Relatório Radiação de Corpo Negro

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Radiac¸a˜o de Corpo Negro
Fabio Rasera, Luan Bottin De Toni
3 de Julho de 2016
Resumo
O presente relato´rio descreve um experimento feito com o intuito
de estudar a radiac¸a˜o de corpo negro. Atrave´s de medidas das proprie-
dades te´rmicas e luminosas de um filamento de tungsteˆnio foi poss´ıvel
analisar como o mesmo irradia em baixas e altas temperaturas. Ao
verificar-se que o filamento se comporta analogamente a um corpo
negro quando em altas temperaturas foi poss´ıvel, ainda, estimar um
valor para a constante de Planck.
1 Introduc¸a˜o
O estudo do fenoˆmeno de radiac¸a˜o te´rmica foi de extrema importaˆncia
na histo´ria da f´ısica, tendo impactado fortemente as estruturas da teoria
vigente na e´poca. Foi na tentativa de descrever matematicamente a radiac¸a˜o
de corpo negro que a f´ısica cla´ssica teve suas limitac¸o˜es expostas, levando
a` du´vida a validade de fundamentos que sustentavam muitos dos avanc¸os
adquiridos ate´ enta˜o. Foi da urgeˆncia de resolver o problema do corpo negro
que nasceu um postulado revoluciona´rio, do qual futuramente proliferaram
inu´meros avanc¸os. Este postulado propunha a quantizac¸a˜o da energia dos
osciladores, e fora apresentado por Max Planck (1858-1947) em seu artigo
”Sobre a Teoria da Lei de Distribuic¸a˜o de Energia do Espectro Normal”, no
ano de 1900.
A radiac¸a˜o te´rmica e´ aquela emitida por um corpo devido a` sua tempera-
tura. Os corpos negros sa˜o corpos que emitem espectros te´rmicos de cara´ter
universal, ou seja, que na˜o dependem do material que constitui o corpo. O
nome de corpo negro vem diretamente de sua definic¸a˜o: corpos cujas su-
perf´ıcies absorvem toda a radiac¸a˜o te´rmica incidente sobre eles. Assim, toda
a radiac¸a˜o emitida por um corpo negro e´ radiac¸a˜o te´rmica.
1
2 Referencial Teo´rico
2.1 Espectro de Corpo Negro
Os corpos negros sa˜o corpos ideais, mas uma aproximac¸a˜o experimental
da radiac¸a˜o de corpo negro pode ser encontrada na radiac¸a˜o de uma cavi-
dade.Suponha um corpo com uma cavidade muito pequena, de forma que
qualquer radiac¸a˜o que adentre este corpo atrave´s da cavidade devera´ refletir
diversas vezes em seu interior antes que possa voltar a sair pela cavidade
novamente, tendo, assim, alta probabilidade de ser absorvida neste processo.
Isto independera´ do material do corpo e assim a cavidade devera´ irradiar
analogamente a um corpo negro, absorvendo praticamente toda a radiac¸a˜o
que incide sobre a cavidade. Partindo de uma idealizac¸a˜o deste sistema,
Lord Rayleigh (1842-1919) e Sir James Jeans (1877-1946) propuseram a Lei
de Rayleigh-Jeans no in´ıcio do se´culo XX, que formulava matematicamente a
radiac¸a˜o espectral de uma cavidade. Rayleigh e Jeans obtiveram a seguinte
expressa˜o para a densidade de energia no intervalo de frequeˆncia de λ a λ+dλ
do espectro de corpo negro de uma cavidade a temperatura T:
ICN(λ, T )dλ = 8pik
T
λ4
dλ (2.1)
No limite de baixas frequeˆncias, o espectro cla´ssico se aproxima dos resul-
tados experimentais, mas a` medida que a frequeˆncia cresce, esta expressa˜o
tende a infinito. Como, por experieˆncia, podemos confirmar que a densidade
de energia sempre permanece finita, a previsa˜o da Lei de Rayleigh Jeans e´
absurda, e esta previsa˜o de energia infinitamente crescente ficou conhecida
como a ”cata´strofe do ultravioleta”.
Max Planck abordou o problema tratando a energia como uma varia´vel
discreta ao inve´s de cont´ınua, e admitindo que esta fosse dependente da
frequeˆncia, contradizendo as definic¸o˜es bem estabelecidas da f´ısica cla´ssica.
A relac¸a˜o que Planck utilizou para quantizar a energia foi:
E =
hc
λ
(2.2)
Assim surgiu a constante de Planck, hoje reconhecida como uma cons-
tante universal. Utilizando a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de Boltzmann, como
fizera Rayleigh e Jeans, Planck chegou a uma nova expressa˜o para o espectro
de corpo negro, devido apenas a` discretizac¸a˜o da energia dos osciladores. O
espectro de corpo negro obtido por Planck fora:
ICN(λ, T )dλ =
8pihc
λ5
1
ehc/λkT − 1dλ (2.3)
2
Figura 1: Radiaˆncia espectral de um corpo negro em func¸a˜o do comprimento
de onda para diferentes temperaturas.
Na figura 1 vemos o contraste entre a fo´rmula de Planck para diferentes
temperaturas e a previsa˜o cla´ssica.
A partir da expressa˜o obtida por Planck e´ poss´ıvel derivar a lei de Stefan-
Boltzmann, basta integrar a lei de Planck sobre todo o espectro de compri-
mento de onda, obtendo assim a energia total irradiada por unidade de a´rea
superficial e unidade de tempo. Teˆm-se a seguinte equac¸a˜o:
ISB(T ) = σT
4 , (2.4)
onde σ e´ a constante de Stefan-Boltzmann. Ao tomarmos a equac¸a˜o 2.3 e
analisarmos o que acontece para pequenos comprimentos de onda e baixas
temperaturas, veˆ-se que ehc/λkT >> 1, assim, chega-se a aproximac¸a˜o de
Wien:
S(λ, T ) =
8pihc
λ5
e−hc/λkT (2.5)
2.2 Radiac¸a˜o de um Corpo Real
Neste relato´rio analisaremos a radiac¸a˜o te´rmica de um filamento de tungsteˆnio,
assim, devemos contabilizar a contribuic¸a˜o de diversos fatores que na˜o sa˜o
3
levados em conta na emissa˜o de um corpo negro, que e´ um corpo ideal. Pri-
meiramente, sabemos que corpos reais na˜o sa˜o capazes de absorver absolu-
tamente toda radiac¸a˜o incidente sobre eles, de forma que a radiac¸a˜o emitida
devera´ levar em conta a composic¸a˜o do material. Ale´m disso, como a tempe-
ratura ambiente do nosso laborato´rio e´ maior que 0K, enta˜o o corpo estudado
tambe´m absorvera´ alguma energia do ambiente. Reescrevemos a equac¸a˜o 2.4
multiplicando pela a´rea para tomar a poteˆncia total de emissa˜o superficial e
ajustamos a` condic¸o˜es mais realistas:
PSB = εσA(T
4 − T 40 ) , (2.6)
onde ε representa a capacidade de emissa˜o por radiac¸a˜o da superf´ıcie do
material e A e´ a a´rea superficial do mesmo.
O filamento, quando aquecido, devera´ trocar energia com o ambiente por
treˆs formas: difusa˜o, convecc¸a˜o e radiac¸a˜o. Assim, podemos generalizar a
expressa˜o que descreve a taxa de emissa˜o de energia do filamento de tal
forma:
P (T ) = D(T − T0) + εσA(T 4 − T 40 ) , (2.7)
onde D e´ uma constante relacionada a` difusa˜o te´rmica.
Ale´m destas considerac¸o˜es, e´ preciso ter conscieˆncia das aproximac¸o˜es re-
alizadas, pois estas sera˜o fontes de erro no experimento. Consideramos que o
filamento de tungsteˆnio tera´ temperatura homogeˆnea, pore´m, a corrente, ao
passar pelo fio, esquentara´ mais o interior que o exterior. Como utilizamos
a temperatura da superf´ıcie do filamento na lei de Stefan-Boltzman, e essa
sera´ menor que a temperatura me´dia do fio, isto acarreta um erro a`s medi-
das. Outra aproximac¸a˜o e´ a de que o fio estara´ a mesma temperatura ao
longo de sua extensa˜o, quando, na verdade, as pontas do fio estara˜o a menor
temperatura.
O experimento realizado procura verificar a lei de Stefan-Boltzmann, ob-
servando que para altas temperaturas o filamento de tungsteˆnio se comporta
analogamente a um corpo negro. Iremos tambe´m, estimar experimentalmente
a constante de Planck para avaliar a qualidade dos resultados.
3 Relac¸a˜o entre Resisteˆncia e Temperatura
Para verificarmos a lei de Stefan-Boltzmann e´ preciso encontrar uma ma-
neira de determinar a temperatura de uma laˆmpada incandescente conforme
a voltagem aplicada ao filamento, variando seu brilho (poteˆncia) e sua re-
sisteˆncia. Sabe-se que, dado um potencial ele´trico V e uma corrente ele´trica
4
i, a poteˆncia pode ser expressa como:
P = V i (3.1)
A resisteˆncia ele´trica de um fio, que pode ser definida como a capacidade
de um corpo qualquer se opor a` passagem de corrente ele´trica, pode ser
escrita como:
R =
V
i
(3.2)
que tambe´m pode ser expressa em func¸a˜o de seu comprimento L, da a´rea de
sua sec¸a˜o transversal A, e da resistividade ρ do material de tal forma que:
R = ρ
L
A
(3.3)
Tais grandezas sa˜o dependentes da temperatura.Sendo α o coeficiente
de dilatac¸a˜o linear, L0 e A0 o comprimento e a´rea na temperatura ambiente
T0, podemos expressar L e A de forma a considerar a dilatac¸a˜o te´rmica:
L = L0(1 + α(T − T0)) (3.4)
A = A0(1 + 2α(T − T0)) (3.5)
Para analisar a dependeˆncia da resistividade com a temperatura utilizou-
se de uma tabela de dados fornecida pelo professor e que pode ser encontrada
na literatura [3], tal tabela mostra o valor da resistividade do filamento de
tungsteˆnio para va´rias temperaturas. Em posse de tais dados, podemos
inserir-los em um gra´fico e ver que tipo de curva melhor descreve tal de-
pendeˆncia.
Nota-se na figura 2 que o ajuste linear na˜o e´ adequado, pois alguns pon-
tos encontram-se relativamente distantes da curva. Ao ajustar uma curva
quadra´tica nota-se que a linha de tendeˆncia passa por todos os pontos e,
ale´m disso, pode-se verificar que o coeficiente de correlac¸a˜o R2 retornado
pelo programa Gnuplot possui valor maior para a curva quadra´tica indi-
cando que esta e´ mais adequada. Portanto, pode-se expressar a dependeˆncia
da resistividade com a temperatura da forma:
ρ = ρ0 + ρ1(T ) + ρ2(T )
2 , (3.6)
onde ρ0 e´ a resistividade quando ∆T = 0, ou seja, na temperatura ambiente.
Vejamos, agora, como fica a expressa˜o 3.6 ao isolar a temperatura:
T =
−ρ1 ±
√
ρ21 − 4ρ2(ρ0 − ρ)
2ρ2
5
 0
 20
 40
 60
 80
 100
 120
 140
 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
ρ(
µO
h
m
/c
m
)
T(K)
Dados
Ajuste quadrático: g(x)=1,88.10−6x2 + 0,0275x − 3,5 | R2=0,99996
Ajuste linear: f(x)=0,0349x − 8,9 | R2=0,99769
Figura 2: Relac¸a˜o da resistividade pela temperatura com curvas linear e
quadra´tica ajustadas.
Vemos que, apesar de um ajuste satisfato´rio, a relac¸a˜o quadra´tica nos
fornece uma expressa˜o complicada para encontrar a temperatura, ale´m de
depender das constantes ρ1 e ρ2 que podem ser calculadas a partir da linha
de tendeˆncia. Na busca de uma relac¸a˜o mais pra´tica de se trabalhar, e´
suposta uma relac¸a˜o poteˆncia da forma:
ρ = ρ0
(
T
T0
)γ
(3.7)
Fazendo tal ajuste para os dados fornecidos (figura 3), encontra-se um
valor de γ ' 1, 22 e, ao analisar o coeficiente de correlac¸a˜o, este se mostra
menor que o do ajuste quadra´tico, ainda que satisfato´rio, indicando que o
presente ajuste e´ menos preciso, apesar de mais pra´tico.
6
 0
 20
 40
 60
 80
 100
 120
 140
 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
ρ(
µO
h
m
/c
m
)
T(K)
Dados
Ajuste geométrico: f(x)=0.005x1.22 | R2=0.99983
Figura 3: Gra´fico de T x ρ com curva geome´trica ajustada.
Para expressar a temperatura em func¸a˜o da resisteˆncia do filamento na
forma da equac¸a˜o 3.7, utiliza-se a expressa˜o da resisteˆncia 3.3 e, considerando
que o coeficiente de dilatac¸a˜o te´rmica para o tungsteˆnio e´ α = 4, 5.10−6K−1,
ou seja, α << 1 e portanto L = L0 e A = A0, obteˆm-se uma expressa˜o para
o ca´lculo da temperatura a partir da resisteˆncia medida do filamento:
T ′ = T0
(
R
R0
)1/γ
(3.8)
Outra forma de calcular a temperatura do filamento e´ considerando sua
dilatac¸a˜o te´rmica, sendo que a expressa˜o acima fica na forma:
T ′′ = T0
(
R
R0
)1/γ (
1 + 2α(T − T0)
1 + α(T − T0)
)
Para utilizar tal expressa˜o precisamos de uma estimativa da temperatura
que se encontra multiplicando o coeficiente de dilatac¸a˜o. Para estima´-lo
primeiramente podemos considerar α = 0, ou seja, utilizar a expressa˜o 3.8
como a temperatura T . Fazendo essa substituic¸a˜o, e identificando o primeiro
termo da multiplicac¸a˜o como T ′, temos que:
T ′′ = T ′
(
1 + 2α(T ′ − T0)
1 + α(T ′ − T0)
)
(3.9)
7
Os dois me´todos para determinac¸a˜o da temperatura apresentados acima
baseiam-se no expoente γ determinado a partir do gra´fico 3.
Se desprezarmos a dilatac¸a˜o te´rmica na equac¸a˜o 3.3 obtemos:
R = R0 +R1(∆T ) +R2(∆T )
2 (3.10)
e
R = R0
(
T
T0
)g
(3.11)
Tais expresso˜es sa˜o semelhantes a`s da resistividade, mostrando que pode-
se utilizar a mesma representac¸a˜o gra´fica para um conjunto de dados da
resisteˆncia e temperatura. Neste caso sera´ encontrado, na ana´lise dos da-
dos obtidos, um expoente g diferente de γ por se tratar de um gra´fico da
resisteˆncia por temperatura, e na˜o mais da resistividade. Portanto, obte-
mos um terceiro me´todo para determinac¸a˜o da temperatura ao isolar T na
expressa˜o acima:
T ′′′ = T0
(
R
R0
)1/g
(3.12)
onde o expoente g sera´ determinado posteriormente na ana´lise a partir do
ajuste no gra´fico da resisteˆncia pela poteˆncia.
4 Materiais Utilizados
• Laˆmpada de tungsteˆnio com poteˆncia de 20 W e tensa˜o de 12 V;
• Um fotodiodo com filtro de λ = 950(±150)nm;
• Treˆs mult´ımetros com escalas e preciso˜es variadas;
• Treˆs fontes de tensa˜o de 50V;
• Um termopar com precisa˜o de 0, 1◦C.
5 Procedimentos
Primeiramente mediu-se a temperatura ambiente T0 com um termopar e
a tensa˜o proveniente da luminosidade do ambiente no fotodiodo, a partir de
um mult´ımetro associado em paralelo que posteriormente foi utilizado para
medir a luminosidade da laˆmpada. O circuito foi montado de forma que um
mult´ımetro estivesse em se´rie para medir a corrente ele´trica atuante, e um
8
outro mult´ımetro ligado em paralelo a` lampaˆda para medir a diferenc¸a de
potencial aplicada a ela.
Procurou-se distanciar o fotodiodo da laˆmpada de forma que o sinal cap-
tado por este na˜o passasse de 6V , isso foi feito variando a tensa˜o nas fontes
ate´ que chegasse ao valor ma´ximo que seria utilizado no experimento.
Na coleta de dados realizadas no laborato´rio (que na˜o corresponde aos
dados utilizados), apo´s o circuito pronto e o fotodiodo devidamente distanci-
ado comec¸ou a coleta de dados, variando a tensa˜o nas fontes em um intervalo
de 1V ate´ que chegasse a 15V , apo´s isso o intervalo foi aumentado para 5V
ate´ o valor final de 130V .
E´ importante ressaltar que os dados coletados pelo grupo, por na˜o se
mostrarem satisfato´rios, foram descartados posteriormente, sendo que o pre-
sente relato´rio baseia-se em dados fornecidos pelo professor, mas que foram
obtidos de maneira semelhante a` descrita acima.
6 Dados
A temperatura ambiente para os dados registrados e´ de T0 = 295K. Os
dados fornecidos na˜o possuem a resisteˆncia inicial R0 da laˆmpada medida
pelo mult´ımetro.
A tabela 1 mostra os valores medidos para a diferenc¸a de potencial V ,
a corrente ele´trica i e a luminosidade S captada pelo fotodiodo, com suas
incertezas experimentais. Nota-se que os primeiros dados possuem um va-
lor quase constante para a luminosidade captada, sendo que esta comec¸a a
variar apenas com voltagens superiores a 1V , aproximadamente. Este valor
mostrado pelo fotodiodo pode ser proveniente, entre outros fatores, da luz
ambiente de forma que, para analisar os dados, precisaremos subtrair tal va-
lor (aproximadamente S0 = 0, 5mV ) dos dados em uso, ou seja, utilizaremos
S − S0.
Encontram-se tambe´m na tabela 1 os valores calculados da poteˆncia e
resisteˆncia da laˆmpada, a partir das equac¸o˜es 3.1 e 3.3, juntamente com suas
incertezas propagadas, calculadas por:
δf =
√
(
∂f
∂x
)2(δx)2 + (
∂f
∂y
)2(δy)2 (6.1)
9
Tabela 1: Valores medidos experimentalmente (V , i e S) e
calculados (P e R) para a laˆmpada.
V (±0, 01)(V ) i(±1)(mA) S(±0, 1)(mV ) P (W ) R(Ω)
0, 02 32 0, 5 0, 0006(±0, 003) 0, 6(±0, 3)
0, 04 67 0, 5 0, 0027(±0, 0007) 0, 6(±0, 1)
0, 06 99 0, 6 0, 006(±0, 001) 0, 6(±0, 1)
0, 08 132 0, 6 0, 011(±0, 001) 0, 61(±0, 08)
0, 10 165 0, 6 0, 017(±0, 002) 0, 61(±0, 06)
0, 13 198 0, 6 0, 026(±0, 002) 0, 66(±0, 05)
0, 17 235 0, 6 0, 040(±0, 002) 0, 72(±0, 04)
0, 21 268 0, 6 0, 056(±0, 003) 0, 78(±0, 04)
0, 26 299 0, 6 0, 078(±0, 003) 0, 87(±0, 03)
0, 32 332 0, 6 0, 106(±0, 003) 0, 96(±0, 03)
0, 55 395 0, 6 0, 217(±0,004) 1, 39(±0, 03)
0, 82 455 0, 4 0, 373(±0, 005) 1, 80(±0, 02)
1, 14 515 1, 3 0, 587(±0, 005) 2, 21(∓0, 02)
1, 46 572 6, 7 0, 835(±0, 006) 2, 55(±0, 02)
1, 81 631 18, 5 1, 142(±0, 007) 2, 87(±0, 02)
2, 16 688 38, 4 1, 486(±0, 007) 3, 14(±0, 02)
2, 52 743 67, 4 1, 872(±0, 008) 3, 39(±0, 01)
2, 91 800 110, 3 2, 328(±0, 009) 3, 64(±0, 01)
3, 32 856 167, 6 2, 842(±0, 009) 3, 88(±0, 01)
3, 72 909 237, 6 3, 38(±0, 01) 4, 09(±0, 01)
4, 16 964 327, 6 4, 01(±0, 01) 4, 32(±0, 01)
4, 60 1018 434, 0 4, 68(±0, 01) 4, 52(±0, 01)
5, 07 1072 564, 0 5, 44(±, 0, 01) 4, 73(±0, 01)
5, 54 1124 706, 0 6, 23(±0, 01) 4, 93(±0, 01)
6, 01 1175 865, 0 7, 06(±0, 01) 5, 11(±0, 01)
6, 53 1229 1059, 0 8, 03(±0, 01) 5, 313(±0, 009)
7, 06 1282 1269, 0 9, 05(±0, 01) 5, 507(±0, 009)
7, 57 1331 1489, 0 10, 08(±0, 02) 5, 687(±0, 009)
8, 11 1382 1726, 0 11, 21(±0, 02) 5, 868(±0, 008)
8, 62 1429 1987, 0 12, 32(±0, 02) 6, 032(±0, 008)
9, 19 1478 2267, 0 13, 58(±0, 02) 6, 218(±0, 008)
9, 67 1519 2524, 0 14, 69(±0, 02) 6, 366(±0, 008)
10, 25 1568 2845, 0 16, 07(±0, 02) 6, 537(±0, 008)
10, 83 1615 3175, 0 17, 49(±0, 02) 6, 706(±0, 007)
11, 41 1662 3527, 0 18, 96(±0, 02) 6, 865(±0, 007)
12, 00 1709 3894, 0 20, 51(±0, 02) 7, 022(±0, 007)
12, 64 1757 4280, 0 22, 21(±0, 02) 7, 194(±0, 007)
13, 24 1802 4670, 0 23, 86(±0, 02) 7, 347(±0, 007)
10
7 Ana´lise
Analisando os dados e relac¸o˜es descritas ate´ agora determinaremos os
valores de temperatura em func¸a˜o da resisteˆncia da laˆmpada de tungsteˆnio,
para posteriormente retirarmos informac¸o˜es destas relac¸o˜es.
A princ´ıpio, e´ preciso determinar o valor da resisteˆncia do filamento de
tungsteˆnio analisado no experimento a` temperatura ambiente. Medir este
valor com um mult´ımetro pode acarretar erros a` medida, ja´ que o processo de
funcionamento do mult´ımetro consiste em aplicar uma diferenc¸a de potencial
que influenciara´ o valor de resisteˆncia medido. Assim, utilizaremos o processo
de ana´lise gra´fica para determinar R0.
Tomando a equac¸a˜o 2.7 pode-se verificar que para temperaturas muito
maiores que a ambiente D(T−T0) << εσA(T 4−T 40 ), considerando as propri-
edades do tungsteˆnio[3], e assim a expressa˜o se reduz a` equac¸a˜o 2.6, ou seja,
a equac¸a˜o de Stefan-Boltzmann incluindo a emissividade do material. Para
temperaturas pro´ximas a` temperatura ambiente, no entanto, D(T − T0) >>
εσA(T 4 − T 40 ) e a equac¸a˜o pode ser reduzida a P (T ) = D(T − T0). Por-
tanto, ao se considerar apenas temperaturas muito pro´ximas a` T0 e´ poss´ıvel
escrever:
∆T =
P
D
Utilizando o resultado acima na equac¸a˜o 3.10, obtemos:
R = R0 +R1
P
D
+R2
P 2
D2
(7.1)
Assim, construindo um gra´fico de R x P e ajustando uma curva aos
dados podemos estimar R0. Como fora utilizada a fo´rmula reduzida da
poteˆncia para temperaturas pro´ximas a` ambiente, foram utilizadas tempe-
raturas pro´ximas a` ambiente para determinar R0. Segue abaixo o gra´fico
contendo o ajuste.
11
 0.4
 0.5
 0.6
 0.7
 0.8
 0.9
 1
 1.1
 1.2
 1.3
 1.4
 1.5
 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
R
(O
h
m
)
P(W)
Ajuste: f(x)= 0,5x2 + 3,67x +0,57
Dados
Figura 4: Relac¸a˜o entre R e P para baixas temperaturas e curva de ajuste
quadra´tico.
Como se pode perceber na figura 4, para temperaturas pro´ximas a` am-
biente (295 K) a relac¸a˜o entre R e P e´ pro´xima de uma relac¸a˜o quadra´tica.
Assim, conforme o ajuste quadra´tico realizado, a resisteˆncia a` temperatura
ambiente e´ R0 = 0, 572± 0, 008.
Com o valor de R0 calculado, e´ poss´ıvel estimar a temperatura do fila-
mento atrave´s das expresso˜es para T ′(R) e T ′′(R) na sec¸a˜o 3, pore´m, para
calcular o valor da temperatura T ′′′(R) utilizando a expressa˜o 3.12 e´ preciso,
primeiramente, encontrar o valor do expoente g proveniente da relac¸a˜o entre
a resisteˆncia e temperatura. Para isso, consideramos a expressa˜o 2.7 para
altas temperaturas, onde esta se reduz a` lei de Stefan-Boltzmann (2.6), onde
P = εσAT 4, ou seja:
T =
(
P
εσA
)1/4
Ao substituir a equac¸a˜o acima na expressa˜o 3.11 obtemos:
R =
R0
T g0 (εσA)
g/4
P g/4
Indentificando o termo multiplicando P g/4 como uma constante, obtemos
uma expressa˜o na forma f(x) = axn onde n = g/4. Assim, ao aplicar o
12
logaritmo natural, obteˆm-se:
ln(R) = ln(a) +
g
4
ln(P ) , (7.2)
onde a e´ a constante citada anteriormente. Deste modo, pode-se fazer um
gra´fico com os dados de R e P da tabela 1 em escala logar´ıtma e ajustar uma
linha de tendeˆncia linear a fim de encontrar g.
 1.2
 1.3
 1.4
 1.5
 1.6
 1.7
 1.8
 1.9
 2
 2.1
 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
ln
(R
)
ln(P)
Ajuste: f(x)=0,30x + 1,031
Dados
Figura 5: Relac¸a˜o entre ln(R) e ln(P) para altas temperaturas e linha de
tendeˆncia linear.
Analisando a linha de tendeˆncia retornada pelo programa no gra´fico 5 e
comparando com a equac¸a˜o 7.2, obtemos o valor do expoente desejado como
sendo g = 1, 20.
Pode-se agora estimar as temperaturas para os dados da tabela 1 utili-
zando as expresso˜es 3.8, 3.9 e 3.12. Os valores calculados e suas incertezas
propagadas pela equac¸a˜o 6.1 encontram-se na tabela 2.
Tabela 2: Temperaturas do filamento calculadas pelos
diferentes me´todos apresentados.
P (W ) T ′(K) T ′′(K) T ′′′(K)
0, 0006(±0, 0003) 318(±131) 318(±131) 319(±133)
0, 0027(±0, 0007) 306(±63) 306(±63) 307(±64)
13
0, 006(±0, 001) 310(±42) 310(±43) 310(±43)
0, 011(±0, 001) 310(±32) 310(±32) 310(±32)
0, 017(±0, 002) 310(±25) 310(±26) 310(±26)
0, 026(±0, 002) 331(±21) 331(±21) 332(±21)
0, 040(±0, 002) 359(±17) 359(±17) 360(±18)
0, 056(±0, 003) 383(±15) 383(±15) 385(±15)
0, 078(±0, 003) 417(±13) 417(±13) 419(±13)
0, 106(±0, 003) 454(±12) 454(±12) 457(±12)
0, 217(±0, 004) 613(±9) 614(±9) 621(±9)
0, 373(±0, 005) 758(±8) 759(±8) 770(±8)
0, 587(±0, 005) 897(±7) 899(±7) 914(±7)
0, 835(±0, 006) 1008(±6) 1011(±6) 1029(±6)
1, 142(±0, 007) 1109(±5) 1113(±5) 1134(±5)
1, 486(±0, 0007) 1195(±5) 1199(±5) 1223(±5)
1, 872(±0, 008) 1273(±4) 1278(±4) 1304(±5)
2, 328(±0, 009) 1348(±4) 1354(±4) 1382(±4)
2, 842(±0, 009) 1420(±4) 1428(±4) 1458(±4)
3, 38(±0, 01) 1484(±4) 1492(±4) 1525(±4)
4, 01(±0, 01) 1550(±3) 1559(±3) 1594(±3)
4, 68(±0, 01) 1610(±3) 1619(±3) 1656(±3)
5, 44(±0, 01) 1671(±3) 1681(±3) 1720(±3)
6, 23(±0, 01) 1729(±3) 1740(±3) 1781(±3)
7, 06(±0, 01) 1782(±3) 1794(±3) 1836(±3)
8, 03(±0, 01) 1839(±3) 1851(±3) 1896(±3)
9, 05(±0, 01) 1893(±3) 1907(±3) 1953(±3)
10, 08(±0, 02) 1944(±2) 1958(±2) 2006(±3)
11, 21(±0, 02) 1995(±2) 2010(±2) 2059(±2)
12, 32(±0, 02) 2040(±2) 2056(±2) 2107(±2)
13, 58(±0, 02) 2091(±2) 2108(±2) 2161(±2)
14, 69(±0, 02) 2132(±2) 2150(±2) 2204(±2)
16, 07(±0, 02) 2179(±2) 2197(±2) 2253(±2)
17, 49(±0, 02) 2225(±2) 2244(±2) 2301(±2)
18, 96(±0, 02) 2268(±2) 2288(±2) 2347(±2)
20, 51(±0, 02) 2311(±2) 2331(±2) 2391(±2)
22, 21(±0, 02) 2357(±2) 2379(±2) 2440(±2)
23, 86(±0, 02) 2398(±2) 2421(±2) 2483(±2)
25, 23(±0, 02) 2435(±2) 2458(±2) 2522(±2)
14
Para minimizarmos os erros ao extrairmos informac¸o˜es dos dados, e´ pre-
ciso reconhecer as limitac¸o˜es das relac¸o˜es entre T e R que obtivemos ate´
enta˜o. Abaixo se pode ver a diferenc¸a para as 3 expresso˜es conforme a tensa˜o
varia.
 0
 500
 1000
 1500
 2000
 2500
 0 2 4 6 8 10 12 14
T
(K
)
V(V)
T’
T’’
T’’’
Figura 6: Relac¸a˜o entre T’,T” e T”’ e V.
Percebe-se que para altas temperaturas existem comportamentos distin-
tos, enquanto que para baixas temperaturas todas se comportam analoga-
mente. Como T ′′ e´ o u´nico me´todo que leva em considerac¸a˜o o coeficiente
de dilatac¸a˜o do tungsteˆnio, supo˜em-se que este seja o mais correto a ser uti-
lizado. A expressa˜o de T ′ perde em precisa˜o por desconsiderar a dilatac¸a˜o
te´rmica do material, pore´m e´ indispensa´vel para que T ′′ possa ser utilizada,
ja´ que esta equac¸a˜o usa o resultado deT ′ num processo iterativo. A equac¸a˜o
de T ′′′ e´ obtida ja´ pressupondo que o filamento se comporte como um corpo
negro, portanto se sabe que esta na˜o pode ser usada com o fim de demonstrar
que o filamento de tungsteˆnio irradia conforma a lei de Stefan-Boltzmann a`
altas temperaturas.
7.1 Verificac¸a˜o da Lei de Stefan-Boltzmann
Supo˜em-se que para temperaturas altas o suficiente o filamento de tungsteˆnio
passara´ a emitir radiac¸a˜o te´rmica em intensidade suficiente para que a ab-
sorc¸a˜o de radiac¸a˜o pelo filamento seja desprez´ıvel. Assim, este devera´ irradiar
15
analogamente a um corpo negro e poderemos verificar que seguira´ a lei de
Stefan-Boltzmann. Como discutido anteriormente, para este propo´sito na˜o
podemos representar a temperatura conforme a expressa˜o de T ′′′ (3.12), por-
tanto utilizaremos a expressa˜o de T ′′ (3.9).
A lei de Stefan-Boltzmann (2.4) afirma que a poteˆncia total de irradiac¸a˜o
da superf´ıcie de um corpo negro e´ proporcional a` quarta poteˆncia da tem-
peratura de sua superf´ıcie. Assim, como obtivemos a poteˆncia irradiada
pelo filamento e sua temperatura, sabemos que, ao selecionarmos o inter-
valo de altas temperaturas em relac¸a˜o a` temperatura ambiente, temos que
P ∝ T ′′4. Definindo uma constante C que inclua as propriedades do material
e a constante de Stefan-Boltzmann, podemos escrever P = CT ′′4. Aplicando
o logaritmo natural em ambos os lados desta equac¸a˜o obtemos:
ln(P ) = ln(C) + ln(T ′′)4 = ln(C) + 4ln(T ′′)
Como ln(C) e´ uma constante, esta equac¸a˜o descreve uma reta de ln(P ) em
func¸a˜o de ln(T ′′) cujo coeficiente angular e´ igual a` 4. Assim, ao constru´ırmos
um gra´fico de lnP em func¸a˜o de lnT e ajustarmos uma reta do tipo f(x) =
ax+b aos pontos esperamos encontrar um coeficiente angular a ' 4. A seguir
o gra´fico com o ajuste realizado para temperaturas maiores que 1100K.
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
 3.5
 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8
ln
(P
)
ln(T’’)
Ajuste: f(x)= 3,97x − 27,6
Dados
Figura 7: Relac¸a˜o entre lnP e lnT” verificando a lei de Stefan-Boltzmann.
Conforme o gra´fico demonstra, a poteˆncia irradiada pelo filamento e´ pro-
porcional a` T 3,97 para altas temperaturas.
16
O coeficiente angular calculado pelo ajuste com sua respectiva incerteza
e´:
a = 3, 97± 0, 02
Verifica-se, portanto, que o coeficiente angular calculado no ajuste esta´
muito pro´ximo do valor previsto pela lei de Stefan-Boltzmann.
7.2 Determinac¸a˜o da constante de Planck
Com a demonstrac¸a˜o de que a laˆmpada se comporta como um corpo ne-
gro, podemos utilizar a aproximac¸a˜o de Wien para a lei de Planck (2.5) para
determinar a constante de Planck h, pois sabemos que o sinal captado pelo
fotodiodo e´ proporcional a e
hc
λkT , assim, ao aplicar o logaritmo na equac¸a˜o,
obtemos:
ln(S) = C − hc
λkT
(7.3)
Onde C e´ uma constante e λ e´ o comprimento de onda em que o fotodiodo
e´ mais sens´ıvel. Sua curva de sensibilidade e´ mostrada na figura 8.
Figura 8: Curva de sensibilidade do fotodiodo.
Portanto, o comprimento de onda sera´ determinado pelo valor me´dio
da curva, acompanhado de uma incerteza que cobre o intervalo em que o
fotodiodo e´ sens´ıvel: λ = 950(±150)nm.
Ao reconhecermos, na equac¸a˜o 7.3, o termo hc/λk como uma constante
a, podemos encontrar seu valor ao ajustar uma curva linear em um gra´fico
ln(S) por 1/T .
17
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 0.0004 0.00045 0.0005 0.00055 0.0006 0.00065 0.0007 0.00075 0.0008 0.00085
ln
(S
)
1/T(K
−1
)
Ajuste: f(x)= −11058x + 6,29
Dados
Figura 9: Gra´fico ln(S) x 1/T para determinac¸a˜o da constante de Planck.
E´ importante lembrar que a grandeza utilizada no eixo das ordenadas e´ o
valor de S subtra´ıdo de S0, ou seja, foi aplicado a correc¸a˜o da luz ambiente.
Deste modo, os primeiros valores igualam-se a 0 de forma que na˜o e´ poss´ıvel
aplicar o logaritmo natural para analisa´-los no gra´fico 9.
A linha ajustada no gra´fico apresenta o seguinte valor para o coeficiente
angular a:
a = −hc
λk
= −11058(±19)K
Sendo assim, podemos calcular o valor para h e sua incerteza propagada:
h = 4, 8(±0, 8).10−34J.s (7.4)
8 Conclusa˜o
Verificou-se que, em altas temperaturas, a laˆmpada de tungsteˆnio obedece
a` lei de Stefan-Boltzmann, ou seja, se comporta como um corpo negro. E,
a partir disto, foi poss´ıvel estimar o valor da constante de Planck, o qual
diferiu do valor conhecido h = 6, 62.10−34. Tal discrepaˆncia pode ter sido
originada das fontes de erro e aproximac¸o˜es mencionadas no trabalho, tal
como a suposic¸a˜o que o filamento estava em equil´ıbrio termodinaˆmico a uma
temperatura uniforme e que tal filamento e´ feito de tungsteˆnio puro.
18
Refereˆncias
[1] Eisberg, Robert and Resnick, Robert, F´ısica Quaˆntica, John Wiley &
Sons, 29a tiragem, 1985.
[2] Tipler, Paul A. and Llewellyn, Ralph A., F´ısica Moderna, W.H. Freeman
& Company, 6a ed., 2014.
[3] Forsythe, William Elmer and Worthing, AG, The properties of tungsten
and the characteristics of tungsten lamps, The Astrophysical Journal,
volume 61, 1925.
[4] Preston, Daryl W. and Dietz, Eric R., The Art of Experimental Physics,
John Wiley & Sons, 1991.
19
	Introdução
	Referencial Teórico
	Espectro de Corpo Negro
	Radiação de um Corpo Real
	Relação entre Resistência e Temperatura
	Materiais Utilizados
	Procedimentos
	Dados
	Análise
	Verificação da Lei de Stefan-Boltzmann
	Determinação da constante de Planck
	Conclusão