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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP14 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 15 do Caderno Dida´tico.
Pelo estudo da Aula 15 do Caderno Dida´tico, voceˆ deve ter notado que temos analisado com deta-
lhes as expresso˜es envolvendo func¸o˜es do 1◦ e do 2◦ grau. Deve ter notado, tambe´m, que existem
func¸o˜es polinomiais de grau maiores do que dois. Esse tipo de func¸a˜o tambe´m pode ser explorado
em diversos fenoˆmenos na a´rea financeira.
Por exemplo, o custo C para gerar um produto e´ uma func¸a˜o da quantidade x de unidades produzidas.
Para pequenas quantidades a dependeˆncia pode ser expressa por uma func¸a˜o linear (1o grau), mas a`
medida que aumentamos o nu´mero de unidades produzidas a dependeˆncia pode torna-se na˜o-linear.
As func¸o˜es polinomiais de grau treˆs
C(x) = a3x
3 + a2x
2 + a1x + a0,
onde C e´ medido em unidades moneta´rias e a0, a1, a2 e a3 sa˜o nu´meros reais fixados, podem ser
utilizadas para descrever esse tipo de dependeˆncia. Veja como, no pro´ximo exemplo.
Exemplo 11: A func¸a˜o C(x) = 0.0123x3−0.415x2 + 4.8727x e´ uma func¸a˜o polinomial de terceiro
grau e fornece o custo de produc¸a˜o de um determinado produto ate´ 20 unidades. No gra´fico a
seguir, a curva em azul representa a func¸a˜o y = C(x), voceˆ pode observar por ele que se trata de
uma func¸a˜o na˜o-linear, o custo de produc¸a˜o na˜o e´ diretamente proporcional ao nu´mero de unidades
produzidas. Esse custo aumenta de forma diferente para cada unidade a mais produzida.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
x
4.47
8.183
11.215
13.638
15.526
17.993
19.756
22.104
23.33
24.982
27.132
29.854
y
Embora x e C tenham valores discretos, consideramos, por questo˜es dida´ticas e para esboc¸os de
gra´ficos, que tais varia´veis sa˜o “cont´ınuas” nesse exemplo e nos outros. Em Me´todos Determin´ısticos
II, voceˆs estudara˜o te´cnicas para analisar este tipo de func¸a˜o que sa˜o as taxas de variac¸a˜o e as deri-
vadas.
1Fonte de Refereˆncia: S. B. T. Drew e P. A. P. Borges, Matema´tica Aplicada a` Administrac¸a˜o, Editora Uniju´ı, Rio Grande do Sul,
2009.
Me´todos Determin´ısticos I EP14 2
Um outro tipo de func¸a˜o polinomial bem simples tem a forma f(x) = k xn, onde k, n sa˜o constantes,
k 6= 0 e n e´ um inteiro positivo. Elas sa˜o largamente aplicadas ao se estudar os processos de produc¸a˜o
em uma empresa. Por exemplo, podemos considerar a quantidade produzida P , dependente apenas
da quantidade x de mate´ria prima utilizada na produc¸a˜o. Ou seja, a produc¸a˜o pode ser escrita como
func¸a˜o da quantidade: P = f(x). Nesse sentido, em situac¸o˜es pra´ticas, para alguns processos de
produc¸a˜o, nota-se que a produc¸a˜o e´ proporcional a uma poteˆncia positiva da quantidade x, ou seja,
P = k xn.
Por exemplo:
• se k = 30 e n = 1, obtemos P = 30x. Nesse caso, dizemos que P e´ diretamente proporcional
a x e k = 30 e´ a constante de proporcinalidade.
• Se k = 5, 07 e n = 2, obtemos P = 5, 07x2.
• Se k = 0, 05 e n = 3, obtemos P = 0, 05x3.
Vejamos um outro exemplo.
Exemplo 22: Consideremos uma fa´brica que produz garrafas pla´sticas para refrigerantes. Supondo
que P e´ a quantidade de garrafas produzidas e x e´ a quantidade de capital aplicado na compra de
equipamentos para fabricar tais garrafas, estabeleceu-se a func¸a˜o de produc¸a˜o
P = 0, 05 q3.
onde P e´ medida em milhares de unidades por meˆs e q e´ dada em milhares de reais.
Com base nessas informac¸o˜es, construimos uma tabela que da´ a produc¸a˜o para alguns valores apli-
cados na compra de equipamentos e, em seguida, esboc¸amos o respectivo gra´fico de P .
x: Dinheiro aplicado em equipamentos 0 2 4 6 8 10
P : Garrafas produzidas 0 0,4 3,2 10,8 25,6 50
Tabela 1: Produc¸a˜o de garrafas pla´sticas em func¸a˜o do capital aplicado em equipamentos
Observamos, neste exemplo, que conforme x cresce, o valor de P tambe´m cresce. Quando isso
ocorrer, dizemos que a func¸a˜o produc¸a˜o e´ crescente.
Analisando o comportamento das poteˆncias inteiras e positivas de x da func¸a˜o polinomial
y = f(x) = k xn,
notamos que:
2Fone de refereˆncia: A. C. Murolo e G. A. Bonetto, Matema´tica Aplicada a` administrac¸a˜o, economia e contabilidadade, Editora
Thomson, Sa˜o Paulo, 2004.
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2 4 6 8 10
x0.4
3.2
10.8
25.6
50
y
Figura 1: Produc¸a˜o de garrafas pla´sticas em func¸a˜o do
capital aplicado em equipamentos
• para poteˆncias ı´mpares (y = x, y = x3, y = x5, · · · ), as func¸o˜es sa˜o crescentes para todos os
valores do dom´ınio e seus gra´ficos sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o a origem dos eixos coordenados.
Notamos ainda que para y = x3, y = x5, · · · os gra´ficos tem concavidade voltada para baixo
quando x < 0 e concavidade voltada para cima quando x > 0. Para y = x, cujo gra´fico e´ uma
reta, na˜o ha´ concavidade. Veja a Figura 2 - a).
a) n e´ ı´mpar b) n e´ par
y=x
y=x3
y=x5y=x7
x
y
y=x2
y=x4
y=x6
x
y
Figura 2: Gra´fico de f(x) = xn, onde n e´ um nu´mero inteiro positivo
• para poteˆncias pares (y = x2, y = x4, · · · ), as func¸o˜es sa˜o decrescentes para x < 0 (isto e´,
quando x cresce, y = f(x) decresce) e crescentes para x > 0. Seus gra´ficos tem o formato
de U e sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o ao eixo y. Os gra´ficos tem concavidade voltada para cima.
Veja a Figura 2 - b).
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Exerc´ıcio 1 Fatore as expresso˜es que definem as func¸o˜es e determine onde o gra´fico de f intercepta
o eixo das abscissas (eixo x).
a) f(x) = 3x− x2 b) f(x) = 2x− x3 c) f(x) = x4 − 9
Outro assunto tratado na Aula 15, foi o me´todo dos m´ınimos quadrados que consiste na determinac¸a˜o
da reta r : y = ax + b que melhor ajusta um conjunto de pontos em R2, isto e´, num conjunto de
pontos do plano euclideano. O termo melhor aproximac¸a˜o e´ utilizado no sentido que a reta r tem a
propriedade de que a soma do quadrado das distaˆncias dos pontos dados a` reta r e´ a menor poss´ıvel,
isto e´, para qualquer outra reta, esta soma e´ maior do que para r. A seguir, vamos mostrar como
encontrar a e b. Na˜o nos deteremos para justificar porque “o me´todo funciona” (isto e´, por que nos
da´ a reta desejada), pois necessitar´ıamos de conhecimentos de a´reas da matema´tica que ainda na˜o
temos nesta disciplina. Vamos, em vez disso, ver cuidadosamente como usar o me´todo atrave´s do
exemplo a seguir para ver como ele funciona.
Exemplo 3: Determine, pelo me´todo dos m´ınimos quadrados, uma func¸a˜o linear afim que aproxima
o conjunto de pontos do plano cartesiano, apresentado pela tabela a seguir.
ponto x y
A 6 9
B 17 20
C 11 16
D 10 11
Tabela 2: Exemplo
Para determinar a reta procurada y = ax + b, tente seguir os passos indicados na resoluc¸a˜o deste
exemplo.
De acordo com a descric¸a˜o do me´todo dos m´ınimos quadrados no Caderno Dida´tico, as fo´rmulas
para o ca´lculo dos coeficientes a e b sa˜o dadas por:
a =
∑
xy − n · x¯ · y¯∑
x2 − n · x¯2 (1)
b = y¯ − ax¯, (2)
onde os somato´rios sa˜o feitos sobre todos os pontos x e y dados. x¯ e y¯ sa˜o as me´dias aritme´ticas
dos valores de x e de y, respectivamente, e n e´ o nu´mero de pontos na tabela. Para facilitar, vamos
comec¸ar estendendo a tabela de forma que para cada par ordenado (x, y) ja´ tenhamos os valores x2
e xy.
a) Acrescente na Tabela 2 dada mais duas colunas, uma para o produto xy e outra para x2. Para
cada ponto calcule estes valores, preenchendo as novas colunas, correspondentes a cada ponto,
com eles. Nossa tabela aumentada fica assim:
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ponto x yxy x2
A 6 9 54 36
B 17 20 340 289
C 11 16 176 121
D 10 11 110 100
Ao observar a fo´rmula para o ca´lculo do coeficiente a, note que precisamos fazer o somato´rio
dos valores xy obtidos e tambe´m dos valores x2.
b) Acrescente mais uma linha no fim da tabela do item a) e preencha os dois u´ltimos campos desta
linha com
∑
xy e
∑
x2, considerando todos os pontos da tabela ao calcular os somato´rios.
Nossa tabela aumentada, agora fica assim:
ponto x y xy x2
A 6 9 54 36
B 17 20 340 289
C 11 16 176 121
D 10 11 110 100
Soma: 680 546
Precisamos tambe´m das me´dias x¯ e y¯. Lembre-se, para calcular a me´dia de n nu´meros basta
soma´-los e dividir por n.
c) Preencha os dois campos anteriores que ficaram faltando e acrescente mais uma linha na tabela
do item b). Preencha tambe´m os dois primeiros campos desta linha nova com as me´dias x¯ e
y¯. Nossa tabela aumentada fica assim:
ponto x y xy x2
A 6 9 54 36
B 17 20 340 289
C 11 16 176 121
D 10 11 110 100
Soma: 44 56 680 546
Me´dia: 11 14
Lembre-se que como temos 4 pontos, n = 4. Agora, vamos substituir os dados desta tabela
na Fo´rmula (1) para encontrar a.
d) Calcule o coeficiente a.
a =
∑
xy − n · x¯ · y¯∑
x2 − n · x¯2 =
680− 4 · 11 · 14
546− 4 · 112 =
680− 616
546− 484 =
64
62
=
32
31
Tendo o valor de a, podemos encontrar b usando a Fo´rmula (2).
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e) Calcule o coeficiente b.
b = y¯ − ax¯ = 14− 32
31
· 11 = 434− 352
31
=
82
31
f) Escreva a equac¸a˜o da reta, que melhor aproxima os dados da tabela, obtida pelo me´todo dos
m´ınimos quadrados .
y =
32
31
x +
82
31
A seguir, desenhamos no plano euclidiano a reta obtida e os pontos da Tabela 2.
A
B
C
D
-5 5 10 15 20 25
x
-5
5
10
15
20
25
y
Exerc´ıcio 2 Encontre, pelo me´todo dos m´ınimos quadrados, uma aproximac¸a˜o linear (diz-se tambe´m,
uma aproximac¸a˜o por uma func¸a˜o linear afim) para a relac¸a˜o de pontos dada pela Tabela 3. Siga
os procedimentos do Exemplo C, mas antes, fac¸a os itens 1 e 2 da Atividade Eletroˆnica M´ınimos
Quadrados na Plataforma. Depois de ter determinado a aproximac¸a˜o, fac¸a o item 3 da Atividade
Eletroˆnica M´ınimos Quadrados na Plataforma.
Ponto x y
A 2 2
B 7 4
C 4 2
D 5 4
Tabela 3: Exerc´ıcio 2
Notemos que no exerc´ıcio anterior pede-se para se determinar uma reta que aproxima um conjunto
de pontos. Compreenda a diferenc¸a dele com os pro´ximos dois exerc´ıcios.
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Exerc´ıcio 3 (Exerc´ıcio envolvendo a equac¸a˜o da reta que conte´m dois pontos) Determine uma func¸a˜o linear
afim cujo gra´fico conte´m os pontos P1 = (1, 5 ; 4) e P2 = (2; 6).
Exerc´ıcio 4 (Exerc´ıcio envolvendo a equac¸a˜o da reta que conte´m um ponto, com coeficiente angular conhecido)
Determine uma func¸a˜o linear afim cujo gra´fico conte´m o ponto P (−2, 1) e tem inclinac¸a˜o a = 5.
Exerc´ıcio 5 Represente geometricamente os conjuntos abaixo:
a) C1 = {(x, y) ∈ R2 : x = y e |y| ≤ 2}
b) C2 = {(x, y) ∈ R2 : |x| > 1 e |y| ≤ 3}
c) C3 = {(x, y) ∈ R2 : |2x− y| < 2}
d) C4 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 4}
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