Integral Tripla-1

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Funções de Três Variáveis 
w = f(x,y,z) 
Variável dependente 
Variáveis independentes 
- Domínio em R3 
- Imagem em R4 (hiper-espaço) 
Características 
de f(x,y,z) 
Funções de 
Três Variáveis 
Funções de Três Variáveis 
Considerando os volumes elementares do DVi = DxiDyiDzi 
domínio D em três dimensões (R3): 
Pode-se calcular o somatório: 
 
 
 
Tomando o limite quando n tende ao um número 
infinitamente grande e positivo, tem-se a integral tripla: 
 
 



n
1i
iiiin vzyxfS ).,,(
  DnnT dzdydxzyxfSI ..).,,(lim
Propriedades 
 
 
 
 
  DD dVzyxfKdVzyxfK ).,,(.).,,(.
1ª) 
2ª) 




DD
D
dVzyxgdVzyxf
dVzyxgzyxf
).,,().,,(
)].,,(),,([
Propriedades 
 
 
 
 
  DD dxdzdyzyxfdzdydxzyxf ..).,,(..).,,(
3ª) 
4ª) 




2D1D
D
dVzyxfdVzyxf
dVzyxf
).,,().,,(
)].,,(
   
21
2 2 2 2 2 2
0 1 0
z x
D
V x y z dV x y z dydxdz        
 
2
2
1
2 2 2
0 1 0
3
1
2 2
0 1 0
6
1
4 2 2
0 1
3
3
z x
xz
z
V x y z dydxdz
y
x y z y dxdz
x
x z x dxdz
   
 
    
 
 
   
 
  
 
 
Então, 
 
5 7 5 2 6 8 6 3
1
0
26 26
5 21 3 3 105 30 168 18 9 105
1 1 1 1 26
30 168 18 9 105
z z z z z z z z z
V dz
   
             
   
 
     
 

6
1
4 2 2
0 1
5 7 2 3
1
0 1
5 7 5 2
1
0
3
5 21 3
1 1
5 21 3 5 21 3
z
z
x
V x z x dxdz
x x z x
dz
z z z z
dz
 
    
 
 
    
 
 
      
 
 


84 15 140 280 624 239 904
2520 2520
665 133 19 19
2520 504 72 72
0,26388 . .
V
V u v
       
     
   
        
 
   
3
0
2
1
1
0
2
D
2 dxdydzxyzdVxyzV
        
3
0
2
1
2
3
0
2
1
1
0
22
3
0
2
1
1
0
2 dydzyz
2
1
dydzyzx
2
1
dxdydzxyzV
   
3 2 3 2
2 2
0 1 0 1
23 3
2 2 2
0 01
3
2
0
1 1
2 2
1 1 1
4 1
2 2 4
1
3
4
V yz dydz yz dydz
y z dz z dz
z dz
 

   
  
           
 
  
   
 

 
3
3
3
2
0
0
3 3 3 27
4 4 3 4 3
3 27
9
4 4
6,75 . .
z
V z dz
V u v
   
      
  
 
 

  


1
0
z
0
zx
0
D
dydxdzxz6dVxz6V
 
 
1
0 0 0
1
00 1
1
0 0
6
6
6
z x z
z x z
z
V xz dydxdz
xzy dxdz
xz x z dxdz


 
 
   
  
 
 
 
3 2
1 1
2 2 2
0 0 0
0
4 4
1
0
4 4
1
0
1
4
0
6 6
3 2
6
3 2
2 3
6
6
6
5
6
z
z x x
V x z xz dxdz z z dz
z z
dz
z z
dz
z dz
 
     
 
 
   
 
 
  
 

  



.v.u1V1
5
5
5
z5
V
1
0
5









 
 
   





2
2
24
24
8
3
2
2
22
22
x
x
yx
yx
D
dzdydxdVV
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2 2 2
2
2
2 4 2 8
2 4 2 3
82 4 2
2 4 2 3
2 4 2
2 2
2 4 2
8 2 4
x x y
x x y
x yx
x x y
x
x
V dzdydx
z dydx
x y dydx
   
   
  
   
 
  
 
 
  
  
 
 
 
 
 
     
2
2
4 2
2
2 3
2
4 2
3
2
2 2 2 2
2
4
8 2
3
8
2 8 2 4 2 4 2
3
x
x
V x y y dx
x x x dx
 

 

 
    
 
 
       
 


   
 
3 3
2
2 22 2
2
3
2
2 2
2
8
8 4 2 4 2
3
16
4 2
3
V x x dx
x dx


 
           
 
   


3 3
2 2
2 22 2
2 2
3
2
2 2
2
3
2
2 2
2
16 1 16 1
4 4
3 38 2 2
8
4
3 2
8 2
4
3 2
V x dx x dx
x dx
x dx
 


          
    
   
 


 
      
 
3
2
2 2
2
2
3 1
2 22 2
2
4 2
4
3
4 3 4 44 2 3
16 arcsen
3 4 8 8 4
V x dx
x x x x x



  
 
   
     
  
 

   
4 2
0 0 6arcsen 1 0 0 6arcsen 1
3
4 2
12 8 2 . .
3 4
V
u v
 
        
 
  
 
   
1
0
1
1
y
0
D
2
dzdydxdVV
      
1
0
1
1
2
1
0
1
1
y
0
1
0
1
1
y
0
dydxydydxzdzdydxV
2
2
       
1
0
1
0
1
0
1
1
3
1
0
1
1
2 dx
3
2
dx11
3
1
dxy
3
1
dydxyV
  .v.u
3
2
x
3
2
dx
3
2
V
1
0
1
0
 
  


2
0
2
0
y4
0
D
2
dxdydzdVV
        
 2
0
2
0
2
2
0
2
0
y4
0
2
0
2
0
y4
0
dydzy4dydzxdxdydzV
2
2
 
2
3
2 2 2 2
2
0 0 0 0
0
2 2
0 0
8
4 4 8
3 3
24 8 16
3 3
y
V y dydz y dz dz
dz dz
   
         
  
 
  
 
   
 
    .v.u
3
32
2
3
16
z
3
16
dz
3
16
V
2
0
2
0
 
2 3 2 2 3
2 3 2 3 2 4
1 0 0 1 0
2 3 2 3
2 4 2
1 0 1 0
2
(12 ) (12 ) (3 )
0
2
(3 2 ) (48 )
0
G
xy z dV xy z dzdydx xy z dydx
xy dydx xy dydx
 
 
  
  
     
   
2 2
3 3
1 1
2 2
1
3
(16 ) (16 3 )
0
2 1
(432 ) 432. 432 2
12 2
3
432. 648 . .
2
xy dx x dx
x
x dx
u v
 

 
   
       
   

 

2
1
2
( , )
( , )
11
0 0 0
1 2 2
0 0
( , , ) ( , , )
1
2 0
g x y
G R g x y
yy
y
f x y z dV f x y z dz dA
zdz dxdy
z y
dxdy

 
  
  
 
  
 
 
   
   
   
  
  
 
 
1 2 2
0 0
2
2
1
0 0
1 2
0 0
1
2
0 0
1
2 0
1
2
1
2
1
(1 )
2
y
y
y
y
z y
dxdy
y
dxdy
y
dxdy
y dxdy
   
  
   
 
 
  
 
 
 
  
 
  
 
 
 
 
 
   
1 1
2 2
0 0 0
1 1
2 3
0 0
1 2 4
0
1 1
(1 )
02 2
1 1
2 2
11
02 2 4
y y
y dxdy x xy dy
y yy dy y y dy
y y
   
    
 
   
 
  
 

2 41 1 1 1 1 1
. .
2 2 4 2 2 4
1 2 1 1 1 1
. .
2 4 2 4 8
   
      
  
 
   
 
2 2
2 2
2 2
2 2
9 93 5 3
3 1 39 9
9 93 3
3 39 9
5
1
(5 1) (4 )
y yx
y y
y y
y y
x
dzdxdy z dxdy
x dxdy x dxdy
 
    
 
    

 
     
    
   
 
23 2
2
3
23 2
2
3
23
2
2
3
9
4
2 9
98
2 9
91
8
2 9
yx
x dy
y
yx x
dy
y
y
x x dy
y



 
  
   
 
  
   

  
 



       












 
3
3
2
22
2
22 99.899.82
1
dyyyyy
       


3
3
2222 99899.8
2
1
dyyyyy
     
3
2 2 2 2
3
3 3
2 2
3 3
1
8. 9 9 8 9 9
2
1
16 9 8 9
2
y y y y dy
y dy y dy

 
        
  
    

 
9
8. 36 . .
2
u v 
1
2 21 2
0 0
2
1
1 2
0
2
2 2
( )
0
x
x y
xT
x
x
dV dzdydx
x y
z dydx
 
  
 
 
  
 
   
 
1
1 2
0
2
1
2
0
( 2 2)
1
2
( 2 )
2
x
x
x y dydx
x
xy y y dx
x
 
   
 
    
 































































 dx
xx
x
xxx
x
x
2
2
2
.
2
1
2
21
2
.1
2
221
0

































 dxx
xx
x
x
xx
x
42
2
4
1.1
2
2221
0
1 2 2 2 2
0
1 2 2
0
1 2
2 4 2 4
1 2
2 2
x x x x
x x x x dx
x x
x x dx
 
          
 
 
       
 


1 3 3
2 2 2
0
1 1
( 2 1) 1 1
03 3
1 1
1 1 . .
3 3
x
x x dx x x
u v
 
        
 
   
