Equação dos três momentos

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Equação dos três momentos 
 
Centro Universitário de João Pessoa 
Departamento de Engenharia Civil 
A equação dos três momentos é um método para a resolução de vigas hiperestáticas, 
contínuas, de eixo retílineo e horizontal. 
 
A viga deve ser constituída de dois ou mais vãos, com todos os apoios capazes de causar 
reações verticais 
 
Os carregamentos podem ser forças que atuam na vertical sobre o eixo da viga ou binários 
cujos planos de rotação é o mesmo destas forças. 
EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS 
EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS 
1º PASSO: Numerar os vãos da esquerda pra direita, a partir de 1. 
EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS 
2º PASSO: Numerar apoios e momentos que atuam nos apoios da esquerda pra direita a 
partir de 0. 
• O número do último vão coincide com o número do último apoio e do 
momento atuante. Se temos n vãos, temos n-1 incógnitas. 
 
EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS 
3º PASSO: O método calcula os momentos fletores em 3 apoios (Mn-1, Mn e Mn+1) 
seqüenciais de uma viga, a partir dos quais pode-se calcular os momentos fletores em 
qualquer seção. Então deve-se escolher um trecho de dois vãos por vez. 
 
4º PASSO: Montar as equações dos três momentos. Se temos n-1 incógnitas, teremos n-1 
equações dos três momentos. 
 
 
A Equação dos 3 Momentos apresentada abaixo é valida para uma viga com 
momento de inércia constante no vão e de vão para vão. 
 
   111111 2   nnnnnnnnnnn EDMMM 
Fatores de Carga (Apoio da direita e esquerda) 
EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS 
A dedução da equação dos três momentos é feita 
a partir da deformação angular na seção onde 
dois vãos se encontram. A eq. Geral é: 












 







 1
1
1
1
1
1
1
1
1 2 n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n E
EI
D
EI
M
EI
M
EIEI
M
EI

2º PASSO: Fatores de Carga 
EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS 
2º PASSO: Fatores de forma 
EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS 
FATORES DE CARGA: função do tipo de carga atuante no vão. Quando houver mais de uma 
carga atuando em um mesmo vão, os fatores de carga finais são dados pela soma dos 
fatores de carga de cada uma das cargas. 
 
 
 
 
EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS 
   1121111 62   nnnnnnnnn MMM  6
6
1
1
1
1
2


 

n
n
n
n
n
n
E
D




EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS 
EXEMPLO: Cálcular e desenhar o diagrama de momento fletor da viga contínua abaixo.