , − 5 , 6 , − 7 , ( )
f n( )
f a +1( ) f a + 2( ) f a + 3( )
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 Veja a sequência . Ë fácil de perceber que à medida que “n” cresce, a sucessão se aproxima 
cada vez mais do valor “zero”. 
 De fato, se tomarmos um intervalo , vê-se que , , , ... , são todos elementos 
pertencentes ao intervalo “ I1 ”. 
 Se for pego um outro intervalo , centrado em zero, vê-se que , , 
, ... , pertencem a esse novo intervalo “ I2 ”. 
 Portanto, pode-se concluir que, qualquer intervalo, centrado em zero, por menor que seja sua amplitude, permite 
encontrar um termo da sucessão a partir do qual todos os elementos da sucessão caem dentro desse intervalo. 
 
 Observe, agora, a sequência . Percebe-se que, à medida que o valor de “n” aumenta, os valores 
de não convergem para nenhum valor fixo “k”. Diz-se que essa sucessão, ou sequência, diverge. 
 Entre as sucessões ou sequências divergentes, existem as que, à medida que “n” aumenta, os valores de 
superam qualquer valor fixado. Diz-se que essas sucessões (ou sequências) divergem para mais infinito ( + ∞ ). Esse é o 
caso da sucessão apresentada anteriormente. 
 Da mesma maneira, pode ocorrer que, à medida que “n” aumenta, os valores de ficam abaixo de qualquer valor 
que seja fixado, por menor que ele seja. Diz-se que essas sequências (ou sucessões) divergem para menos infinito ( – ∞ ). 
É o caso da sequência . 
 Existem, ainda, as sequências ou sucessões divergentes que não divergem nem para mais infinito, nem para menos 
infinito. É o caso da sucessão . 
 
Observações 
 1) Quando uma sucessão (ou sequência) convergir para certo valor de “k”, mas sempre por valores menores do que 
“k”, diz-se que a sucessão converge para “k” pela esquerda. 
 2) Se a sucessão (ou sequência) convergir para um determinado valor de “k”, mas por valores que se aproximem do 
mesmo por valores maiores, diz-se que a sucessão converge para “k” pela direita. 
 3) Existem, ainda, sucessões que convergem para um valor fixo de “k”, oscilando, isto é, tanto pela esquerda como 
pela direita. 
 
GRAFICAMENTE 
 
 Observe o gráfico abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Agora, vai-se ver o que acontece quando os valores de x se aproximam de 5, por valores maiores que 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 , 1 
2
 , 1 
3
 , 1 
4
 , 
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
I 1 = − 0,5 ; 0,5 ⎤⎦ ⎡⎣ f 3( ) f 4( ) f 5( )
I 2 = − 0,1 ; 0,1 ⎤⎦ ⎡⎣ f 11( ) = 0,0909... f 12( ) = 0,0833...
f 13( ) = 0,0769...
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ( )
f n( )
f n( )
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ( )
f n( )
− 1 , − 3 , − 5 , − 7 , − 9 , ( )
− 1 , 2 , − 3 , 4 , − 5 , 6 , − 7 , ( )
Ele poderia representar, por exemplo, uma função que descrevesse o 
estoque em uma empresa: no início há a quantidade “y” de 8 unidades e 
com o passar do tempo “x”, esta quantidade diminui, depois é reposta, e 
assim por diante. Mas, o interesse no momento é analisar a figura 
analiticamente. 
Quanto mais próximos os valores x (x positivo), estiverem de 0 (zero), os 
valores da função estarão mais próximos de 8. 
 
Diz-se de outra maneira: quando x tende a 0 (zero) pela direita 
(por valores maiores que zero), os valores da função f ( x ) tendem 
a 8. 
 
Quanto mais próximo o valor de x estiver de 5, mais próximo de 8 
estará o valor da função f ( x ), ou seja, quando x tende a 5 pela 
direita, f ( x ) tende a 8. 
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 Pode-se dizer que esta é uma noção intuitiva inicial de limite: um número para o qual o valor da função se aproxima. 
 Trata-se, por enquanto, do limite lateral. 
 Simbolicamente representa-se os dois exemplos como 	
  e . 
 De modo análogo, de acordo com o exposto, diz-se que quando os valores de x se aproximam de 5 pela esquerda 
(por valores menores que 5), os valores de f ( x ) se aproximam de 0. 
 O mesmo ocorre quando x tende a 10 pela esquerda.Simbolicamente: e . 
 Conclui-se, pelo que foi apresentado até aqui, que . 
Exemplos. 
 1) Analise o gráfico a seguir que representa a função e determine os limites laterais 
que se pedem: 
 a) e . 
 b) e . 
Solução: 
 A representação gráfica da função dada é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a) Pelo gráfico, percebe-se que quando os valores de x se aproximam de – 2 pela esquerda (por valores menores que 
– 2, os valores de f ( x ) se aproximam de 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim, . 
 De modo semelhante, pelo gráfico ou com o auxílio de uma tabela, conclui-se que . 
 
 
 
 
lim
x→ 0 +
f x( ) = 8 lim
x→ 5 +
f x( ) = 8
lim
x→ 5 −
f x( ) = 0 lim f x ( ) = 0
x → 10 −
lim f x ( ) = 8
x → 10 +
f x ( ) = x
2, se x ≤1
0,2x + 2,8, se x > 1
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
lim
x→− 2 −
f x( ) lim
x→− 2 +
f x( )
lim
x→ 1 −
f x( ) lim
x→ 1 +
f x( )
lim
x→− 2 −
f x( ) = 4
lim
x→− 2 +
f x( ) = 4
Também é possível observar isso por meio de uma 
tabela. 
x f ( x ) = x2 
– 2,1 4,41 
– 2,05 4,20 
– 2,03 4,12 
– 2,01 4,04 
– 2,001 4,004 
 
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 Nos dois casos, o valor de f ( x ) tende ao valor da imagem de x = – 2, isto é, x → – 2, implica em f ( x ) → f ( – 2 ). 
 
 ⇒ ⇒ 
 
 Como os limites laterais foram iguais, diz-se que existe o limite de f ( x ) quando x tende a (– 2), esse limite é único e 
seu valor é quatro. 
 Em símbolos, . 
 b) Em , observa-se que f ( x ) tende a 1, à medida que os valores de x tendem a 1 pela direita. Pode-se 
considerar a expressão f ( x ) = x2, pois x < 1. Como x se aproxima tanto quanto se queira de 1, o valor de f ( x ) tenderá ao 
valor da imagem de 1, obtida pela função f ( x ) = x2. 
 
 x → 1, implica em f ( x ) → f ( 1 ), pois f ( 1 ) = 12 ; f ( 1 ) = 1 e assim, = f ( 1 ) = 1. 
 
 Considere agora x tendendo a 1 pela direita, ou seja, por valores de x tal que x > 1, o gráfico mostra que o limite da 
função é igual a 3, o valor da imagem de x, caso fosse igual a 1, na função f ( x ) = 0,2x + 2,8. 
 
 f ( 1 ) = 0,2 . 1 + 2,8 ⇒ f ( 1 ) = 0,2 + 2,8 ⇒ f ( 1 ) = 3 e, desse modo, = 3. 
 
 Logo, os limites laterais são diferentes. Por isso, dizemos que não existe o limite quando x tende a 1, ou seja: 
 
 não existe, pois 
 
 Não é difícil de compreender esta ideia, ou seja, se for pedido limite de f ( x ) quando x tende a 1, fica-se em dúvida 
sobre qual função adotar: se f ( x ) = x2 ou se f ( x ) = 0,2.x + 2,8. 
 
 
CONCEITO DE LIMITE 
 
 O conceito de limite de funções tem grande utilidade na determinação do comportamento de funções nas vizinhanças 
de um ponto fora do domínio, no comportamento de funções quando a variável independente “x” aumenta muito (tende para 
mais infinito) ou diminui muito (tende para menos infinito). Este conceito é, também, fundamental para se determinar derivadas 
de funções, assunto a ser visto posteriormente. 
 
 Dada uma função f ( x ) e um ponto “a” do domínio, se quando “x” tende a “a” pela esquerda, por valores menores do 
que “a” ( x < a), tem-se f ( x ) tendendo a M. 
 Diz-se que o limite lateral à esquerda de f ( x ) é M e indica-se por: 
 
. 
lim
x→− 2 −
f x( ) = lim
x→− 2 +
f x( ) = f − 2( ) lim
x→− 2 −
f x( ) = lim
x→− 2 +
f x( ) = − 2( )2 lim
x→− 2 −
f x( ) = lim
x→− 2 +
f x( ) = 4
lim
x→ − 2
f x( ) = 4
lim
x→ 1 −
f x( )
lim
x→ 1 −
f x( )
lim
x→ 1 +
f x( )
lim
x→ 1
f x( ) lim
x→ 1 −
f x( ) ≠ lim
x→ 1 +
f x( )
lim
x→ a −
f x( ) = M
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 De modo análogo, se quando “x” tende a “a” pela direita, por valores maiores que “a” ( x > a), a função f ( x ) tende a 
N, então o limite lateral à direita de f ( x ) é N e representamos por: 
 
lim
x→ a +
f x( ) =N . 
 
 Se os limites laterais forem iguais, diz-se que existe e é único o limite de f ( x ) quando “x” tende a “a”. 
 
. 
 
TEOREMA DA UNICIDADE DO LIMITE 
 
 Não se irá demonstrar o teorema, pois não é essa a finalidade, mas vai-se aceitá-lo como verdadeiro. 
 
“Se , então, L1 = L2”. 
EXERCÍCIOS 
 
 1) Nas sucessões dadas abaixo, escreva a função definidora de cada uma delas, classificando-as em convergentes 
ou divergentes: 
 a) 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , ( ) b) − 1 , 2 , − 3 , 4 , − 5 , 6 , ( ) c) 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , ( ) 
 d) 0 , 5 , 10 , 15 , 20 , ( ) e) 1 , 1 3 , 
 1 
9
 , 1 
27
 , 1 
81
 , 
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 f) 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; 0,0001 , ( ) 
 
 2) Das sucessões dadas abaixo, quais são convergentes e para quais números convergem e quais são divergentes? 
 a) f x( ) = 2 x b) f x( ) =
x +1
2
 c) f x( ) = x +1
x2 +1
 d) f x( ) = 2x
2 +1
x2 +1
 e) f x( ) = x
2
3x
 f) f x( ) = x
2 +1
x
 
 g) f x( ) = 1+ 1 x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4
 h) f x( ) = x −1
x2 −1
 i) f x( ) = x +1 − x j) f x( ) = − 1( )x . x +1x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 k) f x( ) = − 1( )x . 1 x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
 
 3) Dadas as funções e g x( ) = x +1 2x , para quais valores elas convergem? 
 
 4) Dadas as funções e g x( ) = x +1 2x , qual a função definidora de: 
 a) h x( ) = f x( ) + g x( ) ? A função h x( ) é convergente? b) h 1 x( ) = f x( ) . g x( ) . A função h 1 x( ) é convergente? 
 c) h 2 x( ) = f x( ) − g x( ) . A função h 2 x( ) é convergente? d) h 3 x( ) =
f x( )
g x( ) . A função h 3 x( ) é convergente? 
 
 5) Para cada uma das funções f x( ) dadas abaixo e para cada valor de “a” dado, calcule, quando existir, , 
lim
x→ a −
f x( ) e lim
x→ a
f x( ) . 
 a) f x( ) = x3 , a = 2 . b) f x( ) = 2x +1 , a = 3 . c) f x( ) = x + 5x − 3 , a = 0 . d) f x( ) =
x + 5
x − 3
 , a = 2 
 e) f x( ) = 2x +1, se x ≠ 3
8, se x = 3
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 , a = 3 . f) f x( ) = x
2, se x ≥ 0
− x, se x < 0
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 , a = 0 . g) f x( ) = 2x, se x ≤ 2
7, se x > 2
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 , a = 2 . 
 h) f x( ) = 3x + 4 , a = 7 . i) f x( ) = x − 2x , a = 2 j) f x( ) = sen x , a =
π
4
 k) f x( ) = log 1+ x( ) , a = 0 . 
 
RESPOSTAS 
 
1) a) f x( ) = x2 , divergente. b) f x( ) = − 1( )x . x , divergente. c) f x( ) = 2x − 1 , divergente. d) f x( ) = 5 x −1( ) , divergente. 
e) f x( ) = 1 3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x − 1
, convergente (para 0). f) f x( ) = 0,1( )x , convergente (para 0). 2) a) Converge para 0. b) Divergente. 
c) Converge para 0. d) Converge para 2. e) Converge para 0. f) Divergente. g) Converge para 1. h) Converge para 0. 
i) Converge para 0. j) Divergente. k) Divergente. 3) f x( ) converge para 0 e g x( ) converge para . 4) a) 
lim
x→ a
f x( ) = L⇔ lim
x→ a −
f x( ) = lim
x→ a +
f x( )
lim
x→ a
f x( ) = L1 e limx→ a f x( ) = L2
f x( ) = 1 x
f x( ) = 1 x
lim
x→ a +
f x( )
 1 
2
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h x( ) = x + 3 2x e converge para . b) h 1 x( ) =
 x +1 
2x2
 e converge para 0. c) h 2 x( ) = 1− x 2x e converge para − 
 1 
2
. 
d) h 3 x( ) = 2 x +1 e converge para 0. 5) a) 8 ; 8 ; 8. b) 7 ; 7 ; 7. c) − 
 5 
3
 ; − 5 
3
 ; − 5 
3
. d) – 7 ; – 7 ; – 7. e) 7 ; 7 ; 7. 
f) 0 ; 0 ; 0. g) 7 ; 4 ; não existe. h)5 ; 5 ; 5. i) 0 ; 0 ; 0. j) 2
2
 ; 2
2
 ; 2
2
. k) 0 ; 0 ; 0. 
 
 
 1 
2