Função Exponencial e Logarítmica-1.doc

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Capítulo 3
Função Exponencial e Logarítmica
3.1 Introdução 
 No fim do século XVI, o desenvolvimento da Astronomia e da Navegação exigia longos e laboriosos cálculos aritméticos. Um auxílio precioso já fora obtido com a recente invenção das frações decimais, embora ainda não suficientemente difundida. Mesmo assim, achar um método que permitisse efetuar com presteza multiplicações, divisões, potenciações e extrações de raízes era, nos anos próximos de 1600, um problema fundamental.
 
 Segundo o grau de dificuldade, as operações aritméticas podem ser classificadas em três grupos: adição e subtração formam as operações de 1ª espécie, multiplicação e divisão são de 2ª espécie, enquanto que potenciação e radiciação constituem as operações de 3ª espécie. Procurava-se então um processo que permitisse reduzir cada operação de 2ª ou 3ª espécie a uma de espécie inferior e portanto mais simples.
 Acontece com freqüência que uma grande descoberta científica é feita simultaneamente por duas ou mais pessoas trabalhando independentemente. Não se trata de simples coincidência: tal descoberta corresponde à solução de um problema importante, do qual muitos se vinham ocupando.
 Assim aconteceu com os logaritmos. Jost Biirgi ( 1552-1632 ), suíço, fabricante de instrumento astronômicos, matemático e inventor, e John Napier ( 1550-1617 ), um nobre escocês, teólogo e matemático, cada um deles desconhecendo inteiramente o outro, publicaram as primeiras tábuas de logaritmos. As tábuas de Napier foram publicadas em 1614 e as de Biirgi em 1620. A influência de Napier no desenvolvimento dos logaritmos foi muito maior do que a de Biirgi, devido as suas publicações e seu relacionamento com professores universitários.
 Uma tábua de logaritmos consiste essencialmente em duas colunas de números. A cada número da coluna à esquerda corresponde um número à sua direita, chamado o seu logaritmo. Para multiplicar dois números, basta somar seus logaritmos, o resultado é o logaritmo do produto. Para achar o produto, basta ler na tábua, da direita, para a esquerda, qual o número que tem aquele logaritmo. Analogamente, para dividir dois números basta subtrair os logaritmos. Para elevar um número a uma potência basta multiplicar o logaritmo do número pelo expoente. Finalmente, para extrair a raiz 
ésima de um número, basta dividir o logaritmo do número pelo índice da raiz. Na terminologia matemática de hoje, uma correspondência como essa estabelecida por meio de uma tábua de logaritmos é o quem se chama de função. Convém notar, porém que a invenção dos logaritmos foi anterior à introdução do conceito d função Matemática. A utilidade original dos logaritmos resulta portanto da seguinte observação: o trabalho de elaborar uma tábua de logaritmos, por mais longo e cansativo que seja, é um só. Depois dele executado, ninguém precisa mais, digamos, efetuar multiplicações; adições bastam.
 Logo depois do aparecimento da primeira tábua de logaritmos de Napier, o matemático inglês Henry Briggs ( 1561-1631 ), professor da Universidade de Londres, e depôs de Oxford , elaborou, juntamente com Napier, uma nova tábua, de mais fácil utilização, contendo os chamados logaritmos decimais, ou logaritmos ordinários, que tiram proveito do fato de usarmos um sistema de numeração decimal.
 Durante os 4 séculos que sucederam à descoberta dos logaritmos, sua utilidade revelou-se decisiva na Ciência e na Tecnologia. Já Kepler, por volta de 1620, atestava seu reconhecimento pela nova descoberta que segundo ele “aumentava vastamente o poder computacional do astrônomo”. O próprio Napier, um tanto imodestamente, reconhecendo o valor de sua descoberta, deu às suas tábuas o título Mirifici logarithmorum canonis description, que significa: Uma descrição da maravilhosa regra dos logaritmos.
 Recentemente, com a utilização cada vez mais divulgada das calculadoras, as tábuas de logaritmos perderam muito do seu interesse como instrumento de cálculo, o mesmo acontecendo com outras tabelas matemáticas. Mas o estudo dos logaritmos ainda é e continuará a ser de central importância. Com efeito, embora eles tenham sido inventados como acessório para facilitar operações aritméticas, o desenvolvimento da Matemática e das ciências em geral veio mostrar diversas leis matemáticas e vários fenômenos físicos, químicos, biológicos e econômicos são estreitamente relacionados com os logaritmos. Assim sendo, os logaritmos, que no princípio eram importantes apenas por causa das tábuas, mostraram ter apreciável valor intrínseco. Começaremos a definir a função exponencial e em seguida a logarítmica.
3.2 Revisão
 Seja 
 um número real positivo. Dado um inteiro 
, a potência 
 é definida como o produto de 
 fatores iguais ao número 
 Ou, seja,
 
 
Vale a propriedade fundamental:
 
 (
 inteiros positivos)
 Se quisermos definir 
 de modo que a propriedade acima continue válida seremos obrigados a convencionar que 
, a fim de termos 
 Procurando ainda estender a noção de potência de modo a abranger expoentes negativos e fazê-lo de forma a manter a validez da propriedade fundamental, devemos ter:
 
 donde 
 Evidentemente, a relação fundamental vale para o produto de várias potências, como por exemplo:
 
Em particular, tomando um produto de 
fatores iguais a 
, obtemos.
 
 
 Definição de Potência de Número real positivo com expoente fracionário
 Seja 
 um número real, e 
 dois números inteiros com 
, definimos:
 
 ( Chamado a raiz 
-ésima do número real positivo 
 ).
Em particular, 
. Portanto, a potência 
, está definida para todo número racional 
 Dessa forma, mesmo para 
 e 
 fracionários ( 
 e 
), vale ainda a propriedade
 
.
 Finalmente, o que significa uma potência com expoente irracional? Que significa, por exemplo, 
, a 
-ésima potência de 10? 
 Com base na definição de potência com expoente racional, é possível explicar satisfatoriamente o significado de uma potência com expoente irracional. Por exemplo 
 é definido assim: tomamos os valores 
; 
; 
 etc. São valores aproximados de 
. Tanto mais próximo esteja o número racional 
 de 
, mais próximo estará 
 de 
.
Exercícios 
Prove que, para todo 
 reais, vale a igualdade:
 
Simplifique as expressões abaixo:
a) 
 b) 
 3. Simplifique e ponha sob forma de potência:
 a)
 b) 
 4. A desigualdade 
 significa que a diferença 
 é um número positivo. 
 Usando o fato de que o produto de dois números positivos é positivo, prove as seguintes afirmações:
 
Se 
 e 
, então 
Se 
 e 
, então 
Se 
 e 
, então 
Se 
, então 
 para todo inteiro 
, e 
 para todo inteiro 
Seja 
, e 
 um inteiro. Mostre que:
 
 6. Prove a fórmula:
 
 .
 
 Sugestão: Note que, 
. Faça nessa igualdade 
, somando membro a membro e simplificando.
 
3.3 Função Exponencial
 
Definição: Uma função 
 chama-se função exponencial, se 
 cumpre três propriedades:
1) 
 é monótona injetiva ( Crescente ou decrescente)
2) 
3) 
, para algum 
 (
)
 Portanto, toda função que goza das três propriedades acima, é denominada função exponencial. 
Observações:
i) Tem-se sempre que 
, para todo 
. Com efeito, suponhamos que exista 
 tal que 
. Segue-se então, que para todo 
, teríamos:
 
.
Então 
 seria identicamente nula,o que contradiz a propriedade 1, uma vez que 
 é injetiva.
ii) Em verdade, 
, para todo 
. Basta notar que:
 
iii) 
. Repare que, 
Como 
, vem 
 que 
iv) Em geral, representamos 
 por 
. Isso significa que, a propriedades 2) e 3), se traduzem respectivamente por: 
 e 
 
v) Para todo 
, temos que 
 Tendo em vista que 
, 
 segue-se que 
vi) Para todo 
, 
 ou ainda 
 Pois,
 
 
.
 vii) Para todo 
, 
 
 Com efeito, seja 
 Então;
 
= 
=
Finalmente, 
viii) Se 
 for irracional, 
, qualquer que seja 
 Para isto, basta se aproximar 
 de 
 por valores racionais próximos de 
 ix) 
 isto é, 
 (
 é o conjunto dos números reais 
 positivos, 
 não é positivo).
3.4 Propriedades da Função Exponencial
 1ª) A função exponencial 
 é crescente se, e somente se, 
 2ª) A função exponencial 
 é decrescente se, e somente se, 
 
Imagem da Função Exponencial
Como 
, segue-se que 
Gráfico da Função Exponencial
Com relação ao gráfico da função exponencial, podemos dizer;
 
1º) A curva representativa está toda acima do eixo dos 
 uma vez que 
 
 para todo 
 
 2º) Corta o eixo 
 no ponto de ordena 1, tendo em vista que 
 
 3º) Se 
, a curva é de uma função crescente e, se 
 é o de 
 uma função decrescente.
 
 4º) Tem um dos aspectos da figura abaixo:
 
	
 Gráfico de 
, 
	
 Gráfico de
, 
 
Exemplo 1
Construa os gráficos das seguintes funções exponenciais:
a) 
 b) 
 c) 
Solução:
	
a)
 
	
b)
	
c)
 
 
Note que o gráfico do item b) é o mesmo de a) só que translado uma unidade para cima, do mesmo modo que o gráfico de c) é o gráfico de a) mas translado uma unidade para baixo.
Exemplo 2
Construir o gráfico da função exponencial de base 
, 
Solução:
	
 O número 
 ( de exponencial ) acima, é um número irracional importantíssimo para a análise matemática e é definido pela relação:
 
 Esse número é aproximadamente 2,718281828459045...
Exercícios 
7. Construa os gráficos das funções em 
, definidas por:
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
f) 
 g) 
 h) 
 i) 
 j) 
 
k) 
 l) 
 m) 
 n) 
Equações Exponenciais
Definição: Equações exponenciais são equações com incógnitas no expoente.
Exemplo 3:
a) 
 b) 
Existem dois métodos fundamentais para resolução das equações exponenciais.
Faremos a apresentação agora do primeiro método, sendo que o segundo será apresentado quando do estudo dos logaritmos.
Método da resolução a uma base comum
Uma vez que a função exponencial 
 é injetiva, podemos concluir que potências de bases iguais tem expoentes iguais, assim:
 
 
Exemplo 4:
Resolva as seguintes equações exponenciais:
a) 
 b) 
 c) 
 Solução:
 a) 
 
 
 b) 
 
 
. Fazendo a mudança de variável 
, 
 temos:
 
 
 
 ou 
Note que 
 não satisfaz, tendo em vista que 
Assim, 
 
.
 c) 
 
 
 Pondo 
, vem:
 
 
ou 
.
 Como 
, então:
 
 ou 
 Exemplo 5:
 Resolva as equações exponenciais no conjunto 
 a) 
 b) 
 Solução:
 
Vamos examinar inicialmente se 
 ou 
 são soluções da equação.
Para 
, 
 (falso)
Para 
, 
 ( verdadeiro )
Assim, 1 é solução da equação.
Supondo agora que 
, temos:
 ou 
, portanto
Vamos examinar inicialmente se 
 ou 
 são soluções da equação.
 Para 
, 
 (verdadeiro)
 Para 
, 
 (verdadeiro)
 Supondo 
, temos:
 
 
 
 
 ou 
 Assim:
 
 
 Exemplo 6:
 
 Resolva a equação 
.
 Solução:
 Dividindo por 
, temos:
 
 
�� EMBED Equation.DSMT4 �� EMBED Equation.DSMT4 
 
 Colocando 
, temos:
 
 ou 
 ( não convém ). Logo 
 
 Exercícios
 8. Resolva as equações exponenciais:
 
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 ( com 
)
 e) 
 f) 
 g) 
 h) 
 i) 
 j) 
 
 9. Resolva as equações exponenciais no conjunto 
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
 f) 
 g) 
 10. Resolva as equações: 
 a) 
 b) 
 (divida tudo por 
).
Função do Tipo Exponencial 
Teorema:
 
Seja 
 uma função monótona injetiva ( Isto é, 
 é crescente ou decrescente). Tal que, para quaisquer 
,
 
 , depende somente de 
Então, pondo 
, tem-se 
, onde 
Prova:
Vamos supor inicialmente que 
. Pondo 
 (*)
Uma vez que o lado esquerdo da igualdade (*), depende apenas de 
Fazendo então 
 em (*), vem: 
. Pela igualdade (*), 
, donde 
 (**). Como 
 é monótona injetiva, temos que a única função que cumpre a igualdade (**) é do tipo 
Supondo agora que 
 e tendo em vista que 
, temos que:
 
 
 
,
Isto é, 
.
 Exemplo 7
 Uma pessoa com dor de garganta, depois de ir ao médico, lhe foi receitado um antibiótico que se tomasse de 12 / 12 h. A bula fornece a seguinte informação: Após 24 horas, a concentração plasmática dessa substância no seu sangue reduz-se a
10% da concentração inicial. Admitindo-se que a função de decrescimento da substância no sangue é exponencial, determine a quantidade de antibiótico no sangue após 12 horas.
 Solução:
 
 Seja 
 a função exponencial. Aqui, 
 é a massa da substância que permanece no sangue após o tempo 
, a partir do momento que foi ingerida; 
 a massa inicial da substância e 
 
 é uma constante que depende do antibiótico. 
 Como 
 
�� EMBED Equation.DSMT4 
 
 
 Segue-se que:
 
 ou aproximadamente 
.
Exercício 
11. No exemplo anterior, considerado 
, determine a constante 
 com duas casas decimais.
Resposta: 0,91
12. Seja 
 Uma função tal que 
 para quaisquer 
.
 a) Prove que se existe algum número 
 tal que 
, então 
 é 
 identicamente nula .
 
Prove que nenhum valor de 
 pode ser negativo
Conclua que ou 
 é identicamente nula ou 
 para todo 
.
13. Dada uma função exponencial 
, seja 
. Prove que para todo número racional 
 tem-se 
Função Logarítmica 
Conceito de Logaritmo
Considere a igualdade 
. Nessa igualdade, temos:
Dizemos nesse caso que 
, isto é, 3 é o logaritmo de 8 na base 2 ( a mesma base da potência 
 ). Assim temos a seguinte definição.
 
 Obs.: O termo Logaritmo foi criado por John Napier ( 1550-1617): de logos
 e arithmos, que significam , respectivamente, “razão” e “número”.
 
 Definição:
 Sendo 
 e 
 números reais e positivos, com 
 chama-se logaritmo 
 de 
 na 
 o expoente que se deve dar à base 
 de modo que a 
 potência obtida seja igual a 
.
 Em símbolos: se 
�� EMBED Equation.DSMT4 e 
, então:
 
	
 
 
 é base do logaritmo 
 é o logaritmandoé o logaritmo
 
Exemplo 8
a) 
 pois 
b) 
 pois 
c) 
 pois 
 
Conceito de Antilogaritmo
 Definição:
 
 Sejam 
 e 
 números com 
; se o logaritmo de 
 na base 
 é 
, então 
 é o antilogaritmo de 
 na base 
.
 Em símbolos: se 
�� EMBED Equation.DSMT4 e 
, então:
	
 
Observação: Com as restrições impostas ( 
�� EMBED Equation.DSMT4 e 
), dados 
 e 
 existe um único 
 tal que 
 ( Prove !!).
Exemplo 9
 a) 
 pois 
 
 b) 
 , pois 
 c) 
 , pois 
 Exercícios
14. Calcule pela definição os seguintes logaritmos:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
 f) 
15. As indicações 
 e 
, na escala 
, de dois terremotos estão 
 Relacionadas pela fórmula:
 
 Em que 
 e 
 medem a energia liberada pelos terremotos sob a forma 
 de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um correspondente a 
 e outro correspondente 
. Calcule a razão 
16. Determine o valor de 
, na equação 
, para que 
 seja igual a 8.
 
 Conseqüências da Definição 
Decorrem da definição de logaritmos as seguintes propriedades para 
 e 
.
I) O logaritmo da unidade em qualquer base é igual a 0
 
 
 II) O logaritmo da base em qualquer base é 1.
 
 
 III) A potência de base 
 e expoente 
 é igual a 
 
 IV) Dois logaritmos em mesma base são iguais se, e somente se, os 
 logaritmos são iguais.
 
 Exercícios
 17. Calcule o valor de:
 
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
18. Determine o valor de 
 tal que 
Bases Especiais 
Entre as infinidades de valores que podem assumir a base, existem duas bases particularmente importante:
 
 I) Os logaritmos decimais, são os logaritmos na base 10. Para esse 
 Logaritmo existe a seguinte notação:
 
II) Os logaritmos neperianos, são os logaritmos de base 
, também chamados de logaritmos naturais, cuja notação é:
 
 
 São encontradas em algumas publicações as notações: 
 ou 
 Propriedade dos Logaritmos
1ª) Logaritmo do produto
 Se 
, 
 e 
, então: 
 
 Prova:
 Fazendo 
, 
 e 
, provaremos que 
 Com efeito, 
 
 
Observação:
Essa propriedade pode ser estendida para o caso do logaritmo do produto de 
 (
) fatores reais e positivos, isto é:
 
Onde 
 para 
 e 
 2ª) Logaritmo do Quociente
 Se 
, 
 e 
, então: 
 
Prova: 
 Fazendo 
, 
 e 
, provaremos que 
 De fato,
 
�� EMBED Equation.DSMT4 �� EMBED Equation.DSMT4 
 
 3ª) Logaritmo da Potência
 Se 
, 
 e 
, então:
 
 
 Prova: 
 Fazendo 
 e 
�� EMBED Equation.DSMT4 , provemos que 
 
 
 
Exercícios
 19.Sendo 
, determine 
em função de x.
 20. A soma dos logaritmos de dois números na base 9 é 
. Determine o
 produto desses números.
 
21. Se 
 e 
, determine 
 22. Se 
, calcule o valor de 
 
 23. Se 
 e 
, calcule 
 24. Sendo 
; calcule 
 em função de 
 e 
 
.
Se 
, determine o valor de 
Determine a razão entre os logaritmos de 16 e 4 numa base qualquer.
Mudança de Base
 Há ocasiões em que logaritmos em bases diferentes precisam ser convertidos conveniente. Precisamos então da:
 Propriedade:
 Se 
 são números reais positivos e 
 e 
 diferentes de 1, então tem-se:
 
 
 
 Prova:
 
 Considere 
, 
 e 
, como 
. Provaremos que x = y/z.
 
 
�� EMBED Equation.DSMT4 
Observação:
A propriedade da mudança de base pode também ser assim apresentada:
Se 
 são números reais positivos e 
 e 
 diferentes de 1, então tem-se:
 
Prova:
Basta que passemos o 
 para a base 
 
Conseqüência da Mudança de Base:
1ª) Se 
 e 
 são reais positivos e diferentes de 1, então tem-se:
 
 Prova:
 Convertendo 
 para a base 
, temos:
 
2ª) Se 
 e 
 são reais positivos e diferentes de 1 e 
 é um real não nulo, então tem-se:
 
Prova:
Vamos considerar dois casos:
1º) Se 
, temos:
 
�� EMBED Equation.DSMT4 
2º) Se 
, temos:
 
Exercícios
Se 
 e 
 são reais e positivos, prove que: 
Se 
 e diferente de 1, prove que: 
Simplifique: 
 b) 
 c) 
 d) 
Resolva as equações;
a) 
 b) 
 c) 
 31. Uma maneira bem interessante de definir logaritmos naturais é através 
 da integral 
 
 
 com 
 Usando essa definição, prove que:
 
, 
 
 Sugestão: 
 Na última integral basta fazer a mudança 
Determine o valor de 
 em cada uma das equações abaixo:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
 33. Mostre que, se os números positivos 
 são termos de uma 
 progressão geométrica, então 
 formam uma progressão 
 aritmética.
34.Mostre que, para todo 
 tem-se:
 
35. Mostre que para todo 
 e todo 
 ( 
 racional, não-nulo )
 Tem-se:
 
 
 
 Mostre que, se 
 e 
 são positivos, então:
 
 
37.Sejam 
 números maiores do que 1. Mostre que:
 
Sejam 
 e 
 números reais positivos, com 
. Prove:
 
Função Logarítmica
Definição:
Dado um número real 
 (
), chamamos função logarítmica de base 
 a função 
 de 
 em 
 que associa a cada 
 o número 
.
Em símbolo:
 
 Exemplos:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 Propriedades
1ª) Se 
, então as funções 
 definida por 
 
 e 
 definida por 
 são inversas uma da outra.
Prova: Provaremos que 
 e 
Com efeito,
(
)
=
(
)
=
2ª) A função logarítmica 
 é crescente se 
, e decrescente se 
.
3ª) A imagem de 
 é 
, tendo em vista que 
 admite 
 inversa 
, sendo portanto 
 bijetora.
Gráfico da Função Logarítmica
O gráfico cartesiano da função logarítmica 
 (
 ) apresenta os seguintes aspectos:
1º) Está todo à direita do eixo 
 ( pois 
)
2º) Corta o eixo 
 no ponto de abscissa 1 ( tendo em vista que 
 
 Para todo 
 ).
3º) Se 
 é de uma função crescente e se 
 é de uma função 
 decrescente.
4º) É simétrico em relação à reta 
 do gráfico da função 
.
5º) Tem um dos aspectos da figura abaixo:
	
	
 
 
 
 
 e 
 
 e 
 
 Exercícios
 Sendo 
 para 
 pertencentea 
, expresse sua função inversa.
 Se 
, calcule o valor de 
 Seja 
 a função que a cada quadrado perfeito associa seu logaritmo na base 2. Se 
, determine o valor de 
 Determine o domínio das funções:
a) 
 b) 
 Determine os valores de 
, para que o domínio da função 
 dada por 
 
 seja o conjunto dos números reais.
 Esboce os gráficos das funções:
a) 
 b) 
 Resolva as equações:
a) 
 b) 
 
 46. Uma substância radioativa está em processo de desintegração, de modo 
 que no instante 
 a quantidade não desintegrada é 
 em 
 que 
 indica a quantidade de substância no instante 
. Calcule o 
 tempo necessário para que a metade da quantidade inicial se desintegre.
 Resposta: 
 
 
 
4.0. Referências
Logaritmos, E.L.Lima. Sociedade Brasileira de Matemática, RJ, 2009, 2ª 
 Edição.
2. Logaritmos, G.Iezzi, O. Dolce, C. Murakami. Fundamentos de Matemática 
 Elementar - 8ª Edição - São Paulo: Atual, 1993.
 
 3. A matemática no Ensino Médio, Vol.01, E.L.Lima. Sociedade Brasileira 
 de Matemática.
 
 
 
 
 
 
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