Matemática Atuarial aula 00

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PONTO DOS CONCURSOS 
MATEMÁTICA ATUARIAL 
DE PESSOAS 
 SUSEP 
Aula 0 
 
André Cunha 
03/02/2010 
 
 
 
Este documento contém o conteúdo programático do curso (plano de 
ensino) e aborda os seguintes tópicos: introdução à atuária e tábuas de 
mortalidade. 
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André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
 
Caro concursando, 
 
Primeiramente, segue um resumo da minha experiência. 
 
Prof. ANDRÉ CUNHA: sou Auditor-Fiscal Tributário Municipal de 
São Paulo (turma de 2007). Fui aprovado nos vestibulares do 
Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA), USP-Engenharia 
Mecatrônica, Faculdade de Economia e Administração da USP (FEA-
USP) e Instituto de Matemática e Estatística da USP (IME-USP). 
Cursei Matemática Pura e Economia na USP e sou bacharel em 
Ciências Atuariais pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo 
(PUC-SP) em 2001. Fui professor de matemática do Curso Anglo 
(tradicional curso pré-vestibular de São Paulo) e trabalhei como 
consultor em empresa multinacional. Sou MIBA (Membro do Instituto 
Brasileiro de Atuária). Também obtive aprovação nos seguintes 
concursos públicos: Agência Nacional de Saúde Suplementar (2005 e 
2007), Analista de Planejamento e Orçamento do MPOG (2005), 
Analista de Finanças e Controle da STN (2005), Analista do Banco 
Central (2006) e Analista do Tribunal de Contas da União (2006). Fui 
aprovado no exame do CFA (Chartered Financial Analyst) nível I, em 
2009. 
 
Também obtive aprovação nos seguintes exames de certificação 
profissional da Society of Actuaries: 
 
¾ Calculus and Linear Algebra 
¾ Interest Theory, Economics and Finance 
¾ Finance and Investments 
¾ Actuarial Models 
¾ Actuarial Modeling 
 
Meu último trabalho foi o recente curso de Econometria do 
Ponto dos Concursos para o BACEN, em parceria com o prof. 
Alexandre Lima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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É muito desafiador escrever um curso de Matemática Atuarial 
para um concurso público. Há muito pouco material em português 
sobre o tema, mesmo para quem cursa ciências atuariais numa 
faculdade. Os poucos livros que existem não cobrem o edital todo e 
os livros em inglês são muito profundos na matéria e nos exigiriam 
um tempo de que não dispomos. 
Matemática Atuarial não é uma matéria fácil. O meu trabalho é 
fazê-la parecer o mais simples possível. É o que vamos fazer aqui. 
Nossa matéria se desenvolverá a partir do princípio mais básico de 
todos, o valor presente atuarial, e percorrerá todos os pontos do 
edital. 
Não será assumido conhecimento prévio do aluno, mas quem 
tiver bom domínio da teoria das probabilidades e de matemática 
financeira terá vantagem. Quem não tiver esse domínio ainda está no 
páreo, pois... 
 
Prova = Conhecimento + Saber fazer prova + Sangue frio 
 
Se você tiver 2 componentes da equação acima fortes, e o 
terceiro não atrapalhar muito, sua chance de sucesso em qualquer 
prova é tremenda. Na minha própria experiência, muitas vezes me 
faltou conhecimento de algumas matérias (nunca matemática 
atuarial!), o que não me impediu de ter resultados positivos. 
 
Vamos trabalhar aqui da seguinte forma: 
 
• Conhecimento: o curso será o mais focado possível no 
edital e nas provas anteriores da SUSEP, CGU e IBA 
• Saber fazer prova: Vou tentar mostrar, sempre que 
possível, o caminho mais curto para acertar a questão. 
Dar dicas de como chegar no gabarito, o que não é 
equivalente a acertar a questão. É o princípio básico 
do concursando: Não discuta com a banca. Ela tem 
sempre razão (pelo menos até sua saída da sala do 
exame). 
• Sangue frio: Se você estiver bem nos dois pontos acima, 
automaticamente sua chance de manter um bom 
equilíbrio na hora da prova aumenta. Aqui no curso 
vamos resolver uma batelada de questões anteriores da 
SUSEP e do exame de certificação do IBA (Instituto 
Brasileiro de Atuária). O objetivo é entrarmos na sala do 
exame confiantes de que estamos preparados. 
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Nosso curso será dividido em 9 aulas, mais a aula introdutória: 
 
PLANO DE ENSINO 
 
 
Aula Data Conteúdo 
0 31/01 INTRODUÇÃO. Introdução às Funções de Sobrevivência e 
Tábua de Mortalidade 
 
1 12/02 CONCEITOS BÁSICOS. Conceitos básicos de 
probabilidade e matemática financeira. Paralelo entre 
Matemática Financeira e Matemática Atuarial. Valor 
Presente Atuarial (VPA). 
 
2-3 22/02 
e 
01/03 
FUNÇÕES DE SOBREVIVÊNCIA. Funções de 
Sobrevivência de uma vida. Tábua de Mortalidade. Tempo 
de vida futuro de um recém-nascido, tempo até a morte 
de uma pessoa de idade x, força de mortalidade, tábua de 
mortalidade, relação entre a tábua de mortalidade e 
função de sobrevivência, esperança de vida, leis de 
mortalidade, métodos para fracionar idades, tábuas 
selecionadas. Comutações. 
 
4 08/03 ANUIDADES. Anuidades discretas, contínuas e variáveis. 
Noções de cálculo integral 
 
5 15/03 SEGUROS DE VIDA. Seguros de vida pagos no fim do 
ano da morte, relação entre seguro de vida e anuidades 
pagas no momento da morte, seguros variáveis. 
 
6 22/03 PRÊMIOS. Cálculo de prêmio único, fracionado, puro e 
comercial. Planos pagáveis por sobrevivência, morte e 
invalidez. 
7 29/03 MÚLTIPLAS VIDAS. Funções sobrevivência de múltiplas 
vidas – status da vida conjunta, status do último 
sobrevivente, funções de contingência e anuidades 
reversíveis. 
 
8 05/04 MÚLTIPLOS DECREMENTOS. Modelos de múltiplos 
decrementos e suas aplicações. Tábuas de múltiplos 
decrementos. 
9 09/04 REGIMES FINANCEIROS E RISCOS. Regimes 
financeiros: repartição simples, repartição de capitais de 
cobertura e capitalização. Risco de subscrição. Risco de 
longevidade. Risco da taxa de juros. Risco em garantias 
mínimas. 
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Espero que este curso seja bastante útil para você e que possa 
auxiliá-lo de forma substantiva na preparação para o concurso 
público de ANALISTA TÉCNICO DA SUSEP (ÁREA 2 - Atuária) e na 
conquista da tão sonhada vaga. As dúvidas serão sanadas por meio 
do fórum do curso, ao qual todos os matriculados terão acesso. As 
críticas ou sugestões poderão ser enviadas para 
andrecunhaprof@yahoo.com.br. 
 
 
Prof. André Cunha 
Fev/2010 
 
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Conteúdo 
1. Introdução .......................................................................... 7 
2. Paralelo entre Matemática Atuarial e Matemática Financeira ....... 7 
3. A Função de Sobrevivência ................................................... 8 
4. Tábuas de Mortalidade ....................................................... 10 
4.1. Relações entre S(x), qx, lx e dx .................................... 12 
4.2. Outras funções de lx ................................................... 13 
4.3. Taxa Instantânea de Mortalidade (µx) ........................... 15 
5. Exercícios de Fixação ......................................................... 17 
6. GABARITO ........................................................................ 19 
7. Resolução dos Exercícios de Fixação ..................................... 20 
 
 
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1. Introdução 
 
Pessoal, esta é uma aula introdutória. Todos os conceitos vistos 
aqui serão bem aprofundados durante o curso. O objetivo agora é 
expor alguns conceitos importantes da matemáticaatuarial. Ainda 
assim, conseguiremos resolver alguns exercícios de provas passadas 
no final desta aula. 
 
Quanto devo economizar mensalmente para quando fizer 65 
anos ter uma renda vitalícia de R$ 5.000,00 por mês? 
É justo eu pagar o que eu pago no seguro do meu automóvel? 
 
Essas e outras questões são o foco da matemática atuarial. 
 
A Matemática Atuarial se divide tradicionalmente em dois 
grandes ramos, a saber: 
 
¾ Life/Health – estuda seguros de vida, anuidades, 
previdência e saúde 
¾ Casualty – foca em seguros de patrimônio e 
responsabilidade civil 
 
O edital definiu nossa matéria como Matemática Atuarial de 
Pessoas (Life/Health). Aqui vamos estudar basicamente seguros de 
vida e anuidades, pois é o que consta no edital. 
 
 
2. Paralelo entre Matemática Atuarial e Matemática 
Financeira 
 
 
Um conceito fundamental da matemática financeira é o cálculo 
do valor presente (VP)1. 
Sendo 
i = taxa de juros compostos por período 
v = 1/(1+i) 
t = número de períodos 
O valor presente de um fluxo financeiro de uma u.m. (unidade 
monetária) daqui a t períodos é dado por: 
 
tt
t vii
VP =+=+=
−)1(
)1(
1
 
 
1 Ou Valor Atual 
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Isso significa que se aplicarmos tv reais hoje, a uma taxa de i 
por período, daqui a t períodos teremos um real. 
Para M reais, MviM
i
MVP ttt =+=+=
−)1(
)1(
 
 Na matemática atuarial temos um conceito análogo, chamado 
de valor presente atuarial (VPA). 
O valor presente atuarial é o valor presente dado na matemática 
financeira multiplicado pela probabilidade deste pagamento ocorrer, 
p(t). 
Assim, para uma u.m daqui a t períodos, seu VPA será 
)()()1()(
)1(
1 tpvtpitp
i
VP ttt =+=⋅+=
− 
A diferença fundamental entre as matemáticas atuarial e 
financeira é o elemento de risco do fluxo financeiro. Na matemática 
financeira os fluxos são certos. Na atuarial não. Há várias incertezas. 
Incerteza quanto à Ocorrência: Ao contratar um seguro de 
automóvel, a seguradora só irá pagar em caso de sinistro 
Incerteza quanto ao valor: Seguro residencial – o quanto foi 
roubado? 
Incerteza quanto ao tempo: Quando compramos um seguro de 
vida, sabemos que vamos morrer, mas não sabemos quando. 
Toda essa incerteza é modelada pelo atuário (pelo menos 
tentamos) para a precificação de fluxos financeiros incertos. 
Incertezas são modeladas por probabilidades. É por aí que vamos 
começar. 
 
3. A Função de Sobrevivência 
 
Seja X uma variável aleatória que representa o tempo restante 
de vida de um indivíduo, ou seja, o tempo que levará até sua morte. 
Pode ser também o tempo para a geladeira pifar, para se ganhar na 
mega-sena, etc. 
Dizemos que S(x) = Pr(X > x) é a função de sobrevivência da 
variável aleatória X, e representa a probabilidade de o indivíduo 
sobreviver x anos a partir do momento atual. 
A probabilidade de o indivíduo morrer dentro de x anos é dada 
por F(x) = Pr(X ≤ x). 
É claro que F(x) + S(x) = 1, para todo x. 
 
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Relações importantes: 
 
S(0) = 1 , ou F(0) = 0 (1) 
0)(lim =∞→ xSx , ou 1)(lim =∞→ xFx (2) 
 
A equação (2) afirma apenas que ninguém é eterno. 
 
Exemplo 1: Calcule a probabilidade de a variável X definida 
acima estar entre 40 e 50. 
 
Solução 
 
Ele pede Pr (40<X<50) = Pr (X< 50) - Pr (X≤ 40)= 
= F(50) – F(40) 
Repare que o resultado poderia ser colocado em termos de S(x): 
Pr (40<X<50) = S(40) – S(50) 
 
Exemplo 2: Determine a probabilidade de uma pessoa de idade 
40 completar 50 anos. 
 
Solução 
 
Neste exemplo é dado que a pessoa sobreviveu aos 40 anos. 
Usando a fórmula da probabilidade condicional ,
][
][]/[
BP
ABPBAP = 
A = X > 50 
B = X > 40 
AB = X > 50 e X > 40, o que equivale a X > 50 
 
Desta forma, 
)40(1
)50(1
)40(
)50(
]40[
]50[]40/50[
F
Fou
S
S
XP
XPXXP −
−=>
>=>> 
 
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4. Tábuas de mortalidade 
 
Tábuas de mortalidade (ou de sobrevivência ou biométrica) são 
importantes instrumentos para se conhecer as taxas de mortalidade 
de uma população. É a partir delas que calculamos as probabilidades 
de nosso interesse. 
Uma tábua de mortalidade pode ser construída a partir da 
função de sobrevivência S(x). 
 
x S(x) 
0 1,000 
1 0,980 
2 0,978 
3 0,975 
4 0,973 
5 0,970 
... ... 
99 0,001 
100 0,000 
 
 Tábua 1 
 
Para a idade x = 0, S(x)=1, e para a idade de 100 anos S(x) = 
0. Mesmo sabendo que a probabilidade de uma pessoa de 100 anos 
sobreviver mais um ano não é nula, para alguma idade essa 
probabilidade será tão baixa que podemos considerá-la como zero 
para quaisquer efeitos práticos. 
A primeira idade para a qual S(x) é nula é chamada de idade ω 
(ômega). Costuma ser a última idade da tábua, mas não 
necessariamente é. Na Tábua 1, ω = 100. 
A apresentação da Tábua 1 não é muito usual. Veja a Tábua 2 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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x qx lx dx x qx lx dx 
0 0.00708 100000 708 50 0.00832 87623 729 
1 0.00176 99292 175 51 0.00911 86894 792 
2 0.00152 99117 151 52 0.00996 86102 858 
3 0.00146 98967 144 53 0.01089 85245 928 
4 0.00140 98822 138 54 0.01190 84317 1003 
5 0.00135 98684 133 55 0.01300 83313 1083 
6 0.00130 98551 128 56 0.01421 82230 1168 
7 0.00126 98422 124 57 0.01554 81062 1260 
8 0.00123 98298 121 58 0.01700 79802 1357 
9 0.00121 98177 119 59 0.01859 78445 1458 
10 0.00121 98059 119 60 0.02034 76987 1566 
11 0.00123 97940 120 61 0.02224 75421 1677 
12 0.00126 97820 123 62 0.02431 73744 1793 
13 0.00132 97696 129 63 0.02657 71951 1912 
14 0.00139 97567 136 64 0.02904 70039 2034 
15 0.00146 97432 142 65 0.03175 68005 2159 
16 0.00154 97289 150 66 0.03474 65846 2287 
17 0.00162 97140 157 67 0.03804 63559 2418 
18 0.00169 96982 164 68 0.04168 61141 2548 
19 0.00174 96818 168 69 0.04561 58593 2672 
20 0.00179 96650 173 70 0.04979 55920 2784 
21 0.00183 96477 177 71 0.05415 53136 2877 
22 0.00186 96300 179 72 0.05865 50259 2948 
23 0.00189 96121 182 73 0.06326 47311 2993 
24 0.00191 95940 183 74 0.06812 44318 3019 
25 0.00193 95756 185 75 0.07337 41299 3030 
26 0.00196 95572 187 76 0.07918 38269 3030 
27 0.00199 95384 190 77 0.08570 35239 3020 
28 0.00203 95194 193 78 0.09306 32219 2998 
29 0.00208 95001 198 79 0.10119 29221 2957 
30 0.00213 94804 202 80 0.10998 26264 2888 
31 0.00219 94602 207 81 0.11935 23375 2790 
32 0.00225 94394 212 82 0.12917 20585 2659 
33 0.00232 94182 219 83 0.13938 17926 2499 
34 0.00240 93964 226 84 0.15001 15428 2314 
35 0.00251 93738 235 85 0.16114 13113 2113 
36 0.00264 93503 247 86 0.17282 11000 1901 
37 0.00280 93256 261 87 0.18513 9099 1685 
38 0.00301 92995 280 88 0.19825 7415 1470 
39 0.00325 92715 301 89 0.21246 5945 1263 
40 0.00353 92414 326 90 0.22814 4682 1068 
41 0.00384 92087 354 91 0.24577 3614 888 
42 0.00417 91734 383 92 0.26593 2726 725 
43 0.00453 91351 414 93 0.28930 2001 579 
44 0.00492 90937 447 94 0.31666 1422 450 
45 0.00535 90490 484 95 0.35124 972 341 
46 0.00583 90006 525 96 0.40056 630 253 
47 0.00636 89481 569 97 0.48842 378 185 
48 0.00695 88912 618 98 0.66815 193 129 
49 0.00760 88294 671 99 1.00000 64 64 
50 0.00832 87623 729 100 1.00000 0 0 
 
Tábua 2 
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Essa é uma tábua bastante comum. 
 
Elementos: 
 
• x = idade; 
• qx = probabilidade de um individuo de idade x morrer dentro de 
umano; 
• lx = número de pessoas vivas com exatamente x anos; 
• dx = número de pessoas que morrem entre as idades x e x + 1. 
 
Exemplificando: 
 
q60 = 0,02034 significa que uma pessoa com exatamente 60 anos 
tem 2,034% de probabilidade de morrer antes de completar 61 anos. 
Repare que qx é crescente sempre, exceto para valores baixos 
de x, devido à mortalidade infantil. 
l10 quer dizer que das 100.000 pessoas inicialmente vivas, apenas 
98.059 atingem 10 anos. 
l0 representa o número de pessoas inicialmente no grupo, no caso 
100.000. Esse número inicial, puramente arbitrário, é chamado raiz 
(radix) da tábua de mortalidade. 
d0 = l0 – l1 = 708, é o número de pessoas mortas antes de 
completarem um ano. 
 
4.1. Relações entre S(x), qx , lx e dx 
 
1+−= xxx lld (3) 
x
xx
x
x
x l
ll
l
dq 1+−== (4) 
 
)(0 xSllx ⋅= (5) 
 
As interpretações das fórmulas (3), (4) e (5) são bem 
tranquilas. Como exemplo, (5) nos diz que o número de pessoas que 
atingem a idade x é o número inicial de pessoas (raiz) multiplicado 
pela probabilidade de uma pessoa atingir a idade x. 
Apesar de simples, peço muita atenção nas interpretações das 
equações acima. Vamos ver toneladas delas daqui para frente (bem 
mais sofisticadas), e se nos acostumarmos a interpretá-las, nosso 
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trabalho de memorização, aplicação das mesmas e compreensão da 
matéria será muito facilitado! 
 
4.2. Outras funções de lx 
 
 
As funções de lx são vitais para a compreensão da matemática 
atuarial. Vamos usá-las em todas as aulas até o final. 
Nós já vimos duas delas, dx e qx. Vamos às outras. 
 
px = probabilidade de um indivíduo de idade x atingir a idade x + 1 
 
 
x
x
x l
lp 1+= (6) 
 
A equação (6) afirma que probabilidade de um indivíduo de 
idade x viver pelo menos mais um ano é igual ao quociente entre os 
que atingiram a idade x + 1 e os que atingiram a idade x. Note que, 
ao fim de um ano, a pessoa ou morre ou sobrevive. Por isso, 
 
1=+ xx qp (7) 
 
ndx = número de pessoas que morrem entre as idades x e x + n. 
 
nxxxn lld +−= (8) 
 
A interpretação de (8) deixamos para o aluno. 
 
nqx = probabilidade de um individuo de idade x morrer em até n 
anos. 
x
nxx
x
xn
xn l
ll
l
d
q +
−== (9) 
 
De acordo com a equação (9), a probabilidade de um indivíduo 
de idade x morrer nos próximos n anos é igual à razão entre o 
número pessoas que atingiram a idade x e morreram dentro dos n 
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anos seguintes e o número de pessoas que atingiram a idade x. 
Repare que qx é caso particular de nqx para x = 1: nqx = qx 
 
npx = probabilidade de um indivíduo de idade x atingir a idade x + n 
 
 
x
nx
xn l
l
p += (10) 
 
A equação (10) e sua interpretação são análogas às vistas na 
equação (6). A probabilidade de um indivíduo de idade x atingir a 
idade x + n é igual ao quociente entre os que atingiram a idade x + n 
e os que atingiram a idade x. Note novamente que, ao fim do 
período, a pessoa ou morre ou sobrevive. Logo 
 
1=+ xnxn qp (11) 
 
As equações (8), (9) e (10) são importantíssimas para a prova, 
mas não se preocupe em decorar agora (em entender sim!), nós 
vamos utilizá-las muitas vezes ainda no decorrer do curso. As 
equações (3), (4) e (6) são casos particulares das equações (8), (9) e 
(10), respectivamente, para n = 1. As equações (7) e (11) são 
consequência direta da regra da probabilidade de eventos 
complementares. Essa análise é importante para que você não se 
preocupe em decorar tudo, pois isso é impossível. Mas ao entender a 
matéria, muitas fórmulas você não precisará decorar. 
 
Exemplo 3: Usando os dados da Tábua 2, calcule 
 
a) p35 
b) 7d40 
c) 20p50 
d) a probabilidade de uma pessoa de 50 anos morrer entre as 
idade de 70 e 75 
 
Solução 
 
a) Podemos utilizar (6) ou (7): 
De (7), 99749,000251,0111 35353535 =−=−=⇒=+ qpqp 
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b) Usando (8): 293389481924144740407 =−=−= lld 
c) De (10), 6382,0
87623
55920
50
70
5020 === l
l
p 
d) Para uma pessoa de 50 anos morrer entre as idades de 70 e 
75, duas coisas têm de ocorrer simultaneamente. 
• Essa pessoa tem de sobreviver até a idade de 70: a 
probabilidade desse evento ocorrer é 5020 p 
e 
• Essa mesma pessoa tem de morrer nos 5 anos seguintes, 
e a probabilidade desse evento ocorrer é 705 q . 
Assim, a probabilidade procurada é 
1669,0
87623
4129955920
50
7570
50
705
70
705
50
70
7055020 =−=−==×=× l
ll
l
d
l
d
l
l
qp 
 
4.3. Taxa instantânea de mortalidade (µx) 
 
Conceito muito utilizado na Matemática Atuarial para o caso de 
seguros e anuidades no caso contínuo. Copiando o item 3 do 
programa: Anuidades – discreta, contínua e variável. 
A taxa instantânea de mortalidade, coeficiente instantâneo de 
mortalidade, força de mortalidade, ou ainda Force of Failure ou Force 
of Mortality, µx, é dada por: 
 
dx
dl
l
x
x
x ⋅−= 1μ (12) 
Onde lx já foi definido anteriormente e dx
dlx indica a derivada de 
lx em relação a x. Não confundir com o dx = número de mortos em 
uma determinada idade. 
Como 
dx
dlx é sempre negativo, pois à medida que x aumenta lx 
diminui, 
dx
dl
l
x
x
x ⋅−= 1μ é sempre positivo. 
Outra forma de apresentar a taxa instantânea de mortalidade é 
dx
ld x
x
)ln(−=μ (13) 
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Prova-se facilmente que as fórmulas (12) e (13) são 
equivalentes. 
 
Exemplo 4: (Analista Técnico – SUSEP 2006 – ESAF) A taxa 
instantânea de mortalidade pode ser determinada por uma função 
contínua, especialmente quando consideramos que a subdivisão do 
período seja suficientemente pequena, tendendo a zero. Porém, como 
determinação dos valores aproximados, a taxa instantânea de 
mortalidade poderá ser determinada por: 
 
A) (lx - lx+1) / lx 
B) (dx-1 - dx) / 2 lx 
C) (lx-1 - lx+1) / 2 lx 
D) (dx - dx+1) / 2 lx 
E) (lx-1 - lx) / lx 
 
Solução: 
 
Vamos provar que xμ é a probabilidade de morte de um 
indivíduo num intervalo de tempo, dividida pelo comprimento deste 
intervalo, quando este intervalo tende a zero. 
Sendo t esse intervalo, a probabilidade de morte nesse 
intervalo de um indivíduo de idade x é dada por xt q , e temos: 
x
x
x
txx
t
xx
txx
t
xt
t dx
dl
lt
ll
ll
ll
tt
q μ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅=−=−⋅= +
→
+
→→
1lim11limlim
000
 
 
Para t pequeno, xμ se aproxima de 
x
txx
l
ll
t
+−⋅1 
 
x
txx
x l
ll
t
+−⋅≈ 1μ 
 
Vamos analisar as alternativas agora. 
 
A) é só fazer t = 1, e 
x
xx
x l
ll 1+−⋅≈μ . Item A correto. 
B) dx-1 - dx significa a diferença do número de mortos entre dois anos 
consecutivos, não tem qualquer relação com xμ . Item B errado. 
C) (lx-1 - lx+1) / 2 lx . Neste caso, (lx-1 - lx+1) /2 lx-1 é a probabilidade 
de morte de um indivíduo num intervalo de tempo de comprimento (x 
+ 1 – (x – 1)) = 2, dividida pelo comprimento deste intervalo. Diferiu 
da resposta apenas pelo denominador. Como estamos trabalhando no 
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caso contínuo e com aproximações, está correta a aproximação, 
mesmo usando lx no denominador ao invés de lx-1. Item C correto. 
 
D) Mesma observação do item B. Item D errado. 
 
E) Mesma observação do item C. Item E correto. 
 
GABARITO: A,C, e E. 
 
Gabarito ESAF: C 
 
Vamos tentar entender porque o examinador escolheu a letra C. 
É trabalhoso, mas não é difícil provar que µx = (lx-1 - lx+1) / 2 lx, 
quando lx é um polinômio do segundo grau. E não é aproximação, a 
conta é exata (mas o enunciado não utiliza essa premissa). Além 
disso, ou até por isso, a fórmula µx = (lx-1 - lx+1) / 2 lx aparece em 
vários textos. 
 
Então vamos aplicar o princípio básico: Não discuta com a banca, ela 
tem sempre razão. Apareceu uma questão parecida e a banca é a 
mesma. O que fazemos? µx = (lx-1 - lx+1) / 2 lx. Melhor que tentar a 
anulação da questão. 
Em tempo: O edital ESAF n° 47, de 25 de maio de 2006, validou o 
gabarito preliminar. 
 
 
5. Exercícios de Fixação 
 
 
1. (Analista Técnico – SUSEP 2002 – ESAF) A raiz de uma tábua 
de mortalidade (ou sobrevivência) é definida como: 
 
A) Raiz quadrada de qx 
B) Raiz quadrada de lw 
C) lx da idade inicial da tábua 
D) lx da idade final da tábua 
E) x (idade) média da tábua 
 
 
2. (Analista Técnico – SUSEP 2002 – ESAF) No cálculo da 
probabilidade de uma pessoa de idade x falecer após “n” anos e 
dentro dos “m” seguintes, representada por n/mQx, o término do 
período carencial dá-se na idade de: 
 
A) x+n 
B) x+m 
C) n 
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D) m 
E) x 
 
 
3. (Analista Técnico – SUSEP 2001 – ESAF) A idade ômega (ω) 
de uma tábua de mortalidade (ou sobrevivência) é definida como: 
 
A) Raiz quadrada de qx 
B) Raiz quadrada de lω 
C) x (idade) inicial da tábua 
D) x (idade) final da tábua 
E) x (idade) média da tábua 
 
 
4. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005 – adaptado) 
Paulo tem 30 anos de idade enquanto Simone tem 25 anos. Assuma 
que as vidas são independentes. Ache expressões que dependam 
apenas de probabilidades relacionadas a cada um dos dois 
separadamente para as seguintes probabilidades de que: 
 
I) tanto Paulo quanto Simone vivam por mais 30 anos; 
 
II) pelo menos um deles não viva por mais 30 anos; 
 
III) ambos alcancem a idade de 60 anos; 
 
IV) exatamente um deles faleça com 45 anos ou menos; e 
 
V) no máximo um deles faleça com a idade de 45 anos ou menos: 
 
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6. GABARITO 
 
1 – C 
2 – A 
3 – D 
4 – I) 30p30 x 30p25 
 II) 1 - 30p30 x 30p25 
 III) 30p30 x 35p25 
 IV) 15q30 + 20q25 – 2x 15q30 x 20q25 
 V) 1 - 15q30 x 20q25 
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7. Resolução dos Exercícios de Fixação 
 
 
1. (Analista Técnico – SUSEP 2002 – ESAF) A raiz de uma tábua 
de mortalidade (ou sobrevivência) é definida como: 
 
A) Raiz quadrada de qx 
B) Raiz quadrada de lw 
C) lx da idade inicial da tábua 
D) lx da idade final da tábua 
E) x (idade) média da tábua 
 
Resolução 
 
Ver item 4 da aula 
 
Gabarito: C 
 
2. (Analista Técnico – SUSEP 2002 – ESAF) No cálculo da 
probabilidade de uma pessoa de idade x falecer após “n” anos e 
dentro dos “m” seguintes, representada por n/mQx, o término do 
período carencial dá-se na idade de: 
 
A) x+n 
B) x+m 
C) n 
D) m 
E) x 
 
 
Resolução 
 
Vamos ver quando estudarmos seguro de vida que alguns 
apresentam um período de carência, dentro do qual, se ocorrer a 
morte do segurado, seus beneficiários nada receberão. Assim, os 
beneficiários de uma pessoa de idade x só receberão o benefício se 
ela morrer após n anos, ou seja, após atingir a idade x + n. 
 
 
Gabarito: A 
 
 
 
 
 
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3. (Analista Técnico – SUSEP 2001 – ESAF) A idade ômega (ω) 
de uma tábua de mortalidade (ou sobrevivência) é definida como: 
 
A) Raiz quadrada de qx 
B) Raiz quadrada de lω 
C) x (idade) inicial da tábua 
D) x (idade) final da tábua 
E) x (idade) média da tábua 
 
Resolução 
 
A primeira idade para a qual S(x) é nula é chamada de idade ω. 
Definida desta forma, ω não necessariamente é a última idade 
da tábua, posto que não há nenhum impedimento teórico para haver 
uma tábua com mais de uma idade para a qual S(x) = 0. 
Entretanto, como quase sempre ω é a idade final da tábua, não 
me surpreenderia se algum autor a definisse assim. Agora a pá de 
cal: a idade final da tábua é a única resposta que faz sentido dentre 
as opções. 
 
Gabarito: D 
 
 
4. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005 – adaptado) 
Paulo tem 30 anos de idade enquanto Simone tem 25 anos. Assuma 
que as vidas são independentes. Ache expressões que dependam 
apenas de probabilidades relacionadas a cada um dos dois 
separadamente para as seguintes probabilidades de que: 
 
I) tanto Paulo quanto Simone vivam por mais 30 anos; 
 
II) pelo menos um deles não viva por mais 30 anos; 
 
III) ambos alcancem a idade de 60 anos; 
 
IV) exatamente um deles faleça com 45 anos ou menos; e 
 
V) no máximo um deles faleça com a idade de 45 anos ou menos: 
 
 
Resolução 
 
Para resolver essa questão, usamos a informação de que as 
vidas deles são independentes. Isso nem sempre acontece. Eles 
poderiam ser casados e viajar bastante de avião juntos, por exemplo. 
 
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Definição: Os eventos A e B são independentes se e somente se 
 
][][][ BPAPABP = . 
 
I) Paulo vive por mais 30 anos: 30p30 
Simone vive por mais 30 anos: 30p25 
 
Os dois vivem por mais 30 anos: Como as vidas dos dois são 
independentes, basta multplicar as probabilidades: 30p30 x 30p25 
 
Gabarito: 30p30 x 30p25 
 
 
II) pelo menos um deles não vive por mais 30 anos 
 
Esta probabilidade é dada por 1 – probabilidade de os dois viverem 
por mais de 30 anos, calculada o item I. 
Assim, a probabilidade pedida é 1- 30p30 x 30p25 
 
 
Gabarito: 1 - 30p30 x 30p25 
 
 
III) ambos alcançam a idade de 60 anos: 
 
Paulo alcança a idade de 60 anos: 30p30 
Simone alcança a idade de 60 anos: 35p25 
Paulo e Simone alcançam a idade de 60 anos: 30p30 x 35p25 
 
Gabarito: 30p30 x 35p25 
 
 
 
IV) exatamente um deles falece com 45 anos ou menos: 
 
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Paulo falece antes dos 45 anos: 15q30 
Simone falece antes dos 45 anos: 20q25 
Se somarmos simplesmente 15q30 com 20q25 estaremos contando a 
probabilidade de os dois falecerem antes de 45 anos duas vezes: uma 
para Paulo e outra para Simone. Essa probabilidade é dada por 
15q30 x 20q25. Desta forma, haverá um e apenas um falecimento até os 
45 anos com probabilidade de 15q30 + 20q25 – 2x 15q30 x 20q25. 
 
Gabarito: 15q30 + 20q25 – 2x 15q30 x 20q25 
 
V) no máximo um deles falece com a idade de 45 anos ou menos: 
 
Essa probabilidade é 1 – a probabilidade de os dois falecerem até os 
45 anos de idade. Assim, a probabilidade pedida é 1 - 15q30 x 20q25. 
 
Gabarito: 1 - 15q30 x 20q25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bibliografia do Curso 
 
 
[BOW97] BOWERS, Newton L.; GERBER, Hans U.; HICKMAN, James 
C.; JONES, Donald A.; NESBITT, Cecil J. Actuarial Mathematics. 2nd 
ed. Society of Actuaries, 1997. 
[BOW86] BOWERS, Newton L.; GERBER, Hans U.; HICKMAN, James 
C.; JONES, Donald A.; NESBITT, Cecil J. Actuarial Mathematics. 1st 
ed. Society of Actuaries, 1986. 
[CUN08] CUNNINGHAM, Robin; HERZOG, Thomas; LONDON, Richard. 
Models for Quantifying Risk. 3rd ed. Actex Publications, 2008. 
[JOR91] JORDAN Jr., Chester Wallace. Life Contingencies.2nd ed. 
Actex Publications, 1991. 
[ATK00] ATKINSON, David B.; DALLAS, James W. Life Insurance 
Products and Finance. 1st ed. Society of Actuaries, 2000. 
[KLE97] KLEIN, John P.; MOESCHBERGER, Melvin L. Survival 
Analysis. Techniques for Censored and Truncated Data. Springer, 
1997. 
[COR09] CORDEIRO FILHO, Antônio. Cálculo Atuarial Aplicado. 
Editora Atlas, 2009. 
[FER85] FERREIRA, Weber José. Coleção Introdução à Ciência 
Atuarial, Volumes III e IV. IRB, 1985. 
[BRA85] BRASIL, Gilberto. O ABC da Matemática Atuarial e Princípios 
Gerais de Seguros, Volumes III e IV. IRB, 1985. 
[KEL91] KELLISON, Stephen G. The Theory of interest. 2nd ed. Irwin 
McGraw-Hill, 1991. 
[FAR95] FARO, Clovis de. Prindípios e Aplicações do Cálculo 
Financeiro. 2a ed. LTC Editora, 1995. 
[FEL67] FELLER, William. An Introduction to Probability Theory and 
its Applications, Volume I. 3rd ed. Wiley, 1967. 
[PIS77] PISKUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral, Volume I. Ed. 
Mir, 1977.