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Determinac¸a˜o da Unidade Elementar de Carga Ele´trica Fabio Rasera, Luan Bottin De Toni 27 de Junho de 2016 Resumo Este trabalho descreve o experimento em que se pretendeu repro- duzir uma versa˜o do experimento realizado por Millikan para obter o valor da carga elementar. Apo´s ana´lise e tratamento estat´ıstico dos dados, os resultados obtidos demonstraram a efica´cia do experimento, onde encontrou-se o valor e = 1, 5(±0, 2).10−19C para a carga do ele´tron. 1 Introduc¸a˜o 1.1 Introduc¸a˜o Histo´rica Apesar de ser recente o controle e produc¸a˜o de eletricidade que revolucio- nou o modo de vida dos seres humanos, o conhecimento dos efeitos de carga ele´trica remontam aos antigos gregos, milhares de anos atra´s. Por volta de 600 A.C, Thales de Mileto descobriu que o aˆmbar, uma resina fo´ssil, possui a propriedade de atrair outros objetos, como penas, apo´s ser atritado contra la˜. Da´ı que surge a palavra ele´tron, que vem do grego e´lektron, que significa aˆmbar. Por muito tempo se pensou que este fenoˆmeno fosse propriedade apenas desta substaˆncia, mas eventualmente foram observados os efeitos da eletricidade esta´tica em outros materiais. No se´culo XVIII o qu´ımico franceˆs Charles Du Fay ja´ notara que o efeito poderia ser atrativo ou repulsivo, dependendo dos materiais atritados. Ainda neste se´culo nasce o conceito de carga ele´trica, assim como part´ıcula ele´trica, e a lei de conservac¸a˜o de carga e´ cunhada por Benjamin Franklin, que tambe´m criou diversos termos utilizados ate´ hoje quando tratamos de eletricidade: bateria, condutor, positivo, negativo, entre outros. 1 No se´culo XIX W.Crookes observa o aparecimento de luminesceˆncia em regio˜es de tubos onde produzia va´cuo e punha dois eletrodos com alta vol- tagem, chamando de ”raios cato´dicos”os misteriosos entes que causavam tal luminesceˆncia. No ano de 1897 J. J. Thomson realizou experieˆncias que o levaram a concluir que os raios cato´dicos eram formados por part´ıculas que possuem carga negativa. Mais tarde, Thomson ainda provou que esses raios eram desviados mediante a aplicac¸a˜o de campo ele´trico. Assim, essas part´ıculas foram denominadas de ele´trons, remontando aos primo´rdios da descoberta da eletricidade. Thomson da´ um grande salto na investigac¸a˜o da carga ele´trica ao obter experimentalmente a raza˜o de carga sobre massa, inciando uma busca pela determinac¸a˜o da carga do ele´tron. O experimento da Caˆmara de Bolhas, proposto por C. T. R. Wilson, estudante de Thomson, produziu resultados na determinac¸a˜o da carga do ele´tron. Na caˆmara ı´ons sa˜o produzidos com um feixe de raios X ou com um feixe de raios gama, emitidos por uma fonte radioativa e servem como nu´cleos de condensac¸a˜o de vapor d’a´gua produzido na caˆmara, estando sujeitos a` aplicac¸a˜o de um campo ele´trico. No entanto, haviam dificuldades no controle da evaporac¸a˜o das got´ıculas de a´gua, e foi apo´s o aperfeic¸oamento do f´ısica americano Robert Andrews Millikan, em conjunto com seu aluno H. Fletcher, que o experimento retornou resultados mais confia´veis. Millikan passou 13 anos aperfeic¸oando o experimento, introduzind o uso de gotas de o´leo e melhorou a aparelhagem utilizada para as medidas. Os resultados de Millikan demonstraram que a carga ele´trica encontrada nas gotas eram mu´ltiplas inteiras de uma carga fundamental, e assim se atestou a quantizac¸a˜o da carga do ele´tron. Seu trabalho lhe rendeu um preˆmio Nobel de F´ısica em 1923. 1.2 Referencial Teo´rico O objetivo deste relato´rio e´ descrever a reproduc¸a˜o do experimento de Millikan, utilizando as ideias chaves do experimento original, pore´m com ferramentas modernas. Foram cronometrados os tempos de descida e subida de va´rias gotas de o´leo ionizadas no meio viscoso (ar), sobre a atuac¸a˜o de um campo ele´trico ~E. Ale´m da forc¸a ele´trica, outras forc¸as estara˜o atuando sobre a gota, como a forc¸a peso, de empuxo e de viscosidade do ar, conforme mostrado na figura 1. Sabendo que a magnitude do campo ele´trico e´ E = V/L, onde V e´ a diferenc¸a de potencial aplicada entre as placas do aparato e L e´ a distaˆncia 2 Figura 1: Forc¸as atuantes na gota de o´leo em regime de subida e descida. entre elas, podemos escrever a forc¸a ele´trica como: Fe = qE = q V L . (1) A forc¸a peso e´ escrita em termos da acelerac¸a˜o gravitacional ~g e da massa da gota de o´leo mo, pore´m, para o presente experimento e´ mais u´til expres- sarmos a massa em termos de seu raio r e densidade ρo, de forma que o mo´dulo da forc¸a gravitacional e´: FP = mog = 4 3 pir3ρog . (2) Pelo princ´ıpio de Arquimedes, o fluido exercera´ uma forc¸a sobre a got´ıcula de o´leo apontando sempre para cima e proporcional a` massa de ar ma des- locada pela got´ıcula, esta forc¸a e´ chamada de empuxo ~Femp. Como antes, e´ melhor expressarmos tal forc¸a em termos da densidade do ar ρa e do raio da gota de o´leo r que representara´ o volume deslocado de ar. Sendo assim, a forc¸a de empuxo, em mo´dulo, pode ser escrita como: Femp = mag = 4 3 pir3ρag . (3) A forc¸a de viscosidade do ar e´ descrita pela lei de Stokes. Ao se mover em um fluido, a got´ıcula de o´leo sofre a influeˆncia da forc¸a de atrito que e´ proporcional a sua velocidade v. Se a gota estiver em regime de descida, a forc¸a de viscosidade sera´ para cima; e caso estiver em regime de subida, tal forc¸a sera´ para baixo. A lei de Stokes e´ descrita matematicamente como: Fη = 6piηrv , (4) onde η e´ o coeficiente de viscosidade do ar para objetos macrosco´picos. En- tretanto, quando a got´ıcula possui tamanho compara´vel ao livre caminho 3 me´dio das mole´culas do fluido, seu raio pode variar, deste modo, na˜o se pode desprezar a na˜o homogeonidade do fluido. Desta maneira, Millikan propoˆs uma correc¸a˜o no coeficiente de viscosidade: η′ = η [ 1 + b pr ]−1 , (5) onde p e´ a pressa˜o atmosfe´rica e b e´ a constante de correc¸a˜o de Cunningham e esta´ relacionada com o empuxo produzido pelo fluido. Apesar destes dois valores ser bem conhecidos, precisamos do valor do raio r da gota para, assim, aplicar a correc¸a˜o no coeficiente de viscosidade. Sendo que a forc¸a de viscosidade e´ proporcional a` velocidade da got´ıcula, esta atingira´ uma velocidade terminal e neste momento as forc¸as atuantes sobre ela estara˜o em equil´ıbrio. Deste modo, em seu regime de descida, onde a forc¸a ele´trica e gravitacional estara˜o atuando para baixo enquanto a forc¸a de empuxo e viscosidade para cima, teremos que: Fe + FP = Femp + Fη , substituindo as expresso˜es de cada forc¸a na equac¸a˜o acima, e notando que a velocidade na equac¸a˜o 4 trata-se da velocidade de descida vd, obtemos: vd = 1 6piηr [ qE + 4 3 pir3g(ρo − ρa) ] . (6) Ao inverter o sentido do campo ele´trico, a got´ıcula se desloca para cima e a forc¸a ele´trica e de viscosidade trocam de sentido, assim: Fη + FP = Femp + Fe , substituindo novamente as expresso˜es das forc¸as e explicitando sua velocidade de subida vs: vs = 1 6piηr [ qE − 4 3 pir3g(ρo − ρa) ] . (7) Subtraindo 7 e 6 obtemos uma expressa˜o para o ca´lculo do raio da gota de o´leo: r = 3 2 √ η(vd − vs) g(ρo − ρa) . (8) Nota-se que o valor do raio da gota e´ func¸a˜o do coeficiente de viscosidade η que pode ser determinado a partir da temperatura, como mostra o gra´fico 3 disponibilizado no manual do equipamento utilizado [1]. A temperatura pode ser inferida a partir da tabela na figura 2 que relaciona a resisteˆncia 4 medida no equipamento com a temperatura. Com isso, pode-se estimar o raio da gota e com este valor aplicar a correc¸a˜o no coeficiente de viscosidade (equac¸a˜o 5). Ao calcular o valor corrigido η′ pode-se utiliza´-lo para obter uma melhor estimativa do raio da gota. Sendo r′ o raio corrigido da gota: r′ = 3 2 √ η′(vd − vs)g(ρo − ρa) . (9) Figura 2: Tabela da relac¸a˜o entre a resisteˆncia e temperatura. Vamos agora encontrar uma expressa˜o para a carga q da gota de o´leo. Somando 7 e 6, lembrando que E = V/L e utilizando o raio corrigido obte- mos: q = 3piηr′L(vd + vs) V . (10) 1.3 Movimento Browniano O experimento apresenta muitas fontes de erro, dentre elas a variabilidade e imprecisa˜o da resposta humana ao cronometrar o tempo de traˆnsito de uma gota; os erros associados a` todas as aproximac¸o˜es feitas, como densidade constate do o´leo e do ar na caˆmara, campo ele´trico uniforme; entre outras. O sucesso de Millikan muito se deve a` sua preocupac¸a˜o em averiguar fontes de erro a` e´poca, como a correc¸a˜o que aplicou a` Lei de Stokes para melhor descrever o arrasto em objetos pequenos como as gotas de o´leo. Desde enta˜o houve enorme progresso tecnolo´gico que nos permite diminiur drasticamente os erros instrumentais, no entanto ha´ uma fonte de erro que na˜o pode ser suprimida ou compensada: o movimento Browniano. O movimento Browniano [3] e´ um movimento aleato´rio que se observa em part´ıculas muito pequenas suspensas em um fluido, devido a` colisa˜o como a´tomos ou mole´culas no fluido. Este movimento decorre da flutuac¸a˜o es- tat´ıstica da densidade de mole´culas do fluido. O efeito se torna relevante 5 Figura 3: Gra´fico da relac¸a˜o do coeficiente de viscosidade em func¸a˜o da temperatura. quando o tamanho das part´ıculas e´ apenas pouco maior que o livre caminho me´dio das mole´culas do fluido. No experimento realizado, as gotas de o´leo se chocam com as part´ıculas de ar, contribuindo para a incerteza do resultado final. 2 Materiais Utilizados Os materiais utilizados no experimento foram: • Um mult´ımetro para medir resisteˆncia (precisa˜o de 0,01 MΩ); • Um tomizador; • Uma caˆmera digital; • Um computador para ana´lise das imagens; 6 • Um equipamento Pasco Millikan Oil Drop Apparatus (distaˆncia entre linhas da grade de 0,1 mm e separac¸a˜o entre placas de 7,67 mm); • Um cronoˆmetro (precisa˜o de 0,01 s); • Uma fonte de tensa˜o (precisa˜o de 1 V). 3 Coleta de Dados Foi utilizado o Millikan Oil Drop Apparatus, fabricado pela Pasco, para a execuc¸a˜o do experimento. O equipamento e´ representado no diagrama a seguir, retirado do manual do Millikan Oil Drop Apparatus?? e com modi- ficac¸o˜es nas legendas. Figura 4: Equipamento uitilizado para a obtenc¸a˜o dos dados. O aparato possui uma entrada na cobertura da caˆmara por onde sa˜o bor- rifadas as gotas de o´leo, que, ao ca´ırem, adentram a caˆmara de visualizac¸a˜o das gotas, onde sa˜o bombardeadas por raios-X com o intuito de ioniza´-las. O processo de ionizac¸a˜o pode ser ligado e desligado pelo usua´rio atrave´s de um interruptor. A caˆmara de visualizac¸a˜o consiste de duas placas de cobre ligadas a` uma fonte de alta voltagem regula´vel, de forma que seja poss´ıvel controlar o campo ele´trico entre as placas e consequentemente a forc¸a atuante nas gotas ionizadas. A caˆmara de observac¸a˜o apresenta um fundo plano qua- driculado onde as gotas sa˜o observadas, sendo poss´ıvel cronometrar o tempo de passagem entre linhas horizontais equidistantes. Ha´, ainda, uma fonte de 7 iluminac¸a˜o regula´vel para facilitar a visualizac¸a˜o das gotas. Para observar e cronometrar o tempo de passagem das gotas, uma caˆmera conectada a um computador e´ posicionada em frente a` caˆmera de visualizac¸a˜o do aparato, de forma que a sa´ıda das imagens e´ dada em um monitor. Cada coletor cronometrou o tempo de subida e descida de 1 gota, reali- zando diversas medidas para cada etapa a fim de obter boa quantidade de dados. E´ importante ressaltar que a coleta de dados na˜o foi realizada toda no mesmo dia nem com o mesmo equipamento, apesar de todas terem sido feitas com o mesmo modelo de aparato da Pasco. Assim, paraˆmetros iniciais como a diferenc¸a de potencial entre as placas e a temperatura ambiente variam de acordo com o coletor. 4 Dados Para o ca´lculo do raio e carga das gotas necessitamos de alguns dados ja´ bem conhecidos, como a densidade do o´leo ρo = 886Kg/m 3 e da a´gua ρa = 1, 2kg/m 3, a constante gravitacional g = 9, 81m/s2, a pressa˜o at- mosfe´rica p = 1, 01.105Pa, a correc¸a˜o de Cunninghan da viscosidade b = 8, 2.10−3Pa.m, e a distaˆncia entre as placas do equipamento L = 7, 67.10−3m. A tabela 1 apresenta os dados medidos pelos grupos, com o tempo me´dio de subida e descida (e seu desvio padra˜o) juntamente com a distaˆncia re- lacionada, a diferenc¸a de potencial aplicada, e a resisteˆncia medida e suas incertezas instrumentais. Em alguns dados, na˜o foi medida a resiteˆncia no dia, que indicaria a temperatura, para essas gotas sera´ utilizada a tempera- tura no dia do experimento, disponibilizada no site Freemeteo [2]. 5 Ana´lise Com o tempo de descida e subida das gotas e a distaˆncia percorrido pode- se calcular suas respectivas velocidades (v = d/t). E, utilizando a tabela 2 e o gra´fico 3, e´ poss´ıvel estimar a temperatura e, consequentemente, o coeficiente de viscosidade η a partir das resisteˆncias medidas para cada gota ou, no caso de na˜o haver tal informac¸a˜o, da temperatura do dia da coleta de dados. A tabela 2 mostra tais valores e o raio de cada gota calculado a partir da equac¸a˜o 8. Todas as incertezas propagadas foram calculadas conforme a seguinte equac¸a˜o: σf = √√√√ n∑ i=1 ( ∂f ∂xi )2 σxi 2 8 Tabela 1: Dados medidos para o tempo me´dio de descida e subida das dife- rentes gotas de o´leo. Gota d(mm) ts(s) td(s) V(V)(±1) R(MΩ)(±0,01) 1 0, 5 1, 1(±0, 1) 1, 0(±0, 1) 550 - 2 0, 5 2, 1(±0, 1) 2, 1(±0, 2) 550 - 3 0, 5 1, 7(±0, 1) 1, 6(±0, 1) 550 - 4 0, 5 1, 3(±0, 1) 1, 11(±0, 08) 550 - 5 0, 5 3, 7(±0, 3) 3, 2(±0, 3) 550 - 6 0, 5 1, 0(±0, 1) 0, 9(±0, 1) 550 - 7 0, 5 1, 7(±0, 2) 1, 7(±0, 1) 371 2, 48 8 0, 5 4, 3(±0, 4) 3, 3(±0, 2) 372 2, 49 9 0, 5 2, 7(±0, 2) 2, 3(±0, 1) 422 2, 47 10 0, 5 1, 7(±0, 2) 1, 6(±0, 1) 423 2, 46 11 2, 0 7, 8(±0, 1) 7, 4(±0, 1) 428 2, 45 12 2, 0 5, 56(±0, 09) 5, 4(±0, 1) 428 2, 45 13 1, 5 3, 66(±0, 08) 3, 62(±0, 09) 428 2, 45 14 2, 0 3, 9(±0, 3) 3, 7(±0, 2) 428 2, 45 15 1, 5 3, 1(±0, 2) 3, 0(±0, 1) 428 2, 45 Tabela 2: Valores calculados para cada gota a fim de determinar seu raio. Gota T(◦C) vs(mm/s) vd(mm/s) η(µNs/m2) r(µm) 1 16 0,44 (± 0,06) 0,49 (± 0,06) 18,0 0,5 (± 0,4) 2 16 0,24 (± 0,02) 0,24 (± 0,02) 18,0 0,1 (± 0,6) 3 16 0,29 (± 0,02) 0,31 (± 0,02) 18,0 0,3 (± 0,2) 4 16 0,40 (± 0,04) 0,45 (± 0,03) 18,0 0,5 (± 0,3) 5 16 0,14 (± 0,01) 0,16 (± 0,01) 18,0 0,3 (± 0,1) 6 16 0,49 (± 0,05) 0,52 (± 0,06) 18,0 0,4 (± 0,5) 7 18 0,29 (± 0,04) 0,29 (± 0,02) 18,1 0,1 (± 0,8) 8 17 0,12 (± 0,01) 0,152 (± 0,008) 18,1 0,41 (± 0,07) 9 18 0,18 (± 0,01) 0,21 (± 0,01) 18,1 0,4 (± 0,1) 10 18 0,29 (± 0,03) 0,31 (± 0,02) 18,1 0,3 (± 0,3) 11 18 0,255 (± 0,005) 0,271 (± 0,004) 18,1 0,28 (± 0,05) 12 18 0,360 (± 0,006) 0,34 (± 0,01) 18,1 0,3 (± 0,1) 13 18 0,41 (± 0,01) 0,41 (± 0,01) 18,1 0,1 (± 0,2) 14 18 0,51 (± 0,04) 0,55 (± 0,03) 18,1 0,4 (± 0,3) 15 18 0,48 (± 0,02) 0,49 (± 0,03) 18,1 0,2 (± 0,5) Com os dados da tabela 2 podemos calcular o coeficiente de viscosidade corrigido η′ (equac¸a˜o 5) e o raio corrigido r′ (equac¸a˜o 9) e, assim, calcular a 9 carga para cada gota a partir da equac¸a˜o 10. A tabela 3 mostra os valores calculados com as gotas organizadas em ordem crescente de carga ele´trica q juntamente com a diferenc¸a de carga de cada gota para a pro´xima para uma melhor ana´lise. O grupo optou por descartar gotas que possuem incertezas muito grandes (cerca de cinco vezes o valor da carga, ou mais) ocasionadas, provavelmente, por ma´ medic¸a˜o nos tempos de descida e subida das gotas. As gotas descartadas sa˜o mostradas na tabela 3 com um sinal (-) na coluna das diferenc¸as de carga (∆q). Tabela 3: Valores corrigidos e carga calculada das gotas, organizadas emordem crescente. Gotas que na˜o possuem o valor da diferenc¸a de carga foram descartadas. Gota η′(µN.s.m−2) r′(µm) q(.10−19C) ∆q(.10−19C) 2 10(±28) 0, 1(±0, 6) 0, 4(±3, 9) - 7 11(±28) 0, 1(±0, 7) 1, 2(±10) - 5 14(±1) 0, 3(±0, 1) 1, 6(±0, 7) 0, 0 13 12(±7) 0, 1(±0, 2) 1, 8(±3, 9) 0, 2(±4, 0) 15 12(±12) 0, 1(±0, 5) 2, 7(±10) - 8 15, 1(±0, 4) 0, 38(±0, 07) 3, 0(±0, 6) 1, 2(±3, 9) 11 14, 0(±0, 6) 0, 25(±0, 05) 3, 1(±0, 6) 0, 1(±0, 8) 3 15(±2) 0, 3(±0, 2) 3, 3(±2, 4) 0, 2(±2, 5) 9 14, 9(±0, 8) 0, 3(±0, 1) 3, 5(±1, 2) 0, 2(±2, 6) 10 14(±3) 0, 2(±0, 3) 3, 5(±4, 3) 0, 0(±4, 5) 12 14(±1) 0, 2(±0, 1) 3, 6(±1, 8) 0, 1(±4, 7) 6 15(±3) 0, 3(±0, 5) 6, 9(±9, 7) 1, 3(±9, 9) 1 15(±2) 0, 4(±0, 4) 7, 7(±8, 0) 0, 8(±12) 4 16(±1) 0, 5(±0, 3) 8, 2(±4, 6) 0, 5(±9, 2) 14 15(±2) 0, 4(±0, 3) 10, 8(±8, 2) 2, 6(±9, 4) Com isso, podemos agora separar as gotas em grupos. Supondo que a primeira gota na˜o descartada corresponde a` carga elementar, analisamos a coluna da diferenc¸a de carga. Quando tal diferenc¸a for aproximadamente o valor da carga elementar, tal gota sera´ colocada em outro grupo juntamente com as gotas com carga aproximadamente igual. Apo´s, faz-se uma me´dia com as cargas dentro de cada grupo e divide-se pelo primeiro grupo, o qual supusemos que corresponde a` carga elementar, deste modo, determina-se o nu´mero n de cargas elementares. Para um ca´lculo mais preciso da me´dia, levou-se em considerac¸a˜o a incerteza de cada gota. A fo´rmula utilizada para 10 o ca´lculo da me´dia ponderada pelas incertezas e´: x¯ = ∑N i=1 xi σ2i∑N i=1 1 σ2i , σ = 1√∑N i=1 1 σ2i . (11) Tabela 4: Gotas separadas pelo nu´mero de cargas elementares. Gotas q¯(.10−19C) n e = q¯/n(.10−19C) 5, 13 1, 6(±0, 7) 1 1, 6(±0, 7) 8, 11, 3, 9, 10, 12 3, 1(±0, 4) 2 1, 5(±0, 2) 6, 1, 4 7, 9(±3, 7) 5 1, 6(±0, 7) 14 10, 8(±8, 2) 7 1, 5(±1, 2) Dividindo-se a carga q de cada grupo pelo nu´mero n de cargas elementares e, pode-se estimar tal valor. Com e de cada grupo calculado na tabela 4 fez- se uma me´dia ponderada pelas incertezas para estimar o valor da unidade elementar de carga ele´trica: e = 1, 5(±0, 2).10−19C . (12) Dado que o valor aceito para a carga elementar atualmente e´ e = 1, 60217662.10−19C, o resultado encontrado se demonstra bastante pro´ximo. 6 Conclusa˜o A versa˜o do experimento de Millikan realizada demonstrou resultados satisfato´rios, dado que encontrou-se um valor final para a carga elementar pro´ximo ao valor aceito atualmente. E´ nota´vel que este experimento seja capaz de medir uma grandeza de ordem ta˜o pequena, visto que as fontes de erro sa˜o muitas: desde a cronometragem imprecisa do tempo de queda e subida das got´ıculas ate´ o desvio causado pelo movimento browniano na trajeto´ria das mesmas. Percebe-se os resultados deste experimento dependem muito do tratamento estat´ıstico, necessitando de uma grande quantidade de dados coletados para que os resultados sejam satisfato´rios. Refereˆncias [1] Instruction Manual, Millikan Oil Drop Apparatus, 1996. 11 [2] FREEMETEO, Histo´rico de temperatura por dia em Porto Alegre. Dis- pon´ıvel em: https://freemeteo.com.br. Acessado em 16/06/2016. [3] WIKIPE´DIA, Movimento Browniano. Dispon´ıvel em: https://pt. wikipedia.org/wiki/Movimento_browniano. Acessado em 16/06/2016. 12 Introdução Introdução Histórica Referencial Teórico Movimento Browniano Materiais Utilizados Coleta de Dados Dados Análise Conclusão
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