Aula 10 -Flexão assimétrica e Composta

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GRADUAÇÃO - ENGENHARIA
MECÂNICA APLICADA A ENGENHARIA CIVIL – CCE1682
DSc MIGUEL HENRIQUE DE OLIVEIRA COSTA
PROFESSOR
Rio de Janeiro, 2021.2
MECÂNICA APLICADA A ENGENHARIA CIVIL
Aula 10 -Flexão assimétrica e Composta
Ementa
• Flexão Assimétrica:
• Tensão Resultante
• Orientação do eixo neutro
• Exercício
• Flexão Composta:
• Definição
• Redistribuição das Tensões
• Excentricidade das Forças
• Flexão composta obliqua
• Posição da Linha Neutra
• Tensões normais máximas
• Nucleo Central de Inércia
Flexão Assimétrica
A flexão ASSIMÉTRICA (OBLIQUA) ocorre quando o plano ou eixo de solicitação
NÃO coincide com um dos eixos principais de inércia.
Podem acontecer em telhados ou vigas com montagem incorretas ou ângulos
não previstos.
𝜎𝑥 = −
𝐸𝑦
𝜌
𝜃
TENSÃO RESULTANTE
Resultantes da Tensão
𝐹𝑥(𝑥) = න
𝐴
𝜎𝑥 𝑑𝐴
𝑀𝑧(𝑥) = −න
𝐴
𝑦𝜎𝑥 𝑑𝐴
𝑀𝑦(𝑥) = න
𝐴
𝑧𝜎𝑥 𝑑𝐴
𝐹𝑥(𝑥) = −
𝐸
𝜌
න
𝐴
𝑦 𝑑𝐴 = 0
𝑀𝑧(𝑥) =
𝐸
𝜌
න
𝐴
𝑦² 𝑑𝐴
𝑀𝑦(𝑥) = −
𝐸
𝜌
න
𝐴
𝑦𝑧 𝑑𝐴 = 0
↔
Os momentos fletores em torno de Z e Y, devem ser nulos.
𝑀𝑦(𝑥) = −
𝐸
𝜌
න
𝐴
𝑦𝑧 𝑑𝐴 = 0 ∴ න
𝐴
𝑦𝑧 𝑑𝐴 = 0
Resultantes da Tensão
𝜎(𝑥) = −
𝑀𝑧
𝐼𝑧
𝑦 +
𝑀𝑦
𝐼𝑦
𝑧
Essa integral representa o produto de inércia. Sabemos que será nulo, sempre
que os eixos forem os eixos principais.
Exemplo 01:
Momento nos eixos
𝑀𝑧 = 𝑀 cos𝜃 = 12 × 0,60 = 7,20 𝑘𝑁.𝑚
A seção transversal retangular está sujeita a um momento fletor (M=12 kN.m).
Determinar a tensão normal em cada canto e orientação.
𝑀𝑦 = 𝑀 sen𝜃 = −12 × 0,80 = −9,60 𝑘𝑁.𝑚
Momento de Inércia
𝐼𝑧 =
𝑏ℎ³
12
=
200 × 400³
12
= 1,0667 × 109 𝑚𝑚4
𝐼𝑦 =
𝑏ℎ³
12
=
400 × 200³
12
= 2,667 × 108 𝑚𝑚4
𝜎(𝑦,𝑧) = −
𝑀𝑧
𝐼𝑧
𝑦 +
𝑀𝑦
𝐼𝑦
𝑧 → 𝜎(𝑦,𝑧) = −
7,2 × 106
1,0667 × 109
𝑦 +
−9,6 × 106
2,667 × 108
𝑧
Exemplo 01:
A seção transversal retangular está sujeita a um momento fletor (M=12 kN.m).
Determinar a tensão normal em cada canto e orientação.
𝜎(𝑦,𝑧) = −
7,2 × 106
1,0667 × 109
𝑦 +
−9,6 × 106
2,667 × 108
𝑧
COORDENADAS B C D E
Y (mm) +200 +200 -200 -200
Z (mm) -100 +100 +100 -100
TENSÕES
 (MPa) 2,25 -4,95 -2,25 4,95
𝜎(200,−100) = −
7,2 × 106
1,0667 × 109
× 200 +
−9,6 × 106
2,667 × 108
×−100 = 2,25 𝑀𝑃𝑎
𝜎(200,+100) = −
7,2 × 106
1,0667 × 109
× 200 +
−9,6 × 106
2,667 × 108
×+100 = −4,95 𝑀𝑃𝑎
𝜎(−200,100) = −
7,2 × 106
1,0667 × 109
×−200 +
−9,6 × 106
2,667 × 108
× 100 = −2,25 𝑀𝑃𝑎
𝜎(−200,−100) = −
7,2 × 106
1,0667 × 109
×−200 +
−9,6 × 106
2,667 × 108
×−100 = 4,95 𝑀𝑃𝑎
Exemplo 01:
A seção transversal retangular está sujeita a um momento fletor (M=12 kN.m).
Determinar a tensão normal em cada canto e orientação.
COORDENADAS B C D E
Y (mm) +200 +200 -200 -200
Z (mm) -100 +100 +100 -100
TENSÕES
 (MPa) 2,25 -4,95 -2,25 4,95
Orientação do Eixo Neutro
• O EIXO NEUTRO representa o lugar geométrico onde as fibras não se ALONGAM nem
se ENCURTAM, ou seja, onde a deformação e igual a ZERO. Assim sendo as tensões
também são NULAS. Para determinarmos a posição do eixo neutro, basta impor essa
condição a equação.
𝜎(𝑥) = −
𝑀𝑧
𝐼𝑧
𝑦 +
𝑀𝑦
𝐼𝑦
𝑧 → 𝜎 𝑥 = −
𝑀𝑧
𝐼𝑧
𝑦 +
𝑀𝑦
𝐼𝑦
𝑧 = 0
𝑦 =
𝑀𝑦
𝑀𝑧
𝐼𝑦
𝐼𝑧
𝑧 = 0 → 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑳𝑰𝑵𝑯𝑨 𝑵𝑬𝑼𝑻𝑹𝑨
𝑦 =
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐼𝑦
𝐼𝑧
𝑧 = tan 𝜃
𝐼𝑦
𝐼𝑧
𝑧𝑴𝒛 = 𝑴𝐜𝐨𝐬𝜽 𝑴𝒚 = 𝑴𝐬𝐞𝐧𝜽
Orientação do Eixo Neutro
• A direção da LINHA NEUTRA só irá coincidir com o eixo do momento atuante, se os
momentos de inércia (y e z) forem IGUAIS.
𝑦 =
𝑀𝑦
𝑀𝑧
𝐼𝑦
𝐼𝑧
𝑧 = 0 → 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑳𝑰𝑵𝑯𝑨 𝑵𝑬𝑼𝑻𝑹𝑨
𝑦 = tan 𝜃
𝐼𝑦
𝐼𝑧
𝑧
Coeficiente angular
• A equação da LINHA NEUTRA e a equação de uma reta no plano yz, com coeficiente
angular igual a razão entre os momentos fletores multiplicada pela razão dos
momentos de inercia.
• Onde α é o ângulo da equação da reta que define o eixo neutro para a seção transversal.
tan 𝛼 =
𝐼𝑧
𝐼𝑦
tan 𝜃
Exemplo 02:
A seção transversal retangular está sujeita a um momento fletor (M=12 kN.m).
Determinar a Linha Neutra.
Momento nos eixos
𝑀𝑧 = 7,20 𝑘𝑁.𝑚
𝑀𝑦 = −9,60 𝑘𝑁.𝑚
Momento de Inércia
𝐼𝑧 = 1,0667 × 10
9 𝑚𝑚4
𝐼𝑦 = 2,667 × 10
8 𝑚𝑚4
𝑦 =
𝑀𝑦
𝑀𝑧
𝐼𝑦
𝐼𝑧
𝑧 ∴ 𝑦 =
−9,6 × 106
7,2 × 106
2,667 × 108
1,0667 × 109
𝑧
𝑦 = −5,333 × 𝑧
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
4
5
= 53,13𝑜
tan𝛼 =
𝐼𝑧
𝐼𝑦
tan𝜃 → tan𝛼 =
1,0667 × 109
2,667 × 108
tan53,13 = 5,333
arc tan𝛼 = 79,4𝑜
Exemplo 02:
A seção transversal retangular está sujeita a um momento fletor (M=12 kN.m).
Determinar a Linha Neutra.
𝑦 = −5,333 × 𝑧
COORDENADAS B C
Y (mm) 200 -200
Z (mm) -37,50 +37,50
200 = −5,333 × 𝑧 ∴ 𝑧 =
200
−5,333
= −37,50
−200 = −5,333 × 𝑧 ∴ 𝑧 =
200
−5,333
= 37,50
Flexão Composta
• Ocorre quando a resultante das tensões pode ser decomposta em uma força
NORMAL e MOMENTOS FLETORES.
• Flexão composta NORMAL → apresenta apenas uma resultante de momento,
podendo decorrer da EXCENTRICIDADE.
Essas excentricidades das cargas 
aplicadas fora do centro de gravidade 
resultam os momentos𝑀𝑧 = 𝐹 × 𝑒𝑦𝑀𝑦 = 𝐹 × 𝑒𝑧
Redistribuição das Tensões
• A distribuição das tensões normais na seção transversal é equivalente a
sobreposição das tensões NORMAIS, causadas pela carga F quando localizada
no centroide da seção, com as tensões de FLEXÃO decorrentes dos momentos
My ou Mz, dependendo da EXCENTRICIDADE original da carga F.
𝜎𝑥 =
𝐹
𝐴
∓
𝑀𝑧
𝐼𝑧
𝑦
Caso a excentricidade da força F 
ocorra sobre o eixo z.
𝜎𝑥 =
𝐹
𝐴
∓
𝑀𝑦
𝐼𝑦
𝑧
𝜎𝑥 = 𝜎𝐹 ∓ 𝜎𝑀𝑧
Caso a excentricidade da força F 
ocorra sobre o eixo y.
Flexão Composta Oblíqua
• A flexão composta oblíqua é caracterizada por apresentar a resultante do
momento em torno do eixo y e eixo z. Assim como na flexão composta normal,
os momentos fletores podem decorrer da excentricidade, com relação ao eixo
do elemento, de força atuando na direção longitudinal
𝜎𝑥 = 𝜎𝐹 ∓ 𝜎𝑀𝑧 ∓ 𝜎𝑀𝑦
𝜎𝑥 =
𝐹
𝐴
∓
𝑀𝑧
𝐼𝑧
𝑦 ∓
𝑀𝑦
𝐼𝑦
𝑧
Posição da Linha Neutra
• A determinação da posição da linha neutra é feita baseando-se na sua principal
propriedade, as tensões normais são nulas em todo o seu comprimento e yo e
zo a posição da linha neutra na seção e seus respectivos eixos.
𝜎𝑥 =
𝐹
𝐴
∓
𝑀𝑧
𝐼𝑧
𝑦 ∓
𝑀𝑦
𝐼𝑦
𝑧 = 0 →
𝐹
𝐴
1 ∓
𝑒𝑦𝑦𝑜
𝑖𝑧
2
∓
𝑒𝑧𝑧𝑜
𝑖𝑦
2 = 0 𝑖𝑜 =
𝐼
𝐴
𝑦𝑜 = −
𝐼𝑧
𝐴𝑒𝑦
= −
𝑖𝑧
2
𝑒𝑦
𝑧𝑜 = −
𝐼𝑦
𝐴𝑒𝑧
= −
𝑖𝑦
2
𝑒𝑧
• A linha neutra pode ser encontrada, se estiver cortando os eixos y e z, através de 
dois pontos localizados sobre esses eixos. Para achar o ponto no eixo y, substitui-
se z0 = 0 e para achar o ponto no eixo z, substitui-se y0 = 0.
Tensões Normais Máximas
• A determinação da posição da linha neutra é feita baseando-se na sua principal
propriedade, as tensões normais são nulas em todo o seu comprimento e yo e
zo a posição da linha neutra na seção e seus respectivos eixos.
Núcleo Central de Inércia
• É o lugar geométrico da seção transversal tal que, se nele for aplicada uma
carga de compressão F, toda a seção estará comprimida.
• O objetivo é fazer com que a soma das tensões de tração
causadas pela flexão com as tensões normais de
compressão seja igual a zero.
𝜎𝑥 = 𝜎𝑀𝑧
𝐹
𝐴
=
𝑀𝑧
𝐼𝑧
𝑦
𝑒𝑦 =
𝐼𝑧
𝐴𝑦
𝑒𝑧 =
𝐼𝑦
𝐴𝑧
Núcleo Central de Inércia
• Se a seção transversal for retangular, os valores de ey e ez são
Determinar o Núcleo de Inercia
• Identificar regiões sem resistência a tração;
• Utilização total da resistência de compressão;
• Um exemplo são as sapatas de fundação;
Material Extra:
• Material extra para estudo:
• Capitulo 6: 6.102, 6.104 e 6.114;
• Material Habilitado:
• Capitulo 6: 6.102 – 6.118;
"Fazer da educação a nossa identidade"
OBRIGADO !
Miguel Oliveira