04 Viga Engaste&Balanco

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Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
Não é difícil constatar que, no caso de vigas engastadas e livres, podemos
traçar seus diagramas solicitantes sem determinar as reações de apoio.
DMf
∑Fx= 0 .: HA = 0
∑Fy= 0 .: VA - P .: VA = P
∑MB= 0 .: + MA - VA x L .: MA = P.L
MfB = - P x 0 = 0
MfA;dir = - P x L = - PL, ou,
MfA;esq = - MA = - PL
Traciona Superiores => Negativo.
QB = + P
QA;dir = QA;esq = + P
∑Fx= 0 => Não há.
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Vigas isostáticas: engastada e livre
Viga em balanço: engastada e livre
Considere a viga engastada abaixo, submetida ao carregamento indicado:
DQ
A B
A B
VA = P
HA= 0
MA= P.L
A B
Extremesq => DMfesq
Reações de Apoio
DMf (Vindo pela direita)
DQ (Vindo pela direita)
DN
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Não é difícil constatar que, no caso de vigas engastadas e livres, podemos traçar
seus diagramas solicitantes sem determinar as reações de apoio. 6
Vigas isostáticas: engastada e livre
Viga em balanço: engastada e livre, submetida ao carregamento indicado:
A B
A B
DQ
VA = qL
HA= 0
MA=
���
�
R=qL
�
2�
�
2�
Reações de Apoio
DMf (Vindo pela direita)
DQ (Vindo pela direita)
DN: ∑Fx= 0 => Não há.
∑Fx= 0 .: HA = 0
∑Fy= 0 .: VA - qL .: VA = qL
∑MB= 0 .: + MA - qL x L + qL x
�
�⁄ .:
MA = +
���
�
MfB = - P x 0 = 0
MfA;dir = - qL x
�
�
= -
���
�
MfA;esq = - MA = -
���
�
QB = 0 QA;dir = + qL
QA;esq = + qL (vindo pela esquerda)
A B
Anti-Hor./TracãoSup.=> (-)
DMf
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Vigas isostáticas: engastada e livre
Exercício 1:
Reações de Apoio
∑Fx= 0 .: HA = 0
∑Fy= 0 .: VA - (2 x 4) - 6 .: VA = + 14 kN
∑MC= 0 .: + MA - 14 X 4 + (2 x 4) x 2 + 6 x 2 + 5 .: MA = + 23 kNm
MA
HA
VA
B CA
R = 8kN = 2 x 4
2 m 2 m
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Vigas isostáticas: engastada e livre
Exercício 1:
23
14
B CA
DMf
MfA = - 23 kNm
MfB = - 23 + 14 x 2 - (2 x 2) x 1 = + 1 kNm
MfC = - 23 + 14 x 4 - (2 x 4) x 2 - 6 x 2 = + 5kNm
MfC = + 5 kNm
R = 8kN = 2 x 4
2 m 2 m
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Vigas isostáticas: engastada e livre
Exercício 1:
DMf
MfA = - 23 kNm
MfB;ant = MfB;dep = - 23 + 14 x 2 - (2 x 2) x 1 = + 1 kNm
MfC = - 23 + 14 x 4 - (2 x 4) x 2 - 6 x 2 = + 5kNm
MfC = + 5 kNm
B
C
A
DMf
Vindo pela dir.
Vindo pela esq.
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Vigas isostáticas: engastada e livre
Exercício 1:
23
14
B CA
R = 8kN = 2 x 4
2 m 2 m
DQ
QA = +14 kN
QB;ant = + 14 kN - (2 x 2) = +10 kN
QB;dep = + 10 - 6 = + 4 kN
QC = + 4 – (2 x 2) = 0
Vindo pela esq.
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Vigas isostáticas: engastada e livre
Exercício 1:
DQ
QA = +14 kN
QB;ant = + 14 kN - (2 x 2) = +10 kN
QB;dep = + 10 - 6 = + 4 kN
QC = + 4 – (2 x 2) = 0
B C
A
DQ
Vindo pela esq.
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Vigas isostáticas: biapoiada c/ balanço
Considere a viga biapoiada c/ balanço abaixo, submetida ao carregamento indicado:
Esforços simples resultantes dos trechos em balanço
SAB SCD
MB
VB1
Virtuais 
reações de 
apoio.
MC
VC1
Virtuais 
reações de 
apoio.
Sinal invertido: 
Reação => Ação (Esforço)
(Sussekind,1981)
(Sussekind,1981)
Pode ser calculada separadamente como uma viga engastada e livre => Superposição dos Efeitos.
VB1
VC1
MB
MC
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Vigas isostáticas: biapoiada c/ balanço
Exercício 1:
Reações de Apoio
∑Fx= 0 .: HA = 0
∑MA= 0 .: +2x2 +2x1 - (1x2)x2 - 4x4 + VB x 5 -2x6 - 2x7 .:
VB = (-(+4 +2 -4 -16 -12 - 14))/5 = +40/5 = 8 kN
∑Fy= 0 = -2 -2 + VA - 1x2 - 4 + 8 -2 -2 .: VA = 6 kN
VA VB
BC A LE F G H I J K
R = 2kN = 1 x 2
1 m 1 m
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A cada avanço à ST subsequente:
(i) aumentou-se o “braço” em valor 
correspondente a distância entre as ST;
(ii) acrescentou-se as novas cargas;
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Vigas isostáticas: biapoiada c/ balanço
Exercício 1: R = 2kN = 1 x 2
1 m 1 m BC A LE F G H I J K
6 kN 8 kN
DMf
MfC = MfE = 0
MfF = - 2 x 1 = - 2 kNm
MfA = - 2 x 2 - 2 x 1 = - 6 kNm
MfG = - 2 x 3 - 2 x 2 + 6 x 1 = - 4 kNm
MfH = - 2 x 5 - 2 x 4 + 6 x 3 - (1 x 2) x 1 = - 2 kNm
MfI = - 2 x 6 - 2 x 5 + 6 x 4 - (1 x 2) x 2 = - 2 kNm
MfB = - 2 x 7 - 2 x 6 + 6 x 5 - (1 x 2) x 3 - 4 x 1 = - 6 kNm
MfJ = - 2 x 8 - 2 x 7 + 6 x 6 - (1 x 2) x 4 - 4 x 2 + 8 x 1 = - 2 kNm
MfK = - 2 x 9 - 2 x 8 + 6 x 7 - (1 x 2) x 5 - 4 x 3 + 8 x 2 - 2 x 1 = 0 = MfL = 0 (direita)
V
in
d
o
 p
e
la
 e
sq
.
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Vigas isostáticas: biapoiada c/ balanço
Exercício 1:
BC A LE F G H I J K
DMf
MfC = MfE = 0
MfF = - 2 x 1 = - 2 kNm
MfA = - 2 x 2 - 2 x 1 = - 6 kNm
MfG = - 2 x 3 - 2 x 2 + 6 x 1 = - 4 kNm
MfH = - 2 x 5 - 2 x 4 + 6 x 3 - (1 x 2) x 1 = - 2 kNm
MfI = - 2 x 6 - 2 x 5 + 6 x 4 - (1 x 2) x 2 = - 2 kNm
MfB = - 2 x 7 - 2 x 6 + 6 x 5 - (1 x 2) x 3 - 4 x 1 = - 6 kNm
MfJ = - 2 x 8 - 2 x 7 + 6 x 6 - (1 x 2) x 4 - 4 x 2 + 8 x 1 = - 2 kNm
MfK = - 2 x 9 - 2 x 8 + 6 x 7 - (1 x 2) x 5 - 4 x 3 + 8 x 2 - 2 x 1 = 0 = MfL = 0 (direita)
DMf
V
in
d
o
 p
e
la
 e
sq
.
R = 2kN = 1 x 2
1 m 1 m
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Vigas isostáticas: biapoiada c/ balanço
Exercício 1: R = 2kN = 1 x 2
1 m 1 m BC A LE F G H I J K
6 kN 8 kN
DQ
QC = QE;antes = 0
QE;depois = - 2 kN = QF;antes
QF;depois = - 2 - 2 = -4 kN = QA;antes
QA;depois = - 2 - 2 + 6 = + 2 kN = QG
QH = - 2 - 2 + 6 - (1 x 2) = 0 = QI;antes
QI;depois = - 2 - 2 + 6 - (1 x 2) - 4 = - 4 kN = QB;antes
QB;depois = - 2 - 2 + 6 - (1 x 2) - 4 + 8 = + 4 kN = QJ;antes
QJ;depois = - 2 - 2 + 6 - (1 x 2) - 4 + 8 -2 = + 2 kN = QK;antes
QK;depois = - 2 - 2 + 6 - (1 x 2) - 4 + 8 - 2 - 2= 0 = QL
V
in
d
o
 p
e
la
 e
sq
.
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Vigas isostáticas: biapoiada c/ balanço
Exercício 1:
DQ
QC = QE;antes = 0
QE;depois = - 2 kN = QF;antes
QF;depois = - 2 - 2 = -4 kN = QA;antes
QA;depois = - 2 - 2 + 6 = + 2 kN = QG
QH = - 2 - 2 + 6 - (1 x 2) = 0 = QI;antes
QI;depois = - 2 - 2 + 6 - (1 x 2) - 4 = - 4 kN = QB;antes
QB;depois = - 2 - 2 + 6 - (1 x 2) - 4 + 8 = + 4 kN = QJ;antes
QJ;depois = - 2 - 2 + 6 - (1 x 2) - 4 + 8 -2 = + 2 kN = QK;antes
QK;depois = - 2 - 2 + 6 - (1 x 2) - 4 + 8 - 2 - 2= 0 = QL
DQ
V
in
d
o
 p
e
la
 e
sq
.
B
C
A
LE F G H I
J K
R = 2kN = 1 x 2
1 m 1 m
Descontinuidades 
+/- Fy no DQ!
Bibliografia:
� SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural, vol 1, 6ª ed., Ed. Globo:
1981.
� SORIANO, H. L.; Estática das Estruturas, Ed. Ciência Moderna, 2010.