PTV e Castigliano estruturas hiperestáticas

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Princípio do Trabalho Virtual e 
Castigliano para estruturas 
hiperestáticas 
 
Centro Universitário de João Pessoa 
Departamento de Engenharia Civil 
PTV PARA DETERMINAÇÃO DE REAÇÕES DE APOIO 
EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICOS 
1º PASSO: Determinar o grau de hiperestaticidade da estrutura. 
PTV PARA DETERMINAÇÃO DE REAÇÕES DE APOIO 
EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICOS 
1º PASSO: Determinar o grau de hiperestaticidade da estrutura. 
Grau de hiperestaticidade: 4-3 = 1 
 
Grau de hiperestaticidade: 5-3 = 2 
 
Grau de hiperestaticidade: 6-3 = 3 
 
PTV PARA DETERMINAÇÃO DE REAÇÕES DE APOIO 
EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICOS 
2º PASSO: Se o grau de hiperestaticidade é n, liberar n vínculos para que a estrutura se 
torne isostática. 
Grau de hiperestaticidade: 1 
 
Grau de hiperestaticidade: 2 
 
Grau de hiperestaticidade: 3 
 
PTV PARA DETERMINAÇÃO DE REAÇÕES DE APOIO 
EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICOS 
3º PASSO: Montar o sistema principal e sistemas virtuais. Sempre teremos um sistema 
principal e, se n vínculos foram liberados, teremos n sistemas virtuais 
 
Sistema principal: Colocar o carregamento real na estrutura isóstática. 
Grau de hiperestaticidade: 2 
 
Estrutura isostática 
SISTEMA PRINCIPAL (0) 
PTV PARA DETERMINAÇÃO DE REAÇÕES DE APOIO 
EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICOS 
3º PASSO: Montar o sistema principal e sistemas virtuais. Se n vínculos foram liberados, 
então teremos n sistemas virtuais 
 
Sistemas virtuais: Retirar todo o carregamento real e atribuir carregamentos virtuais 
unitários para x1 e x2 (Um de cada vez!) 
CARREGAMENTO VIRTUAL 1 (1) 
PTV PARA DETERMINAÇÃO DE REAÇÕES DE APOIO 
EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICOS 
3º PASSO: Montar o sistema principal e sistemas virtuais. Se n vínculos foram liberados, 
então teremos n sistemas virtuais 
 
Sistemas virtuais: Retirar todo o carregamento real e atribuir carregamentos virtuais 
unitários para x1 e x2 (Um de cada vez!) 
CARREGAMENTO VIRTUAL 2 (2) 
PTV PARA DETERMINAÇÃO DE REAÇÕES DE APOIO 
EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICOS 
4º PASSO: Fazer o Diagrama de momento fletor para cada sistema (principal e virtuais e 
assim montar o sistema de equações para encontrar as incógnitas x1e x2 (x1, x2, ..., xn no 
caso geral). 
 























































0
0
0
0
...
...
............
...
...
...
2
1
21
22221
11211
0
20
10
nnnnn
n
n
n x
x
x






De forma geral: 

























0
0
2
1
2221
1211
20
10
x
x




Os índices que acompanham δ 
deste vetor indicam uma 
combinação entre os sistemas 
virtuais e o sistema principal. 
Os índices que acompanham δ 
desta matriz indicam uma 
combinação entre os sistemas 
virtuais. 
Incógnitas: Esforços dx
EI
mM
L

0
.1 
PTV PARA DETERMINAÇÃO DE REAÇÕES DE APOIO 
EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICOS 
5º PASSO: Resolver o sistema e encontrar as incógnitas x1e x2. 






























0
0
0
0
22212120
21211110
2
1
2221
1211
20
10
xx
xx
x
x






No exemplo em questão, o x1e x2 são os momentos reais que atuam na estrutura 
hiperestática nos apois que liberamos os vínculos. 
 
PTV PARA DETERMINAÇÃO DE REAÇÕES DE APOIO 
EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICOS 
6º PASSO: Achar as reações de Apoio.  iiSP xEEE
Esforço que atua na 
estrutura hiperestática no 
ponto de interesse. 
Esforço que atua no 
sistema principal no ponto 
de interesse. 
Somatório do produto dos 
esforços que atuam nos 
sistemas virtuais no ponto 
de interesse pelos valores 
de x . 
2
2
1
1
?
xVxVVV
V
AA
SP
AA
A


Exemplo: 
PTV PARA DETERMINAÇÃO DE REAÇÕES DE APOIO 
EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICOS 
6º PASSO: Achar as reações de Apoio.  iiSP xEEE
Esforço que atua na 
estrutura hiperestática no 
ponto de interesse. 
Esforço que atua no 
sistema principal no ponto 
de interesse. 
Somatório do produto dos 
esforços que atuam nos 
sistemas virtuais no ponto 
de interesse pelos valores 
de x . 
Ou faz o diagrama de corpo livre: 0BM
dxmm
L

0
'
TABELA PARA AVALIAÇÃO DAS INTEGRAIS 
Exemplo 1: 
Calcular as reações da viga hiperestática abaixo: 
CASTIGLIANO PARA DETERMINAÇÃO DE REAÇÕES DE 
APOIO EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICOS (Menabrea) 
1º PASSO: Determinar o grau de hiperestaticidade da estrutura, retirar os vínculos e tratar 
as reações como cargas desconhecidas. 
0
V
A
EI
dx
P
M
M
L
 








0
Carga desconhecida P pode ser tratada como 
sendo nossa reação desconhecida RA 
CASTIGLIANO PARA DETERMINAÇÃO DE REAÇÕES DE 
APOIO EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICOS (Menabrea) 
2º PASSO: Usar método das seções pra calcular o esforço interno (momento) no interior da 
estrura: 
0
V
A









P
M
PMM )(
Depois de calcular a equação do momento em 
função da carga desconhecida P, calcula a 
respectiva derivada. 
CASTIGLIANO PARA DETERMINAÇÃO DE REAÇÕES DE 
APOIO EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICOS (Menabrea) 
3º PASSO: Com a equação do momento e a derivada, montar a equação do cálculo do 
deslocamento no ponto onde P está aplicado e igualar a equação a zero 
0
V
A
Assim consegue-se calcular a reação redundante e calcular as demais reações 
pela euações de equilíbrio 
EI
dx
P
M
M
L
 








0
EI
dx
P
M
M
L
 








0
0
CASTIGLIANO PARA DETERMINAÇÃO DE REAÇÕES DE 
APOIO EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICOS (Menabrea) 
EXEMPLO: A força P é suportada no ponto B por três barras de mesmo material e de 
mesma área de seção transversal. Determine a força em cada barra.