aula 05

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Aula 5 – Equações homogêneas. Equação de Bernoulli.
Definição 5.1
Uma função f(x,y) é uma função homogênea de grau n em relação às variáveis x e y se tiver para
todo o λ
.
Exemplo 5.1
A função é homogênea de grau 1, porque
Exercício 5.1
Verifique que função é uma função homogênea de 2o grau.
Exercício 5.2
Verifique que função é uma função homogênea de grau zero.
Definição 5.2
A equação de primeira ordem
,
é chamada homogênea em relação a x e y se a função f(x,y) for uma função homogênea de grau
zero em relação a x e y.
Resolução da equação homogênea.
Temos, por hipótese, . Fazendo nesta identidade , obteremos
,
isto é, uma função homogênea de grau zero depende somente da relação y/x.
A equação diferencial escreve-se, neste caso, sob a forma
.
Façamos substituição: , isto é .
Temos então:
.
Substituindo esta expressão da derivada na equação diferencial, obteremos
1
.
É uma equação de variáveis separáveis:
.
Por integração encontra-se
.
Exemplo 5.2
Resolva a equação diferencial
.
Solução
Essa equação diferencial pode ser escrita como
As expressões xy e (x² – y²) são homogêneas de grau 2. Usando a transformação
resulta
Separando as variáveis temos
Integrando
ou
Voltando para variáveis x e y temos
 ou .
2
Exercício 5.3
Resolva a equação diferencial
.
Equação de Bernoulli
Consideramos uma equação da forma
em que P(x) e Q(x) são funções continuas de x e n > 1.
Esta equação que se chama equação de Bernoulli, pode ser reduzida a uma equação linear pela
seguinte transformação.
Dividindo todos os termos da equação por yn, obteremos
 (★)
Agora, fazemos a substituição
.
Então,
.
Substituindo na equação (★), obteremos
que é uma equação linear.
Exemplo 5.3
Resolve a equação diferencial
.
Solução
Dividindo todos os termos por y³ obteremos
3
Introduzindo a nova função
,
transformamos a equação diferencial para
que é uma equação linear e pode ser resolvida pelo qualquer dos 3 métodos que nos aprendemos.
4