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1 Integrac¸a˜o por partes f(x). ∫ udv = uv − ∫ vdu Exemplo 5∫ ex cos(x)dx I. ∫ ex cos(x)dx = ex sinx− ∫ ex sinx dx II. ∫ ex sinx dx = − (cosx) ex − ∫ (− (cosx) ex) dx (I,II)⇒ ∫ ex cos(x)dx = ex sinx− [− (cosx) ex − ∫ (− (cosx) ex) dx] 1-2 Calcule a integral usando a integrac¸a˜o por partes com as escolhas de u e dv indicadas. 1. ∫ x2 ln(x)dx; u = ln(x), dv = x2dx.∫ x2 ln(x)dx = 13x 3 lnx− ∫ 13x2 dx 2. ∫ θ ln(θ)dθ; u = θ, dv = cos(θ)dθ. 3-32 Calcule a integral. 3. ∫ x cos(5x)dx = x. sen(5x)5 − ∫ sen(5x) 5 dx u = x dv = cos(5x)dx du = dx v = sen(5x)5 Soluc¸a˜o∫ x cos(5x)dx = x. sen(5x)5 − ∫ sen(5x) 5 dx = x. sen(5x)5 − 15 ∫ sen(5x)dx = x. sen(5x)5 − 15 − cos(5x)5 = x. sen(5x)5 + cos(5x) 25 + C 4. ∫ xe−xdx 4. ∫ xe−xdx 5. ∫ re r 2 dr 6. ∫ tsen(2t)dt 7. ∫ x2 cos(3x)dx 8. ∫ x2sen(ax)dx 1 u = x2 , dv = sen(ax)dx du = 2xdx , v = − 1a cos(ax)∫ x2sen(ax)dx = x2(− 1a cos(ax))− ∫ (− 1a cos(ax))2xdx = −x2 1a cos(ax) + 2a ∫ x cos(ax)dx Aplica integrac¸a˜o por partes novamente em ∫ x cos(ax)dx 9. ∫ ln(2x+ 1)dx 10. ∫ sin−1(x)dx,= x arcsinx− ∫ x√ 1−x2 dx∫ cos−1(x)dx,∫ tan−1(x)dx∫ sec−1(x)dx∫ cos sec−1(x)dx∫ cot g−1(x)dx 13. ∫ t sec2(2t)dt 15. ∫ (lnx)2dx Vamos tentar incicialmente esta escolha de u. u = (lnx)2 , dv = dx du = 2 ln(x) 1xdx , v = x∫ (lnx)2dx = x(lnx)2− ∫ x2 ln(x) 1xdx Esse caminho parece na˜o ser muito bom, enta˜o vamos tentar outra escolha de u. u = lnx , dv = lnxdx du = 1xdx , v = x ln(x)− x∫ (lnx)2dx = (lnx)(x ln(x)− x)− ∫ (x ln(x)− x) 1xdx = x(lnx)2 − x ln(x)− ∫ (ln(x)− 1)dx = x(lnx)2 − x ln(x)− ∫ ln(x)dx+ ∫ 1dx = x(lnx)2 − x ln(x)− [x ln(x)− x] + x+ C = x(lnx)2 − x ln(x)− x ln(x) + x+ x+ C = x(lnx)2 − 2x ln(x) + 2x+ C d(x(ln x)2−2x ln(x)+2x+C) dx = ln 2 x 17. ∫ e2θsen(3θ)dθ 18. ∫ e−θ cos(2θ)dθ 19. ∫ pi 0 tsen(3t)dt 20. ∫ 1 0 (x2 + 1)e−xdx 22. ∫ 9 4 ln(y)√ y dy 23. ∫ 2 0 ln(x) x2 dx 24. ∫ pi 0 x3 cos(x)dx 25. ∫ 1 0 y e2y dy 27. ∫ 1 2 0 cos−1(x)dx 28. ∫ 2 1 (ln x)2 x3 dx 2 29. ∫ cos(x) ln(sen(x))dx 30. ∫ 1 0 r3√ 4+r2 dr 31. ∫ 2 1 x4(ln(x))2dx 32. ∫ t 0 essen(t− s)ds 33-38 Primeiro fac¸a uma substituic¸a˜o e enta˜o use integrac¸a˜o por partes para calcular a integral. 33. ∫ cos( √ x)dx 34. ∫ t3e−t 2 dt 37. ∫ x ln(1 + x)dx 38. ∫ sen(ln(x))dx 3
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