Calculo Diferencial e Integral II

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Aula 1 – Equações diferenciais ordinárias e lineares de 1 a ordem.
O que é uma equação diferencial?
Suponhamos que uma função y = f(x) descreve um fenômeno do ponto de vista quantitativo.
Examinando este fenômeno, é as vezes impossível estabelecer diretamente o caráter da dependência
entre y e x, mas pode-se estabelecer uma dependência entre as quantidades x, y, e as derivadas de y
em relação a x: y', y'', …, y(n), isto é, que se pode escrever uma equação diferencial.
Deduzir da relação entre x, y, e as derivadas a relação direta entre y e x, isto é encontrar y = f(x), é
que ainda se chama integrar uma equação diferencial.
Exemplo 1.1
Deixe-se cair um corpo de massa m de uma certa altura h. Estabelece a variação de velocidade v da
queda livre, se o corpo experimentar uma resistência de travagem da parte do ar proporcional a
velocidade (sendo o coeficiente de proporcionalidade k), isto é encontrar v = f(t).
Resolução
Em virtude da segunda lei de Newton
,
onde é a aceleração do corpo em movimento (a derivada da velocidade em relação ao tempo) e F,
a força que age sobre o corpo no sentido do movimento. Esta força é constituída pelas duas forças:
pela força de gravidade m·v e pela resistência do ar k·v (toma-se o sinal menos porque esta força é
oposta a velocidade). Assim
. (1)
Temos uma relação entre a função desconhecida v e a sua derivada , isto é, uma equação
diferencial sobre a função desconhecida v. Resolver esta equação diferencial é procurar uma função
v = f(t), que a verifica identicamente. Existe uma infinidade de tão soluções. Podemos verificar que
toda a função da forma
 (2)
verifica a equação (1) com qualquer valor da constante C.
Mas qual destas funções dá a relação procurada entre v e t? Para a encontrar, imponhamos uma
condição suplementar: conhecemos uma velocidade inicial v0 do corpo (que, no caso especial, pode
ser nula), i.e. para o momento t = 0. Para achar o valor da constante C, substituímos t = 0 e v(t) = v0
na fórmula (2):
,
resultando em
.
Assim a constante C é determinada e a fórmula (2) pode ser escrita como
1
.
Obs. Para k = 0 (a resistência do ar nula) encontra-se o resultado v(t) = v0 + gt.
Definição 1.1
Chama-se equação diferencial a uma equação que estabelece uma relação entre a variável
independente x e, a função desconhecida y = f(x) e suas derivadas y', y'', …, y(n).
Podemos escrever simbolicamente uma equação diferencial como
ou
.
Se y = f(x) é função de uma só variável independente, a equação diferencial é chamada ordinária.
Definição 1.2
Chama-se ordem de uma equação diferencial à ordem da derivada mais elevada contida nessa
equação.
Exemplo 1.2
Equação diferencial
é uma equação de primeira ordem e
é uma equação de segunda ordem, etc.
Exercício 1.1
Determine a ordem das equações diferenciais em baixo:
1) ,
2) ,
3) ,
4) . 
2
Definição 1.3
Chama-se solução ou integral de uma equação diferencial a função y = f(x) que verifica
identicamente essa equação.
Exemplo 1.3
Seja a equação diferencial
.
As funções y = sen x, y = 2 cos x, y = 3 sen x – cos x e, mais geralmente, a função da forma geral
é solução da equação diferencial acima independente dos valores das constantes C1 e C2. Verificamos
que
,
.
Substituindo d²y/dx² em equação diferencial obtemos
.
Exercício 1.2
Consideramos a equação diferencial
.
As suas soluções são funções da forma
,
em que C é uma constante arbitraria. Verifique a identidade da equação diferencial usando a função
dada.
Definição 1.4
Uma função y(x) definida implicitamente pela equação φ(x, y, c1, c2, …, cn) = 0, que contém n
constantes arbitrarias e é solução de uma equação diferencial, é chamada de solução geral da
equação diferencial. Atribuindo valores às constantes c1, c2, …, cn, obtemos uma solução particular
da equação diferencial.
3
Definição 1.5
Uma função diferencial de 1a ordem é da forma
.
Ela pode ser escrita em forma
.
Exemplo 1.4
A situação mais simples que pode ocorrer em termos da função f é quando f não depende de y.
Temos então,
.
Segue então que a solução geral desta equação diferencial é
.
Definição 1.6
A equação diferencial
onde
é chamada de linear de primeira ordem.
Os dados do problema são as funções a(x) e b(x), e elas compareçam em integrais no processo de
resolução da equação. Como então achar a solução da equação diferencial linear de 1a ordem?
1 o Método de Solução:
Vamos supor que y(x) = u(x) v(x) onde as funções u(x) e v(x) são também desconhecidas.
Substituindo na primeira equação linear da primeira ordem, teremos
logo,
.
Se escolhermos a função u(x) de forma que ela satisfaça a equação
4
então
.
Mas a equação acima tem um segundo membro que só depende de x e assim, é do tipo anterior.
Então,
e a solução da equação dada sendo y(x) = u(x) v(x) dará
.
Resta-nos então o problema de resolver a equação
chamada de equação homogênea associada à equação linear de primeira ordem dada que, por isto, é
chamada de equação não-homogênea ou completa.
Podemos resolver a equação homogênea como
,
então
.
Chamando c2 à exponencial de c3 e usando o fato de que a função exponencial é sempre positiva,
temos
,
onde definimos a função g(x) como sendo
.
Fica assim estabelecido, que a função g(x) tem módulo constante. Por outro lado, a função g(x) é o
produto da função u(x), que é derivável pois é solução da equação diferencial homogênea por uma
função exponencial. Segue, então, que a função g(x) é continua.
Podemos concluir que g(x) = c2, e
5
.
Logo,
 
 ,
onde c = c1 c2. Não aparece constante no primeiro termo pois a expressão de u(x) envolve a constante
c2.
Exemplo 1.5
Determine a solução geral da equação diferencial .
Solução
Consideramos em primeiro lugar a equação homogênea
cuja solução é
.
Pelo 1o método temos
,
então
,
onde c = c1 c2.
2 o Método de Solução:
Vamos considerar a função
Então,
 
 
6
Usamos o fato que
e
.
Segue então que
.
Mas a equação diferencial acima é linear e com um segundo membro função somente de x, já
resolvida anteriormente. Então,
.
Resolvendo em relação a y teremos a solução geral da equação linear.
Observe que o fator é chamado de fator integrante, pois se multiplicarmos ambos
os membros da equação diferencial por ele é possível então integrá-lo.
Exemplo 1.6
Determine a solução geral da equação diferencial do exemplo 1.5 usando 2o método.
Solução
O fator integrante é . Multiplicando ambos os membros da equação diferencial dada
pelo fator integrante temos
e a solução final é
.
Exercício 1.3
Dê a solução geral da equação diferencial
.
7
3 o Método de Solução:
Resolva a equação diferencial .
Em primeiro lugar consideramos a equação homogênea
,
cuja solução é
.
 Consideramos agora
onde tomamos a equação homogênea e em vez de uma constante consideramos uma função de x, a
qual devemos determinar. Substituindo w(x) na equação dada, teremos
.
Segue então que
.
Integrando por partes
 .
A solução geral y(x) da equação dada é tal que
 
 ,
onde fizemos c = c1 + c2.
Este método de encontrar uma solução particular da equação completa é chamado método da
variação das constantes.
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