Flexão Reta

Prévia do material em texto

FLEXÃO PURA 
Centro Universitário de João Pessoa 
Departamento de Engenharia Civil 
FLEXÃO 
 
Viga submetida a carga perpendicular a seu eixo. Este elemento irá 
desenvolver em suas seções transversais solicitações de momento fletor (M) 
e esforço cortante (Q). 
 
Flexão 
Cisalhamento 
FLEXÃO 
 
Viga submetida a carga perpendicular a seu eixo. Este elemento irá 
desenvolver em suas seções transversais solicitações de momento fletor (M) 
e esforço cortante (Q). 
 
Flexão 
Cisalhamento 
Na flexão pura desconsidera-se os 
efeitos do esforço cortante! 
FLEXÃO PURA 
 
Despreza-se o efeito do esforço cortante. 
Considera-se os efeitos tanto do momento 
fletor quanto do esforço cortante 
FLEXÃO PURA 
 
O PS contém o 
eixo y 
O PS não contém 
nenhum dos EPCI 
O PS contém o 
eixo x 
EPCI – Eixo principais 
centrais de inércia 
FLEXÃO PURA 
 
A flexão pode então ser classificada em: 
RETA: Plano de solicitações contém um dos eixos principais centrais de 
inércia da seção. 
 
OBLÌQUA: Plano de solicitações é desviado em relação aos eixos 
principais centrais de inércia da seção. 
FLEXÃO PURA RETA 
FLEXÃO PURA RETA 
 
Caso mais simples e o mais comum de flexão. 
1. As fibras de baixo se alongaram devido a uma tensão normal de tração. 
 
2. As fibras de cima se encurtaram devido a uma tensão normal de compressão. 
 
Z 
DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO 
 
Viga prismática reta, de material homogêneo. 
A área da seção transversal simétrica em 
relação a um eixo (y). 
 
Premissas: 
• Eixo longitudinal não sofre alteração no 
comprimento; 
• Todas as seções permanecem planas e 
perpendiculares ao eixo longitudinal; 
• Qualquer deformação deformação da seção 
transversal dentro do seu próprio plano é 
desprezada. 
LINHA NEUTRA OU EIXO NEUTRO 
 
Na flexão reta: 
 
 LN sempre coincide com um dos eixos principais centrais de inércia da seção; 
 LN e OS são sempre perpendiculares entre si. 
 
Linha na altura do eixo longitudinal, 
onde as fibras não se alteram 
(tensão normal nula – Linha Neutra). 
 
Fisicamente a LN representa o eixo 
em torno do qual a seção gira. 
 
Quanto mais afastada for a fibra da 
LN maior será a deformação e 
consequentemente a tensão que lhe 
corresponde. 
DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO 
 s
ss
s 



'
lim
0



 



)(
lim
0
y


y

A deformação normal long. dessa viga 
vai variar linearmente com y em 
relação ao eixo neutro. 
DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO 
 
Deformação normal longitudinal depende de sua localização y na seção 
transversal e da curvatura do eixo longitudinal da viga. 
max
max













c
y
c
y
Pelo coef. de Poisson existem componentes de 
deformação associadas deformando o plano da 
área da seção transversal, mas aqui essas 
deformações são desprezadas. 
CÁLCULO DAS TENSÕES NORMAIS 
 
Material que se comporta de maneira elástica (Lei de Hooke se aplica)  E
Variação linear de 
deformação normal 
Variação linear de 
tensão normal 
max 






c
y
Assim como a variação da deformação normal, 
σ vai variar de zero no eixo neutro até até um 
valor máximo a distância c do mais afastada do 
eixo neutro. 
DEFINIÇÃO DA POSIÇÃO: LINHA NEUTRA OU EIXO NEUTRO 
 
Podemos localizar a posição da linha neutra ou eixo neutro satisfazendo a 
condição de que a força resultante produzida pela distribuição de tensão na 
área da seção transversal deve ser nula: 
dAdF 
 
AA
dAdF 0
0)(  zzR FF










A
A
ydA
c
dA
c
y
0
0
max
max


 
A
ydA 0
Para que isto seja 
verdade 
Momento estático de primeira ordem nulo = 
eixo neutro coincide com o eixo do 
centróide horizontal 
CÁLCULO DAS TENSÕES NORMAIS 
 
Podemos determinar a tensão na viga pelo fato de que o momento interno 
resultante M deve ser igual ao momento produzido pela distribuição de tensão 
em torno do eixo neutro. 
 
 
O momento de dF em torno do eixo neutro é dM = y dF. Esse momento é positivo, visto 
que, pela regra da mão direita,o polegar está direcionado ao longo do eixo z positivo 
quando os dedos são curvados no sentido da rotação causada por dM. Uma vez que 
dF = σ dA, temos, para toda a seção transversal: 
 
 
 zzR MM )(
 
AA
dAyydFM )(
CÁLCULO DAS TENSÕES NORMAIS 
 
zI
Mc
max
dA
c
y
ydAyM
AA
  )()( maxmax 





c
y
Mas: 
 
 
Então:: 
 
 

A
dAy
c
M 2max

)( zIMomento de inércia em torno eixo neutro 
 
Para o cálculo da tensão 
máxima no ponto mais afastado 
de LN (coordenada c). 
 
 
I
My

Fórmula geral 
 
 
O sinal pode mudar se 
invertermos a orientação de y 
CÁLCULO DAS TENSÕES NORMAIS 
 
Considerando uma viga, de seção retangular cujos eixos principais 
centrais de inércia são os eixos de simetria (x,y) e o PS é vertical (carga 
peso). 
y
I
M
x
x
y  inércia. de central principal
 x,eixo ao relação em seção da inércia de Momento :xI
seção. na atuantefletor Momento :xM são(-)compres tração)(
normais Tensões :


y eixo do orientação a
com acordo de (-)ou )(
fibra da genérica ordenada:

y
Considerando uma viga, de seção retangular cujos eixos principais 
centrais de inércia são os eixos de simetria (x,y) e o PS é vertical (carga 
peso). 
y
I
M
x
x
y 
Por essa expressão notamos que: 
 
 A tensão desenvolvida depende diretamente do momento fletor atuante; 
 A tensão é inversamente proporcional ao momento de inércia (que representa a 
resistência ao giro). 
 
OBS: Se o PS for horizontal: 
 
x
I
M
y
y
x 
CÁLCULO DAS TENSÕES NORMAIS 
 
TENSÕES NORMAIS MÁXIMA E MÍNIMA 
 
Tensões máximas de tração e compressão: ocorrem nos pontos mais 
afastados da Linha Neutra (pontos onde as deformações são máximas – 
Lei de Hooke). 
seções simétricas em relação ao eixo x 
 
máxT
x
x
máxT y
I
M

máxC
x
x
máxC y
I
M

máxCmáxT
máxCmáxT hyy
 
 2
TENSÕES NORMAIS MÁXIMA E MÍNIMA 
 
Tensões máximas de tração e compressão: ocorrem nos pontos mais 
afastados da Linha Neutra (pontos onde as deformações são máximas – 
Lei de Hooke). 
seções não simétricas em relação ao eixo x 
 
máxT
x
x
máxT y
I
M

máxC
x
x
máxC y
I
M
 máxCmáxT
máxCmáxT yy
 

MÓDULO DE RESISTÊNCIA A FLEXÃO (W) 
 
Relação entre o momento de inércia da seção em relação à um eixo e 
distância do ponto mais afastado da seção àquele eixo. 
Para PS vertical (eixo de rotação LN contém x) 
 máx
x
x
y
I
W 
x
x
máxmáx
x
x
máx
W
M
y
I
M
 
Se utiliza p/ cálculo das tensões em peças simétricas, onde: máxCmáxT yy 
OBS: Para PS horizontal (momento fletor em torno do eixo y): 
 
y
y
máxmáx
y
y
máx
W
M
x
I
M
 
máx
y
y
x
I
W 
SEÇÕES E POSIÇÕES MAIS COVENIENTES 
 
Baseado no módulo de resistência a flexão, para uma mesma seção, ou seja, 
para um mesmo material empregado, nós podemos aproveita-lo na melhor 
posição possível, fazendo uma simples análise do seu módulo de resistência à 
flexão. 
Qual a posição mais conveniente de uma seção retangular b x B , para 
servir como seção transversal de uma viga, sujeita à flexão (PS vertical)? 
 
Qual a formamais conveniente para ser utilizada em uma viga sujeita à 
flexão, optando-se entre uma seção quadrada e outra circular, ambas de 
mesma área? 
 
EXERCÍCIOS DE FLEXÃO PURA RETA 
 
A viga tem seção transversal retangular e está sujeita à distribuição de tensão mostrada 
naFigura. Determine o momento interno M na seção provocado pela distribuição de 
tensão (a) pela fórmula da flexão e (b) pela determinação da resultante da distribuição 
de tensão pelos princípios básicos . 
 
EXERCÍCIOS DE FLEXÃO PURA RETA 
 
 
 
A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal mostrada na Figura 2. 
Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e represente a distribuição de 
tensão na seção transversal nessa localização. 
 
Figura 2 
EXERCÍCIOS DE FLEXÃO PURA RETA 
 
 
 
Figura 2 
A viga mostrada tem área de seção transversal em forma de um canal (Figura 2). 
Determine a tensão de flexão máxima que ocorre na viga na seção a-a 
 
FLEXÃO SIMPLES RETA 
 
FLEXÃO SIMPLES 
 
Flexão Simples: Vigas submetidas apenas a um momento fletor, porém sendo 
este variável, há o aparecimento de uma força cortante V, sendo esta, justamente, a 
taxa com que M varia ao longo da viga (pois já vimos que V = dM/dx) 
 
 
Vamos ter além das tensões 
normais, tensões tangenciais 
atuando nas seções transversais. 
FLEXÃO SIMPLES 
 
Vamos admitir que a existência de tensões tangenciais associadas à presença da força 
cortante na seção não altere a distribuição das tensões normais, permitindo-nos insistir na 
aplicação da hipótese de que a seção se mantém plana e que a distribuição dessas tensões 
normais continue sendo linear. Permanece aplicável, portanto, a equa- 
ção: 
 
 
y
I
M

FLEXÃO SIMPLES 
 
dxbFF yx  12 
 dAF 1 0 xR FF Mas: yIM

A
ydA
I
M
F1 


A
ydA
I
dMM
F2 
A
ydA
I
dM
FF 12
FLEXÃO SIMPLES 
 
dxbFF yx  12 
 dAF 1 0 xR FF Mas: yIM

A
ydA
I
M
F1 


A
ydA
I
dMM
F2 
A
ydA
I
dM
FF 12
FLEXÃO SIMPLES 
 

A
yx ydA
I
dM
dxb

A
yx ydA
I
dM
dxb

A
yx ydA
dx
dM
bI
1
V 
O Momento estático de 1ª ordem 
(Q) que usa na fórmula é com 
relação a área de contorno 
vermelho (abaixo de y, nesse 
caso) 




max'
'
'''
yy
yy
dybyQ
Q 
FLEXÃO SIMPLES 
 bI
VQ
xy 
FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA 
TENSÃO EM UM PONTO: neutra. linha a relação com
oconsiderad ponto de abaixo área da parte de ordem primeira de estático Momento -Q
seção da neutra linha a contém que eixo ao relação com Inércia de Momento -
oconsiderad ponto do altura na seção da Largura -
seção na cortante Força - V
 seção da ponto dado um em tocisalhamen de Tensão - 
I
b
xy
Q 
Q com relação a área abaixo do ponto 
calculado 
FLEXÃO SIMPLES 
 
O cálculo do esforço cortante a partir das tensões de 
cisalhamento (ou seja, o cálculo da integral acima) depende 
da distribuição das tensões de cisalhamento ao longo da 
seção transversal. No caso geral esta distribuição não é 
uniforme. Entretanto, é comum adotar como simplificação 
uma tensão de cisalhamento média, que é obtida pela 
divisão do esforço cortante pela área da seção transversal 
 
A
Q
med 
FLEXÃO SIMPLES 
 
Seção retangular: 
A distribuição das tensões ao longo dos diversos pontos da seção dependerá de seu 
formato. 
Seção Circular: 
12
3bh
I 
842
.
2bhhh
byAQ CG 
bh
V
hb
Vbh
2
312
8 22
2
max 
med 5,1max 
64
4d
I


1223
4
8
.
32 ddd
yAQ CG  

med
d
V
d
V
d
Vd 


3
4
4
12
164
64
4
12
64
12
225
3
max 
FLEXÃO SIMPLES 
 
Perfis Laminados “I” ,“T”, “H” 
A distribuição das tensões ao longo dos diversos pontos da seção dependerá de seu 
formato. 
• Tensões tangenciais elevadas na alma, na 
altura da linha neutra, pelo fato de a 
dimensão “b” da nervura estar no 
denominador da equação da tensão de 
cisalhamento. 
• A descontinuidade do valor da tensão na 
transição entre a mesa e a alma decorre da 
descontinuidade da largura (b) da seção 
nesses locais. 
 
FLEXÃO SIMPLES 
 
Para a viga esquematizada na figura, 
pede-se determinar: 
a) a máxima tensão de tração; 
b) a máxima tensão de compressão; 
c) a máxima tensão de cisalhamento; 
FLEXÃO COMPOSTA RETA 
 
FLEXÃO COMPOSTA 
 
Flexão composta é a ação combinada de força normal momentos fletores (mais comum 
em vigas protendidas, sapatas ou pilares com cargas excêntricas e pórticos espaciais) 
Ocorre o esforço de flexão composta quando a resultante das tensões Normais pode ser 
decomposta em uma força normal e momentos fletores. Quando o plano do momento 
fletor intercepta a seção segundo um dos eixos principais de inércia, o esforço é 
denominado de flexão composta reta, caso contrário, é denominado flexão composta 
oblíqua. 
A flexão composta é resultado de uma carga assimétrica (aplicada em um ponto fora do 
centro de gravidade da seção transversal da peça) 
Redução do sistema de 
forças ao centróide da 
seção: 
 
• Força normal cujo valor é 
o da carga; 
• Momento fletor da 
excentricidade da carga. 
FLEXÃO COMPOSTA EM PILARES 
 
F 
Carga longitudinal aplicada sobre os 
eixos y ou z (eixos principais de 
inércia da seção) = Flexão composta 
reta zMN e y
MN e 
yz MMN e ,Carga longitudinal aplicada fora dos 
dois eixos y ou z (eixos principais de 
inércia da seção) = Flexão composta 
oblíqua 
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO COMPOSTA 
 
A distribuição das tensões normais na seção transversal é equivalente a 
sobreposição das tensões normais, causadas pela carga F quando localizada no 
centroide da seção, com as tensões de flexão decorrentes dos momentos My ou 
Mz, dependendo da excentricidade original da carga F. 
Tensão normal relativa a força normal 
)()( zxxx MN  
Tensão normal relativa ao momento 
fletor 
y
I
M
A
N
z
z
x 
Somando- se os efeitos , temos: 
OBS: Se o momento for em torno do eixo do eixo y: 
z
I
M
A
N
y
y
x 
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO COMPOSTA 
 
Com a sobreposição a linha neutra se desloca em 
relação à altura do eixo baricêntrico! 
00
0
0 

y
I
M
A
N
y
I
M
A
N
z
z
z
z
x
Como a linha neutra é o lugar geométrico dos pontos cuja tensão normal é nula, temos: 
 
LOCALIZAÇÃO DA LINHA NEUTRA 
LN 
Altura da linha neutra 
Com a sobreposição a linha neutra se desloca em 
relação à altura do eixo baricêntrico! 
Como a linha neutra é o lugar geométrico dos pontos cuja tensão normal é nula, temos: 
 
0y
A
I
A
eN
A
N
z
y



LOCALIZAÇÃO DA LINHA NEUTRA 
LN 
Quadrado do Raio de giração = 
2
zi
LOCALIZAÇÃO DA LINHA NEUTRA – RAIO DE GIRAÇÃO 
raio de giração representa a distância ao eixo ou ponto correspondente na qual se pode 
concentrar toda a área da superfície estudada de modo que se tenha o mesmo 
momento de inércia. 
Raio de Giração: propriedade do momento de inércia. 
Com a sobreposição a linha neutra se desloca em 
relação à altura do eixo baricêntrico! 
Como a linha neutra é o lugar geométrico dos pontos cuja tensão normal é nula, temos: 
 
0y
A
I
A
eN
A
N
z
y



LOCALIZAÇÃO DA LINHA NEUTRA 
LN 
Quadrado do Raio de giração = 
2
zi
002 


 y
iA
eN
A
N
z
y
y
z
e
i
y
2
0 
OBS: Se a excentricdade ocorre no eixo z: z
y
e
i
y
2
0 
FLEXÃOCOMPOSTA - EXERCÍCIO 
Traçar diagrama de σx para uma seção do pilar, admitindo-se e=20,0 cm