P2 MECANISMOS COELHO CONTEÚDO

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TÓPICO 7 – REDUTORES
EM35F – MECANISMOS - PROF. COELHO
•CLASSIFICAÇÃO
•REVISÃO DE CONCEITOS FUNDAMENTAIS
BIBLIOGRAFIA UTILIZADA:
•HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para Engenharia . vol. 2 São Paulo: Prentice 
Hall, 2005. 
•NORTON, ROBERT L. Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos. Porto Alegre: AMGH, 
2010.
•SHIGLEY, J. E.; UICKER JR., J. J.; PENNOCK, G. R. Theory of machines and 
mechanisms. 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1995.
•MABIE, H. H.; REINHOLTZ, C. F. Mechanisms and dynamics of machinery. 4ª ed. 
New York: J. Wiley, 1987.
TELECURSO 2000:
http://www.youtube.com/watch?v=RCMsTK8q0eg
http://www.youtube.com/watch?v=udn-kRpSdhQ
http://www.youtube.com/watch?v=R1Ew5HkfvQw
REDUTORES DE ENGRENAGENS
INTRODUÇÃO
PROFESSOR COELHO
CLASSIFICAÇÃO
ENGRENAGENS DE DENTES RETOS
•Pinhão e Cremalheira
PROFESSOR COELHO
CLASSIFICAÇÃO
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
•Engrenamento externo
PROFESSOR COELHO
FABRICAÇÃO DE ENGRENAGENS
http://www.youtube.com/watch?v=V9a0F3NlFrQ&feature=bf_prev&list
=PL26E08FDBB432848D
Fabricação de engrenagens cilíndricas de dentes retos – Telecurso 2000:
PROFESSOR COELHO
CLASSIFICAÇÃO
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
•Engrenamento interno
PROFESSOR COELHO
FABRICAÇÃO DE ENGRENAGENS
http://www.youtube.com/watch?v=jD94Q-
aVhKU&feature=bf_prev&list=PL26E08FDBB432848D
Processo Fellows de fabricação de engrenagens – Telecurso 2000:
PROFESSOR COELHO
•Eixos paralelos
CLASSIFICAÇÃO
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
PROFESSOR COELHO
CLASSIFICAÇÃO
•Eixos reversos
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
PROFESSOR COELHO
CLASSIFICAÇÃO
•Espinha de Peixe
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
PROFESSOR COELHO
PARAFUSO SEM-FIM E COROA
CLASSIFICAÇÃO
PROFESSOR COELHO
FABRICAÇÃO DE ENGRENAGENS
Processo Renania de fabricação de engrenagens – Telecurso 2000:
http://www.youtube.com/watch?v=-
dLi7SDK6TQ&feature=bf_prev&list=PL26E08FDBB432848D
PROFESSOR COELHO
FABRICAÇÃO DE ENGRENAGENS
PROFESSOR COELHO
CLASSIFICAÇÃO
ENGRENAGENS CÔNICAS DE DENTES RETOS
PROFESSOR COELHO
FABRICAÇÃO DE ENGRENAGENS
Processo de fabricação de engrenagens cônicas de dentes retos
Telecurso 2000:
http://www.youtube.com/watch?v=vj7EhsCsxS0&feature=bf_prev&list
=PL26E08FDBB432848D
PROFESSOR COELHO
CLASSIFICAÇÃO
(Eixos concorrentes)
ENGRENAGENS CÔNICAS ESPIRAIS
PROFESSOR COELHO
ENGRENAGENS CÔNICAS ESPIRAIS
https://www.youtube.com/watch?v=K5W-il0D1Eg
Processo de fabricação - EUROSTEC :
PROFESSOR COELHO
CLASSIFICAÇÃO
(Eixos reversos)
ENGRENAGENS CÔNICAS HIPOIDAIS
PROFESSOR COELHO
http://www.youtube.com/watch?v=4WhJqtnFqx0&feature=related
Como funciona o Diferencial:
Esta invenção é atribuída ao francês Onesiforo Pecqueur (Chefe de 
Oficina no Conservatório de Artes e Ofícios de Paris) em 1827. 
DIFERENCIAL
EXEMPLOS
PROFESSOR COELHO
Entretanto, os antigos chineses também utilizavam a redução 
diferencial antes da invenção da bússola magnética como mecanismos 
de orientação direcional.
BÚSSOLA CHINESA:
EXEMPLOS
PROFESSOR COELHO
Bússola Chinesa:
EXEMPLOS
PROFESSOR COELHO 22
REDUTORES
TRENS DE ENGRENAGENS
http://www.youtube.com/watch?v=JOLtS4VUcvQ
http://www.youtube.com/watch?v=vOo3TLgL0kM
PROFESSOR COELHO 23
Engrenagens Planeta
Engrenagem Sol
ou Engrenagem Solar
REDUTORES EPICICLOIDAIS OU 
DE ENGRENAGENS PLANETÁRIAS
Porta Planetárias
Engrenagem Anelar
ou Coroa Planetária
https://www.youtube.com/watch?v=4HPtIXlno3w
CLASSIFICAÇÃO
PROFESSOR COELHO
Com a recente descoberta do mecanismo de Anticítera, sabemos que os 
gregos utilizavam complexos redutores de engrenagens pelo menos desde 
o século I A.C. na construção de planetários.
https://www.youtube.com/watch?v=7Jy4n8QkrMA
Mecanismo de Anticítera:
https://archive.org/details/Primeiro.ComputadorOu:
Documentário History:
http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1quina_de_Antic%C3%ADtera
EXEMPLOS
PROFESSOR COELHO
http://www.harmonic-drive.com
HARMONIC-DRIVES
•Altas razões de redução em um único estágio. 50:1 até 320:1
•Construção tubular implica em alta rigidez à torção.
•Razão torque/peso melhor que os engrenamentos convencionais.
CLASSIFICAÇÃO
PROFESSOR COELHO
HARMONIC-DRIVES
PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO
A Flexspline toma uma forma elíptica quando o gerador de ondas é
inserido em sua cavidade central.
O diâmetro maior da elipse gerada é igual ao diâmetro da spline circular e
o contato é feito em dois pontos, defasados entre si de 180º.
A Flexspline possui dois dentes a menos que a spline rígida.
Uma rotação completa do gerador de ondas no sentido horário, produz
um avanço da flexpline de dois dentes, no sentido anti-horário.
PROFESSOR COELHO
•Robótica e automação industrial
•Máquinas ferramenta – CNC
•Máquinas de medição por coordenadas
APLICAÇÕES:
HARMONIC-DRIVES
PROFESSOR COELHO
HARMONIC-DRIVES
PROFESSOR COELHO
Transmissão Indireta
i = RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO
Transmissão Direta
1
2
2
1
d
d
i 


Por convenção, aplicam-se os índices ímpares aos órgãos 
acionadores e os índices pares aos acionados.
2211
21
rr
vv



É a relação entre a rotação de entrada e a rotação de saída
REVISÃO DE CONCEITOS FUNDAMENTAIS
PROFESSOR COELHO
RELAÇÕES MÚLTIPLAS DE TRANSMISSÃO
4
3
2
1




i
31
42
dd
dd
i



OU:
Como as polias 2 e 3 
pertencem ao 
mesmo eixo, ω
2 
= ω
3
4
1


i
REVISÃO DE CONCEITOS FUNDAMENTAIS
PROFESSOR COELHO 31
TRENS DE ENGRENAGENS
Relações de transmissão típicas por par de engrenagens: até 1:4
 
motoras das dentes de números dos Produto
movidas das dentes de números dos Produto
.
.
42
53
5
2


saídadeRotação
entradadeRotação
NN
NN


REVISÃO DE CONCEITOS FUNDAMENTAIS
PROFESSOR COELHO
EXERCÍCIO: 
Exercício 16.27 – HIBBELER, 10ª ed., página 255:
A operação de ‘ré’ para uma transmissão automotiva de três 
marchas está esquematizada na figura. Se o eixo G está girando 
com velocidade angular de 60 rad/s, determine a velocidade 
angular do eixo de saída H. Cada engrenagem gira em torno de 
um eixo fixo. Observe que as engrenagens A e B, C e D e E e F
estão engatadas. Os raios das engrenagens são dados na 
figura.
REVISÃO DE CONCEITOS FUNDAMENTAIS
PROFESSOR COELHO
Conversão de movimento angular para linear:
Determinar a equação para calcular a velocidade, em m/s, da 
esteira B, diretamente a partir dos valores da rotação do 
motor, dada em rpm, e do diâmetro da polia A, dada em 
metros.
REVISÃO DE CONCEITOS FUNDAMENTAIS
PROFESSOR COELHO
Qual a velocidade de subida do bloco D sabendo que o motor M 
tem rotação de 1160 rpm e o cabo que traciona o bloco D é 
enrolado em torno do tambor T? 
M
A
B
C
D
T
Dimensões:
RMOTOR = 110mm.
RA = 240mm.
RB = 130mm.
RC = 200mm.
RTAMBOR = 160mm.
M
EXERCÍCIO: 
REVISÃO DE CONCEITOS FUNDAMENTAIS
PROFESSOR COELHO
Para projetar um atuador como o da figura, dispõe-se de um
motor elétrico cuja rotação é de 1080 rpm e de engrenagens que
possuem z = 15, 20, 30, 45 ou 50 dentes. Determine a rotação do
motor e os números de dentes das engrenagens A, B, C e D que,
girando o parafuso E, cujo passo de rosca vale 5 mm, imprima ao
atuador F uma velocidade de 12 mm/s.
EXERCÍCIO:
REVISÃO DE CONCEITOS FUNDAMENTAIS
TÓPICO 8 – ENGRENAGENS 
EVOLVENTAIS MODULARES•LEI DO ENGRENAMENTO
•PERFIL EVOLVENTE
•LINHA DE PRESSÃO
•DIMENSÕES PRINCIPAIS
•FATOR DE CONTATO
•DESENHO DE DENTES EVOLVENTAIS
BIBLIOGRAFIA UTILIZADA:
•SHIGLEY, J. E.; UICKER JR., J. J.; PENNOCK, G. R. Theory of machines and 
mechanisms. 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1995.
•MABIE, H. H.; REINHOLTZ, C. F. Mechanisms and dynamics of machinery. 4ª ed. 
New York: J. Wiley, 1987.
EM35F – MECANISMOS - PROF. COELHO
PROFESSOR COELHO
LEI DO ENGRENAMENTO
PROFESSOR COELHO
PERFIL EVOLVENTE
PROFESSOR COELHO
PERFIL EVOLVENTE
https://www.youtube.com/watch?v=2ym6nRYExUQ
PROFESSOR COELHO
PERFIL EVOLVENTE
PROFESSOR COELHO
PERFIL EVOLVENTE
PROFESSOR COELHO
PERFIL EVOLVENTE
https://www.youtube.com/watch?v=aLYfl-vfA1s
PROFESSOR COELHO
Perfil Evolvente:
https://www.youtube.com/watch?v=XTr3-
C8JThI&ebc=ANyPxKq5VkheIfOYuxGbLNrK2IbQNh5xltLFKSHApfdmz8
CZkJH5oFkz1g7WgPQMqXuUQrYMNEXZXtumJI9HGNP1eFS1L5NQ2w
https://www.youtube.com/watch?v=rh2EIU8Vhpg
CURVA EVOLVENTE
Métodos de Traçado:
https://www.youtube.com/watch?
v=1YBn1Qt17D0&ebc=ANyPxKq5VkheIfOYuxGbLNrK2IbQNh5xltLFKSH
Apfdmz8CZkJH5oFkz1g7WgPQMqXuUQrYMNEXZXtumJI9HGNP1eFS1
L5NQ2w
PROFESSOR COELHO
Do triângulo OAT:
ρ = rb tg φ 
CURVA EVOLVENTE
Igualando ambas, resulta: 
tgφ = α + φ 
 α = tgφ - φ
Do valor do segmento AB: 
ρ = rb (α + φ) (Radianos )
Chamando α de ev φ:
 ev φ = tgφ – φ (Radianos )
r = rb /cos φ 
Equacionamento analítico:
PROFESSOR COELHO
ÂNGULO DE PRESSÃO
PROFESSOR COELHO
LINHA DE PRESSÃO
PROFESSOR COELHO
MÓDULO
módulo=
Dp
z
m=
(D p)3
50
m=
(D p)2
20
m=m2=m3
PROFESSOR COELHO
MÓDULOS PADRONIZADOS
MÓDULO
PROFESSOR COELHO
DIÂMETRO PRIMITIVO
módulo=
Dp
z
Dp=m⋅z
Da equação:
Resulta:
PROFESSOR COELHO
PASSO
passo=
π⋅Dp
z
passo=π⋅m⋅zz
passo=π⋅m
Dp=m⋅z
pb
α
pb=p⋅cosα
p
p
PROFESSOR COELHO
EXERCÍCIOS:
 Um sistema pinhão e cremalheira de módulo 8, acionado com 
rotação de 75 rpm por um moto-redutor, move um portão elétrico. 
Determinar o número de dentes do pinhão para que a velocidade 
do portão fique mais próxima possível de 0,5m/s.
v=π⋅d⋅n60
d p=m×z
Respostas:
Dp ~= 0,1273m
ou 127,3 mm.
z = 16
(z só pode ser n° inteiro) 
 
PROFESSOR COELHO
DIMENSÕES PRINCIPAIS
Flanco
Crista ou Topo
Face
Vale ou Fundo
Comprimento
Passo Circular
Adendo
Dedendo
Circunferência de 
Topo ou de 
Cabeça do Dente
Circunferência 
Interna ou de 
Raiz do Dente
Circunferência 
Primitiva
Circunferência 
de BasePasso de Base
Vão 
do 
DenteEspessura do Dente
Folga
PROFESSOR COELHO
DIMENSÕES PRINCIPAIS
d p=m×z
p=π×m
a=m
e= p2
b=(1+ 16)m
f=16 m
db=d p×cos α
de=d p+2×m
d i=d p−2(1+ 16)×m
l≈8×m
pb=p×cos α
v= p2
Flanco
Crista
Face
Vale
PROFESSOR COELHO
DISTÂNCIA ENTRE-CENTROS
Distância Entre - Centros (EC):
EC=
Dp 2+D p3
2
PROFESSOR COELHO
DISTÂNCIA ENTRE-CENTROS
Distância Entre - Centros:
EC=
Dp 2+D p3
2
Calcule o módulo de um par de engrenagens onde z1= 36; 
z2=80 e a distância entre centros é 580 mm.
Resposta:
m = 10 mm.
PROFESSOR COELHO
Item a) Um par de engrenagens cilíndricas de dentes 
retos possui relação de transmissão igual a 5:2; módulo 12 e 
ângulo de pressão 20°. Calcular o passo, número de dentes, 
diâmetros primitivos, externos, internos e de base de cada 
engrenagem, para uma distância entre centros de 294 mm.
z1 = 14 dentes
z2 = 35 dentes
Dp1 = 168 mm.
Dp2 = 420 mm. 
De1 = 192 mm.
De2 = 444 mm. 
Di1 = 140 mm.
Di2 = 392 mm. 
Db1 = 157,87 mm.
Db2 = 394,67 mm. 
Respostas:
p = 37,7 mm.
Item b) Calcule o fator de contato entre as engrenagens.
Fc=
[√(R3+a)2−(R3cos φ)2−R3sen φ]+[√ (R2+a)2−(R2cosφ)2−R2 senφ ]
p cosφ
Item c) Faça um desenho deste engrenamento.
EXERCÍCIOS:
Resposta:
FC = 1,5744
PROFESSOR COELHO
DESENHO DO PERFIL DO DENTE
PROFESSOR COELHO
FATOR DE CONTATO
Fator de contato mc:
CD=CP+PD
pb=p⋅cosφ
PROFESSOR COELHO
FATOR DE CONTATO
Fc=
[√(R3+a)2−(R3cos φ)2−R3sen φ]+[√ (R2+a)2−(R2cosφ)2−R2 senφ ]
p cosφ
Fc=
CD
passobase
Recomenda-se um fator de contato no mínimo igua à 1,4 ou, em casos extremos, 1,2.
CD=CP+PD
pb=p⋅cosφ
Fc=
CP+PD
p⋅cosφ
PROFESSOR COELHO
Bibliografia de referência:
•NORTON, ROBERT L. Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos. 
Porto Alegre: AMGH, 2010.
•SHIGLEY, J. E.; UICKER JR., J. J.; PENNOCK, G. R. Theory 
of machines and mechanisms. 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1995.
•MABIE, H. H.; REINHOLTZ, C. F. Mechanisms and dynamics of 
machinery. 4ª ed. New York: J. Wiley, 1987.
TÓPICO 9 – INTERFERÊNCIA
BIBLIOGRAFIA UTILIZADA:
•MAZZO, NORBERTO. Engrenagens cilíndricas: da concepção à fabricação. São 
Paulo: Edgard Blücher, 2013.
•SHIGLEY, J. E.; UICKER JR., J. J.; PENNOCK, G. R. Theory of machines and
mechanisms. 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1995.
•MABIE, H. H.; REINHOLTZ, C. F. Mechanisms and dynamics of machinery. 4ª ed. 
New York: J. Wiley, 1987.
EM35F – MECANISMOS - PROF. COELHO
•CAUSA
•IDENTIFICAÇÃO
•SOLUÇÕES
- REBAIXAMENTO DOS DENTES
- NÚMERO MÍNIMO DE DENTES PARA EVITAR INTERFERÊNCIA
- ENGRENAMENTOS CORRIGIDOS
PROFESSOR COELHO
INTERFERÊNCIA
https://www.youtube.com/watch?v=NGrkOqpjcvY
CAUSA DA INTERFERÊNCIA
PROFESSOR COELHO
INTERFERÊNCIA
PROFESSOR COELHO
INTERFERÊNCIA
PROFESSOR COELHO
INTERFERÊNCIA
PROFESSOR COELHO
INTERFERÊNCIA
PROFESSOR COELHO
INTERFERÊNCIA
PROFESSOR COELHO
INTERFERÊNCIA
PROFESSOR COELHO
INTERFERÊNCIA
PROFESSOR COELHO
INTERFERÊNCIA
PROFESSOR COELHO
INTERFERÊNCIA
PROFESSOR COELHO
INTERFERÊNCIA
IDENTIFICAÇÃO 
DA INTERFERÊNCIA
PROFESSOR COELHO
REBAIXAMENTO DE PERFIL
INTERFERÊNCIA
SOLUÇÕES
PROFESSOR COELHO
VARIAÇÃO DA DISTÂNCIA ENTRE-CENTROS
SOLUÇÕES
PROFESSOR COELHO
SOLUÇÕES
AB = linha de pressão
CD = linha de contato
Para não haver interferência o segmento CD deve ser interno ao AB.
NÚMERO MÍNIMO 
DE DENTES PARA 
EVITAR 
INTERFERÊNCIA
PROFESSOR COELHO
2222 senECRR coroadabasecoroadaexterno 
N° MÍNIMO DE DENTES PARA EVITAR INTERFERÊNCIA
Tomando AB=CD:
PROFESSOR COELHO
 222 senECRR coroadabasecoroadaexterno 
pcpp RREC 
aRR pcec 
Onde:
Resumindo para:
    222 senRRRaR pcppbcpc 
coroadaprimitivopinhãodoprimitivo RREC 
coroadacabeçacoroadaprimitivocoroadaexterno hRR 
E, fazendo as substituições, fica:
N° MÍNIMO DE DENTES PARA EVITAR INTERFERÊNCIA
PROFESSOR COELHO
    2222 senRRRaR pcppbcpc 
     222222 2cos2 senRRRRRaaRR pcpcpppppcpcpc 
 222222222 2cos2 senRsenRRsenRRaaRR pcpcpppppcpcpc 
222222222 2cos2 asenRRsenRsenRRRaR pcpppppcpcpcpc  
222222 22 asenRRsenRRRaR pcpppppcpcpc  
222222 22 asenRsenRRRaRR pppcpppcpcpc  
222222 asenRsenRRRa pppcpppc  
  22222 asenRsenRaR pppppc  
cos pccoroadabasebc RRR
Onde:
N° MÍNIMO DE DENTES PARA EVITAR INTERFERÊNCIA
PROFESSOR COELHO
mkha coroadacabeça 
Onde:
2
c
pc
Nm
R


2
p
pp
Nm
R


Assim:
 

2
222
2 senRa
asenR
R
pp
pp
pc



 














 




2
22
2
2
2
2
2
sen
Nm
mk
mksen
Nm
Nm
p
p
c
N° MÍNIMO DE DENTES PARA EVITAR INTERFERÊNCIA
PROFESSOR COELHO














2
222
22
2
4
sen
Nmmk
mksen
Nm
Nm
p
p
c
222
22
2
42
mksen
Nm
sen
Nm
mkNm
pp
c 









 
222
22
2
2
2
42
mksen
Nm
sen
NNm
Nmk
pcp
c




 
22
2
2
42
ksen
N
sen
NN
Nk
pcp
c 

 
2222 424 ksenNsenNNNk pcpc  
N° MÍNIMO DE DENTES PARA EVITAR INTERFERÊNCIA
PROFESSOR COELHO
O objetivo é deduzir uma equação que não dependa do número N
c
de 
dentes da coroa, mas apenas da relação de transmissão i = N
c 
/ N
p 
:
 
2
2
4
2
sen
kNik
NiNN
p
ppp


pc NiN 
22222 442 kNikseniNsenN ppp  
  222 4421 kNiksenNi pp  
  222 442 kNksenNNN ccpp  
 
2
2 42
sen
kNk
NNN ccpp


N° MÍNIMO DE DENTES PARA EVITAR INTERFERÊNCIA
 2222 244 senNNsenNkNk cppc 
PROFESSOR COELHO
   222 4421 kNikseniN pp  
Com a finalidade de agilizar os próximos passos, far-se-á:
  Yseni  221
Ficando então a equação:
22 44 kNikYN pp 
Resolvendo a equação para N
p
:
22 44 kNikYN pp 
Y
k
Y
Nik
Y
YN pp
22 44 




N° MÍNIMO DE DENTES PARA EVITAR INTERFERÊNCIA
PROFESSOR COELHO
Y
k
Y
Nik
N
p
p
2
2 44 


222
2 24222 




 







 



Y
ik
Y
k
Y
ik
Y
ik
NN pp
222 242





 







 

Y
ik
Y
k
Y
ik
N p
22 242





 





Y
ik
Y
k
Y
ik
N p
2
222 442
Y
ik
Y
k
Y
ik
N p






N° MÍNIMO DE DENTES PARA EVITAR INTERFERÊNCIA
PROFESSOR COELHO









Y
i
YY
i
N p
2
1
42
2
2
2
1
2
1
2
Y
i
Y
k
Y
ikN p 
2
2
2
2
1
2
Y
iY
k
Y
ikN p


2
2
2
2
2
Y
iY
k
Y
ik
N p




N° MÍNIMO DE DENTES PARA EVITAR INTERFERÊNCIA











Y
i
Y
k
Y
ik
N p
22
1
42
PROFESSOR COELHO
Y
Yi
k
Y
ik
N p




2
2
2
 Yii
Y
k
N p 

 2
2
 
  
22
2
21
21
2
seniii
seni
k
N p 



Substituindo novamente o valor de Y por:
  221 seniY 
Vem, finalmente:
N° MÍNIMO DE DENTES PARA EVITAR INTERFERÊNCIA
PROFESSOR COELHO
ksenN
senNk
N
p
p
c
42
4
2
222





Cálculo de Nc
Resultando em:
Partindo da já desenvolvida anteriormente equação:
É fácil isolar Nc:
N° MÍNIMO DE DENTES PARA EVITAR INTERFERÊNCIA
 
2
2 42
sen
kNk
NNN ccpp


 kNksenNNsenN ccpp  42
222 
2222 442 kNksenNNsenN ccpp  
 2222 442 senNkNksenNN pccp 
   2222 442 senNkksenNN ppc 
PROFESSOR COELHO
c
p
p
N
senNk
ksenN

222
2
4
42


Cálculo de Nc
Analisando a equação anterior na forma:
N° MÍNIMO DE DENTES PARA EVITAR INTERFERÊNCIA
É possível notar que se o número de dentes da coroa tende ao 
infinito, ela se torna uma cremalheira, bem como:
042 2  ksenN p 
2
2
sen
k
N p


Essa equação permite dizer que para um ângulo de pressão 
de 20°, não haverá número máximo de dentes para que, mesmo sem 
correção, uma coroa engrene com um pinhão com 17 ou mais dentes 
sem interferência.
PROFESSOR COELHO
ENGRENAGENS DENTES RETOS
 
  117,021
117,021
2 2 

 iii
i
N mínP
117,024
4117,02



P
P
máxC
N
N
N
Para valores de k = 1 e ø = 20º podemos simplificar as equações 
por:
PROFESSOR COELHO
EXERCÍCIO: 
4 - Determinar o maior valor do módulo, de que pode ser 
fabricado sem que haja interferência, um par de engrenagens 
cilíndricas de dentes retos, com distância entre centros 160mm 
e relação de transmissão 3/2.
FORMULÁRIO:
N° MÍNIMO DE DENTES PARA EVITAR INTERFERÊNCIA
Respostas: Npmínimo=14; Ncmáximo=26; m = 9 mm.
 
  
22
2
21
21
2
seniii
seni
k
N mínP 





2
222
24
4
senNk
ksenN
N
P
P
máxC



P
C
N
N
d
d
i 
2
1
1
2


PROFESSOR COELHO
ENGRENAGENS HELICOIDAIS



cos
pn
pt  cos
n
t
m
m 
PROFESSOR COELHO
•Número mínimo de dentes do pinhão para evitar 
interferência:
•Número máximo de dentes da coroa:
ENGRENAGENS HELICOIDAIS
 
  
 22
2
21
21
cos2
seniii
seni
k
N mínP 





2
222
2cos4
cos4
senNk
ksenN
N
P
P
máxC



PROFESSOR COELHO
ENGRENAGENS DENTES RETOS
 
  117,021
117,021
cos2 2 


 iii
i
N mínP

117,024
cos4117,02



P
P
máxC
N
N
N

Para valores de k = 1 e ø = 20º podemos simplificar as equações 
por:
PROFESSOR COELHO
Bibliografia de referência:
•NORTON, ROBERT L. Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos. 
Porto Alegre: AMGH, 2010.
•SHIGLEY, J. E.; UICKER JR., J. J.; PENNOCK, G. R. Theory 
of machines and mechanisms. 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1995.
•MABIE, H. H.; REINHOLTZ, C. F. Mechanisms and dynamics of 
machinery. 4ª ed. New York: J. Wiley, 1987.
TÓPICO 10 – ENGRENAGENS
HELICOIDAIS, CÔNICAS E SEM-FIM
•ENGRENAGENS HELICOIDAIS
•ENGRENAGENS CÔNICAS
•PARAFUSO SEM-FIM E COROA
BIBLIOGRAFIA UTILIZADA:
•SHIGLEY, J. E.; UICKER JR., J. J.; PENNOCK, G. R. Theory of machines and 
mechanisms. 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1995.
•MABIE, H. H.; REINHOLTZ, C. F. Mechanisms and dynamics of machinery. 4ª ed. 
New York: J. Wiley, 1987.
EM35F – MECANISMOS - PROF. COELHO
PROFESSOR COELHO
zmd p 
mdd pe  2
mdd pi  167,12
cos pb dd2
21 pp dd
EC


       


cos
coscos 2
2
2
2
23
2
3
2
3
p
senRRaRsenRRaR
FC



 



 

 
   222 2121
2
senmmm
senm
k
N GGG
G
mínP 





2
222
24
4
senNk
ksenN
N
P
P
máxC



normaissengrenagenparak 1
rebaixadassengrenagenparak 8,0
P
C
G
N
N
m 
z
d
p
p
circular


2
circular
dente
p
e 
2
1
1
2



d
d
i
FORMULÁRIO:
REVISÃO:
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
PROFESSOR COELHO
 
  117,021
117,021
2 2 

 iii
i
N mínP
117,024
4117,02



P
P
máxC
N
N
N
P
C
N
N
i 
Para valores de k = 1 e ø = 20º podemos simplificar as equações 
por:
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
REVISÃO:
PROFESSOR COELHO
ENGRENAGENS HELICOIDAIS



cos
pn
pt 
PROFESSOR COELHO
•Número mínimo de dentes do pinhão para evitar 
interferência:
•Número máximo de dentes da coroa:
ENGRENAGENS HELICOIDAIS
PROFESSOR COELHO
ENGRENAGENS DENTES RETOS
 
  117,021
117,021
cos2 2 


 iii
i
N mínP

117,024
cos4117,02



P
P
máxC
N
N
N

P
C
N
N
i 
Para valores de k = 1 e ø = 20º podemos simplificar as equações 
por:
PROFESSOR COELHO
ENGRENAGENS HELICOIDAIS
EXERCÍCIOS - pág.294 Shigley, versão em português:
Np=18 ou 19ou ; Nc=33 ou 34
PROFESSOR COELHO
ENGRENAGENS HELICOIDAISEXERCÍCIOS - pág.294 Shigley, versão em português:
PROFESSOR COELHO
COROA E SEM-FIM
filetesdenpassoavanço 
ppd
avanço
tg





passoz
d cpc


PROFESSOR COELHO
EXERCÍCIOS - pág.295 Shigley, versão em português:
COROA E SEM-FIM
PROFESSOR COELHO
ENGRENAGENS CÔNICAS
32  
PROFESSOR COELHO
ENGRENAGENS CÔNICAS
PROFESSOR COELHO
ENGRENAGENS CÔNICAS





















 
cos
2
3
1
2
r
r
sen
tg
23  
PROFESSOR COELHO
ENGRENAGENS CÔNICAS
PROFESSOR COELHO
ENGRENAGENS CÔNICAS
PROFESSOR COELHO
ENGRENAGENS CÔNICAS
EXERCÍCIOS - pág.295 Shigley, versão em português:
PROFESSOR COELHO
Bibliografia de referência:
•NORTON, ROBERT L. Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos. 
Porto Alegre: AMGH, 2010.
•SHIGLEY, J. E.; UICKER JR., J. J.; PENNOCK, G. R. Theory 
of machines and mechanisms. 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1995.
•MABIE, H. H.; REINHOLTZ, C. F. Mechanisms and dynamics of 
machinery. 4ª ed. New York: J. Wiley, 1987.
BIBLIOGRAFIA ADOTADA:
NORTON, Robert L.
Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos
TÓPICO 11 - CAMES
ME36P – MECANISMOS - PROF. COELHO
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:
MABIE, Hamilton H.
Mechanisms and Dynamics of Mchinery
PROFESSOR COELHO
CAMES
PROFESSOR COELHO
CAMES E SEGUIDORES
CAMES E SEGUIDORES
PROFESSOR COELHO
SEGUIDORES
CAMES E SEGUIDORES
TRANSLAÇÃO
E
ROTAÇÃO
PROFESSOR COELHO
CAMES E SEGUIDORES
PROFESSOR COELHO
CAMES E SEGUIDORES
PROFESSOR COELHO
SEGUIDORES
PROFESSOR COELHO
PROFESSOR COELHO
PROFESSOR COELHO
CURVAS DE DESLOCAMENTO
CURVAS DE DESLOCAMENTO
CURVAS DE DESLOCAMENTO
CURVAS DE DESLOCAMENTO
CURVAS DE DESLOCAMENTO
PROFESSOR COELHO 15
CURVAS DE DESLOCAMENTO
PROFESSOR COELHO 16
CURVAS DE DESLOCAMENTO
PROFESSOR COELHO 17
CURVAS DE DESLOCAMENTO
PROFESSOR COELHO
CURVAS DE DESLOCAMENTO
PROFESSOR COELHO
CURVAS DE DESLOCAMENTO
PROFESSOR COELHO
CURVAS DE DESLOCAMENTO
PROFESSOR COELHO
CURVAS DE DESLOCAMENTO, VELOCIDASDE ACELERAÇÃO E PULSO
PROFESSOR COELHO
CAMES E SEGUIDORES
CURVAS DE DESLOCAMENTO, VELOCIDASDE ACELERAÇÃO E PULSO
PROFESSOR COELHO
Figura 8-9
Exemplo 8-2:
Movimento 
Harmônico Simples
Figura 8-12
Exemplo 8-3:
Movimento 
Cicloidal
Figura 8-25
Exemplo 8-5:
Movimento 
Polinomial
CURVAS DE DESLOCAMENTO, VELOCIDASDE ACELERAÇÃO E PULSO
PROFESSOR COELHO
MOVIMENTO UNIFORME
PROFESSOR COELHO
MOVIMENTO PARABÓLICO
PROFESSOR COELHO
MOVIMENTO HARMÔNICO
PROFESSOR COELHO
MOVIMENTO CICLOIDAL
PROFESSOR COELHO
Deslocamento:
PROFESSOR COELHO
Velocidade:
PROFESSOR COELHO
Aceleração:
PROFESSOR COELHO
Pulso:
PROFESSOR COELHO
PROFESSOR COELHO
PROFESSOR COELHO
PROFESSOR COELHO
PROFESSOR COELHO
PROFESSOR COELHO
BIBLIOGRAFIA ADOTADA:
NORTON, Robert L.
Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos
TÓPICO 12 - PLANETÁRIAS
ME36P – MECANISMOS - PROF. COELHO
PROFESSOR COELHO 2
Engrenagens Planeta
Engrenagem Sol
ou Engrenagem Solar
ENGRENAGENS EPICICLOIDAIS 
OU PLANETÁRIAS
Porta Planetárias
Engrenagem Anelar
ou Coroa Planetária
PROFESSOR COELHO
http://www.youtube.com/watch?v=4WhJqtnFqx0&feature=related
Como funciona o Diferencial:
EXEMPLOS
DIFERENCIAL
PROFESSOR COELHO
EXEMPLOS
TRANSMISSÕES AUTOMÁTICAS
PROFESSOR COELHO
MÉTODO DA TABULAÇÃO
PROFESSOR COELHO
EXEMPLO 9-5, NORTON, pág. 506:
MÉTODO DA TABULAÇÃO
PROFESSOR COELHO
ENGRENAGENS EPICICLOIDAIS OU PLANETÁRIAS
MÉTODO DA TABULAÇÃO
Consiste na criação de uma tabela que represente a equação:
braçoengrenagembraçoengrenagem / 
Para cada engrenagem da transmissão:
PROFESSOR COELHO
EXEMPLO 9-5, NORTON, pág. 506:
Determinar a velocidade angular absoluta de saída da engrenagem anelar:
Engrenagem solar: N2 = 40 dentes – engrenagem externa
Entrada pela engrenagem solar: 100 rpm, sentido horário
Entrada pelo braço: 200 rpm, sentido horário
Engrenagem anelar: N4 = 80 dentes – engrenagem interna
Engrenagem planetária: N3 = 20 dentes – engrenagem externa
PROFESSOR COELHO
EXEMPLO 9-5, NORTON, pág. 506:
braço braçoengr/engr
Engrenagem
otransmissã
delaçãoRe
PROFESSOR COELHO
braço braçoengr/engr
Engrenagem
otransmissã
delaçãoRe
200
200
100
20/40
80/20
200
2
4
3
1: A tabela é feita com uma coluna para cada
termo da velocidade relativa;
2: Faz-se uma linha para cada engrenagem,
preferencialmente na ordem em que ocorre a
transmissão de movimento;
3: A coluna da relação de transmissão é
colocada à direita conectando as linhas das
engrenagens à que se refere;
4: Colocam-se na tabela os dados de entrada;
5: A rotação do braço é colocada em todas as
colunas;
MÉTODO DA TABULAÇÃO
EXEMPLO 9-5, NORTON, pág. 506:
PROFESSOR COELHO
EXEMPLO 9-5, NORTON, pág. 506:
braço braçoengr/engr
Engrenagem
otransmissã
delaçãoRe
200
200
100
20/40
80/20
200
2
4
3
100
200
6: Tendo as duas entradas na linha da
engrenagem 2, ωengr/braço é calculado pela
equação da velocidade relativa;
7: Calcula-se ωengr/braço da engrenagem 3
usando a fórmula da relação de transmissão;
PROFESSOR COELHO
EXEMPLO 9-5, NORTON, pág. 506:
braço braçoengr/engr
Engrenagem
otransmissã
delaçãoRe
200
200
100
20/40
80/20
200
2
4
3
100
200400
8: Calcula-se ωengr da engrenagem 3 usando a
equação da velocidade relativa;
PROFESSOR COELHO
EXEMPLO 9-5, NORTON, pág. 506:
braço braçoengr/engr
Engrenagem
otransmissã
delaçãoRe
200
200
100
20/40
80/20
200
2
4
3
100
200400
50
9: Calcula-se ωengr/braço da engrenagem 4
usando a fórmula da relação de transmissão;
PROFESSOR COELHO
EXEMPLO 9-5, NORTON, pág. 506:
braço braçoengr/engr
Engrenagem
otransmissã
delaçãoRe
200
200
100
20/40
80/20
200
2
4
3
100
200400
50250
10: Calcula-se ωengr da engrenagem 4 usando
a equação da velocidade relativa;
PROFESSOR COELHO
EXERCÍCIO:
braço braçoengr/engr
Engrenagem
otransmissã
delaçãoRe
n
n
300
n
2
4
3
0
A transmissão da figura possui o seguinte 
número de dentes e condições iniciais.
Engrenagem solar: N2 = 40 dentes – engr. externa
Entrada pela engrenagem solar: 300 rpm, sent. horário
Engrenagem anelar: N4 = 80 dentes – engr. interna
Engrenagem planetária: N3 = 20 dentes – engr. externa
Determinar a rotação n de saída do braço e 
completar o restante da tabela.
Entrada pela engrenagem anelar: 0 rpm.
20/40
80/20
PROFESSOR COELHO
EXERCÍCIO:
braço braçoengr/engr
Engrenagem
otransmissã
delaçãoRe
n
n
300
n
2
4
3
0
2
25,0
Mantendo n literal ao utilizar o método da
tabulação para encontrar a rotação do braço:
300n
6002 n
1505,0 n
rpmn
n
100
1505,10


A última linha fica uma equação definida:
PROFESSOR COELHO
EXERCÍCIO:
braço braçoengr/engr
Engrenagem
otransmissã
delaçãoRe
100
100
300
100
2
4
3
0
2
25,0
Resultando:
200
400
100
300
PROJETO:
Projetar uma 
planetária com uma 
das 12 
configurações de 
Levai.
Apresentaruma 
simulação de 
movimento feita no 
SolidWorks e o valor 
da redução 
calculado pelo 
método da 
tabulação.
PROFESSOR COELHO
AS 12 CONFIGURAÇÕES POSSÍVEIS SEGUNDO LEVAI:
PROFESSOR COELHO
TRANSMISSÃO POR PLANETÁRIAS
https://www.youtube.com/watch?v=Y1zbE21Pzl0
http://www.youtube.com/watch?v=SrkzaQRDtuM
CÂMBIO AUTOMÁTICO
ACOPLAMENTO FLUÍDO
http://www.youtube.com/watch?v=xm8EHTTNPEg
PROFESSOR COELHO
Bibliografia de referência:
•NORTON, ROBERT L. Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos. 
Porto Alegre: AMGH, 2010.
•SHIGLEY, J. E.; UICKER JR., J. J.; PENNOCK, G. R. Theory 
of machines and mechanisms. 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1995.
•MABIE, H. H.; REINHOLTZ, C. F. Mechanisms and dynamics of 
machinery. 4ª ed. New York: J. Wiley, 1987.
PROFESSOR COELHO
CAMES
1 – Analisar a interferência em um engrenamento cilíndrico de 
dentes retos de módulo=10 mm, z1=11 e z2=37 dentes e 
determinar as medidas para eliminá-la: 
a) Pela diminuição da altura da cabeça de dente, e
b) Aumentando a distância Entre-centros.
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
PROFESSOR COELHO
CAMES
Determinar também a largura 
mínima que a face plana deve ter
2 - Construir uma curva de deslocamento cicloidal conforme 
a figura abaixo pelo método gráfico e o perfil do cames para 
executá-la em uma montagem excêntrica com seguidor de 
face plana:
BIBLIOGRAFIA:
MABIE, Hamilton H.; REINHOLTZ, Charles F. Mecanismos. 2ª 
ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1980.
NORTON, Robert L. Cinemática e Dinâmica dos 
Mecanismos. Porto Alegre: AMGH, 2010.
SHIGLEY, Joseph Edward. Cinemática dos Mecanismos. 
São Paulo: Editora Edgard Blücher, 1970.
TÓPICO 13 – EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
PARA A 2ª AVALIAÇÃO TEÓRICA
ME36P – MECANISMOS - PROF. COELHO
PROFESSOR COELHO
REVISÃO:
zmd p 
mdd pe  2
mdd pi  167,12
cos pb dd2
21 pp dd
EC


       


cos
coscos 2
2
2
2
23
2
3
2
3
p
senRRaRsenRRaR
FC



 



 

 
   222 2121
2
senmmm
senm
k
N GGG
G
mínP 





2
222
24
4
senNk
ksenN
N
P
P
máxC



normaissengrenagenparak 1
rebaixadassengrenagenparak 8,0
P
C
G
N
N
m 
z
d
p
p
circular


2
circular
dente
p
e 
2
1
1
2



d
d
i
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS:
PROFESSOR COELHO
ENGRENAGENS HELICOIDAIS



cos
pn
pt cos
n
t
m
m 
cos
n
t
p
p 
PROFESSOR COELHO
•Número mínimo de dentes do pinhão para evitar 
interferência:
•Número máximo de dentes da coroa:
ENGRENAGENS HELICOIDAIS
 
  



 


  222 2121 cos2 senmmmsenmkN GGGGmínP
P
C
G
N
N
m 
Onde:


2
222
2cos4
cos4
senNk
ksenN
N
P
P
máxC



PROFESSOR COELHO
ENGRENAGENS DENTES RETOS
 
  117,021
117,021
cos2 2 


 iii
i
N mínP

117,024
cos4117,02



P
P
máxC
N
N
N

P
C
G
N
N
mi 
Para valores de k = 1 e ø = 20º podemos simplificar as equações 
por:
PROFESSOR COELHO
EXERCÍCIOS DE REVISÃO: 
1. Projetar um par de engrenagens helicoidais de módulo 9 e 
ângulo de hélice de 18º para que fiquem com uma relação de 
transmissão próxima a 1,95 e distância entre centros de 
aproximadamente 265mm. Recalcular a relação de transmissão e 
a distância entre centros do par de engrenagens escolhido.
PROFESSOR COELHO
COROA E SEM-FIM
filetesdenpassoavanço 
ppd
avanço
tg





passoz
d cpc


PROFESSOR COELHO
EXERCÍCIOS DE REVISÃO: 
2. Projetar uma redução por parafuso sem fim e coroa com um 
parafuso de 3 entradas, ângulo de avanço 15º, módulo 6 e 
relação de transmissão 12. Determinar os valores do passo, dos 
diâmetros primitivos e da distância entre centros.
3. Um parafuso de 2 entradas move uma coroa de 30 dentes. O 
passo axial é 15,0 mm e o diâmetro primitivo do parafuso, 50,0 
mm. Determinar o ângulo de avanço e o diâmetro primitivo da 
coroa. 
PROFESSOR COELHO
ENGRENAGENS CÔNICAS








cos
2
3
2
r
r
sen
tg
32  
PROFESSOR COELHO
EXERCÍCIOS DE REVISÃO: 
4. Quais os ângulos primitivos de um par de engrenagens 
cônicas de eixos perpendiculares que possuem z1 = 23 e z2 = 
55 dentes?
5. Demonstre a fórmula para a obtenção do ângulo de cone 
para engrenamentos cônicos com eixos formando um ângulo 
diferente de 90º
6. Um par de engrenagens cônicas de dentes retos deve ser 
montado com ângulo de eixos 120°. O pinhão e a roda devem 
ter 15 e 33 dentes respectivamente. Calcular os ângulos 
primitivos.
PROFESSOR COELHO
braço braçoengr/engr
Engrenagem
otransmissã
delaçãoRe
200
200
100
20/40
80/20
200
2
4
3
1: A tabela é feita com uma coluna para cada
termo da velocidade relativa;
2: Faz-se uma linha para cada engrenagem,
preferencialmente na ordem em que ocorre a
transmissão de movimento;
3: A coluna da relação de transmissão é
colocada à direita conectando as linhas das
engrenagens à que se refere;
4: Colocam-se na tabela os dados de entrada;
5: A rotação do braço é colocada em todas as
colunas;
PLANETÁRIAS
MÉTODO DA TABULAÇÃO
PROFESSOR COELHO
EXEMPLO 9-5, NORTON, pág. 506:
braço braçoengr/engr
Engrenagem
otransmissã
delaçãoRe
200
200
100
20/40
80/20
200
2
4
3
100
200
6: Tendo as duas entradas na linha da
engrenagem 2, ωengr/braço é calculado pela
equação da velocidade relativa;
7: Calcula-se ωengr/braço da engrenagem 3
usando a fórmula da relação de transmissão;
PROFESSOR COELHO
EXEMPLO 9-5, NORTON, pág. 506:
braço braçoengr/engr
Engrenagem
otransmissã
delaçãoRe
200
200
100
20/40
80/20
200
2
4
3
100
200400
8: Calcula-se ωengr da engrenagem 3 usando a
equação da velocidade relativa;
PROFESSOR COELHO
EXEMPLO 9-5, NORTON, pág. 506:
braço braçoengr/engr
Engrenagem
otransmissã
delaçãoRe
200
200
100
20/40
80/20
200
2
4
3
100
200400
50
9: Calcula-se ωengr/braço da engrenagem 4
usando a fórmula da relação de transmissão;
PROFESSOR COELHO
EXEMPLO 9-5, NORTON, pág. 506:
braço braçoengr/engr
Engrenagem
otransmissã
delaçãoRe
200
200
100
20/40
80/20
200
2
4
3
100
200400
50250
10: Calcula-se ωengr da engrenagem 4 usando
a equação da velocidade relativa;
PROFESSOR COELHO
EXERCÍCIOS
braço braçoengr/engr
Engrenagem
otransmissã
delaçãoRe
100
100
300
100
2
4
3
0
8. A transmissão da figura possui o seguinte 
número de dentes e condições iniciais.
Engrenagem solar: N2 = 40 dentes – engr. externa
Entrada pela engrenagem solar: 300 rpm, sent. horário
Engrenagem anelar: N4 = 80 dentes – engr. interna
Engrenagem planetária: N3 = 20 dentes – engr. externa
Determinar a velocidade angular absoluta de saída 
do braço e completar o restante da tabela.
Entrada pela engrenagem anelar: 0 rpm.
20/40
80/20
PROFESSOR COELHO
Engrenagem planeta:
15 dentes
Engrenagem sol:
40 dentes
Engrenagem anelar:
70 dentes
Porta Planetárias
LISTA DE EXERCÍCIOS: 
8. Aplique o método da tabulação no redutor planetário da 
figura para determinar sua relação de transmissão: a) Para 
quando a engrenagem anelar for a fixa; b) quando o anelporta planetárias for fixo.
PROFESSOR COELHO
EXERCÍCIO:
Problema 9-25 NORTON, pg: 525 Para as linhas dadas encontre as 
variáveis representadas pelos pontos de interrogação.
Dados: N
2
N
3
N
4
N
5
N
6
ω
2
ω
6
ω
braço
Linha a: 30 25 45 50 200 ? 20 -50
Linha f: 30 25 45 30 160 50 0 ?
PROFESSOR COELHO
EXERCÍCIO:
Problema 9-26 NORTON, pg: 525 e 526 Para as linhas dadas encontre as 
variáveis representadas pelos pontos de interrogação.
Dados: N
2
N
3
N
4
N
5
N
6
ω
2
ω
6
ω
braço
Linha b: 30 35 55 40 50 30 ? -90
Linha d: 25 45 35 30 50 ? 40 -50