Exame1 de Mecânica Clássica

Prévia do material em texto

Exame de Mecaˆnica Cla´ssica I
(Licenciatura em F´ısica)
14 de janeiro de 2013
Responda apenas a 4 perguntas
1. Sobre uma part´ıcula de massa m actua uma forc¸a atractiva, dirigida para um ponto O, de grandeza µm/r3,
onde r e´ a distaˆncia da part´ıcula ao ponto O. Sabendo que a part´ıcula passa pelo ponto A, a` distaˆncia a de
O, com uma velocidade de grandeza √µ/a e direcc¸a˜o AP , sendo o aˆngulo ÔAP 45o,
(a) determine o momento angular e a energia mecaˆnica da part´ıcula;
(b) mostre que a part´ıcula se move na o´rbita r = a eθ.
(c) caracterize as poss´ıveis o´rbitas da part´ıcula de acordo com a sua energia e momento angular.
2. (a) Uma part´ıcula de massa m move-se sob a influeˆncia do campo grav´ıtico terrestre ao longo da espiral
z = kθ, r = a, onde k, a sa˜o constantes e z e´ a coordenada vertical.Obtenha o Hamiltoniano e as
equac¸o˜es de Hamilton.
(b) Mostre que qualquer grandeza f´ısica A que na˜o depende explicitamento do tempo e´ uma constante do
movimento se satisfizer {A,H} = 0 onde H e´ o Hamiltoniano do sistema.
3. Na figura OA e´ uma haste leve (massa despreza´vel) de comprimento b que gira com velocidade angular Ω
em torno do eixo OB, perpendicular a OA. O centro dum disco de raio a e massa m, esta´ articulado a` haste
OA no ponto A de tal modo que o seu eixo de simetria e´ sempre coplanar a OB.
(a) Determine os momentos principais de
ine´rcia do disco.
(b) Determine o momento angular e a energia
cine´tica do disco supondo que o disco faz
um aˆngulo α com a haste OA.
α
O
B
A
4. Treˆs part´ıculas pontuais de massa m esta˜o ligadas por molas iguais de constante de elasticidade k e com-
primento na posic¸a˜o na˜o deformada a, conforme mostra a figura. A distaˆncia entre os suportes laterias e´
4a.
(a) obtenha o lagrangiano do sistema e as equac¸o˜es de movimento.
(b) determine as frequeˆncias dos modos normais do sistema, que correspondendo a movimentos em que
todas as part´ıculas se movem com a mesma frequeˆncia, procurando soluc¸o˜es da forma qi = qi0 cosωt,
onde qi e´ o desvio da posic¸a˜o de equil´ıbrio da massa i. Indique para cada frequeˆncia de que modo se
deslocam as part´ıculas.
mk km m kk
A
B
y
x
probl. 4 probl. 5
5. Uma das extremidades de uma barra uniforme AB de massa 3m e comprimento 2a roda sem atrito em torno
de um ponto fixo (A) numa superf´ıcie horizontal. A outra extremidade (B) esta´ encostada a uma face de
um cubo de massa m e altura b que se pode mover sem atrito com uma face em contacto com a superf´ıcie
horizontal. O plano vertical atrave´s de AB e´ um plano de simetria. Despreze o atrito entre a barra e o cubo.
(a) Obtenha o Lagrangiano do sistema e as equac¸o˜es do movimento.
(b) Se o sistema e´ abandonado da posic¸a˜o que a figura indica prove que, num instante subsequente em
que a vara faz um aˆngulo θ com a horizontal e ainda esta´ em contacto com o cubo, 2aθ˙2(1 + sin2 θ) =
3g(sinα− sin θ), onde α e´ o valor inicial de θ .
Formula´rio
Velocidade angular em termos dos aˆngulos de Euler relativamente ao sistema de eixos fixo no:
corpo
ωx′ = φ˙ sin θ sinψ + θ˙ cosψ
ωy′ = φ˙ sin θ cosψ − θ˙ sinψ
ωz′ = φ˙ cos θ + ψ˙
laborato´rio
ωx = ψ˙ sin θ sinφ+ θ˙ cosφ
ωy = −ψ˙ sin θ cosφ+ θ˙ sinφ
ωz = φ˙+ ψ˙ cos θ
A =

 cosψ cosφ− cos θ sinφ sinψ cosψ sinφ+ cos θ cosφ sinψ sinψ sin θ− sinψ cosφ− cos θ sinφ cosψ − sinψ sinφ+ cos θ cosφ cosψ cosψ sin θ
sin θ sinφ − sin θ cosφ cos θ

 .