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Unidade II TEORIA DOS NÚMEROS Prof. Gastón A. C. Henriquez Os diferentes tipos de demonstração Método das ciências naturais: “indução empírica”. Na matemática: 1. Para provar que uma afirmação é falsa, basta encontrar um contraexemplo.basta encontrar um contraexemplo. 2. Para provar que uma afirmação é verdadeira, é necessário verificá-la para todas as situações em que ela se aplica. Validade de um teorema matemático Portanto, a validade de um teorema matemático se estabelece de forma diferente. Uma afirmação ser verdadeira em um grande número de situações particulares não permite afirmar que ela seja válida A indução matemática é umseja válida. A indução matemática é um princípio postulado por Peano, que resolve tal problema para os números naturais, ou seja, se uma propriedade é verificada para o zero e sempre verificada para um número natural n, também podepara um número natural n, também pode ser verificada para seu sucessor n+1; então, a propriedade é verificada para todos os números naturais. Princípio da indução completa Seja p um número inteiro dado, suponhamos que seja feita uma afirmação a respeito de cada número inteiro n ≥ p, de forma que: 1. A afirmação seja válida para n = p. 2. Se a afirmação é válida para algum inteiro n = k, então também é válida para n = k + 1. Então, a afirmação é válida para todo inteiro n ≥ p.inteiro n ≥ p. Exemplo Observe que: 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 Vamos demonstrar que a soma dos n primeiros números ímpares positivos é igual a n2. Continuação do exemplo Lembremos que um número ímpar positivo pode ser escrito na forma 2n – 1. Sendo assim: o primeiro ímpar positivo é 1 = 2.1 – 1 o segundo ímpar positivo é 3 = 2 2 1 o segundo ímpar positivo é 3 = 2.2 – 1 o terceiro ímpar positivo é 5 = 2.3 – 1 e assim por diante. Então, queremos demonstrar que: 1 + 3 + 5 + + (2n 1) = n2 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2. Demonstração 1. A afirmação é válida para n = 1, pois 1 = 12. 2. Vamos mostrar que, se a afirmação for válida para n = k, então também será válida para n = k+1. De fato, se 1+3+5+...+ (2k – 1) = k2, então: 1+3+5+ ... +(2k–1)+[2(k+1)-1] = k2+ [2(k+1)-1] 1+3+5+ ... +(2k–1)+[2(k+1)-1] = k2+ 2k+2-1 1+3+5+ ... +(2k–1)+[2(k+1)-1] = k2+ 2k+1 1+3+5+ ... +(2k–1)+[2(k+1)-1] = (k+1)2 c.q.d. Princípio forte da indução Seja m um número natural e A o conjunto de todos os naturais maiores ou iguais a m, ou seja, A = {m, m+1, m+2, ...}, vamos considerar uma propriedade P(n) sobre números naturais tal que: I. P(m) é verdadeira. II. Se P(r) é verdadeira para todo r tal que m ≤ r ≤ k, então P(k+1) é verdadeira. Então, P(n) é verdadeira para todo n pertencente ao conjunto A.pertencente ao conjunto A. Cuidado! Lembrete: é preciso ter cuidado com o princípio de indução matemática, que exige que se provem duas proposições separadamente. Exemplo Seja a sequência (a1, a2, a3, ...) definida da seguinte forma: a1 = 1, a2 = 3, an = an-1 + an-2, para n ≥ 3, ou seja, a sequência é (1, 3, 4, 7, 11, 18, ...), queremos demonstrar que, para cada n, vale a desigualdade: an < (7/4)n Demonstração 1. Para n = 1, temos a1 = 1 < (7/4)1 2. Para n = 2, temos a2 = 3 < (7/4)2 3. Seja k ≥ 2, vamos supor que a afirmação seja válida para todo inteiro positivo menor ou igual a k. Queremos provarmenor ou igual a k. Queremos provar que ak+1 < (7/4)k+1. Continuação da demonstração (I) Da hipótese, como supusemos a afirmação válida para todo inteiro positivo menor ou igual a k, temos que: 1. ak< (7/4)k 2. ak 1<(7/4)k-12. ak-1 (7/4) Logo, ak + ak-1 < (7/4)k + (7/4)k+1 Pela definição da sequência: ak+1 = ak + ak-1 . Continuação da demonstração (II) Portanto, ak+1< (7/4)k + (7/4)k-1 = = (7/4)k-1((7/4) +1) = (7/4)k-1.(11/4) Como (11/4) < (7/4)2, temos: ak+1 < (7/4)k-1.(7/4)2 = (7/4)k+1, como queríamos demonstrar. Sobre os dois métodos Ambos usam recorrência. Ambos necessitam de uma afirmação que é válida inicialmente. No primeiro modo, mostramos que, se a afirmação é válida para um inteiro k,afirmação é válida para um inteiro k, também é válida para k+1. No segundo modo, mostramos que, se a afirmação é válida para todo inteiro menor ou igual a k (e maior do que o valor para o qual inicialmente é válida),valor para o qual inicialmente é válida), então é válida para k+1. Interatividade O princípio da indução completa demonstra afirmações matemáticas: a) Através de um grande número de exemplos. b) Através de contraexemplos.b) Através de contraexemplos. c) Provando que tal afirmação é válida em um caso inicial e depois provando que, se for válida para um número qualquer, também o será para seu sucessor. d) Verificando se as afirmações sãod) Verificando se as afirmações são aplicáveis na vida prática. e) Negando as afirmações contrárias. Múltiplos e divisores Exemplo 1: Seja M(12) o conjunto de todos os múltiplos de 12: M(12) = {..., -36, -24, -12, 0, 12, 24, 36, ...} Exemplo 2:Exemplo 2: Seja D(12) o conjunto de todos os divisores de 12: D(12) = {-1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -6, 6, -12, 12} Ao escrevermos a igualdade 12 = 2 6Ao escrevermos a igualdade 12 = 2.6, estamos dizendo que: 1. 12 é múltiplo de 2 e de 6. 2. 2 e 6 são divisores de 12. 3. 12 é divisível por 2 e por 6. Propriedades e notação Os múltiplos de um inteiro m são escritos na forma k.m, em que k é inteiro. Propriedades dos múltiplos: 1. km + pm = (k + p)m (a soma de dois múltiplos de m também é múltipla de m).múltiplos de m também é múltipla de m). 2. (km).(pm) = (kmp)m (o produto de dois múltiplos de m também é múltiplo de m). Notação para divisores: Se k é um divisor de q, dizemos que k divide q e usamos a notação: k ׀ q. Mais propriedades Qualquer inteiro m é divisor de zero, pois 0 = 0.m (observe que zero não é divisor de nenhum número). 1 divide todo número inteiro m, pois m = m.1 Todo inteiro m divide a si mesmo (m׀m), pois m = m.1 Para quaisquer p, q e r inteiros, temos: Se p׀q e q׀p, então p=q. Se p׀q e q׀r, então p׀r. Se p׀q e p׀r, então p׀(qx + ry), quaisquer que sejam os inteiros x e y. Números primos Um número é primo se o conjunto de seus divisores é {-1, 1, -p, p} Observações: 1. Números que não são primos são compostos.compostos. 2. Os números 2 e -2 são os únicos pares que são primos. 3. -1 e 1 não são primos. 4. Se o maior divisor comum entre dois números é 1, dizemos que esses números são primos entre si ou relativamente primos. A divisão euclidiana Considere o exemplo: Dividindo-se 11 por 4, obtemos quociente 2 e resto 3. Sendo assim, podemos escrever a igualdade: 11 = 2.4 + 311 2.4 3 Dividindo-se um inteiro a por outro inteiro não nulo b, obtemos quociente q e resto r, então escrevemos a igualdade: a = q.b + r (com b diferente de zero e r<b) Se r = 0, a divisão é exata e q e b são divisores de a. Exemplo Dividindo-se um inteiro n por 5, obtém-se resto 1, mas dividindo-se n por 6, o quociente diminui em uma unidade e a divisão fica exata. Determine o número n. Resolução: Na divisão por 5, vamos obter quociente q e resto 1, e na divisão por 6 vamos obter quociente (q-1) e resto 0; assim: n = 5q + 1 (I) n = 6(q 1) (II) n = 6(q-1) (II) Igualando-se as equações I e II, obtemos: q = 7 e n = 36. Interatividade O quociente e o resto na divisão euclidiana de a por b em que a = -124 e b = 18 são, respectivamente: a) q = -7 e r = 18 b) q = 7 e r = 18b) q 7 e r 18 c) q = -7 e r = 2 d) q = -7 e r = 17 e) q = -7 e r = 0 Representação de inteirosem uma base Exemplo: 257 = 2.100 + 5.10 + 7.1 = = 2.102 + 5.101 + 7.100 Teorema: Sejam a e b números naturais, com b não nulo e 1 < a , então, existem naturais r0, r1, ..., rn, tais que b = rn.an + rn-1.an-1 + ... + r1.a + r0 (com as condições de que n é natural, rn diferente de zero e que, para todo i, 0 ≤ ri < a). Essa representação é única. Exemplo 1: Escrever o número (110)2 na base decimal: (110)2 = 1.22 + 1.21 + 0.20 = = 1.4 + 1.2 + 0.1 = 4 + 2 + 0 = 6 Exemplo 2 Passar o número 21, escrito na base decimal, para a base binária: 21 dividido por 2 tem quociente 10 e resto 1 10 dividido por 2 tem quociente 5 e resto10 dividido por 2 tem quociente 5 e resto 0 5 dividido por 2 tem quociente 2 e resto 1 2 dividido por 2 tem quociente 1 e resto 0 1 dividido por 2 tem quociente 0 e resto 1 Copiam-se os restos na ordem inversa: (10101)2 Concluindo o exemplo 2: De fato: (10101)2 = 1.24 + 0.23 + 1.22 + 0.21 + 1.20 = = 1.16 + 0.8 + 1.4 + 0.2 + 1.1 = = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 21 Interatividade Escrevendo-se o número (11)2 na base 10, obtemos: a) 2 b) 3 c) 5c) 5 d) 10 e) 11 Maior Divisor Comum – MDC Sejam dois números inteiros a e b, sendo ao menos um deles diferente de zero, o máximo divisor comum de a e b é um número inteiro d tal que: (i) d׀a e d׀b (ii) Se c é um número inteiro tal que c׀a e c׀b, então c׀d. Assim, chama-se máximo divisor comum, ou maior divisor comum de a e b, o maior dos seus divisores comuns, isto é:dos seus divisores comuns, isto é: MDC(a,b)=maxD(a,b) Exemplo 1 1. Para um número inteiro dado, indicar por D(a) o conjunto de seus divisores e M(a) o conjunto de seus múltiplos: a) D(2) = {1, -1, 2, -2} e M(2) = {0, ±2, ±4, ±6, ...}. b) D(-3) = {1, -1, 3, -3} e M(-3) = {0, ±3, ±6, ±9, ...}. c) D(0) = Z e M(0) = {0}. d) D(3) = {1, -1, 3, -3} e M(3) = {0, ±3, ±6, ±9, }...}. e) D(1) = {1} e M(1) = Z. Exemplo 2 Utilizando os resultados do exercício anterior: D(3) = {1, -1, 3, -3} e M(3) = {0, ±3, ±6, ±9, ...}. D(-3) = {1, -1, 3, -3} e M(-3)={0, ±3, ±6, ±9, ...}. D(1) = {1} e M(1) = ZD(1) = {1} e M(1) = Z Obtém-se: I. MDC(3, 3) = 3 II. MDC(3, -3) = 3 III MDC(1 -3) = 1III. MDC(1, -3) = 1 IV.MDC(1, 3) = 1 Mínimo Múltiplo Comum – MMC Sejam a e b números inteiros, excluído o zero, o mínimo múltiplo comum de a e b é um número inteiro m tal que: a׀m e b׀m Se c é um número inteiro tal que a׀c eSe c é um número inteiro tal que a׀c e b׀c, então m׀c. Assim, chama-se mínimo múltiplo comum de a e b o menor dos seus múltiplos positivos comuns, isto é: MMC(a b)=minM(+)(a b)MMC(a,b)=minM(+)(a,b) Exemplo Em exemplo anterior, foi constatado que: D(3) = {1, -1, 3, -3} e M(3) = {0, ±3, ±6, ±9, ...} D(1) = {1} e M(1) = Z Assim: I. MDC (3, 3) = 3 II. MDC (1, 3) = 1 Congruências Definição: Seja m um número inteiro, maior do que 1, dados dois números inteiros x e y, dizemos que x é côngruo a y, módulo m, se e somente se m dividir x-y (o que é representado por m׀(x-y) ). Exemplo Pode-se afirmar que: I. 152≡5(mod 7), uma vez que 7׀(152-5) II. -152≡2(mod 7), uma vez que 7׀(-152-2) Interatividade Seja A subconjunto de Z e definido como A = {-1, 0, 1, 2, 3...}, assinale a alternativa falsa: a) Os números -1, -2, -3, ... são limites inferiores de A. b) O mínimo do conjunto A é -1. c) O subconjunto A de Z é limitado inferiormente. d) O subconjunto A de Z não é limitado superiormentesuperiormente. e) Os números -1, -2, -3, ... são limites superiores de A. ATÉ A PRÓXIMA!
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