aula 10

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Aula 10 – Funções de varias variáveis. Derivadas parciais. Diferencial total.
O que significa uma função ter varias variáveis?
Exemplos de funções de varias variáveis.
a) A área de um retângulo de lados x e y é dada pela formula bem conhecida
.
A cada par de valores x e y, (x,y), corresponde um valor bem determinado da superfície S. S é então
uma função de duas variáveis, S(x,y).
b) O volume V de um paralelepípedo retângulo, cujo comprimento das arestas é respectivamente x,
y, e z, é dada pela formula
.
Aqui V é uma função de três variáveis, x, y, e z.
c) O alcance R da trajetória de um projetil lançado à velocidade inicial V0 sob um ângulo φ com o
horizonte, é dado pela formula
,
se desprezar a resistência do ar, onde g designa se aqui, a aceleração gravitacional.
A cada par de valores V0 e φ corresponde um valor bem determinado de R, por outras palavras, R é
uma função de duas variáveis, V0 e φ.
d) Temos uma formula
.
u é uma função de quatro variáveis, x, y, z, e t.
Definição 10.1
Se a cada par (x, y) de valores de duas variáveis x e y, independentes, tomados num certo domínio de
definição D, corresponde um valor bem determinado da variável z, diz-se que z é uma função de duas
variáveis independentes x e y definida no domínio D.
Designa-se uma função de duas variáveis pela notação
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Definição 10.2
Chama-se domínio de definição ou domínio de existência da função 
ao conjunto dos pares (x, y) dos valores de x e de y para os quais esta função é definida.
Exemplo 10.1
Determine o domínio natural de definição da função . Para todos os valores x e y existe
um z bem definido, então o domínio de definição é o plano inteiro Oxy.
Exemplo 10.2
Determine o domínio natural de definição da função .
Para que z seja real é necessário que ou . Domínio da função z é a
parte do plano Oxy delimitado pelo circulo de raio 1 e de centro nas origem das coordenadas.
Exercício 10.1
Determine o domínio natural de definição das funções
a) , b) ,
c) , d) 
Definição 10.3
Chama-se derivada parcial em relação a x da função ao limite do quociente de
crescimento parcial em relação a x e do crescimento da variável x, quando tende para
zero:
.
Chama-se derivada parcial em relação a y da função ao limite do quociente de
crescimento parcial em relação a y e do crescimento da variável y, quando tende para
zero:
.
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Exemplo 10.3
Achar as derivadas parciais e da função .
Solução
, .
Exercício 10.2
Achar as derivadas parciais das seguintes funções:
a) 
b) 
c) 
d) 
Definição 10.4
Se f for uma função de duas variáveis x e y e f for diferenciável em (x, y) então a diferencial total de f
sera a função df tendo valores funcionais dados por
Se então
Exemplo 10.4
Ache a diferencial total df da função .
Solução
Primeiro calculamos as derivadas parciais
A derivada total é então
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Exercício 10.3
Ache a diferencial total df das seguintes funções:
a) 
b) 
c) 
Exemplo 10.5
Um recipiente de metal, fechado, na forma de um cilindro circular reto, tem uma altura interna de 6
cm, um raio interno de 2 cm, e uma espessura de 0,1 mm. Se o custo do metal a ser usado é de $10
por centímetro cubico, ache por diferenciais o custo aproximado do metal que será empregado na
produção do recipiente.
Solução
A fórmula do volume de uma cilindro circular reto, onde o volume é V cm³, o raio é r cm e a altura é
h cm, é
.
O volume exato de metal no recipiente é a diferença entre os volumes de dois cilindros retos para os
quais r = 2,1, h = 6,2 e r = 2, h = 6, respectivamente. daria o volume exato do metal, mas como
somente um valor aproximado foi pedido, vamos calcular dV.
Com r = 2, h = 6, dr = 0,1 e dh = 0,2, obtemos
.
Assim, o custo do metal a ser usado na fabricação do recipiente é de 3,2 π cm³ · $10 ≈ $100,53.
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