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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL Departamento de Estruturas RESUMO DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Prof. Dr. Nilson Tadeu Mascia Bolsista Ped: Elias Antonio Nicolas Pad: Bianca Lopes de Oliveira, Renato Saldanha Victor (revisão 2008) Campinas, Fevereiro - 2003 DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 2 SUMÁRIO 1-FLEXÃO GERAL .................................................................................03 2-TORÇÃO................................................................................................26 3-CENTRO DE CISALHAMENTO EM SEÇÕES SIMÉTRICAS.........51 4-TEORIA DAS TENSÕES......................................................................65 5-TEORIA DAS DEFORMAÇÕES.........................................................76 6-ENERGIA DE DEFORMAÇÃO...........................................................86 7-CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA.........................................................104 8-FLAMBAGEM.....................................................................................117 9-BIBLIOGRAFIA..................................................................................128 DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 3 OBSERVAÇÃO INICIAL Esta apostila tem por objeto dar ao aluno que freqüenta o curso de EC-501 – Resistência dos Materiais II um material que o auxilie no acompanhamento das aulas regulares. Não tem por meta substituir outras apostilas ou livros de Resistência dos Materiais . Constitui-se como notas de um caderno de um aluno, com a colocação de alguns exemplos adicionais. 1-FLEXÃO GERAL - Momentos de segunda ordem: zy, eixos centrais de inércia. - Momentos de inércia centrais: AzI A y ∂⋅= ∫ 2 AyI A z ∂⋅= ∫ 2 - Produto de inércia: AzyI A yz ∂⋅⋅= ∫ AzbAzI AA y ∂⋅+=∂⋅= ∫∫ 22 )( AzzbbI A y ∂⋅+⋅⋅+= ∫ )2( 22 DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 4 AzAbI A y ∂⋅+⋅= ∫ 22 Momento estático = ∫ ∂⋅= A AzS S = 0 em relação ao c.g. yy IAbI +⋅= 2 zz IAcI +⋅= 2 yzyz IAcbI +⋅⋅= • “b” e “c” são coordenadas do c.g. em relação ao sistema (y,z). - Rotação dos eixos (u,v): Matriz de transformação de coordenadas: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛⋅⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ z y v u αα αα cossen sencos αα sencos ⋅+⋅= zyu αα cos⋅+⋅−= zsenyv AvI A u ∂⋅= ∫ 2 AzyI A u ∂⋅⋅+⋅−= ∫ 2)cossen( αα AzyAzAyI AAA u ∂⋅⋅⋅⋅⋅−+∂⋅⋅+∂⋅⋅= ∫∫∫ αααα cossen2cossen 2222 αααα cossen2cossen 22 ⋅⋅⋅−⋅+= yzyzu IIII DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 5 AzyAuI AA v ∂⋅⋅+⋅=∂⋅= ∫∫ 22 )sencos( αα αααα cossen2sencos 22 ⋅⋅⋅+⋅+= yzyzv IIII AzyzyAvuI AA uv ∂⋅+−⋅+=∂⋅⋅= ∫∫ )cossen()sencos( αααα ( ) ( )αααα 22 sencoscossen −+⋅⋅−= yzzyuv IIII - Utilizando Arcos duplos: ααα cossen22sen ⋅⋅= ααα 2cossencos 22 =− 1sencos 22 =+ αα Tem-se: αα 2sen2cos 22 ⋅−⋅−++= yzzyzyu I IIII I αα 22cos 22 senI IIII I yz zyzy v ⋅+⋅ −−+= αα 2cos2 2 ⋅+⋅−= yzzyuv Isen II I 22 22cos 22 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅−⋅−=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +− αα senIIIIII yzzyzyu ( ) 2 2 2cos2 2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅+⋅−= αα yzzyuv Isen II I yz zy uv zy u I II I II I 2 2 2 2 22 +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +− - Equação da circunferência • ( ) 2220 Ryxx =+− • (y0 = 0) • (x0, y0) posição do centro. Círculo de Mohr: DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 6 I1 = momento de inércia máximo I2 = momento de inércia mínimo. Em I1 e I2 tem-se: Iuv = 0. 02cos2 2 =⋅+⋅−= αα yzzyuv Isen II I yz yz II I tg − ⋅= 22α Propriedade: cteIIIIIIII vuzyzy =+=+=+=+ 21 Valores de I1 e I2. yz zyzy I IIII I 2 2 1 22 +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += yz zyzy I IIII I 2 2 2 22 +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += Exercícios: DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 7 1) Calcular os momentos principais (I1 e I2) de inércia e suas direções ( 1α e 2α ). 2) Calcular os momentos principais (I1 e I2) de inércia e suas direções ( 1α e 2α ). 3) Calcular os momentos principais (I1 e I2) de inércia e suas direções ( 1α e 2α ). DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 8 4) Calcular os momentos principais (I1 e I2) de inércia e suas direções ( 1α e 2α ). (resolvido) Resolução do exercício 4: - Divisão da seção em áreas: DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 9 Centro de gravidade (c.g.): ( ) cmA Ay y i ii 88,5 5,0125,1115 05,01265,05,115,105,015 =⋅++ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅= ∑ ∑ ( ) cmA Az z i ii 60,6 5,0125,1115 65,01285,05,1165,015 =⋅++ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅= ∑ ∑ Momento de inércia de cada seção: Área 1: 4 3 1 16,012 5,015 cmI z =⋅= 4 3 1 63,14012 155,0 cmI y =⋅= ⇒= 01yzI seção retangular Rotação dos eixos da área 1: 087,36=α DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 10 αα 2sen2cos 221 ⋅−⋅−++== yzzyzyuy I IIII II 4 1 06,900)74,73cos(24,7040,70 cmI y =−⋅+= αα 2sen2cos 221 ⋅+⋅−−+== yzzyzyvz I IIII II 4 1 73,500)74,73cos(24,7040,70 cmI z =+⋅−= αα 2cos2sen 21 ⋅+⋅−== yzzyuvyz I II II 4 1 43,670)74,73sen(24,70 cmI yz =+⋅= Área 2: 4 3 2 12,012 5,05,11 cmI y =⋅= 4 3 2 37,6312 5,115,0 cmI z =⋅= ⇒= 02yzI seção retangularÁrea 3: 4 3 3 7212 125,0 cmI y =⋅= 4 3 3 13,012 5,012 cmI z =⋅= ⇒= 03yzI seção retangular Momento de inércia total: 4222 3,1785,0126,0725,05,114,112,05,0156,006,90 cmI y =⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅+= DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 11 4222 82,4815,01288,513,05,05,1112,037,635,01562,473,50 cmI z =⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅+= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 477,685,0126,088,55,05,114,112,05,01562,46,043,67 cmI yz =⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅−+⋅⋅−⋅+= Direções principais: 453,0 3,17882,481 77,68222 =− ⋅=− ⋅= yz yz II I tg α 02,12=′α 02,102=′′α Momentos principais de inércia: ( )222,1 22 yzzyzy IIIIII +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −±⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += ( )222,1 77,682 82,4813,178 2 82,4813,178 +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −±⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=I 4 1 68,496 cmI = 4 2 45,163 cmI = Tensões Normais à Seção Transversal Seja: DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 12 - Flexão Pura: quando atua apenas o momento fletor. (N=V=0). Hipóteses: 1. A distribuição da tensão normal na seção é linear. 2. O material é isotrópico e segue a lei de Hooke ( εσ ⋅= E ; γτ ⋅= G ). 3. As seções planas permanecem planas após o carregamento. - Tensão ( xσ ) Da hipótese (1): yKx ⋅=σ (variação linear), onde K = constante. Sabe-se que A F=σ que resulta em AF xx ∂⋅=∂ σ , e que yFM xz ⋅∂=∂ . Assim: AyyAM xxz ∂⋅⋅=⋅∂⋅=∂ σσ AyKM z ∂⋅⋅=∂ 2 ∫∫ ∂⋅⋅=∂= AA zz AyKMM 2 → ∫ ∂⋅⋅= A z AyKM 2 → zz IKM ⋅= DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 13 Como z z I MK = e yKx ⋅=σ , tem-se: • y I M z z x ⋅=σ - Flexão oblíqua pura: o plano de cargas é inclinado de um ângulo θ em relação ao plano vertical. O vetor momento é inclinado do mesmo ângulo em relação ao eixo z. Essa flexão é tratada como a superposição de duas flexões normais (Mz e My): θcos⋅= MM z θsen⋅= MM y A tensão normal será: xxx σσσ ′′+′= , onde yKx ⋅′=′σ e zKx ⋅′′=′′σ . Logo: zKyKx ⋅′′+⋅′=σ . DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 14 Sabe-se que ∫∫ ⋅∂⋅=⋅∂= A x A xz yAyFM σ ∫ ∂⋅⋅⋅′′+⋅′= A z AyzKyKM )( → ∫ ∂⋅⋅⋅′′+⋅′= A z AzyKyKM )( 2 ∫ ∫ ∂⋅⋅⋅′′+∂⋅⋅′= A A z AzyKAyKM )()( 2 → ∫ ∫ ∂⋅⋅⋅′′+∂⋅⋅′= A A z AzyKAyKM 2 • yzzz IKIKM ⋅′′+⋅′= ∫∫ ⋅∂⋅=⋅∂= A x A xy zAzFM σ → ∫ ∂⋅⋅⋅′′+⋅′= A y AzzKyKM )( ∫ ∂⋅⋅⋅′+⋅′′= A y AzyKzKM )( 2 → ∫ ∫ ∂⋅⋅⋅′+∂⋅⋅′′= A A y AzyKAzKM )()( 2 ∫ ∫ ∂⋅⋅⋅′+∂⋅⋅′′= A A y AzyKAzKM 2 • yyzy IKIKM ⋅′′+⋅′= Como o sistema yz é central de inércia, ou seja, vuzy ,, → (momentos principais de inércia), tem-se: 0== uvyz II yzzz IKIKM ⋅′′+⋅′= → v v vv I M KIKM =′→⋅′= yyzy IKIKM ⋅′′+⋅′= → u u uu I M KIKM =′′→⋅′′= Assim: vKuKx ⋅′′+⋅′=σ v I M u I M u u v v x ⋅+⋅=σ A linha neutra é o lugar geométrico dos pontos da seção transversal onde as tensões normais são nulas. 0=⋅+⋅= v I M u I M u u v v xσ → uI I M M v v u u v ⋅⋅−= Sendo • θsen⋅= MM u DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 15 • θcos⋅= MM v Substituindo: u I I M Mv v u ⋅⋅⋅ ⋅−= θ θ sen cos u I I tg v v u ⋅⋅−= θ 1 Essa é a equação da linha neutra. Se v u I I tg tg ⋅−= θβ 1 utgv ⋅=∴ β Exercícios: DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 16 5) Calcular os valores extremos de tensão (tração e compressão) que surgirão na viga. O peso próprio é desprezado. A carga P é vertical e passa pelo c.g. da seção. Dados: 4167.124 cmI y = , 4042.461 cmI z = , 4375.194 cmI yz = . 6) Qual deve ser o valor do momento fletor admissível num plano que forma com o eixo y um ângulo de 30o ?. Dados: 41408cmI y = , 42656cmI z = , 4864cmI yz −= , 2/1000 cmtf=σ 7) Determinar na seção crítica a linha neutra e calcular a flecha máxima em A. 2/200 cmtfE = DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 17 1 m 3 m P=2 tf 10 10 151015 15 15 15 10 medidas em cm Resolução do exercício 5 Calcular os valores extremos de σ (tração e compressão) que surgirão na viga. O peso próprio é desprezado. A carga P é vertical e passa pelo cg da seção. Dados: Iy = 124167 cm4 Iz = 461042 cm4 Iyz = 194375 cm4 Figura 5.1 Solução: a) Características Geométricas - Cálculo do CG → como a seção é simétrica a posição do cg é óbvia. - Momentos Totais de Inércia e suas Direções DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 18 200 tf.cm Diagrama de momento (M): y z C u v α L M θ β σ σ A B o7624 124167461042 194375222 , II I tg yz yz =α⇒− ⋅=− ⋅=α ⇒+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −±+= yzzyzy I IIII I 2 2212 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = 4 2 4 1 8039532 20550676 cm,I cm,I → eixos u e v, 4803953222 22 cm,IsenIcos IIII I uyz zyzy u =⇒α⋅−α⋅ −++= 1 2 II II v u = =∴ b) Tensões Pela regra da mão direita temos: u I M v I M v v u u x ⋅+⋅−=σ onde: o7624,−=θ ⎩⎨ ⎧ ⋅=θ⋅= ⋅−=θ⋅= cmtf,cosMM cmtf,senMM v u 61181 7683 u , ,v , , x ⋅+⋅−=σ∴ 20550676 61181 8039532 7683 - Para a Linha Neutra σ = 0 0 20550676 61181 8039532 7683 =⋅+⋅−=σ u , ,v , , x → podemos calcular a LN de duas formas: admitindo pontos na eq. de tensão DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 19 4261 00 ,uv vu =⇒= =⇒=∴ou pelo cálculo do angulo β: o8581 , I I tg tg utgv v u =β⇒⋅θ−=β ⋅β= Para a obtenção dos pontos mais solicitados será necessário fazer uma mudança de base, onde será utilizado a matriz de transformação: ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧⋅⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ αα− αα=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ z y cossen sencos v u → ponto A: ⎩⎨ ⎧ = −=⇒ ⎩⎨ ⎧ = −= cm,v cm,u z cm,y A A A A 6113 5129 0 532 ( ) 28635129 20550676 611816113 8039532 7683 cmtf,, , ,, , , A −=−⋅+⋅−=σ⇒ → ponto B: ⎩⎨ ⎧ −= =⇒ ⎩⎨ ⎧ = = cm,v cm,u z cm,y B B B B 6113 5129 0 532 ( ) 286,351,2920,550676 61,18161,13 80,39532 76,83 cmtfB =⋅+−⋅−=⇒ σ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = −=⇒ 2 2 86,3 86,3 : cmtf cmtf sãodeextremosvaloresos T C σ σσ - Flexão composta: quando atua no trecho o momento e também a força axial(F). DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 20 • Flexo-compressão (F < 0). • Flexo-tração (F > 0). • e: excentricidade. Quando e = 0: é flexo-compressão ou flexo-tração centrada. Quando não, deve-se considerar a excentricidade. - Flexão Oblíqua Composta: eu : excentricidade em relação ao eixo u. ev : excentricidade em relação ao eixo v. v I M u I M A F u u v v x ⋅+⋅+=σ Superposição de efeitos. Nesse caso: uu eFeFMM ⋅=⋅⋅=⋅= θθ sensen vv eFeFMM ⋅=⋅⋅=⋅= θθ coscos Linha Neutra: 0=⋅+⋅+= v I M u I M A F u u v v xσ → 0sencos1 =⋅⋅+⋅⋅+ vI eu I e A uv θθ utg eA I v u ⋅+⋅⋅−= βθsen utgctev ⋅+= β → →≠ 0cte a linha neutra não passa pelo c.g. Exercícios: DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 21 8) Calcular F, sendo 2/800 cmkgfc =σ e 2/1400 cmkgft =σ . Dados: 4000.105 cmI y = , 473,577.55 cmI z = , 4320.28 cmI yz −= , 2900cmA = 9) Determinar a carga admissível P sabendo que 2/120 cmkgfc =σ ; 2/30 cmkgft =σ e que lPq = . Dados: 436,689.103 cmI y = , 436,689.183 cmI z = , 457,319.76 cmI yz −= . DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 22 10) Traçar o diagrama de tensões normais na situação mais crítica. Dados: 413932cmI y = , 434668cmI z = , 415552cmI yz −= , P = 10KN, q = 5KN/m. 11) Determinar a posição e o valor de uma carga P de tração que provoca a linha neutra indicada na figura abaixo. A tensão no ponto A vale 2/100 cmkgfA =σ . DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 23 Núcleo central de Figuras Planas • Definição: região da seção transversal onde aplicada uma força normal, sua linha neutra não corta a seção. • Conseqüência: a seção só terá tensões de um mesmo sinal (compressão ou tração) de acordo com o sinal da força. • Importância: materiais com baixa resistência a tração. Exemplos: murros de arrimo, chaminés e pilares. Determinação do núcleo central: u I M A N v v x ⋅+=σ → com vv eNM ⋅= → uI eN A N v v x ⋅⋅+=σ Linha neutra: 0=⋅⋅+= u I eN A N v v xσ → 01 =⋅+ uI e A v v → v v eA I u ⋅−= Observação: 1. Cada figura plana tem seu núcleo central que não depende de N. 2. A cada par de lados consecutivos do polígono circunscrito corresponderá a um lado do polígono que constitui o núcleo central. 3. O ponto de aplicação de N e a LN conseqüente ficam em semi-planos opostos delimitados pelos eixos centrais (antipolos da LN). 4. O núcleo central terá tantos lados quantos forem os lados (ou vértices) do polígono convexo circunscrito. DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 24 Exercícios: 12) Traçar o núcleo central para a seção da figura abaixo. 13) Traçar o núcleo central para a seção da figura abaixo. Dados: 22300cmA = , 454,1220171 cmIu = , 415,385504 cmIv = , 085,9−=α DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 25 DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 26 2-TORÇÃO Torção em barras de seção circular Figura 2.1 Seja uma barra de seção circular engastada numa extremidade e solicitada na extremidade livre por um momento torsor Mt (figura 2.1). No engastamento, surgirá um momento de mesmo valor com sentido oposto. Na deformação elástica, cada seção da barra terá uma rotação γ (ângulo de torção). Aparecerá, assim, em cada seção da barra, tensões de cisalhamento τ. Hipóteses básicas: 1. As tensões de cisalhamento estão dirigidas perpendicularmente ao raio e seus valores são proporcionais ao mesmo. ττ ⋅= a r r (Equação 2.1) Figura 2.2 2. As seções executam rotações elásticas como se fossem corpos rígidos. DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 27 Seja: Figura 2.3 A tensão aplicada na face 34, e a mesma tensão (reativa) na face oposta 12 são insuficientes para equilibrar o elemento porque as duas forças provocadas por elas formam um binário. Assim, devem existir tensões longitudinais de cisalhamento (τ l ). O Teorema de CAUCHY diz que as tensões em planos perpendiculares são iguais. trxxtr ∂⋅∂⋅∂⋅=∂⋅∂⋅∂⋅ lττ (Equação 2.2) lττ =∴ (Equação 2.3) DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 28 Tensões de cisalhamento – Lei de Hooke Após a aplicação do momento torsor Mt, os pontos 3 e 4 passarão a ocupar as posições 3’ e 4’ devido a distorção γ . Na flexão, a tensão normal é: εσ ⋅= E . Analogamente, na torção, a tensão de cisalhamento será: γτ ⋅= G (Equação 2.4)Onde G é o módulo de elasticidade transversal. Para materiais isotrópicos, podemos facilmente determinar o módulo de elasticidade transversal, conforme mostrado na equação abaixo: )1(2 ν+⋅= EG (Equação 2.5) Onde ν é o coeficiente de Poisson. Para exemplificar, temos os seguintes valores para o aço: MPacmKgfE 210000/2100000 2 == MPacmKgfG 80000/800000 2 == 3,0=ν Da equação 2.1: ττ ⋅= a r r , e equação 2.4: γτ ⋅= G , substituindo temos: DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 29 γγ ⋅= a r r (Equação 2.6) Obtém-se o momento torsor Mt, calculando-se o momento resultante das forças elementares aplicadas na seção. Em um anel circular (conforme figura 2.4) de espessura ∂ r, o momento ∂ Mt é dado pela resultante das tensões τ na área elementar ∂ A. Figura 2.4 Sendo rAM rt ⋅∂⋅=∂ τ e rrA ∂⋅⋅⋅=∂ π2 , temos: rrr a rM t ∂⋅⋅⋅⋅⋅=∂ πτ 2 a rrM t ∂⋅⋅⋅=∂ 32πτ (Equação: 2.7) Para obtermos o momento torsor, basta integrar a equação 2.7: 24 22 3 0 4 0 3 τπτππτ ⋅⋅=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅ ⋅⋅=∂⋅⋅⋅=∂= ∫ ∫ aa ra rrMM aa tt (Equação:2.8) Da equação 2.8 podemos determinar a tensão de cisalhamento (τ ) em função do momento torsor ( tM ) e do diâmetro (D): DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 30 3 2 a M t ⋅ ⋅= πτ , como 2 Da = , portanto para seção circular temos: 3 16 D M t ⋅ ⋅= πτ (Equação 2.9) Da teoria de flexão, temos a tensão normal (σ ) em função do momento fletor (M) e momento de inércia (I), conforme equação abaixo: W M yI My I M ==⋅= / σ (Equação 2.10) W: módulo de resistência à flexão. Fazendo uma analogia da teoria de flexão com a teoria de Torção, temos a tensão de cisalhamento (τ ) em função do momento torsor ( tM ), conforme equação abaixo: t ttt W M D M D M = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅=⋅ ⋅= 16 16 33 ππτ (Equação 2.11) Da equação 2.11, podemos determinar o módulo de resistência à torção para seção circular cheia: 16 3DWt ⋅= π (Equação 2.12) Cálculo do Giro Relativo (ϕ ): Figura 2.5 Da teoria de pequenos deslocamentos, sabemos que o arco se confundi com a tangente ϕ∂ é muito pequeno → arco ≈ tangente. A partir da figura acima e da teoria de pequenos deslocamentos, temos: DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 31 tangente = a⋅∂ϕ = x∂⋅γ ( γ é muito pequeno). Dessa relação, temos: a x∂⋅=∂ γϕ (Equação 2.13) Para calcularmos o giro relativo bastar integrar a equação 2.13. x a ∂⋅=∂= ∫ ∫l l0 0 γϕϕ (Equação 2.14) Da integração vem: l⋅=∴ a γϕ (Equação 2.15) Sendo G τγ = → aG ⋅ ⋅= lτϕ (Equação 2.16) A partir da equação 2.16 e aplicando a para a seção circular temos: 2 16 3 DGD M t ⋅⋅⋅ ⋅⋅= π ϕ l (Equação 2.17) Simplificando temos: 4 32 DG M t ⋅⋅ ⋅⋅= πϕ lÆ ) 32 ( 4DG M t ⋅⋅ ⋅= πϕ l (Equação 2.18) Ou t t IG M ⋅ ⋅= lϕ com 32 4DIt ⋅= π Resumindo: seção circular cheia. t t W M=τ 16 3DWt ⋅= π t t IG M ⋅ ⋅= lϕ 32 4DIt ⋅= π DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 32 SEÇÃO CIRCULAR DE PAREDE ESPESSA (GROSSA) Com as expressões obtidas anteriormente e a = D/2, tem-se: 2 D rr =τ τ → ττ ⋅= 2 D r r drrA ⋅⋅⋅=∂ π2 rAM rt ⋅∂⋅=∂ τ rrrM rt ⋅∂⋅⋅⋅=∂ πτ 2 rrM rt ∂⋅⋅⋅=∂ 22πτ rr D M t ∂⋅⋅⋅=∂ 32 ) 2 ( πτ (Equação 2.19) Para obtermos o momento torsor basta integrar a equação 2.19, logo: ∫∫ ∂⋅⋅⋅=∂=∂ 2/2/ 32/2/ 2 ) 2 ( D d D d tt rr D MM πτ (Equação 2.20) Finalmente, momento torsor resultante: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅ ⋅ ⋅= 44 224 2 2 dD D M t τπ (Equação 2.21) Assim, a tensão será t t W M=τ , com: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 44 22 dD D Wt π (Equação 2.22) DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 33 Resumindo, temos: t t IG M ⋅ ⋅= lϕ (Equação 2.23) ( )44 32 dDIt −= π (Equação 2.24) SEÇÃO CIRCULAR DE PAREDE FINA (DELGADA) Nas quais dmt <<< ou 10> t dm , onde: dm: diâmetro médio; t: espessura. Pode-se considerar que τ seja uniforme. tM dmA =⋅⋅ 2 τ → tMdmtdm =⋅⋅⋅⋅ 2πτ → tM tdm =⋅⋅⋅ 2 2πτ → 2 2dmt M t ⋅⋅= πτ Assim t t W M=τ com 2 2dmtWt ⋅⋅= π . E t t IG M ⋅ ⋅= lϕ com 4 3dmtIt ⋅⋅= π . DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 34 Exemplo de Diagramas de Momento Torsor • Momento de torção aplicado Exercícios: 1) Traçar o diagrama de momento torsor 2) Traçar o diagrama de momento torsor DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 35 • Momento de torção uniformemente distribuído (m) xmxmM x t ⋅=∂⋅= ∫0 → ll ⋅== mxM t )( • Momento de torção linearmente distribuído (m) DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 36 ∫ ∂= x xt xmM 0 onde xmtgmx ⋅== lθ ∫ ∂⋅⋅= xt xxmM 0 l Logo: l⋅ ⋅= 2 2xmM t e 22 )( 2 l l ll ⋅=⋅ ⋅== mmxM t Exercícios: 1) Traçar o diagrama de momento torsor para a estrutura isostática. a Mm 21 = , a Mm =2 2) Traçar o diagrama de momento torsor para a estrutura hiperestática. a Mm = DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 37 3) Traçar o diagrama de momento torsor para a estrutura hiperestática. M = 5 kNm; m = 0,3 kNm/m; L = 1,2 m. 4) Calcular o giro relativo abϕ 5) Calcularo giro relativo abϕ DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 38 6) Calcular o diâmetro d e o giro abϕ M = 120 Nm; m = 40 Nm/m; a = 1,2 m; b = 0,8 m; 2/10 mMNadm =τ , G = 80000 MN/m2. 7) Calcular o momento torsor M. E = 21000 kN/cm2; G = 7000 kN/cm2; cmbarra 1=φ ; 2/12 cmkNadm =σ 2/8 cmkNadm =τ DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 39 Torção em barras de seção qualquer Observações: Barras de seção circular: seções sofrem rotações elásticas e permanecem planas. Barras de seção qualquer: sofrem empenamento. Hipóteses: 1. A espessura t = t(s), pode variar com s, mas é constante em x. DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 40 2. As tensões de cisalhamento igualmente distribuídas sobre a espessura t e dirigindo-se paralelas às bordas são funções de s, )(sττ = , mas independentes de x. obs: considerando-se o empenamento nulo tem-se a torção livre (torção de Saint Venant) Equilíbrio de forças: xtxt ∂⋅⋅=∂⋅⋅ 2211 ττ cteststt =⋅=⋅=⋅ )()(2211 τττ =⋅ )()( stsτ fluxo de cisalhamento Momento Mt: hdsstsM t ⋅⋅⋅=∂ )()(τ com dAdshhdsA ⋅=⋅⇒⋅=∂ 2 2 dAstsM t ⋅⋅⋅=∂ 2)()(τ ∫∫ ⋅⋅⋅=∂= AA tt dAstsMM 2)()(τ AstsM t ⋅⋅⋅=∴ )()(2 τ )(2 )( stA Ms t⋅⋅=∴τ t t W M s =∴ )(τ com )(2 stAWt ⋅⋅= Exemplo: Seção quadrada: DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 41 2aA = tst =)( taWt ⋅⋅= 22 Exemplo: círculo 4 2dmA ⋅= π 2 2dmtWt ⋅⋅= π Na seção qualquer, se t = t(s): t t W M=τ e )(2 stAWt ⋅⋅= mint t MAX W M=τ → min2min tAWt ⋅⋅= Fluxo de cisalhamento → ctests =⋅ )()(τ DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 42 Deformação φ (rotação elástica) • Trabalho/energia U = energia = T = trabalho 2 dpU p ⋅= dFU FV ⋅= ϕ⋅⋅== tMUT 2 1 (carregamento lento) Se ϕ⋅= tMT (cargas rápidas) U: energia de deformação (interna) T: trabalho externo A carga (F,M) produz esforços (M,V,N,Mt) e tensões ( )τσ , . dsdxstsU ⋅⋅⋅⋅⋅=∂ γτ )()( 2 1 DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 43 Pela Lei de Hooke: εσ ⋅= E γτ ⋅= G G τγ = Logo dsdxsts G U ⋅⋅⋅⋅⋅=∂ )()(2 1 2τ . Tem-se: )(2 )( stA Ms t⋅⋅=τ . dsdxst stA M G U t ⋅⋅⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅⋅⋅=∂ )()(22 1 2 dsdx stAG MU t ⋅⋅⋅⋅⋅=∂ )(8 2 2 )(8 2 2 st dsdx AG M U t ⋅⋅⋅⋅=∂ ∫∫∫ ⋅∂⋅⋅⋅=∂= )(8 02 2 st dsx AG M UU t l Igualando-se o trabalho do esforço Mt com o das tensões τ, tem-se: TU = ϕ⋅⋅=⋅⋅⋅ ⋅ ∫ tt MstdsAGM 21)(8 2 2 l ∫⋅⋅⋅ ⋅= )(4 2 stdsAGM t lϕ T t IG M ⋅ ⋅= lϕ ∫ ⋅=∴ )( 4 2 st ds AIt como t é normalmente constante, ∫ ds = perímetro. DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 44 Exemplo: A = a x b )( )(2 )(2 )(4 )( 4 222 ba tba t ba ba st ds AIt + ⋅⋅⋅=+⋅ ⋅⋅=⋅= ∫ Exercícios: 1) Calcular “e”, It. Dados: Mt = 100 tfcm, t = 0,1 cm, 2/0,1 cmtfadm =τ DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 45 2) Calcular “a” Dados: Mt = 250 tfcm, 2/0,1 cmtfadm =τ Analogia de membrana Imaginemos uma membrana homogênea, com o mesmo contorno da seção transversal do elemento sujeito à torção e solicitada por uma tração uniforme nas bordas e por pressão uniforme. Equação diferencial da superfície deformada de uma membrana. K p y z x z −=∂ ∂+∂ ∂ 2 2 2 2 DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 46 Mostra-se que a equação diferencial da superfície elástica da membrana deformada tem a mesma forma da equação diferencial que determina a distribuição das tensões ao longo da barra solicitada à torção. Equação diferencial da torção: αφφ ⋅−=∂ ∂+∂ ∂ G yx 2 2 2 2 Analogia entre as equações diferenciais se: α⋅= G K p onde: P: pressão lateral por unicidade de área; K: força de tração por unicidade de comprimento da barra; α: ângulo de torção por unicidade de comprimento. Seções celulares: Torção em seções celulares: Equação de equilíbrio da membrana: ∫⋅⋅=⋅ tdshKAp DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 47 Placa 1: )()()( 12 31 1 1 chhe Kaca e hKAp ⋅−⋅−++⋅⋅=⋅ Placa 2: )()()( 12 32 2 2 chhe Kbcb e hKAp ⋅−⋅+++⋅⋅=⋅ Tensão tangencial: βτ ⋅⋅= V M t 2 e h=β 11 2 βτ ⋅⋅= V M t 1 1 1 e h=β 22 2 βτ ⋅⋅= V M t 2 2 2 e h=β 33 2 βτ ⋅⋅= V M t 3 12 3 e hh −=β Momento de inércia à torção: p KVIT ⋅⋅= 4 ângulo de giro: K p VG M IG M t t t ⋅⋅⋅ ⋅=⋅ ⋅= 4 llϕ DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 48 Exercícios: 1)Calcular Mt e abϕ Dados: G = 800 kN/cm2; 2/8 cmkNadm =τ 2) Determinar: a) Wta / Wtf, b) esforço no cordão de solda, sendo Mt = 100 tfcm. DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade deEngenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 49 3) Calcular o deslocamento do ponto A. Dados: t = 0,1 cm; Mt = 1 50 kNcm, G = 8000 kN/cm2. Resolução do exercício 3. DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 50 Placa 1 = Placa 3 )5( 1,0 )4783,5( 1,0 5 2 )74( 21 ⋅⋅−++⋅⋅=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⋅+⋅ hKhKp → 21 583,1675,2 hhK p ⋅−⋅=⋅ Placa 2 ( ) ( ) )5544( 1,0 )55( 1,0 95 212 +++⋅+⋅++⋅⋅=⋅⋅ hhKhKp → 21 28185,4 hhK p ⋅+⋅=⋅ K ph ⋅= 18,01 K ph ⋅= 05,02 Volume: ( ) ( )212112 hhAhAV +⋅+⋅⋅= ( ) K p K p K pV ⋅=⋅+⋅+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⋅⋅⋅= 25,2005,018,04518,05,272 Inércia à torção: 48125,2044 cm p K K p p KVIt =⋅⋅⋅=⋅⋅= Giro: rad IG M t t 023,0 818000 100150 =⋅ ⋅=⋅ ⋅= lϕ Coordenadas do ponto A em relação ao c.g. cmxA 5,9= , cmyA 3,3= ( ) cmyv Ax 076,03,3023,0 =⋅−−=⋅−= ϕ ( ) cmxv AY 219,05,9023,0 −=⋅−=⋅= ϕ Deslocamento: cmvvv yx 23,0 22 =+= DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 51 3-CENTRO DE CISALHAMENTO EM SEÇÕES SIMÉTRICAS - Tensões tangenciais nas seções delgadas abertas: Dado um elemento de viga obtido por duas seções: x e x + dx • Ay I xMAxT A z A ∂⋅⋅=∂⋅= ∫∫ )()(σ • Ay I xxMAxxt A z A ∂⋅⋅∂+=∂⋅∂+= ∫∫ )()(σ As resultantes das trações exercidas sobre o elemento geralmente não serão iguais: tT ≠ → tTxxMxM >⇒∂+> )()( 0>− tT 0)()( >∂⋅⋅∂+−∂⋅⋅ ∫∫ AyI xxMAyI xM A zA z DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 52 )()()( xMxMxxM ∂−=∂+ 0)( >∂⋅⋅∂∫ AyI xMA z O equilíbrio exige, então, que exista uma força horizontal, que será: xsestT ∂⋅⋅=− −− )()(τ xsesAy I xM A z ∂⋅⋅=∂⋅⋅∂ −−∫ )()()( τ A seI yxVA seIx yxMs A z A z ∂⋅ ⋅ ⋅=∂⋅ ⋅⋅∂ ⋅∂=∴ ∫∫ −−−− )( )( )( )()(τ ∫ ∂⋅⋅⋅= −− Az Ay seI xVs )( )()(τ • )( )()( −−⋅ ⋅= seI SxVs z τ onde: τ: tensão de cisalhamento; V: força cortante na seção em estudo; e: espessura da seção; Iz: momento de inércia com relação ao eixo neutro z; S: momento estático da parte da seção estudada com relação ao eixo neutro z. ssesF ∂⋅⋅=∂ )()(τ ∫ ∂= s FF 0 DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 53 ∫∫ ∂⋅⋅⋅ ⋅=∂⋅⋅= −− s z s sse seI SxVssesF 0 0 )( )( )()()(τ Geralmente ctesese == −− )()( ∫ ∂⋅⋅=∴ s z ssS I xVF 0 )()( Exemplo 1: )( )()( seI SxVs z ⋅ ⋅=τ PxV =)( ese =)( ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅= 233 2 2 12 22 12 hebbeehI z • Variação nas mesas: 2 )( hsesS ⋅⋅= )()( sSKs ⋅=τ )( )( seI xVK z ⋅ = 2 )( sheKs ⋅⋅⋅=∴τ DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 54 Tem-se: • OBS: As tensões tangenciais verticais vτ são desprezadas bI SxV z v ⋅⋅ ⋅= 2 )(τ )( )()( seI SxVs z ⋅ ⋅=τ )(2 sbe v ττ <<⇒⋅<< • Para S2 (outra posição de S) na alma Momento estático bheshsesS ⋅⋅+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⋅⋅= 22 )( O momento estático é acumulativo. bhesehsesS ⋅⋅+⋅−⋅⋅= 22 )( 2 )()( sSKs ⋅=τ Exemplo 2: DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 55 2 )( shesS ⋅⋅= (mesa) bheshsesS ⋅⋅+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⋅⋅= 22 )( (mesa + alma) 0 2 )( =⋅−⋅=∂ ∂ sehe s sS 2 hS =∴ 22222 2 max hbehehheS ⋅⋅+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅−⋅⋅= 28 2 max hbeheS ⋅⋅+⋅= DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 56 )( )()( seI SxVs z ⋅ ⋅=τ )()( sSKs ⋅=τ PxV =)( ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅⋅+⋅⋅+⋅= 233 212 2 12 hebbeehI z ∫ ∂⋅⋅= s z ssS I xVF 0 )()( • ∫ ∂⋅⋅= b z ssS I PF 01 )( • 31 FF = DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 57 42 )( 2 00 bhesshessS bb ⋅⋅=∂⋅⋅⋅=∂⋅ ∫∫ 4 1 2bhe I PF z ⋅⋅⋅=∴ • ∫ ∂⋅⋅= h z ssS I PF 02 )( 222 )( 2 bhesehsesS ⋅⋅+⋅−⋅⋅= 262222 )( 233 0 2 0 hbehehesbhesehsessS hh ⋅⋅+⋅−⋅=∂⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅+⋅−⋅⋅=∂⋅ ∫∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅⋅+⋅⋅+⋅ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅+⋅−⋅⋅ = 233 233 2 212 2 12 262 hbebeeh hbeheheP F he << ; be << )(2 xVPF ==∴ Centro de cisalhamento (Seções delgadas simétricas) DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 58 O centro de cisalhamento ou centro de torção é o ponto do plano da seção em relação ao qual o momento de todas as resultantes das tensões devidas a τ é nulo. É o ponto por onde deve passar o plano que contém a resultante de V atuante na seção, para que não haja torção. fτ : tensão de cisalhamento devido à V Forças de cisalhamento na seção ∫ ∂⋅⋅= b z z ssS I VF 01 )( 2 )( shesS z ⋅⋅= 42 2 01 bhe I Vsshe I VF z b z ⋅⋅⋅=∂⋅⋅⋅= ∫ Vhbehehe I Vsbhesehse I VF z h z =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⋅⋅+⋅−⋅⋅=∂⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅= ∫ 264222 233 0 2 2 31 FF = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅+⋅⋅+⋅= 412 2 12 233 hbebeehI z be << ; he << DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 59 Condições de equivalência VF =1 ; cVM ⋅=0 cVhF ⋅=⋅1 V hFc ⋅= 1 V hbeh I Vc z ⋅⋅⋅⋅= 42 zI behc ⋅ ⋅⋅= 4 22 ; ),,( bhefc = não depende de V. 212 23 hbeheI z ⋅⋅+⋅= Obs: 1. se a cortante passar pelo C.C. não haverá momento na seção, pois há equivalência entre Vc e M0. 2. Se chamarmos de “fluxo de tensões” o produto τ t, podemos imaginar uma analogia entre “fluxo de tensões” que percorre a seção e “fluxo de água” que percorreria um encanamento com a forma da seção analisada. DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 60 t t t W M=τ PV = )( bcPMM t +⋅== ft τττ += (tensão de cisalhamento resultante) eI SV W M zt t ⋅ ⋅+=τ DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 61 Cantoneiras Exercícios: 1) Determinar a posição do centro de cisalhamento e calcular as tensões tangenciais. Dado: Iz=2806 cm4. DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 62 2) Calcular maxτ Dado: Iz=895914 cm4. 3) Determinar as tensões principais no ponto A da seção mais solicitada. Dado: Iy=27937 cm4. DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 63 Resolução do exercício 3. 100⋅= FM FFz I M y x 054,01527937 100 −=⋅⋅=⋅=σ ( ) 433 48,37221,2120151 3 1 3 1 cmthI iiT =⋅++⋅⋅=⋅⋅= ∑ 3 max 48,37 1 48,37 cm t IW TT === ∫ ∂⋅⋅= s ssSIxVF 0 )()( 2 30 2 301 2 1 ssssS −⋅=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⋅⋅= yy I Psss I PF ⋅=∂⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⋅⋅= ∫ 5,2812230 15 0 2 1 5,337155,3371512 +⋅=+⋅⋅= ssS ( ) yy I Pss I PF ⋅=∂⋅+⋅⋅= ∫ 97505,337152002 DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 64 ∑ = 00M cPFF ⋅=⋅⋅−⋅⋅ 352152 12 cP I P I P yy ⋅=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅ 5,281270975030 27937 196875292500 −=c cmc 42,3= PPcP W M t t t ⋅=⋅=+⋅== 49,048,37 42,18 48,37 )15(τ PP eI SV z f ⋅=⋅ ⋅=⋅ ⋅= 023,0 127937 5,637τ PPPft ⋅=⋅+⋅=+= 513,0023,049,0τττ ( )222,1 22 xyyxyx τσσσσσ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +±+= ( )222,1 513,02 0054,0 2 0054,0 PPP +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−±+−=σ P487,01 =σ P541,02 −=σ DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 65 4 - TEORIA DAS TENSÕES z z A A F σ=∂ ∂ →∂ 0lim → tensão normal zy y A A F τ=∂ ∂ →∂ 0 lim → tensão tangencial ou tensão de cisalhamento zx x A A F τ=∂ ∂ →∂ 0lim DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 66 →→→ += xzwt z τσ 22)( τσ += zt • Obs: A tensão é definida no ponto. ∑ = 00M → 2222 zyxyzx zyyz ∂⋅∂⋅∂⋅⋅=∂⋅∂⋅∂⋅⋅ ττ 0≠∂⋅∂⋅∂=∂ yzxV zyyz ττ = Teorema de Cauchy. Genericamente jiij ττ = { }zyxji ,,, = São seis as tensões no caso tridimensional. DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 67 Caso plano Caso linear Ensaio de tração: → A F=σ l lΔ=ε DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 68 Estado simples/ Linear/ Unidimensional de tensão Considere uma barra sem peso, tracionada pela extremidade livre por uma força F centrada. Numa seção genérica, aparecerão tensões normais σ1 de modo que se tenha o equilíbrio da seção cortada. A F=σ Equilíbrio de forças. • ∑ =− 0yF 0cos cos 1 =⋅⋅−⋅ ασα σ AA * ασσ 21 cos⋅= • ∑ =− 0xF 0 cos 1 =⋅⋅−⋅ ασα τ senAA * ααστ cos1 ⋅⋅= sen De outra maneira: 1. 2 2cos1cos2 αα += → ασσσ 2cos 22 11 ⋅+= DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 69 2. 2 2sencossen ααα =⋅ → αττ 2sen 2 1 ⋅= 2 1 2 1 2cos 22 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⋅=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − ασσσ 2 12 2sen 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⋅= αττ 2 12 2 1 22 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − στσσ Tensões principais: • Tensão máxima: 1σ • Tensão mínima: 2σ Círculo de Mohr: Nos planos principais ( 'α e ''α ) a tensão tangencial vale zero. Obs: 1. planos ou direções principais. 2. O ponto do gráfico para o qual convergem todos os planos representativos de cortes na barra é chamado pólo. Convenção de sinais: tração⇒> 0σ compressão⇒< 0σ DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 70 Estado Plano (duplo, bidimensional) de tensões Considere um elemento infinitesimal com solicitação geral de tensões. Equilíbrio de Forças: • ∑ =− 0yF ασααταατασσ 22 sencossencossencos ⋅∂⋅+⋅⋅∂⋅+⋅⋅∂⋅+⋅∂⋅=∂⋅−− AAAAA yxyxyxx ασαατασσ 22 sencossen2cos ⋅+⋅⋅⋅+⋅=−− yxyxx • ∑ =− 0xF αασατατααστ cossensencoscossen 22 ⋅⋅∂⋅+⋅∂⋅−⋅∂⋅+⋅⋅∂⋅=∂⋅−− AAAAA xxyxyyxy ( ) ( )ααταασστ 22 sencoscossen −⋅+⋅⋅−=−− xyxyxy Arcos duplos: ατασσσσσ 2sen2cos 22 ⋅+⋅−++=−− xyyxyxx DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 71 ατασστ 2cos2sen 2 ⋅+⋅−=−− xyxyxy 22 2sen2cos 22 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅+⋅−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−− ατασσσσσ xyyxyxx 22 2cos2sen 2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅+⋅−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −− ατασστ xyxyxy ( )2222 22 xy yx xy yx x τσστσσσ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +− −−−− No círculo de Mohr: • centro do círculo: ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + 0, 2 yx σσ • raio do círculo: ( )22 2 xy yxR τσσ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= Ryx ++= 21 σσσ R+=maxτ Ryx −+= 22 σσσ R−=minτ DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 72 Tensões principais ( )21 ,σσ : ( )222,1 22 xyyxyx τ σσσσσ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−++= • 0=−−xyτ 02cos2sen 2 =⋅+⋅− ατασσ xyxy yx xytg σσ τα − ⋅= 22 Direções principais: 'α e ''α Propriedade cteyxyx =+=+=+ −−−− 21 σσσσσσ Expressão Matricial das tensões. [ ] [ ] [ ]TMM ⋅⋅=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − σσ [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= αα αα cossen sencos M M: matriz de transformação de coordenadas. DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 73 MT: matriz transposta. ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−−− −−−− − yxy xyx στ τσσ [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= yxy xyx στ τσσ Exercícios: 1) Calcular as tensões principais e suas direções, e desenhar o círculo de Mohr. 160=xσ ; 60=yσ ; 40=xyτ . 2) Calcular as tensões de cisalhamento nos cortes I, II e III. 2/10 cmkNI =σ ; 0=IIσ ; 2/10 cmkNIII −=σ DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 74 3) Calcular as tensões principais e suas direções. 4) Calcular as tensões principais e suas direções. 2/3 cmkNa =σ ; 2/5,1 cmkNb =σ ; 2/5,0 cmkNa =σ 5) Calcular as tensões principais e suas direções nos pontos A e B. Resolução do exercício 5: DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 75 436167cmI z = Reações: kNV a 5,7= , kNV b 5,22= cmkNM z ⋅= 500 kNV 5,12= Ponto A: kNy I M z z x 152,01136167 500 −=⋅=⋅=σ 0=xyτ ( )222,1 22 xyyxyx τ σσσσσ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−++= 2 1 /0 cmkN=σ ; 22 /152,0 cmkN−=σ Ponto B: kNy I M z z x 055,0436167 500 +=⋅=⋅=σ 2/06,0 1036167 17255,12 cmkN tI SV xy −=⋅ ⋅−=⋅ ⋅=τ ( )222,1 22 xyyxyx τσσσσσ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−++= 2 1 /09,0 cmkN=σ ; 22 /04,0 cmkN−=σ DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 76 5 - TEORIA DAS DEFORMAÇÕES Deformações Normais: x u x ∂ ∂=ε y v y ∂ ∂=ε y utg ∂ ∂== 11 γγ x vtg ∂ ∂== 22 γγ xyx v y u γγγγ =∂ ∂+∂ ∂=+= 21 γ : deformação tangencial ou distorção. Coeficiente de Poisson: Considerando solicitação apenas na direção x, temos: 0>−= y x ε εν Em materiais isotrópicos (que têm o mesmo comportamento elástico em todas as direções): 5.00 <<ν • A lei de Hooke estabelece que a tensão aplicada provoca deformação proporcional. Pode-se afirmar então que se em todos os pontos de um sólido elástico atua tensão σ de direção constante, um comprimento l, sofrerá, na direção da tensão, uma variação de comprimento: DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 77 E σ.ll =Δ Considerando agora que ocorra solicitação em mais de uma direção, pode-se avaliar o efeito de cada tensão isoladamente: ll ⋅=Δ ε • Tensão apenas na direção x : x x x x x EE ll ⋅=Δ⇒= σσε y x y x xy EE ll ⋅=Δ⇒⋅−=⋅−= σσνενε z x z x xz EE ll ⋅=Δ⇒⋅−=⋅−= σσνενε • Tensão apenas na direção y : y y y y y EE ll ⋅=Δ⇒= σσε x y x y yx EE ll ⋅=Δ⇒⋅−=⋅−= σσνενε z y z y yz EE ll ⋅=Δ⇒⋅−=⋅−= σσνενε • Tensão apenas na direção z : z z z z z EE ll ⋅=Δ⇒= σσε x z x z zx EE ll ⋅=Δ⇒⋅−=⋅−= σσνενε y z y z zy EE ll ⋅=Δ⇒⋅−=⋅−= σσνενε Por superposição de efeitos: xzx y x x x EEE llll ⋅⋅−⋅⋅−⋅=Δ σνσνσ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⋅−=∴ EEE zyx x σσνσε DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 78 Analogamente, ocorre nas outras direções. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⋅−= EEE zxy y σσνσε ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⋅−= EEE xyz z σσνσε Além disso, para a distorção, tem-se: G xy xy τγ = ; G yz yz τγ = ; G xz xz τγ = Onde G é o módulo de elasticidade transversal: ( )υ+= 12 EG Num estado triplo de deformações, temos: zyx εεε ,, , yzxzxy γγγ ,, Num estado plano de deformações, temos apenas: xyyx γεε ,, ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛⋅−= EE yx x σνσε ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅−= EE xy y σνσε G xy xy τγ = Para calcular a deformação ( xε ) de um plano inclinado de θ em relação ao eixo original x , temos: θγθεεεεε 2sin 2 2cos 22 ⋅+⋅−++= xyyxyxx θγθεεεεε 2sin 2 2cos 22 ⋅−⋅−−+= xyyxyxy θγθεεγ 2cos2sin)( ⋅+⋅−= xyxyyx DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 79 Deformações principais ( 1ε e 2ε ): 22 1 222 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −++= xyyxyx γεεεεε 22 2 222 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−+= xyyxyx γεεεεε Exercícios: 1) Calcular as tensões xσ , yσ e zσ . 2) Calcular xlΔ do sólido I. 2/1 cmtfz =σ ; P = 80 tf; 2/500 cmtfEI = ; 3,0=Iν ; 2/100 cmtfEE IIIII == ; 4,0== IIIII νν DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 80 3) Qual o deslocamento total em y e a carga máxima. Dados: E = 100 tf/cm2; 4,0=ν 4) Determinar as tensões. Dados: 610200 ⋅=aε ; 610300 ⋅=bε ; 2εε =a ; E = 20000 kN/cm2; 3,0=ν DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 81 5) Calcular a deformação na direção θ indicada, sabendo que yx εε .5,0−= . Dados: 2/1 cmKNx =σ ; 3,0=ν ; θ = 30º 6) Para o tubo de parede fina; calcular Mt e F. Dados: 4104,1 −⋅−=aε ; 4108,4 −⋅=bε ; E = 21000 kN/cm2; 3,0=ν 7) Desenhar o círculode Mohr. DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 82 Dados: 4x 105 −⋅−=ε , 4y 103 −⋅=ε , rad106 2xy −⋅=γ 8) No ponto O da viga indicada na figura foram medidas as deformações nas direções A e B e encontrados: 51014,7 −⋅=aε , 510.07,16 −=bε . Sabendo-se que essa viga está solicitada apenas por M e V, calcular esses valores, dados: 2/808 cmkNG = ; E = 21000 kN/cm2; 3,0=ν DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 83 Resolução do exercício 3. Estágio 1 0=xσ ; 0=zσ ; 400 P y =σ cmx 02,0=Δl xxx ll ⋅=Δ ε 2002,0 ⋅= xε 001,0=xε ( )( )zyxx E σσνσε +⋅−⋅= 1 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⋅−= 400 4,0 100 1001,0 P tfP 100= ( )( )yxzz E σσνσε +⋅−⋅= 1 ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⋅−⋅= 400 1004,0 100 1001,0 Estágio 2 0=zσ ; 400 P y =σ cmz 02,0=Δl zzz ll ⋅=Δ ε 2002,0 ⋅= zε 001,0=zε ( )( )yxzz E σσνσε +⋅−⋅= 1 ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⋅−⋅= 400 4,0 100 1001,0 Pxσ DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 84 0=xε ( )( )zyxx E σσνσε +⋅−⋅= 1 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⋅−= 400 4,0 100 10 Pxσ Px ⋅+⋅−= 001,04,01,0 σ (1) Px ⋅+= 001,00 σ (2) Resolvendo o sistema: 2/071,0 cmtfx −=σ tfP 43,71= Carga Total: tfPPPtotal 43,17143,7110021 =+=+= ( )( )zxyy E σσνσε +⋅−⋅= 1 ( ) 004,00071,04,0 400 43,171 100 1 −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⋅−−⋅=yε Deslocamento total em y. cmyyy 12,030004,0 −=⋅−=⋅=Δ ll ε DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 85 6 - ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Na mecânica, uma força realiza trabalho quando sofre um deslocamento dx na mesma direção dela. Por exemplo, ao calcular o trabalho realizado por uma força axial aplicada na extremidade da barra. Como a força N aumenta gradualmente de 0 até P, o deslocamento varia de 0 até ΔL. Se o material comportar-se de maneira linear-elástica, a força será diretamente proporcional ao deslocamento, ou seja: xKN x ⋅= onde K = constante. Pela Lei de Hooke: ( )( )zyxX E1 σσνσε +⋅−⋅= , sendo 0zy == σσ E x x σε =∴ A N x x =σ → lΔ=x A N x =σ → l lΔ=xε ll Δ⋅ ⋅=⋅= AExKN xxKxNU x ∂⋅⋅=∂⋅=∂ O trabalho realizado será: DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 86 ∫ ∫ ∂⋅⋅=∂= xxKUU ∫Δ Δ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅=∂⋅⋅= l l 0 0 2 2 xKxxKU ll Δ⋅⋅=Δ⋅⋅= NKU 2 1 2 1 2 lΔ⋅⋅= N 2 1U U: energia de deformação (carregamento lento) Carregamento lento: carregamento aplicado de zero até o valor final. Em caso de carregamentos rápidos (carregamentos instantâneos), temos: lΔ⋅= NU , uma vez que o gráfico apresenta-se como um retângulo. Exemplos: Carregamento lento: peso próprio da estrutura. Carregamento rápido: ação do vento. - Energia de Deformação: Energia de deformação é definida como a capacidade de produzir trabalho. A energia armazenada em sólidos elásticos devido à deformação dos elementos sob ações externas é igual ao trabalho interno. Objetivos: 1- Calcular deslocamentos 2- Calcular incógnitas hiperestáticas. - Métodos de cálculo da energia de deformação: • Pelas tensões • Pelos esforços solicitantes • Pelas cargas DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 87 a) Cálculo pelas tensões: Seja um elemento no estado triplo de tensões. Efeito total = somatório dos efeitos parciais (superposição de efeitos). Modelo de cálculo Trabalho = força x deslocamento Se o elemento de volume está submetido à tensão σx: zyforça x ∂⋅∂⋅= σ xtodeslocamen x ∂⋅= ε trabalho = xzy xx ∂⋅⋅∂⋅∂⋅ εσ zyx 2 1U xxx ∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅=∂ εσσ e zyxV ∂⋅∂⋅∂=∂ (V = volume) dV 2 1U xxx ⋅⋅⋅=∂ εσσ Analogamente: • para yσ : dV2 1U yyy ⋅⋅⋅=∂ εσσ • para zσ : dV2 1U zzz ⋅⋅⋅=∂ εσσ Efeito total: izyx UUUU σσσσ ∂=∂+∂+∂ zyxzyxzyxU zzyyxxi ∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅+∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅+∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅=∂ εσεσεσσ 2 1 2 1 2 1 Dividindo ambos os lados por zyx ∂⋅∂⋅∂ DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 88 dV U zyx U U ii,0 ∑∑ ∂=∂⋅∂⋅∂ ∂= σσσ σ,0U : Energia específica de deformação (só as tensões normais) Para um elemento de volume, a tensão de cisalhamento provoca deformação no elemento. Assim, a energia de deformação armazenada no elemento é: zyx 2 1U xzxzxz ∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅=∂ γττ zyx 2 1U xyxyxy ∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅=∂ γττ zyx 2 1U yzyzyz ∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅=∂ γττ Efeito total: ijyzxyxz UUUU ττττ ∂=∂+∂+∂ dV U zyx U U ijij,0 ∑∑ ∂=∂⋅∂⋅∂ ∂= τττ τ,0U : Energia específica de deformação (só as tensões de cisalhamento) Efeito global: ( )∑ ∂+∂= iji UUU τσ ( ) volume,0,00 UUU ∑ += τσ dVUU volume 0 ⋅= ∫ Ou seja: ( )∫ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅= V yzyzxzxzxyxyzzyyxx dV21U γτγτγτεσεσεσ b) Cálculo pelos esforços solicitantes DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 89 Considere uma viga: • y I M A N z zx x ⋅+=σ e z xy Ib SV ⋅ ⋅=τ dVUU volume 0 ⋅= ∫ ( )xyxyxx0 21U γτεσ ⋅+⋅⋅= Pela Lei de Hooke: • E x x σε = e G xy xy τγ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⋅= GE2 1U 2 xy 2 x 0 τσ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⋅ ⋅⋅+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⋅+⋅⋅= 22 0 Ib SV G 1y I M A N E 1 2 1U ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅ ⋅⋅+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅= 22 22 2 2 2 2 2 0 Ib SV G 1y I My I M A N2 A N E 1 2 1U xdA Ib SV G y I My I M A N A N E U A ∂⋅⋅⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅ ⋅⋅+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= ∫∫ 22 2222222 0 121 2 1l Resolvendo as integrais de área, temos: ∫ ∂⋅⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅⋅+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⋅⋅= l 0 222 2 1 2 1 x A Vc GI M A N E U onde c = fator de forma. A IG SAc 22 2 ∂⋅⋅⋅= ∫ DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de CampinasCidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 90 Observação: Torção: t I M w M t t t t xy ⋅==τ Ou seja: ∫ ∂⋅⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⋅⋅+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅⋅+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⋅⋅= l 0 2222 22 1 2 1 x IG M A Vc GI M A N E U t t estruturat t dx GI Mdx GA cVdx EI Mdx EA NU ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +++= ∫ ∫ ∫ ∫ 2²²²21 Exemplo: Calcular a energia de deformação para a estrutura da figura. Dados: P = 500 kgf; d = 4 cm; c = 1,1 ; E = 2100000 kgf/cm2; G = 800000 kgf/cm2. L = 50 cm; e = 20 cm. DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 91 c) Cálculo pelas cargas (Teorema de Clapeyron). ∫ →→ ∂⋅= t 0 tPT onde T = trabalho. T = U onde U = energia de deformação. Observação: Teoria de 1a ordem: pontos Ai e Bi muito próximos. →→ ≈ ivt ii vP2 1T ⋅⋅= ou genericamente: ∑ ⋅⋅= ii vP21T x IG M AG Vc IE M AE N 2 1U 0 t 2 t 222 ∂⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅= ∫ l T = U → Teorema de Clapeyron: conservação de energia Pode-se, portanto, calcular o deslocamento no ponto e na direção da força ou momento aplicado, com esse teorema. A aplicação é bastante limitada, pois apenas uma força externa ou momento pode atuar na estrutura. Exemplo 1: Calcular o deslocamento vertical do ponto A. Exemplo 2:calcular o giro (φ ) no apoio fixo. DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 92 Teorema de Maxwell Trata de uma estrutura elástica com duas cargas Pi e Pk. Seja a viga abaixo. Por superposição de efeitos: Considere a teoria de 1a ordem. Observação: ikδ : indica a causa (força no ponto k que causa o deslocamento em i). ikKiiii PPv δδ ⋅+⋅= kkKkiik PPv δδ ⋅+⋅= 1a forma de carregamento: ( )P0(P),P0(P kkii →→ ) ikkikkkkiiii1 PP1PP2 1PP 2 1T δδδ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 2a forma de carregamento: ( )P0(P),P0(P iikk →→ ) kiikiiiikkkk2 PP1PP2 1PP 2 1T δδδ ⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= Porém o trabalho realizado é o mesmo: T1 = T2. Substituindo os valores, tem-se que kiik δδ = → Teorema de Maxwell. DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 93 Observações: • se substituirmos as forças Pi e Pk por um grupo de forças, temos o Teorema de Betti. • o Teorema de Maxwell vale se substituirmos forças por momentos. - Teorema de Maxwell: “O deslocamento de um ponto i, na direção i r , quando se aplica uma força no ponto k é igual ao deslocamento de um ponto k, na direção k r , quando se aplica uma força no ponto i”. - Teorema de Castigliano (1873): “A derivada parcial da energia de deformação em relação a uma carga Pk é igual ao deslocamento elástico (flecha) vk do ponto de aplicação da carga”. k k v P U =∂ ∂ n1nx1xi1i1221111 P...P...P...PPv δδδδδ ⋅++⋅++⋅++⋅+⋅= n2nx2xi2i2222112 P...P...P...PPv δδδδδ ⋅++⋅++⋅++⋅+⋅= innixxiii2i21i1i P...P...P...PPv δδδδδ ⋅++⋅++⋅++⋅+⋅= xnnxxxxii2x21x1x P...P...P...PPv δδδδδ ⋅++⋅++⋅++⋅+⋅= nnnnxxnii2n21n1n P...P...P...PPv δδδδδ ⋅++⋅++⋅++⋅+⋅= ∑ = ⋅⋅= n 1i ii vP2 1U ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂⋅+⋅∂ ∂⋅=∂ ∂ ∑ ∑ = = n 1i n 1i k i ii k i k P vPv P P 2 1 P U 1a derivada → para ki ≠ , 0 P P k i =∂ ∂ para ki = , 1 P P k i =∂ ∂ DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 94 2a derivada → ∑ = ∂ ∂n 1i k i P v k k i P vi 11 δ=∂ ∂⇒= k2 k i P v2i δ=∂ ∂⇒= ik k i P vii δ=∂ ∂⇒= kk k i P vki δ=∂ ∂⇒= nk k i P vni δ=∂ ∂⇒= ...P...PP ikik22k11 +⋅++⋅+⋅ δδδ Pelo Teorema de Maxwell, tem-se kiik δδ = . Logo: ( )kk k vv P U +⋅=∂ ∂ 2 1 k k v P U =∂ ∂∴ Como: estruturat t dx GI Mdx GA cVdx EI Mdx EA NU ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +++= ∫ ∫ ∫ ∫ 2²²²21 estruturatk tt kkkk dx GIP MMdx GAP VcVdx GIP MMdx EAP NN P U ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=∂ ∂ ∫ ∫ ∫ ∫ 1212121221 estruturak t t t kkk k dxP M GI Mdx P V GA cVdx P M GI Mdx P N EA Nv ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂= ∫ ∫ ∫ ∫ DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 95 É importante lembrar que ao determinar N, M, V e tM da estrutura, devemos deixá-los em função de kP (ela existindo ou não), para só no final dos cálculos (após a fase da integração) a substituirmos por seu valor original (seja ele nulo ou não). Observação prática: Para facilitar os cálculos, para certos tipos especiais de estrutura, podemos desconsiderar certas parcelas da energia, já que são muito menores que as outras. - Vigas e pórticos planos: Aqui, o momento fletor é responsável por gerar uma energia muito maior que as geradas pela normal, cortante e momento torçor. Portanto, simplificaremos para: estruturak t t t kkk k dxP M GI Mdx P V GA cVdx P M GI Mdx P N EA Nv ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∂∂=∴ estrutura kk dxP M GI Mv - Treliças e tirantes: Neste caso, as barras sofrem somente solicitação normal, ou seja: estruturatk k dxGI dx GA dx GI dx P N EA Nv ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +++∂ ∂= ∫ ∫ ∫ ∫ 000 ∫ ∂∂=∴ estrutura kk dxP N GI Nv Como a força normal nas barras é uma função de grau zero (um valor constante na barra toda), podemos dizer que N independe de x, ou seja: lNdxNNdx l l ⋅=⋅=∫ ∫ 0 0 (onde l é o comprimento da barra) Considerando que o mesmo vale para kP N ∂ ∂ , temos: 0 0 0 DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 96 ∫ ∑ ∫ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂=∂ ∂= treliça n i ibarra kk k dxP N EA Ndx P N EA Nv 1 . ∑ ⋅∂∂= lPNEANv kk Observação: No caso de um pórtico atirantado, devemos usar ∫ ∂∂pórtico k dxP M GI M para calcular a energia referente ao pórtico e somar com ∫ ∂∂tirante k dxP N GI N (parcela do tirante). Como o teorema de Maxwell vale se substituirmos forças por momentos (e, naturalmente, deslocamentos (translação) por giros (rotação), podemos assim determinar, ao invés do deslocamento kv de um ponto, o seu giro absoluto kφ : ∫ ∂∂= estrutura kk dxM M
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