Flexão oblíqua

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FLEXÃO PURA OBLÍQUA 
 
INTRODUÇÃO: FLEXÃO RETA X OBLÍQUA 
 
Vimos que na flexão reta o carregamento tá sempre situado num plano (PS) que 
intercepta o plano da seção segundo um dos eixos principais de inércia, e o 
momento (M) atuante na seção é sempre perpendicular ao eixo de solicitação (ss). 
INTRODUÇÃO: FLEXÃO RETA X OBLÍQUA 
 
Para vigas T e U também podemos identificar duas possibilidades de flexão reta: 
INTRODUÇÃO: FLEXÃO RETA X OBLÍQUA 
 
Para vigas T e U também podemos identificar duas possibilidades de flexão reta: 
Nesses casos o plano em que ocorre a flexão é o mesmo do plano de solicitação e que 
já que estes são os eixos principais de inércia da seção. 
 
ssnn 
 
 
 
OBS: nn – eixo neutro ou linha neutra. 
Exemplo de seção em L com abas iguais submetida a flexão reta 
PS PS 
FLEXÃO PURA OBLÍQUA 
 
Dependendo do plano de solicitação, mesmo seções com dois eixos de simetria 
(como no caso de seções retandulares) poderão estar submetidas a um tipo de 
flexão diferente da descrita anteriormente. Esse tipo de flexão é denominada de 
flexão oblíqua ou assimétrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FLEXÃO PURA OBLÍQUA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O momento interno resultante não age em torno de um dos eixos principais de 
inércia da seção transversal. TEM-SE QUE DECOMPOR O MOMENTO EM 
TORNO DOS EIXOS PRINCIPAIS! 
CARCTERIZAÇÃO DA FLEXÃO OBLÍQUA 
 
 
 
yx MMM  0
0 ,0 ,0


M
MQN T
Sendo x e y eixos principais de 
inércia da seção. 
 
 
A flexão oblíqua caracteriza-se quando a redução do 
sistema de forças de um lado da seção nos fornecer: 
 
DEFORMAÇÕES NA FLEXÃO OBLÍQUA 
 
 
 
Similar com as deformações na 
flexão reta. 
 
 
De modo similar que ocorre na flexão reta: 
 
• As seções transversais permanecem planas e normais ao eixo longitudinal 
após a deformação; 
• As seções giram em torno do eixo neutro (LN ou nn); 
• O eixo de solicitação passa pelo centróide e o momento atuante na seção 
age perpendicular a esse eixo (que não é principal de inércia da seção) 

u

DEFORMAÇÕES E TENSÕES NA FLEXÃO OBLÍQUA 
 
FLEXÃO RETA FLEXÃO OBLÍQUA 
Deformações 


y

Deformações 


u

Linha neutra 
Tensões normais 
0)(  zzR FF
dA
y
EdAdF x 
    
A A
x
A
dA
y
EdAdF 0 000  yAyydA
E
A
Linha neutra 0)(  zzR FF
dA
u
EdAdF

    
A AA
dA
u
EdAdF 0 000  uAuudA
E
A

LN passa pelo 
centróide 
LN passa pelo 
centróide 
Tensões normais 
 zzR MM )(  
AAA
x
A
z dAy
E
dA
y
yEdAyydFM 2)( yI
M
I
y
M
z
z
xz
x
z  

zI  nnR MM )(
 
AAA
x
A
n dAu
E
dA
u
yEdAyydFM 2)( uI
M
I
u
M
n
n
xn
x
n  

nI
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO OBLÍQUA 
 
 
 
A componente do momento fletor no eixo de solitação (SS) é nula, já que M é 
perpendicular a SS. 
 
A
x
A
s dAvvdFM )(
dAvvdFdM xs   
AA
s vudA
E
dA
u
vEM  )
nsI
Produto de inércia com 
relação a LN e a SS 
000   ns
A
s IvudA
E
M 
Produto de inércia da área da 
seção com relação a LN e a SS é 
nulo 
LOCALIZAÇÃO DA LINHA NEUTRA 
 
Como determinar a posição da LN? Sendo z e y eixos principais de inércia, temos 
que: 
α é o ângulo que o eixo de solicitação (SS) faz 
com o eixo principal de inércia z; 
β é o ângulo que a LN faz com o eixo principal 
de inércia z. 
A transformação de coordenadas fica, então: 

cossen
sencos
yzu
zyv


LOCALIZAÇÃO DA LINHA NEUTRA 
 
Já vimos que Produto de inércia da área da seção com relação a LN e a SS é nulo: 
 
A
ns vudAI 0
  
 




A AA A
AAA A
A
ns
ydAydAzyzdA
dAyzdAydAzdAyz
dAyzzyI
zdAcos sencoscossensensen cos
cos sencoscossensensen cos
)cossen)(sencos(
22
22



0zyI 0zyI
0coscossensen 22    dAydAzI
A A
ns 
yI
zI 0coscossensen  zy II  z
y
y
z
I
I
tgtg
I
I

 

 
coscos
sensen
Assim determina-se a inclinação 
da linha neutra! 
FLEXÃO RETA COMO CASO PARTICULAR DA OBLÍQUA 
As expressões que determinam a posição da linha neutra e o cálculo das 
tensões normais a partir do eixo de solicitação ss nos possibilitam entender a 
flexão reta como um caso particular da flexão oblíqua. Assim, sendo y e z eixos 
principais de inércia, temos dois possíveis casos particulares: 
 
a) Quando M = Mz, então o eixo y será o eixo de solicitação (ss) e, neste caso, α = π/2 e β = 0, o 
que nos leva a concluir que o eixo z é a linha neutra nn e que 
 
y
I
M
u
I
M
IIMM
z
z
n
n
xznzn   ;
b) Quando M = My, então o eixo z será o eixo de solicitação (ss) e, neste caso, α = 0 e β = π/2, o 
que nos leva a concluir que o eixo y é a linha neutra nn e que 
 
z
I
M
u
I
M
IIMM
y
y
n
n
xynyn   ;
MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO COM RELAÇÃO A LN 
 
 
A
n dAyzI
2)cossen(  dAydAzydAzI
AA A
n     2222 coscossen2sen
zyI
0zyI
yI zI
Se x e y forem eixos principais de inércia 
Usando a transformação de coordenadas obtida anteriormente, e sabendo a 
inclinação da linha neutra podemos calcular o momento de inércia da seção com 
relaçao a LN. 
dAydAzydAzI
AA A
n   
2222 coscossen2sen 
zyzyn IIII cos cossen2 sen
22  
zyn III cos sen
22  
TENSÕES NA FLEXÃO OBLÍQUA SEGUNDO EIXOS BARICÊNTRICOS QUAISQUER 
 
A expressão obtida anteriormente para calcular as tensões normais na flexão oblíqua é 
direta, mas nem sempre é a mais prática. O ideal seria reescrevê-la em função de eixos 
que conhecemos... 
u
I
M
n
n
x 
Só é verdadeira se z e y eixos forem principais 
de inércia! 
Assumindo que as tensões normais se distribuem ao longo de plano da seção 
transversal da peça, podemos escrever: 
TENSÕES NA FLEXÃO OBLÍQUA SEGUNDO EIXOS BARICÊNTRICOS QUAISQUER 
 zbyax  zy   
 


A AAA
xy
A AAA
xz
dAzbdAzyadAzzbyadAzM
dAyzbdAyadAyzbyadAyM
2
2
)(y em M de Projeção
)(z em M de Projeção


Convenção de sinais 
Equilíbrio das forças 
internas e externas 
TENSÕES NA FLEXÃO OBLÍQUA SEGUNDO EIXOS BARICÊNTRICOS QUAISQUER 
 
 
 


A AAA
xy
A AAA
xz
dAzbdAzyadAzzbyadAzM
dAyzbdAyadAyzbyadAyM
2
2
)(y em M de Projeção
)(z em M de Projeção


Substituindo em : 
yzIzI
yzI yI yyyz
zyzz
MbIaI
MbIaI





















 y
z
yyz
yzz
M
M
b
a
II
II
Resolvendo o sistema, achamos: 
2
yzyz
yzyyz
III
IMIM
a



2
yzyz
yzzzy
III
IMIM
b



zbyax 
Equação usada para determinação das tensões em 
qualquer ponto da seção apenas a partir do 
conhecimento dos momentos fletores, dos 
momentos de inércia e do produto de inércia desta 
seção referidos a qualquer sistema de eixos 
ortogonais baricêntricos, isto é, quando y e z não 
são necessariamente os eixos principais de inércia 
da seção. 
2
)()(
yzzy
yzzzyyzyyz
x
III
zIMIMyIMIM



FLEXÃO OBLIQUA - TENSÕES SEGUNDO EIXOS BARICÊNTRICOS QUAISQUER 
zy
zyyz
x
II
zIMyIM 

Se forem eixos principais, temos e podemos simplificar a equação anterior: 
zy e 
z
I
M
y
I
M
y
y
z
zx 
y
I
M
z
z
x  zI
M
y
y
x 
Temos a superposição de dois casos particulares de duas flexões 
retas, quando M=My e quando M=Mz. 
Convenção de sinais 
0yzI
TENSÕES MÁXIMAS 
Seções quaisquer (método gráfico): 
Seções simétricas: 
Pontos mais afastados da LN: 
TENSÕES MÁXIMAS 
Seções quaisquer (método analítico): 
Pontos mais afastados da LN: 
Distância entre um ponto e uma reta: 
Tem que conhecer a equação da reta e as 
coordenadas do ponto 
DIAGRAMA DE TENSÕES 
Conhecendo-se a posição da linha neutra pode-se determinar o diagrama de 
tensões: 
TENSÕES MÁXIMAS 
Para a seção abaixo, pede-se calcular as tensões nos vértices do retângulo, determinar a 
linha neutra (nn) e desenhar o diagrama de tensões referenciados à nn. Dados: M = 150 
kNm; α = 70°. 
 
FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA 
 
FLEXÃO COMPOSTA RETA X OBLÍQUA 
 
F 
Carga longitudinal aplicada sobre os 
eixos y ou z (eixos principais de 
inércia da seção) = Flexão composta 
reta zMN e y
MN e 
Carga longitudinal aplicada fora dos 
dois eixos y ou z (eixos principais de 
inércia da seção) = Flexão composta 
oblíqua 
yz MMN e ,
Flexão composta é a ação combinada de força normal momentos fletores. 
zy M
x
M
x
N
xx  As tensões atuantes na seção devidas a P podem ser então determinadas a partir do princípio da superposição de efeitos, isto é, como a soma das tensões normais devidas ao esforço normal e aos momentos etores. Se adotarmos os eixos principais de inércia da seção como eixos de referência, podemos escrever imediatamente que: nM
x
N
xx  
A
NN
x 
z
I
M
y
yM
x
y  y
I
M
z
zM
x
z 
Convenção de sinais 
ou 
y
I
M
z
I
M
A
N
z
z
y
y
x 
TENSÕES NA FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA 
 
TENSÕES NA FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA 
 
Colocando as componentes do momento M em função da força F (F=N) e da excentridade 
da força com relação aos eixos principais, e o Momento de inércia em função do raio de 
giração , temos: 
y
Ai
Ne
z
Ai
Ne
A
N
y
I
Ne
z
I
Ne
A
N
z
y
y
z
x
z
y
y
z
x 22
 








 y
i
y
z
i
z
A
N
z
c
y
c
x 22
1
 
 
 
Também podemos calcular as tensões em função da componente do momento fletor total 
projetada sobre a LN (Mn) e a distância u da fibra analisada em relação à LN 
Podemos ainda calcular estas tensões a partir de um sistema de eixos baricêntricos, não 
principais de inércia, o que vem a ser uma opção muito conveniente em alguns casos. 
 
u
I
M
A
N
n
n
x 
2
)()(
yzzy
yzzzyyzyyz
x
III
zIMIMyIMIM
A
N


 cycz yeze  ;
DIAGRAMA DE TENSÕES NA FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA 
 
 
 
 
 
 
 
DETERMINAÇÃO DA LINHA NEUTRA: 
0x
Esta equação indica que a LN é uma 
reta que não passa pela origem. 
01
22









 y
i
y
z
i
z
A
N
z
c
y
c
01
22
 y
i
y
z
i
z
z
c
y
c
DETERMINAÇÃO DA LN 
 
 
 
 
 
 
 
Uma vez determinada a equação da linha neutra da 
flexão composta, podemos constatar seu paralelismo 
com a linhaneutra da flexão oblíqua a esta associada. 
 

1
inclinação com relação ao eixo principal z da LN da 
flexão composta oblíqua 
inclinação com relação ao eixo principal z da LN da 
flexão pura oblíqua 
Da teoria da flexão composta oblíqua: 
z
y
I
I
tgtg 1 
c
c
z
y
tg 
01
22
 y
i
y
z
i
z
z
c
y
c
c
c
z
y
tg 
bzaz
i
z
y
i
y
y
c
c
z 









2
2
1
Da teoria da flexão pura oblíqua: 
Reescrevendo b é a inclinação da LN com 
relação a z 
2
2
yc
cz
iy
zi
dz
dy
tgb  
AiIAiI yyzz
22 ;  cy
cz
yc
cz
yI
zI
A
A
iy
zi
tg 
2
2

Mas: 
c
c
y
z
cotg
y
z
y
z
I
I
tgtg
tgI
I
tg  
1
DETERMINAÇÃO DA LN 
 
 
 
 
 
 
 
Uma vez determinada a equação da linha neutra da 
flexão composta, podemos constatar seu paralelismo 
com a linhaneutra da flexão oblíqua a esta associada. 
 

1
inclinação com relação ao eixo principal z da LN da 
flexão composta oblíqua 
inclinação com relação ao eixo principal z da LN da 
flexão pura oblíqua 
Da teoria da flexão composta oblíqua: 
z
y
I
I
tgtg 1 
c
c
z
y
tg 
01
22
 y
i
y
z
i
z
z
c
y
c
c
c
z
y
tg 
bzaz
i
z
y
i
y
y
c
c
z 









2
2
1
Da teoria da flexão pura oblíqua: 
Reescrevendo b é a inclinação da LN com 
relação a z 
2
2
yc
cz
iy
zi
dz
dy
tgb  
AiIAiI yyzz
22 ;  cy
cz
yc
cz
yI
zI
A
A
iy
zi
tg 
2
2

Mas: 
c
c
y
z
cotg
y
z
y
z
I
I
tgtg
tgI
I
tg  
1
ANÁLISE DE TENSÕES 
 
 
 
 
A resolução dos problemas de verificação de estabilidade e do cálculo da máxima 
capacidade portante da seção pode ser tratada de modo similar ao realizado na flexão 
oblíqua pura, isto é, a partir do diagrama de tensões, busca-se as fibras mais distantes da 
linha neutra, onde ocorrem os máximos valores destas tensões. 
 
 
Observe que, no centroide da seção, o valor 
da tensão normal é dado por N/S, já que as 
parcelas devidas aos momentos fletores são 
Nulas 
FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA 
Exercício: Traçar diagrama de σx para uma seção do pilar: