CAPÍTULO 02 - CAMPOS ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS

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CAPÍTULO 02 – OS CAMPOS VETORIAIS ELÉTRICOS 
E MAGNÉTICOS 
2.1 As Interações Elétricas e Magnéticas dos Corpos com 
Carregamento Elétrico – A Lei de Coulomb e a Lei de Biot e 
Savart 
 
 Os corpos materiais com carregamento elétrico de um par de 
eletrodos metálicos, de um par eletrodo/isolador ou ainda de um par 
isolador/isolador, interagem entre si e a força resultante ��� dessa interação 
pode ser medida. As forças nas situações comuns do cotidiano, devido à 
interação por contato de sólido/sólido, são a normal ���� e a força tangencial 
de atrito �����	�
. No caso do contato sólido/líquido ou sólido/gás as forças 
sobre o sólido se deslocando dentro do líquido são: o empuxo ��� e a força de 
arraste	������
��. Ao contrário, nas interações elétricas e magnéticas dos 
corpos carregados eletricamente, as forças devido às interações surgem 
sem que ocorra o contato entre os corpos materiais. Nesse tipo de fenômeno 
físico diz-se que o eletrodo carregado pode exercer forças sobre outros 
corpos materiais localizados na região do espaço da sua vizinhança, 
também carregados eletricamente, através do campo vetorial elétrico	��� e do 
campo vetorial magnético ���·. Assim, o vetor força elétrica ��� é a ação do 
vetor campo vetorial elétrico e o vetor força magnética ��� é a ação do 
campo vetorial magnético. Esses campos vetoriais são gerados pelo 
eletrodo carregado eletricamente na região do espaço onde se encontram os 
outros corpos materiais também carregados eletricamente. Tem-se, 
portanto, que o campo vetorial elétrico ��� é o campo do vetor força elétrica ��� 
e que o campo vetorial magnético ��� é o campo do vetor força magnética ���. 
Pode-se definir e calcular esses campos vetoriais partindo da lei da força 
elétrica e da lei da força magnética. As medições desses campos vetoriais 
 
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são feitas medindo-se os vetores forças ou outra grandeza física relacionada 
com elas. Nesses casos práticos fazem-se uso de um instrumento de 
medida. Por exemplo, as medidas da tensão elétrica V gerada por esses 
campos vetoriais é uma das grandezas físicas empregada no processo de 
medida. Utiliza-se para o procedimento de medida o voltímetro. A lei da força 
entre cargas puntiformes, ou lei de Coulomb, e o fluxo elétrico EΦ da lei de 
Gauss, são utilizados para definir e calcular o campo vetorial elétrico ���. De 
forma semelhante, o campo vetorial magnético ��� pode ser definido da 
expressão da força de Lorentz entre cargas puntiformes em movimento 
relativo e calculado pela lei de Biot e Savart, ou pela lei de Ampère. O 
processo para determinar o campo vetorial magnético de uma região do 
espaço utiliza as medidas da tensão de Hall VH sobre as laterais de um 
condutor imerso na região onde existe o campo vetorial. Essa tensão é 
gerada entre as laterais do condutor, devido à força magnética exercida pelo 
campo vetorial sobre a corrente I que nele circula. 
 
2.1.1 A lei de Coulomb 
 
 É a lei de força entre duas cargas elétricas puntiformes Q1 e Q2. 
Entende-se por cargas elétricas puntiformes corpos materiais carregados 
eletricamente de dimensões muito pequenas quando comparadas às 
distâncias entre eles. Veja na Fig. 18 essa situação. 
 
 
 
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(a) 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
Figura 18 – (a) Corpos materiais carregados 
eletricamente onde D << r. (b) Símbolo das cargas 
elétricas puntiformes. 
 
 A rigor, apenas as partículas que compõem o átomo, ou seja, os 
elétrons, os prótons e os nêutrons podem ser considerados, numa escala de 
distâncias na faixa de r ~ 10-10 m, a escala atômica, como cargas elétricas 
 
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puntiformes. O único corpo material macroscópico que verdadeiramente 
pode ser representado como carga elétrica puntiforme é o eletrodo metálico 
na forma de uma casca esférica (esfera oca), de raio R com a densidade 
homogênea de carga elétrica na sua superfície 
S
Q
=σ . Nesse caso, a casca 
esférica carregada eletricamente pode ser representada, para a abordagem 
dos fenômenos elétricos gerados por ela, como a carga elétrica puntiforme Q 
no seu centro. Pode-se mostrar a validade dessa equivalência utilizando-se 
a lei de Gauss. Isso será feito mais adiante. 
 A lei de Coulomb é uma lei empírica, ou seja, deduz-se a lei a partir 
de medidas experimentais. O francês Charles Augustin de Coulomb a 
deduziu utilizando uma balança de torção no início do século 19. Essa lei 
estabelece a relação matemática para o módulo da força elétrica devido à 
interação entre duas cargas elétricas puntiformes Q1 e Q2 separadas de uma 
distância r como mostrado na Fig. 19. Informa também qual é a direção e o 
sentido da força elétrica resultante da interação. 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 19 – Representação gráfica da força elétrica 
entre duas cargas elétricas puntiformes. 
 
 Em resumo, a lei de Coulomb estabelece o seguinte: 
 
- Módulo da força elétrica entre duas cargas elétricas 
puntiformes: 2
21
2
21
2112 4
1
r
QQ
r
QQ
KFF
o






===
piε
 
Farad
m
x
C
mN
xK 92
2
9 109.109 =≅ . 
m
Farad
x
mN
C
x
Ko
12
2
2
12 1085,8
.
1085,8
4
1
−−
===
pi
ε . 
 
- Direção da força elétrica: a força elétrica entre as 
cargas elétricas puntiformes Q1 e Q2 está dirigida ao 
longo da reta que une as duas cargas elétricas. 
 
- Sentido da força elétrica: se as cargas elétricas Q1 e 
Q2 forem do mesmo sinal (++) ou (−−), a força elétrica 
será repulsiva. Para as situações onde as cargas 
elétricas são de sinais diferentes (+−) ou (−+), a força 
elétrica será atrativa. 
 
 
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 Observe na Fig. 19 que não existe contato entre as cargas 
puntiformes Q1 e Q2. As forças elétricas de uma sobre a outra são exercidas 
pelos campos vetoriais elétricos gerados por elas na região do espaço de 
sua vizinhança. A carga puntiforme Q1 gera o campo vetorial elétrico ���� e a 
carga puntiforme Q2 gera o campo vetorial elétrico ����. Calculam-se os 
campos vetoriais elétricos gerados ���� e ���� isolando-se as cargas e utilizando 
a lei de Coulomb para obter o vetor força elétrica ��� exercida por esses 
campos sobre uma carga puntiforme de prova + q. Essa situação física é 
representada na Fig. 20. 
 
 
 
 
 
 
Figura 20 – Cálculo do campo vetorial elétrico ���� 
utilizando-se uma carga puntiforme de prova + q. Para 
mapear o campo vetorial elétrico ���� desloca-se a carga 
de prova para diferentes pontos do espaço da 
vizinhança da carga Q1. 
 
 
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 O campo vetorial elétrico ���� gerado pela carga puntiforme Q1 em um 
dado ponto do espaço da sua vizinhança, que está a uma distância r da 
carga Q1, é calculado utilizando o vetor força elétrica ��� sobre a carga 
puntiforme de prova + q naquele ponto: 
Módulo de ����: 21
2
1
1
r
Q
K
q
r
qQ
K
q
F
E E =
/
/
== . 
Direção de		����: o campo vetorial elétrico gerado por Q1 
no ponto r tem a mesma direção do vetor força elétrica 
sobre + q naquele ponto, ou seja, está ao longo da reta 
que une Q1 e + q. 
 
Sentido de ����: Se Q1 é positiva, o campo vetorialelétrico naquele ponto do espaço aponta para fora do 
espaço da vizinhança da carga Q1. Caso Q1 seja 
negativa, o campo vetorial elétrico aponta para dentro 
do espaço da sua vizinhança. Observe as duas 
situações na Fig. 21. 
 
 
 
 
 
 
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Figura 21 – Em (a) representa-se o campo vetorial 
elétrico ��� gerado quando a carga puntiforme Q1 é 
positiva e em (b) quando a carga puntiforme Q1 é 
negativa. 
 
 Isolando-se Q2, pode-se calcular o campo vetorial elétrico gerado por 
ela na região do espaço de sua vizinhança com um procedimento 
semelhante. Utilizando o princípio da superposição, pode-se obter o campo 
 
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vetorial elétrico resultante ���� em qualquer ponto da região do espaço da 
vizinhança das duas cargas elétricas puntiformes Q1 e Q2. Em geral, o 
campo vetorial elétrico resultante na região do espaço da vizinhança de um 
sistema de N cargas puntiformes é obtido da soma vetorial dos N campos 
vetoriais elétricos gerados por cada uma delas. Ou seja, escreve-se para o 
campo vetorial elétrico resultante a seguinte expressão de soma vetorial: 
 
���� �����	
�
	��
����	�
�
	��
�̂ � � ��� �̂� � �
��
� �̂� �⋯�
��
� �̂� 
 
�̂	 = vetor unitário ao longo da reta que liga o ponto de 
localização da carga puntiforme Qi com o ponto da 
região do espaço da vizinhança do conjunto de cargas. 
 
 No sistema de medidas SI, as unidades do campo vetorial elétrico 
gerado numa região do espaço nas vizinhanças de uma carga puntiforme Q, 
ou de um corpo material com carregamento elétrico, são dadas por: 
 
[ ] [ ][ ] m
V
C
N
q
FE === . 
 
Portanto, o módulo do campo vetorial elétrico é medido em 
newtons/coulombs (N/C) ou volts/metros (V/m). As duas unidades são 
equivalentes. Entretanto, a medida em V/m é mais comum nas aplicações, 
 
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porque torna explícita a relação entre tensão elétrica V, medida em volts, e o 
módulo E do campo vetorial elétrico ���: 
 
[ ] [ ][ ]L
VE = → [ ] [ ][ ]LEV = . 
 Na maioria dos fenômenos físicos macroscópicos, têm-se a interação 
entre corpos materiais carregados eletricamente que ocupam um volume V 
do espaço, como os eletrodos metálicos carregados. Um corpo material 
carregado eletricamente pode ser imaginado como constituído de infinitas 
partes com carga dQ dentro de um volume elementar dV. Assim, deve-se 
modificar a soma discreta obtida para o campo vetorial elétrico resultante do 
sistema de cargas puntiformes para uma soma de infinitas partes, ou seja, 
para uma integral: 
 
���� � �� ���� �̂ 
 
r = distância de dQ sobre o corpo material até o ponto 
do espaço da vizinhança do corpo material com 
carregamento elétrico onde se calcula o campo vetorial 
elétrico gerado. 
 
 A distribuição de carga elétrica sobre o corpo material determina 
como deve ser o valor de dQ. Ou seja, para corpos materiais isolantes ou 
nos isoladores elétricos a carga se distribui sobre todo o seu volume e então 
dVdQ ρ= . Ao contrário, para corpos materiais condutores ou nos eletrodos 
 
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metálicos, a carga se distribui apenas sobre a sua superfície e temos 
dSdQ σ= . Então, as somas mostradas na Fig. 22 devem ser efetuadas para 
calcular o campo vetorial elétrico resultante de um corpo material carregado 
eletricamente: 
 
 
 
 
 
��� � ����� � �� ���� �̂ � ��
 �!
�� �̂ 
 
(a) Corpos materiais isolantes carregados 
eletricamente. 
 
 
 
 
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��� � � ���� � � � ���� �̂ � � �
"�#
�� �̂ 
 
(b) Corpos materiais condutores carregados 
eletricamente. 
 
Figura 22 − Lei de Coulomb para obter o campo 
vetorial elétrico gerado por um corpo material 
carregado eletricamente. 
 
Se a carga elétrica estiver distribuída ao longo do comprimento do 
corpo material, então a soma abaixo se aplica tanto a materiais condutores 
quanto a materiais isolantes: 
 
 
 
��� � � ���� � � � ���� �̂ � � �
$�%
�� �̂ 
. 
 
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Figura 23 – Lei de Coulomb para obter o campo vetorial 
elétrico gerado por um corpo material carregado 
eletricamente quando a carga se distribui somente ao 
longo do seu comprimento. 
 
 
EXEMPLO 1 − FIO CONDUTOR SOBRE O EIXO DOS z CARREGADO 
COM UMA DENSIDADE DE CARGA + λλλλ. 
 
 
 
 
Figura 24 – Fio condutor de comprimento L carregado 
eletricamente. 
 
 
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dzdL = ; ksenar r ˆˆcosˆ ξξ += ; 
22
cos
Rz
R
+
=ξ ; 
22 Rz
z
sen
+
=ξ ; 
222 Rzr += ; 
[ ]
( ) ( )∫∫∫
+
−
+
−
+
−
→
++
+
++
=
+
+
=
2
2
2222
2
2
2222
2
2
22
ˆ
ˆ
ˆ
ˆcos
L
L
L
L
r
L
L
r
RzRz
kzdzK
RzRz
adzR
K
Rz
ksenadz
KE λλξξλ ; 
( ) 0
ˆ2
2
2222
=
++
∫
+
−
L
L RzRz
kzdzK λ ; 
( )∫
+
−
→
+
=
2
2
2
3
22
ˆ
L
L
r
Rz
dz
aRKE λ ; ( ) ξξξ dRdztgRz 2sec=⇒= ; 
R
L
tg
21
−=ξ ; 
R
L
tg
22
=ξ ; ξξ 2222222 secRRtgRRz =+=+ ; 
( ) ∫∫∫ ===
→ 2
1
2
1
2
11
cos
ˆ
sec
sec
ˆ
sec
sec
ˆ 33
2
2
2
3
22
2 ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξξλξ
ξξλ
ξ
ξξλ d
R
aK
R
d
aRK
R
dR
aRKE r
rr ; 
[ ] rasensenR
KE ˆ12 ξξλ −=
→
. 
Módulo do campo vetorial elétrico &���: 
[ ]12 ξξλ sensenR
KE −= . 
Direção e sentido do campo vetorial elétrico &���: 
radial a partir do fio apontando para fora. 
 
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EXEMPLO 2 − FIO CONDUTOR MUITO COMPRIDO SOBRE O EIXO DOS 
z CARREGADO COM UMA DENSIDADE DE CARGA + λλλλ. 
 
 Quando o fio tiver comprimento muito grande comparado com a 
distância radial R, os ângulos 2ξ e 1ξ tendem a 2
pi
 e 
2
pi
− , respectivamente. 
Nesse caso, o campo vetorial elétrico é radial a partir do fio, com o sentido 
para fora. O módulo é dado por: 
 
R
K
sensen
R
KE λpipiλ 2
22
=











−−= . 
 
 
2.1.2 Cargas em Movimento: a lei de Biot e Savart 
 
 Quando uma carga puntiforme Q ou um corpo material carregado 
eletricamente é posto em movimento retilíneo e uniforme com vetor 
velocidade !�� constante, ou seja, se desloca com vetor aceleração '� � 0, 
surge sobre a carga de prova q que se desloca na vizinhança de Q com 
vetor velocidade )� uma força adicional, além da força elétrica. Essa é a força 
magnética ���·. Diz-se, então, que o movimento da carga puntiforme Q gerou 
um novo campo, o campo vetorial magnético
.
 Pode-se definir e calcular o 
campo vetorial magnético ��� utilizando a lei para o vetor força magnética ��� 
sobre a carga puntiforme q em movimento relativo com Q. A força ��� 
também é conhecida como a força de Lorentz. A força de Lorentz ��� sobre a 
 
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carga de prova q deslocando-se através de uma região do espaço 
preenchida com o campo vetorial magnético ��� dada por: 
 
��� � *)� + ��� 
���= Vetor força magnética sobre q exercido pelocampo vetorial magnético ���. 
q = valor da carga elétrica de prova q. 
)� = Vetor velocidade da carga elétrica de prova q. 
��� = Campo vetorial magnético. 
 
 O módulo, a direção e o sentido da força de Lorentz são obtidos da 
expressão vetorial para a força de Lorentz: 
Módulo da força magnética sobre q: 
BqvsenBvqFM ⊥=×××= θ . 
Componente do vetor velocidade )� perpendicular a 
���: θvsenv =⊥ . 
Direção de
 
���: perpendicular ao plano que contém os 
vetores )� e ���. 
Sentido da força magnética
 
���: é obtido da regra do 
parafuso. 
 
 
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 Para situações físicas nas quais se pode produzir o esboço do 
fenômeno físico em estudo, utiliza-se com freqüência o que chamamos de 
primeira regra da mão direita para as direções entre ���, )� e ���. Mostra-se a 
primeira regra da mão direita na Fig. 25 que segue abaixo. 
 
 
 
Figura 25 – A relação entre as direções dos vetores ���, 
)� e ��� dada pela primeira regra da mão direita. 
 
 O módulo B do campo vetorial magnético
 
��� pode ser obtido das 
medidas de ⊥v e do módulo da força magnética sobre q, MF : 
 
⊥
=
qv
FB M . 
 
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18
 A definição do módulo B do campo vetorial magnético com a 
expressão anterior permite obter as unidades do campo vetorial magnético 
no sistema SI: 
 
[ ] [ ][ ][ ] TteslamA
N
m
s
C
N
s
mC
N
vq
F
B M 11 ==
×
=
×
=
×
==
⊥
. 
 
 Suponha a situação geral onde uma carga puntiforme Q se desloca 
com vetor velocidade !�� e que a carga de prova q se desloca no espaço da 
vizinhança de Q com vetor velocidade 
→
v
. 
Os vetores velocidades 
→
V e 
→
v
 são 
medidos por um observador localizado no referencial inercial, ou seja, um 
observador que esteja em repouso sobre um ponto do corpo material de 
referência. O corpo material de referência ou está em repouso ou se 
deslocando com velocidade constante e em linha reta. Observe a situação 
na Fig. 26. 
 
 
 
 
 
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19
Figura 26 – Cargas puntiformes Q e q em movimento 
relativo na região do espaço nas vizinhanças do corpo 
material de referência neutro. 
 
Quando as cargas Q e q estiverem em repouso relativo ao 
observador, sobre a carga puntiforme q atuará apenas a força elétrica ��� do 
campo vetorial elétrico 
→
E
 
gerado por Q. O movimento relativo de ambas 
resulta no aparecimento de uma nova força sobre a carga puntiforme q, a 
força magnética. O módulo �� do vetor força magnética ��� sobre q é obtido 
da medida do ângulo de espalhamento α e da medida do módulo da força 
elétrica entre ambas as cargas. O ângulo α é o ângulo entre a direção da 
força resultante ���
 
e a direção da força elétrica ���. Observe o ângulo α na 
Fig. 27 abaixo. 
 
 
 
 
Fig. 27 – Ângulo de espalhamento devido ao 
aparecimento da força magnética MF
→
. 
 
 
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20
 Da geometria da Fig. 27 pode-se estabelecer a relação entre o 
módulo MF do vetor força magnética e o módulo EF
 
do vetor força elétrica: 
E
M
F
F
tg =α → [ ] EM FtgF α= . 
 Pode-se mostrar que o ângulo de espalhamento α está relacionado 
com os módulos dos vetores velocidades de Q e q, ou seja, com V e v , 
respectivamente, e com a velocidade da luz c . A velocidade da luz tem o 
mesmo valor de 3x108 m/s independente de o corpo material que serve de 
referencial para o observador estar em repouso ou em movimento retilíneo e 
uniforme com velocidade constante. Substituindo as expressões para a αtg 
e para a EF , pode-se obter a expressão para o módulo da força magnética 
MF : 
2c
vV
tg ×=α ; 2
r
QqKFe = ; 
 
[ ] 



=×



×=



×


 ×
= 222222
r
QV
x
c
Kqvqv
r
QV
c
K
r
QqK
c
vVFM ; 
 
Se qvBF
r
QV
c
KB M =→×= 22 . 
 
 Deduz-se, então, que a grandeza física B é o módulo do campo 
vetorial magnético ��� gerado pelo movimento relativo de Q e q. Isso segue da 
comparação dessa última expressão para o módulo da força magnética MF 
sobre q, devido ao movimento relativo entre Q e q, com a força de Lorentz: 
 
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21
Força de Lorentz: [ ]BqvFM ⊥= ; 
 
Força devido ao movimento relativo de Q e q: 




= 22
r
QV
x
c
KqvFM ; 
 
Portanto, pode-se escrever: 
 
22
r
QV
c
KB ×= ; E
c
V
r
QK
c
VB 222 =





= ; 
 
K = 9x109 N.m2/C2; c2 = 9x1016 m2/s2; 
 
2
7
2
2
7
2 101.101 A
N
s
C
N
c
K
−− ×=×= . 
 
 Ou seja, pode-se escrever para o módulo B do campo vetorial 
magnético ��� gerado por Q a seguinte expressão: 
24 r
QVB o ×=
pi
µ ; 2
7101
4 A
No −×=
pi
µ
. 
 
 
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22
 A constante oµ é chamada de permeabilidade magnética do vácuo. 
Seu valor de 2
7104
A
N
−×pi segue das relações da constante elétrica K com a 
permissividade elétrica do vácuo oε e da velocidade da luz com essas duas 
constantes fundamentais: 
o
K
piε4
1
= ; 
oo
c
εµ
12
= ; 
pi
µ
εµ
piε
41
4
1
2
o
oo
o
c
K
== . 
 
 É importante observar que a teoria da Relatividade Especial impõe 
restrições ao módulo �� do vetor força magnética ��� sobre devido à ação do 
campo vetorial magnético ��� gerado por Q. De acordo com essa teoria, a 
velocidade de qualquer corpo material não pode exceder o valor da 
velocidade da luz c . Então, a força magnética MF sobre q nunca excede o 
valor de EF . A igualdade ocorre quando as duas cargas se movem com a 
velocidade da luz: 
[ ] EM FtgF ×= α ; 2c
Vv
tg =α ; 
12 =
×
=→==
c
cc
tgcvV α 
EM FF = . 
 Adicionalmente, deduz-se que o ângulo de espalhamento máximo é 
,-á/	-
 � 45
no caso de ambas as cargas se moverem com a velocidade 
 
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23
da luz c. Se qualquer uma delas estiver em repouso relativo ao observador 
no referencial inercial então α = 0. Nessa situação, a força elétrica ��� é a 
força resultante sobre a carga q. 
 A tangente do ângulo de espalhamento α é um invariante de Lorentz, 
ou seja, sua forma é a mesma para diferentes observadores em diferentes 
pontos do corpo material que serve de referencial inercial. O mesmo é 
verdadeiro para diferentes observadores em diferentes corpos materiais que 
são referenciais inerciais. Assim, as conclusões do parágrafo anterior sobre 
a relação entre a força elétrica e a magnética das cargas Q e q em 
movimento relativo são absolutas. Mostra-se a invariância de Lorentz para o 
ângulo de espalhamento α a partir da expressão geral da Relatividade 
Especial para a força resultante de duas cargas Q e q em movimento 
relativo: 
 
( )
( )
( )
( ) rVvsenr
KQqVv
c
K
r
sen
r
QqKF R ˆˆˆ
1
1
ˆ
1
1
2
3
22
2
22
2
3
22
2
2 ××







−
−
×+








−
−
=
→
ϑβ
β
ϑβ
β ; 
c
V
=β ; 
rV
Vr
→→
=
.
cosϑ . 
ϑ
 = ângulo formado entre o vetor 
→
r e o vetor 
→
V . Veja 
na Fig. 28. 
 
 
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24
 
 
 
Figura 28 – O ângulo ϑ entre as direções de 
→
r e 
→
V . 
 
 Pode-se obter da expressão geral para a força resultante RF
→
 o ângulo 
de espalhamento α: 
( )
( )( )
( )232222
2
2
3
222
2
1
1
1
1
ϑβ
β
ϑβ
β
α
senrc
KQqvV
senr
KQq
tg
−
−
−
−
= ; 
2c
Vv
tg =α . 
 Resumindo, deduz-se das relações entre as expressões do campo 
vetorial elétrico ��� e do campo vetorial magnético ��� gerado por Q no espaço 
da sua vizinhança: 
→→→
×= EV
c
B 2
1 ; VVV ˆ=
→
; 
 
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25
r
r
QKE ˆ2=
→
; 
pi
µ
42
o
c
K
= ; 
rV
r
QV
r
rVQB oo ˆˆ
4
ˆ
4 22
×





=
×
=
→
pi
µ
pi
µ
r
; 
 
 Se ao invés de uma única carga puntiforme Q se tem um número 
grande de cargas elétricas se deslocando com velocidade constante na 
mesma direção, como ocorre nos fios condutores metálicos que conduzem 
uma corrente elétrica I (Veja na Fig. 29), então a lei de Biot e Savart pode 
ser obtida somando a contribuição da expressão vetorial 
→
Bd
 para cada dQ 
que ocupa uma distância dL sobre o fio de comprimento L: 
 
2
ˆ
4 r
rVdQBd o ×=
→
→
pi
µ
; 
dt
dLV =
→
; 
222
ˆˆ
4
ˆˆ
4
ˆˆ
4 r
raIdL
r
radL
dt
dQ
r
ra
dt
dLdQ
Bd to
t
o
t
o ×
=
×
=
×
=
→
pi
µ
pi
µ
pi
µ ; 
 
I = Corrente elétrica no fio metálico. 
 
 
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26
 
 
Figura 29 – Campo vetorial magnético gerado por um 
fio condutor que conduz uma corrente I. 
 
 A soma de todos os 
→
Bd s
 gerados por cada pedaço dL do fio permite 
obter o campo vetorial magnético total: 
∫∫
×
==
→→ L
o
t
r
raIdL
BdB o 2
ˆˆ
4pi
µ
. 
 Essa expressão matemática é a lei de Biot e Savart. Ela é utilizada 
para calcular os campos vetoriais magnéticos gerados por correntes 
elétricas que percorrem fios condutores ou bobinas de fios condutores, isto 
é, os enrolamentos de fios. Aplicam-se nos exemplos abaixo essa lei para 
obter os campos vetoriais magnéticos gerados por pedaços de fio e por 
espiras circulares. 
 
EXEMPLO 1 – FIO RETILÍNEO DE COMPRIMENTO L CONDUZINDO UMA 
CORRENTE ELÉTRICA I. 
 
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27
 Um fio retilíneo condutor de comprimento L está disposto ao longo do 
eixo coordenado z, de modo que ele é perpendicular ao plano xy. Uma 
corrente elétrica I percorre o fio condutor no sentido positivo do eixo z. 
Identificam-se na Fig. 30 as várias grandezas necessárias para calcular o 
campo vetorial magnético 
→
B gerado pelo fio utilizando a lei de Biot e Savart. 
 
Figura 30 – Fio condutor retilíneo de comprimento L 
conduzindo uma corrente elétrica I. 
 
dzdL = ; kat ˆˆ = ; ksenar r ˆˆcosˆ ξξ += ; 
φξark ˆcosˆˆ =× ; 222 Rzr += ; 










+
== ∫∫
−−
→ 2
2
22
2
2
2
ˆcos
4
ˆcos
4
L
L
o
L
L
o
Rz
adzI
r
adzI
B φφ
ξ
pi
µξ
pi
µ ; 
ξRtgz = ; ξξdRdz 2sec= ; ξ2222 secRRz =+ ; 
12
ξtg
R
L
=− ; 22
ξtg
R
L
= ; 
 
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28
φ
ξ
ξ
φ
ξ
ξ
ξξ
pi
µ
ξ
ξξξ
pi
µ
ad
R
I
a
R
dRIB oo ˆcos
4
ˆ
sec
cossec
4
2
1
2
1
22
2








=








= ∫∫
→
;
[ ] φξξpi
µ
asensen
R
I
B o ˆ
4 12
−=
→
; 





=
−
R
L
tg
2
1
2ξ ; 






−=
−
R
L
tg
2
1
1ξ ; 
Módulo de 
→
B : [ ]124 ξξpi
µ
sensen
R
IB o −= ; 
Direção e sentido de 
→
B : tangencial ao círculo de raio 
R, sentido anti-horário. 
 
EXEMPLO 2 – FIO RETILÍNEO COMPRIDO. 
 Quando o fio retilíneo é muito comprido, então a razão 
R
L
2
 torna-se 
grande e os ângulos 2ξ e 1ξ tendem para 2
pi
 e 
2
pi
− , respectivamente. Nesse 
caso, o campo vetorial magnético gerado pela corrente elétrica que percorre 
o fio condutor será dado por: 
( )[ ] φφ pi
µpipi
pi
µ
a
I
asensen
I
B oo ˆ11
4
ˆ
224
−−=











−−=
→
; 
φpi
µ
a
R
I
B o ˆ
2
=
→
; 
Módulo de 
→
B : 
R
IB o
pi
µ
2
= ; 
Direção e sentido de 
→
B : tangencial ao círculo de raio 
R, sentido anti-horário. 
 
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29
 
 
 
Figura 31 – Fio condutor retilíneo comprido disposto ao 
longo do eixo z e que conduz uma corrente elétrica I. 
 
EXEMPLO 3 – ESPIRA CIRCULAR DE RAIO R. 
 Quando um pedaço de fio condutor enrolado na forma de uma espira 
circular de raio R é percorrido por uma corrente elétrica I calcula-se sem 
dificuldade o campo vetorial magnético ��� gerado sobre o eixo de simetria da 
espira utilizando a lei de Biot e Savart. Suponha a situação física onde a 
espira está sobre o plano xy e que o seu centro de curvatura coincide com a 
origem dos eixos coordenados. Tem-se, dessa forma, o eixo z como eixo de 
simetria da espira, sendo perpendicular ao plano da mesma. A Fig. 32 
mostra essa situação física. 
 
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30
 
Figura 32 – Campo vetorial magnético sobre o eixo de 
uma espira circular gerado pela corrente elétrica I que 
percorre a mesma. 
 
φRddL = ; φaat ˆˆ = ; ksenar r ˆˆcosˆ ξξ += ; 
( ) ( ) ( )kasenaaksenaara rrt ˆˆˆˆcosˆˆcosˆˆˆ ×+×=+×=× φφφ ξξξξ ; 
rt asenkra ˆˆcosˆˆ ξξ −=× ; 222 Rzr += ; 
[ ]
∫∫∫ +
−
+
=
+
−
=
→ pipipi ξφ
pi
µξφ
pi
µξξφ
pi
µ 2
0
22
2
0
22
2
0
22
ˆ
4
ˆcos
4
ˆ
ˆcos
4 Rz
asenRdI
Rz
kRdI
Rz
asenkRdI
B rooro
 
( ) ( ) ∫∫ +−+=
→ pipi φ
pi
ξµφ
pi
ξµ 2
0
22
2
0
22
ˆ
44
ˆcos da
Rz
IRsend
Rz
kIR
B r
oo ; 
∫ =
pi
piφ
2
0
2d ; 0ˆ
2
0
=∫ φ
pi
dar ; 
( )
( ) ( )2222 2
ˆcos
4
2ˆcos
Rz
kIR
Rz
kIR
B oo
+
=
+
=
→ ξµ
pi
piξµ ; 
22
cos
Rz
R
+
=ξ ; 
 
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31
( )2322
2
2
ˆ
Rz
kIR
B o
+
=
→ µ
. 
Módulo de 
→
B : ( )2322
2
2 Rz
IRB o
+
=
µ
. 
Direção e sentido de 
→
B : direção z no sentido positivo 
do eixo. 
 
2.2 Representações Gráficas dos Campos Vetoriais Elétricos 
e Magnéticos. 
 
 Deve-se ao fato de a visão humana ser um sentido poderoso na 
gravação da memória de qualquer fenômeno físico ocorrendo no mundo 
exterior que nos rodeia a necessidade da representação gráfica dos campos 
vetoriais elétricos e magnéticos. Assim, os primeiros cientistas a estudarem 
esses fenômenos sentiram a necessidade de “enxergar” os campos vetoriais 
que geravam as forças elétricas e magnéticas entre os corpos materiais 
carregados eletricamente. O cientista inglês Michael Faraday propôs a idéia 
de um fluído elétrico que emanava dos corpos materiais carregados 
eletricamente. Tal fluído foi substituído, posteriormente, por linhas do campo 
vetorial elétrico e também linhas do campo vetorial magnético. Assim, na 
representação gráfica do campo vetorial elétrico 
→
E gerado por uma carga 
puntiforme,por exemplo, desenham-se linhas de campo emanando da carga 
para a região do espaço de sua vizinhança ou do espaço da sua vizinhança 
para a carga. Se a carga puntiforme é positiva, + Q, o sentido do fluído 
emanante é da carga para o espaço da sua vizinhança. O contrário ocorre 
para a carga puntiforme negativa, − Q: o sentido do fluído emanante é do 
espaço da sua vizinhança para a carga. As representações gráficas por 
 
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32
linhas de campo elétrico devem obedecer às leis da força elétrica, ou seja: 
(a) uma vez que a força elétrica é vetorial, ou seja, uma grandeza física que 
utiliza a geometria euclidiana para poder realizar as operações algébricas 
com ela, o caráter vetorial do campo elétrico deve ficar claro na 
representação gráfica; (b) a intensidade do campo vetorial elétrico na 
representação gráfica deve levar em consideração que a intensidade do 
campo varia linearmente com a densidade de carga, ou seja, quanto maior a 
densidade de carga dos corpos materiais carregados eletricamente, maior a 
intensidade dos campos vetoriais elétricos gerados por eles: σ∝E . O 
mesmo vale para as cargas puntiformes: QE ∝ . Então, um corpo material 
carregado eletricamente com uma grande densidade superficial de carga 
elétrica σ emana um fluído elétrico denso, ou seja, gera um campo vetorial 
elétrico intenso, com um grande número de linhas de campo elétrico por 
unidade de área: 
 
área
nhasnúmerodeli
A
NE =∝ . 
 
 Dessa forma, a região do espaço com o campo vetorial elétrico ��� 
uniforme é representada graficamente por linhas de campo paralelas, ou 
seja, a direção é sempre a mesma para qualquer ponto do espaço, e são 
igualmente espaçadas de modo que o campo vetorial elétrico tem o mesmo 
módulo 
A
NE ∝ para qualquer ponto do espaço. Veja essa representação na 
Fig. 33. 
 
 
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33
 
 
 
Figura 33 – Representação gráfica de uma região do 
espaço com campo vetorial elétrico uniforme. 
 
No caso de campo vetorial elétrico ��� variável, em direção e sentido, 
deve-se observar que as linhas de campo não podem se cruzar. Se isso 
ocorrer, a representação gráfica não corresponde à situação física real, onde 
em cada ponto do espaço o campo exerce uma força única sobre a carga de 
prova q localizada naquele ponto. De maneira geral, o esboço de linhas de 
campos vetoriais elétricos gerados por cargas puntiformes no espaço da sua 
vizinhança deve seguir as seguintes regras básicas: 
(a) O número de linhas de campo elétrico deve ser proporcional ao 
valor da carga Q; lembre-se que da lei de Coulomb deduziu-se que 
o modulo do campo vetorial elétrico de uma carga puntiforme é 
dado por 2
r
QKE = . 
(b) As linhas de campo elétrico têm simetria radial e são orientadas 
emanando de cargas puntiformes positivas + Q para a região do 
 
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34
espaço de suas vizinhanças. Para cargas puntiformes negativas − 
Q as linhas de campo elétrico emanam do espaço da sua 
vizinhança para as cargas negativas. 
(c) As cargas puntiformes negativas são os sorvedouros das linhas de 
campo elétrico que emanam de cargas puntiformes positivas 
localizadas no espaço de suas vizinhanças. Em outras palavras, 
as linhas de campo elétrico sempre principiam em cargas positivas 
e terminam em cargas negativas. 
(d) As linhas de campo elétrico podem emanar para o espaço da 
vizinhança onde existem várias cargas puntiformes ou do espaço 
da vizinhança para as cargas. O sinal da carga líquida, 
iilíquida
QQQ ∑∑ −−+= ,indicará se as linhas de campo elétrico 
emanam do sistema de cargas puntiformes para a o espaço da 
sua vizinhança ou deste para o sistema de cargas puntiformes. 
 
Mostram-se na Fig. 34 os esboços das linhas de campo elétrico 
geradas por cargas puntiformes isoladas de vários valores e de conjuntos de 
cargas puntiformes. 
 
 
 
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35
(a) Linhas de campo elétrico emanando das cargas +Q e +2Q. 
 
 
(b) Linhas de campo elétrico emanando do espaço da vizinhança para 
−2Q e −3Q. 
 
 
 
 
 
 
 
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36
(c) Linhas de campo elétrico emanando de um sistema de cargas 
puntiformes com carga líquida QQl += . 
 
Figura 34 – Linhas de campo elétrico geradas por 
várias distribuições de cargas puntiformes. 
 
 A representação do campo vetorial magnético 
→
B por linhas de campo 
também utiliza o conceito de um fluído magnético emanando da carga em 
movimento para o espaço de sua vizinhança. Entretanto, o fluído magnético 
envolve a carga Q em movimento. Ou seja, ao contrário do fluído elétrico 
que emana das cargas positivas para cargas negativas, ou fluído magnético 
preenche o espaço da vizinhança da carga, envolvendo a mesma. Então, 
quando uma carga puntiforme Q+ se move com velocidade 
→
V , além do 
fluído elétrico emanando da mesma para o espaço de sua vizinhança, ela 
preenche esse espaço com um fluído magnético e é envolvida por ele. As 
linhas do campo vetorial magnético ��� da carga Q+ em movimento com 
velocidade 
→
V devem obedecer à relação entre 
→
B e 
→
E : 
 
→→→
×= EV
c
B 2
1
. 
 
 Suponha a carga Q+ se movendo com velocidade constante na 
direção z, sentido positivo do eixo. Nesse caso, pode-se escrever para o 
vetor velocidade da carga a expressão kvV ˆ+=
→
. Uma vez que o campo 
 
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37
vetorial elétrico gerado pela carga emanando para o espaço da sua 
vizinhança é dado por raEE ˆ=
→
, então o campo vetorial magnético 
preenchendo esse espaço será dado por: 
 
[ ] φvEa
c
akvE
c
EV
c
B r 222
1
ˆ
11
=×=×=
→→→
; 
2
r
QKE = . 
 O vetor φaˆ indica que a direção de ��� é sempre tangencial a um círculo 
de raio r, tendo a carga como origem do círculo, sendo seu módulo 
constante sobre o círculo. Então, as linhas de campo magnético geradas 
envolvendo a carga + Q e preenchendo o espaço da sua vizinhança podem 
ser esboçadas como mostrado na Fig. 35. Mostra-se também a situação 
para a carga se deslocando no sentido negativo do eixo z. 
 
 
 
(a) Linhas de campo magnéticas geradas quando kvV ˆ+= . 
 
 
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38
 
 
 
 
 
(b) Linhas de campo magnéticas geradas quando kvV ˆ−= . 
 
Figura 35 – Linhas de campo magnético envolvendo 
uma carga puntiforme Q+ . 
 
 A segunda regra da mão direita, ou regra do parafuso, mostrada na 
Fig. 36, é uma ferramenta útil para esboçar as linhas de campo magnético 
que preenchem o espaço da vizinhança de cargas puntiformes em 
movimento. 
 
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39
 
 
 
 
Figura 36 – A segunda regra da mão direita utilizada 
para esboçar as linhas de campo magnético. 
 
 Se há na direção z um fio condutor que conduz uma corrente elétrica 
I, o esboço das linhas de campo magnético preenchendo o espaço da 
vizinhança do fio é mostrado na Fig. 37. O mesmo é feito para a situação na 
qual o fio é enrolado de modo a constituir uma espira circular. 
 
 
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40
 
(a) Linhas de campo magnético geradas por um fio 
metálico queconduz uma corrente elétrica I e está 
disposto ao longo da direção z 
 
 
 
(b) Linhas de campo magnético geradas por um fio 
enrolado na forma de espira circular de raio R. 
 
Figura 37 – Linhas de campo magnético em torno de 
alguns fios condutores que conduzem uma corrente 
elétrica I. 
 
 
 
 
 
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41
 
 
2a Lista de Exercícios 
 
1− A distribuição de cargas elétricas da Fig. 38 tem Q1 = Q2 = + 323 e Q3 = 
Q4 = 6 µC. (a) Calcular o campo vetorial elétrico resultante no ponto (0,0). (b) 
Se uma carga q = + 5 µC for colocada no ponto (0,0), qual é a força elétrica 
resultante sobre ela? 
Dados: 2
r
QKE = ; 4321
→→→→→→
+++== ∑ EEEEEE iR ; RR EqF
→→
= . 
Respostas: (a)���� � 6,757109:̂ � 37109<	=	!/?	; (b) ��� � 33,75710@9:̂ �
15710@9<	=	� 
 
 
 
 
 
 
 
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42
 
Figura 38 – Distribuição de cargas puntiformes no 
plano xy. 
 
2 − Utilizando a representação gráfica do campo vetorial elétrico por linhas 
de força, esboçar as linhas de campo elétrico do dipolo elétrico localizado no 
plano xy que é mostrado na Fig. 39. 
 
 
 
 
 
Figura 39 – Dipolo elétrico localizado sobre o plano xy. 
 
3 − Esboçar as linhas de força do campo elétrico geradas pelas seguintes 
distribuições de carga elétrica: 
 
(a) Três cargas +Q, −Q e +Q em linha sobre o eixo dos y. 
 
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43
 
 
 
 
 
Figura 40 – Três cargas puntiformes em linha sobre o 
eixo dos y. 
 
(b) Condutor plano de área A = 10 cm2 com cargas as cargas: (i) 10 µC; 
(ii) 20 µC; (iii) 40 µC. 
 
(c) (i) Uma carga puntiforme isolada de valor Q = 10 C; (ii) Uma esfera 
condutora com Q = 10 C distribuída sobre sua área superficial de 2 
m2; (ii) a mesma esfera com carga distribuída igual a 5 C. 
 
4 − O isolador elétrico esférico 1 de raio R = 10 cm está carregado 
eletricamente com Q1 = + 100 C. Suponha que outro isolador elétrico 
esférico 2 de mesmo raio R tenha a densidade superficial de carga σ2 = − 20 
 
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44
C/m2 e que os isoladores elétricos 1 e 2 estejam separados da distância d = 
1 m. Encontrar: 
(a) A carga elétrica Q2 sobre a superfície do isolador elétrico esférico 2. 
(b) A força elétrica entre os isoladores elétricos esféricos. 
Dados: 22 4;;2; RSSQRdr
r
QKE piσ ==+== ; EQF 2= . 
Resposta: (a) Q2 = - 2,513 C; (b) F = 1,571x1012 N. 
 
5 − O fio isolante de comprimento L = 2 m está sobre a direção z e 
carregado eletricamente com a carga Q = 10 µC. (a) Calcular a densidade 
de carga elétrica λ. (b) Se a carga puntiforme q = − 6 nC for colocada sobre 
uma reta que divide o fio em duas partes iguais num ponto R que dista de 2 
cm do fio, encontrar o valor do módulo da força elétrica sobre a carga q? 
Dados:
 
[ ]12 ξξλ sensenR
KE −= ; 
R
L
tg
22
=ξ ; 
R
L
tg
21
−=ξ ; qEF = . 
Respostas: (a) λ = 5x10-6 C/m; (b) F = 2,699x10-2 N. 
 
6 − A carga puntiforme de valor Q = 3,5 pC está a uma distância 
4
d
, com d = 
4 mm, do plano de cargas positivos que tem σ = 20 µC/m2. Calcular: 
(a) O campo vetorial elétrico gerado pelo plano de cargas. 
(b) A força resultante sobre a carga Q. Suponha que a direção z é 
perpendicular ao plano de cargas. 
(c) 
 
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45
Dados: σpiKE 4=
→
; 
→→
= EQF E . 
Resposta: (a) 2,262x106 V/m; (b) ��� � 7,917710@B	CD N. 
 
7 − Duas cargas puntiformes iguais em módulo, Q1 = Q2 = 0,1 nC, mas de 
sinais opostos, estão inicialmente em repouso sobre o eixo dos y nas 
posições y = + 2 m e y = − 2 m, conforme mostrado na Fig. 42. As cargas 
puntiformes Q1 e Q2 são impulsionadas, de repente, e adquirem velocidades 
v1 = 3x105 m/s e v2 = 6x106 m/s. A carga Q1 se desloca para a direita do eixo 
dos y e a carga Q2 para cima, no sentido negativo do eixo dos x. Achar: 
(a) O módulo da força elétrica entre as cargas, na posição de repouso. 
(b) O módulo da força magnética sobre a carga puntiforme Q1 quando elas 
entram em movimento. 
(c) A força resultante sobre a carga puntiforme Q1. 
Dados: 
→→
= EQF E 1 ; ( )i
r
QKE ˆ22 −=
→
; ( ) EM FtgF α ; 22 MER FFF += . 
Respostas: (a) �� � 5,625710@�� N; (b) �� � 1,125710@�B N; (c) �� �
5,625710@�� N. 
 
 
 
 
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Figura 41 − Distribuição de cargas sobre o eixo dos x. 
 
8 − Os elétrons do feixe de um canhão eletrônico de um tubo de raios 
catódicos estabelecem uma corrente de 1,6 µ A. O feixe de elétrons se 
desloca ao longo do eixo y, no sentido positivo, com vetor velocidade 
)� � 2710F	<̂	?/G . Existe uma região de 8 cm de comprimento ao longo da 
trajetória do feixe onde existe um campo vetorial magnético iB ˆ01,0=→ T. O 
diâmetro d do feixe eletrônico é de 1 mm. Calcular: 
(a) O número de elétrons livres do feixe de elétrons. 
(b) O vetor força magnética MF
→
 sobre os elétrons livres do feixe. 
(c) O vetor aceleração '� devido à ação da força magnética. 
Dados: 
→→→
×= BvqF M ; H � IJ)K; 	K � M��; →→ = aMF R ; Melétron = 9,11x10-31 kg. 
Respostas: (a) n = 1,592x1013 elétrons/cm3; (b) ��� � N3,2710@�B	CD N; (c) 
'� � N3,514710�O	CD	?/G�. 
 
9 − Um próton executa um movimento circular de raio 5 cm paralelo ao plano 
yz numa região onde existe um campo vetorial magnético de módulo B na 
 
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direção x, sentido positivo do eixo. A velocidade do próton é de 4x106 m/s. 
(a) Qual o sentido de rotação do próton? (b) Qual o valor de B? 
Dados: θqvBsenFM = ; R
vMFcentrípeta
2
= . 
Respostas: (a) horário; (b) B = 0,8365 T. 
 
 
 
Figura 42 – Próton executando movimento circular de 
raio R no plano yz. Essa região do espaço está 
preenchida com linhas de um campo vetorial magnético 
→
B . 
 
10 −(a) Calcular a força magnética entre dois fios compridos localizados no 
plano xz que conduzem a mesma corrente elétrica I = 45 A. Os fios estão ao 
longo da direção z. Um deles passa pela origem do sistema de coordenadas 
e o outro pelo ponto (0, +4, z). As posições estão em centímetros. (b) De 
igual modo, calcular a força magnética quando as correntes estão em 
sentidos opostos, ou seja, a corrente do fio que passa pela origem está no 
 
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sentido positivo do eixo z e a do outro fio que está localizado no ponto (0, 
+4, z) está no sentido negativo do eixo z. 
Dados: 
→→→
×= BLIF M ; θILBsenFm = ; φpi
µ
a
R
I
B o ˆ
2
=
→
; 
R
IB o
pi
µ
2
= . 
Respostas: (a) �� � PN1,01710@�%Q<̂	�; (b) �� � P1,01710@�%Q<̂	� 
 
11 − A carga Q = 0,8 nC é distribuída sobre um anel condutor de raio R 5 cm 
que tem o seu plano paralelo ao plano xy e o seu centro de curvatura 
coincide com a origem do sistema de eixos coordenados. Calcular: 
(a) O campo vetorial elétrico →E gerado pela distribuição de carga sobre o 
eixo dos z. 
(b) A freqüência angular do anel se ele passar a girar com f = 20 Hz. 
(c) O campo vetorial magnético →B gerado sobre o eixo dos z quando o anel 
passa a girar com a freqüência de 20 Hz. 
(d) A força resultante sobre uma carga q = 6 µC que está a 8 cm do centro 
de curvatura do anel. 
Dados: ��� � R S�
T
UVW�XYP�UZ[UQ\U
�]
^ CD; )� � _`'aY; ��� � b��/�
��
cU . 
Respostas: (a) ��� � Sd�
P�UZ[UQ\U
CD	�/3; (b) ω = 125,7 rad/s; (c) ��� � efdg�U
O]P�UZ[UQ\U
'ah; 
(d) �� � 2,57710@9CD � 1,43710@��'ah	�. 
 
 
 
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Figura 43 − Anel condutor de raio R com carregamento 
elétrico.