EP11 GP 2013 2 Gabarito

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – EP11 – Tutor
Prezado(a) aluno(a),
o conteu´do desta semana voceˆ encontra no seguinte cap´ıtulo do livro de Geometria Ba´sica - Mo´dulo
1 - Volume 1,(Autores:Dirce Uesu Pesco/Roberto Geraldo Tavares Arnaut),
Aula 9: Triaˆngulos Semelhantes.
Exerc´ıcio 1: Os lados de um triaˆngulo ABC medem AB = 20 cm, BC = 15 cm e AC = 10 cm.
Sobre o lado BC marca-se BD = 3 cm e trac¸am-se as paralelas DE ao lado AB e DF ao lado
AC. Quanto mede o per´ımetro do paralelogramo AEDF?
Soluc¸a˜o: Denote x = AE = DF e y = AF = ED
Das paralelas, podemos concluir que ∆DBF ∼ ∆CDE e permitem escrever:
AE
EC
=
BD
DC
⇒ x
10− x =
3
15− 3 ⇒
x
10− x =
1
4
⇒ x = 10
5
= 2 cm
BF
FA
=
BD
DC
⇒ 20− y
y
=
3
15− 3 ⇒
20− y
y
=
1
4
⇒ y = 80
5
= 16 cm
Logo o per´ımetro do paralelogramo AEDF e´ 2x+ 2y = 4 + 32 = 36 cm.
Exerc´ıcio 2: As bases de um trape´zio medem AB = 24 cm e CD = 18 cm e sua altura EF vale 7
cm. Os lados AD e BC se interceptam em O, as diagonais AC e BD se cortam em I. Calcule:
a) a distaˆncia do ponto O a cada base;
b) a distaˆncia do ponto I a cada uma das duas bases.
Geometria Plana – EP11 Tutor 2
Soluc¸a˜o: Considere o trape´zio ABCD conforme o enunciado:
Denote x e y as distaˆncias do ponto O as bases AB e CD, respectivamente. Sa˜o dados AB = 24
cm e CD = 18 cm e EF = 7 cm.
a) ∆ODC ∼ ∆OAB, enta˜o
x
y
=
24
18
⇒ x
x− y =
24
24− 18 ⇒
x
7
=
24
6
⇒ x = 24 · 7
6
= 28 cm
x
y
=
24
18
=
4
3
⇒ y = 3 · x
4
⇒ y = 3 · 28
4
⇒ y = 21 cm
b)Sejam x1 e y1 as distaˆncias do ponto I as bases AB e CD, respectivamente. ∆DCI ∼ ∆ABI,
enta˜o
x1
y1
=
24
18
⇒ x1
x1 + y1
=
24
24 + 18
⇒ x1
7
=
24
42
=
4
7
⇒ x1 = 4 cm
x1 + y1
y1
=
24 + 18
18
⇒ x1 + y1
y1
=
42
18
⇒ 7
y1
=
7
3
⇒ y1 = 3 cm
Exerc´ıcio 3: Os lados do triaˆngulo ABC medem AB = 5 cm, BC = 9 cm e AC = 11 cm. Pelo
ponto D, sobre o segmento AB, trac¸a-se a reta paralela ao lado BC que corta o segmento AC no
ponto E. Calcule o valor da medida do segmento BD, sabendo que DE = EC.
Soluc¸a˜o: De acordo com o enunciado temos:
Denote x = AE e y = AD, temos ∆ADE ∼ ∆ABC, pois DE//BC. Ale´m disso DE = EC,
enta˜o
BC
DE
=
AC
AE
⇒ 9
11− x =
11
x
⇒ 9x = 121− 11x ⇒ x = 121
20
= 6, 05 cm
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Geometria Plana – EP11 Tutor 3
BC
DE
=
AB
AD
⇒ 9
11− x =
5
y
⇒ 9
11− 121
20
=
5
y
⇒ 9
220− 121
20
=
5
y
⇒ y = 5 · 11
20
= 2, 75 cm
Portanto DB = 5− 2, 75 = 2, 25 cm.
Exerc´ıcio 4: Seja um triaˆngulo qualquer ABC e AD a bissetriz que encontra em E o c´ırculo cir-
cunscrito. Mostre que BE
2
= ED · AE.
A
O
C
B
D
E
Soluc¸a˜o: Seja ABC um triaˆngulo qualquer e AD a bissetriz que encontra em E o c´ırculo circuns-
crito. ∆ABE ∼ ∆BED, pelo crite´rio AA ∼ pois
BÂE =
_
BE
2
=
_
CE
2
= EB̂C e o aˆngulo Ê e´ comum aos dois triaˆngulos.
Logo
BE
ED
=
AE
BE
⇒ BE2 = ED · AE
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ