Relatório Linhas de Transmissão (corrigido)

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Linhas de Transmissa˜o
Luan Bottin de Toni(246851)
21 de agosto de 2015
Resumo
Este relato´rio descreve um experimento cujo objetivo e´ entender a
propagac¸a˜o de ondas eletromagne´ticas atrave´s de cabos coaxiais e seus
comportamentos ao variar a resisteˆncia em sua extremidade. Mostra-
se que e´ poss´ıvel calcular a velocidade de propagac¸a˜o atrave´s de um
referencial teo´rico ou um equipamento experimental e que essa veloci-
dade e´ cerca de 2/3 da velocidade da luz, evidenciando a utilidade de
tais cabos para linhas de transmissa˜o.
1 Introduc¸a˜o
Atualmente as frequeˆncias usadas na transmissa˜o de sinais esta˜o cada
vez mais altas, levando a perdas importantes nos sinais. Isto faz com que o
conhecimento da f´ısica envolvida seja muito importante.
O experimento realizado tem como objetivo estudar os aspectos da pro-
pagac¸a˜o de ondas eletromagne´ticas em uma linha de transmissa˜o constitu´ıda
por um cabo coaxial, medindo sua capacitaˆncia, indutaˆncia e impedaˆncia,
assim como analisar a propagac¸a˜o e reflexa˜o de pulsos.
Um cabo coaxial e´ uma linha de transmissa˜o que consiste de um centro
condutor (geralmente de cobre), um espac¸amento diele´trico, uma malha
condutora externa e uma cobertura pla´stica que, ale´m de servir como terra,
blinda o sinal de campos eletromagne´ticos externos.
E´ razoa´vel supor que uma linha de transmissa˜o se comporta como uma
distribuic¸a˜o cont´ınua de capacitores e indutores, da qual isolamos uma ce´lula
elementar demonstrada na figura 1.
A tensa˜o V0(t) aplicada num extremo introduzira´ um sinal V(x,t) e I(x,t)
que se propagara´ ao longo do cabo como uma onda. Na figura 1 ha´ uma
queda de tensa˜o provocada pela corrente dada por ∆I/∆t na indutaˆncia
L′∆x. Ao considerarmos um cabo ideal sem perdas e aplicarmos a lei das
malhas temos que:
∆V (x, t) = −L′∆x∆I(x, t)
∆t
Analogamente, a diferenc¸a de corrente e´ dada por:
∆I(x, t) = −C ′∆x∆V (x, t)
∆t
1
vaio
Resaltado
Figura 1: Ce´lula elementar de extensa˜o ∆x do circuito onde L’ e C’ repre-
sentam a indutaˆncia e capacitaˆncia por unidade de comprimento.
Tomando o limite ∆x,∆t→ 0:
∂V
∂x
= −L′∂I
∂t
(1)
∂I
∂x
= −C ′∂V
∂t
(2)
Ao tomarmos a derivada da equac¸a˜o (1) em relac¸a˜o a x e a derivada da
equac¸a˜o (2) em relac¸a˜o a t, temos que:
∂2V
∂x2
= −L′ ∂
2I
∂t∂x
;
∂2I
∂x∂t
= −C ′∂
2V
∂t2
Logo, temos que:
∂2V
∂x2
= L′C ′
∂2V
∂t2
(3)
Como a equac¸a˜o (3) e a equac¸a˜o da onda sa˜o matematicamente a mesma
vemos que, de fato, trata-se de uma onda se propagando no cabo com velo-
cidade:
v =
1√
L′C ′
(4)
A capacitaˆncia e indutaˆncia por unidade de comprimento esta˜o relacio-
nadas com paraˆmentros geome´tricos dos cabos:
C ′ =
2pi�R
ln(r2/r1)
; L′ =
µ0
2pi
ln(r2/r1) (5)
onde �R = κ�0 e´ a constante de permissividade do diele´trico do cabo coaxial.
Ao aplicarmos uma tensa˜o na extremidade do cabo uma onda e corrente
sa˜o geradas, no sentido positivo, de acordo com as relac¸o˜es:
V+(x, t) = V0(t− x
v
) ; I+(x, t) = I0(t− x
v
)
2
vaio
Nota adhesiva
I também obedece a equação de onda?
Substituindo as equac¸o˜es acima em (1) temos que:
∂
∂x
(V0(t− x
v
)) = −L′ ∂
∂t
(I0(t− x
v
))
V0(t− x
v
) = vL′I0(t− x
v
)
V+(x, t) = vL
′I+(x, t) (6)
Sabendo que a impedaˆncia Z da linha de transmissa˜o e´ o quociente entre
a tensa˜o e a corrente:
Z =
V+(x, t)
I+(x, t)
= vL′ =
√
L′
C ′
Substituindo as equac¸o˜es (5) na relac¸a˜o acima e sabendo que a velocidade
da luz e´ dada por c = 1/
√
µ0�0 obtemos a impedaˆncia na forma:
Z =
ln(r1/r2)
2pi�0c
(7)
Para uma onda que se propaga no sentido negativo temos:
V−(x, t) = V0(t+
x
v
) ; I−(x, t) = I0(t+
x
v
)
E aplicando o mesmo racioc´ınio feito anteriormente para a onda se pro-
pagando no sentido positivo:
V−(x, t) = −vL′I−(x, t) = −ZI−(x, t) (8)
Ao adicionarmos uma resisteˆncia R na extremidade do cabo ha´ uma
mudanc¸a abrupta na impedaˆncia caracter´ıstica da linha, fazendo com que
a onda propagante sofre uma reflexa˜o. Expressando a tensa˜o e a corrente
como a soma dos pulsos refletido e incidido:
V (x, t) = V+(x, t) + V−(x, t)
I(x, t) = I+(x, t) + I−(x, t) =
V+(x, t) + V−(x, t)
Z
Pore´m, em sua extremidade, x = l onde l e´ o comprimento do cabo, te-
mos que V (l, t) = RI(l, t). Substituindo nas equac¸o˜es acima e relacionando-
as com a tensa˜o aplicada obtemos:
V0(t+ l/v) =
R− Z
R+ Z
V0(t− l/v) (9)
Esta u´ltima equac¸a˜o deixa claro que a amplitude do pulso refletido e´
determidado pela resisteˆncia na extremidade, impedaˆncia do cabo e pelo
pulso incidido, esses aspectos sera˜o analisados neste experimento.
3
vaio
Resaltado
-
vaio
Nota adhesiva
Como chegou da equação acima até aqui?
vaio
Resaltado
2 Materiais Utilizados
Foram utilizados os seguintes materiais:
• Cabos coaxiais com sa´ıda bnc;
• oscilosco´pio de 100 MHz;
• gerador de pulso (50ns) com 4 sa´ıdas;
• mult´ımetro;
• ponte RLC;
• potencioˆmetro linear de 100Ω;
• fios curtos de 10cm com uma sa´ıda bnc e 2 jacare´s;
• paqu´ımetro (precisa˜o de 0,05mm);
• trena (precisa˜o de 0,1cm);
• T com sa´ıda bnc.
3 Procedimento de coleta de dados
O laborato´rio foi dividido em grupos, cada qual com um cabo diferente do
outro e, posteriormente, os dados coletados foram trocados entre os grupos.
O procedimento de coleta de dados a seguir foi adotado para apenas um dos
cabos coaxiais.
Foram medidas as dimenso˜es geome´tricas do cabo. Seu comprimento l
foi medido com uma trena utilizando uma mesa (100, 00(±0, 05)cm) como
refereˆncia. Os diaˆmetros do condutor central (d1 = 2r1) e da malha externa
(d2 = 2r2) foram medidos utilizando um paqu´ımetro. Como na˜o e´ poss´ıvel
saber o valor de �R, na˜o podemos calcular o valor de C
′ a partir da equac¸a˜o
(5), enta˜o utilizou-se uma ponte RLC para medir a capacitaˆncia C do cabo,
pore´m, o valor apresentado pelo aparelho estava muito oscilante e a extremi-
dade do cabo na˜o encaixava propriamente no ”T”utilizado posteriormente,
levantando questo˜es sobre a integridade do cabo. A partir da capacitaˆncia
calculada foi obtido C ′ = C/l. Desse modo foi poss´ıvel calcular os valo-
res da tabela 1 apresentada mais adiante utilizando as equac¸o˜es deduzidas
anteriormente.
Feito isso, o grupo montou um equipamento formado por um gerador
de pulso, um oscilosco´pio, dois cabos coaxiais, um conector T e um po-
tencioˆmetro. O esquema esta´ representado na figura 2. Ondas senoidais de
frequeˆncia varia´vel sa˜o produzidas pelo gerador e passam pelo oscilosco´pio
de modo que e´ poss´ıvel observar seu tempo de propagac¸a˜o e comportamento
4
utilizando resisteˆncias diferentes na extremidade do cabo. Assim analisamos
o comportamento da onda quando o cabo estava em curto (R = 0) utilizando
um fio curto com jacare´s presos em suas pontas; com sua extremidade aberta
(R =∞); e com o potencioˆmetro ajustado para R ' Z.
Figura 2: Esquema de montagem.
4 Dados Experimentais
Os dados coletados esta˜o dispostos a seguir. Sendo que o procedimento
descrito acima se refere ao cabo 1 das tabelas 1 e 2. Os dados omitidos na˜o
foram fornecidos pelo grupo responsa´vel.
Tabela 1: Dimenso˜es e especificac¸o˜es dos cabos coaxiais.
Cabo 1 Cabo 2 Cabo 3
l(m) 12, 937(±0, 007) 18, 161(±0, 005) 37, 1(±0, 01)
2r1(mm) 0, 95(±0, 03) 0, 80(±0, 05) 0, 90(±0, 05)
2r2(mm) 2, 95(±0, 03) 2, 90(±0, 05) 3, 70(±0, 05)
C(nF) 1, 2(±0, 1) 1, 9(±0, 1) -
C′(pF/m) 92(±8) 105(±6) 333(±88)
�R(pF/m) 16(±1) 21(±1) 39(±11)
L′(µH/m) 0, 227(±0, 004) 0, 256(±0, 006) 0, 15(±0, 01)
v(108m/s) 2, 2(±0, 1) 1, 93(±0, 06) 1, 4(±0, 2)
Z(Ω) 50(±2) 49(±2) 46(±14)
Tabela 2: Dados do experimento com o oscilosco´pio.
Cabo 1 Cabo 2 Cabo 3
2l(m) 25, 87(±0, 01) 36, 32(±0, 01) 74, 2(±0, 02)
tprop.(ns) 131, 0(±0, 1) 182, 0(±0, 1) 150v(108m/s) 1, 975(±0, 002) 1, 996(±0, 001) 4, 93(±0, 03)
R = Z(Ω) 48, 6(±0, 1) 62, 3(±0, 1) 44, 2(±0, 1)
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Notamos que a velocidade medida atrave´s do oscilosco´pio do cabo 3
ultrapassa a velocidade da luz, o que e´ absurdo. Como na˜o se sabe o proce-
dimento adotado para as medidas desse cabo, resta supor que a medida do
tempo de propagac¸a˜o da onda esta´ equivocado. Desta forma, essa velocidade
sera´ desconsiderada na ana´lise dos resultados.
5 Ana´lise dos dados
Analisando individualmente o cabo 1, cujos dados foram obtidos atrave´s
dos procedimentos descritos, notamos que a velocidade de propagac¸a˜o en-
contrada atrave´s da equac¸a˜o (4) difere da obtida experimentalmente dentro
dos valores abrangidos pelas incertezas. Considerando que o valor obtido
atrave´s dos dados do oscilosco´pio possui uma incerteza consideravelmente
menor e que este valor se aproxima mais ao encontrado na literatura para
esse tipo de cabo (v = 0, 66c) [2], e´ razoa´vel supor que as medic¸o˜es fei-
tas na tabela 1 geraram um erro considera´vel no resultado final (como dito
anteriormente, a ponte RLC apresentou grandes oscilac¸o˜es na medida da
capacitaˆncia do cabo).
Se tomarmos uma me´dia das velocidades das tabelas 1 e 2 (desconside-
rando a velocidade medida no oscilosco´pio do cabo 3) e´ poss´ıvel notar que a
velocidade de propagac¸a˜o diminui conforme a distaˆncia percorrida aumenta.
Se tratando de um cabo na˜o ideal, o material diele´trico, assim como o cobre,
possui resisteˆncia na˜o nula, o que pode causar dispersa˜o de energia.
Ao realizarmos o experimento com o oscilosco´pio para diferentes re-
sisteˆncias na extremidade do cabo notamos comportamentos distintos da
onda refletida. Deixando a extermidade aberta (R = ∞) observamos um
pulso refletido com a mesma fase do pulso incidente.
Figura 3: Reflexa˜o da onda com a extremidade do cabo aberta.
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A figura 3 confirma o pressuposto da equac¸a˜o (9), pois ao substituir
R =∞ temos que V0(t+ l/v) = V0(t− l/v), ou seja, a onda se propagando
no sentido positivo de l possui a mesma fase da onda no sentido negativo.
Pore´m, ao colocarmos a extremidade do cabo coaxial em curto com o
aux´ılio de um cabo curto com jacare´s nas pontas, temos que R = 0 e ,pela
equac¸a˜o (9), V0(t+ l/v) = −V0(t− l/v). Ou seja, a onda refletida tera´ fase
oposta a` da onda incidente, o que e´ confirmado pela figura 4.
Figura 4: Reflexa˜o da onda com a extremidade em curto.
Por u´ltimo, acoplando um potencioˆmetro a` extremidade do cabo coaxial
e observando o comportamento da onda na tela do oscilosco´pio foi poss´ıvel
achar o valor da resiteˆncia para o qual na˜o ha´ onda refletida pelo cabo
(no experimento ainda houve reflexa˜o, de modo que foi buscado a menor
amplitude poss´ıvel da onda refletida), ou seja, quando R = Z, pois ao
substituirmos novamente na equac¸a˜o (9) temos que V0(t+ l/v) = 0.
6 Conclusa˜o
Vimos, enta˜o, que e´ poss´ıvel estimar a velocidade de propagac¸a˜o de
uma onda eletromagne´tica em um cabo coaxial atrave´s de suas dimenso˜es
e equac¸o˜es deduzidas a partir do pressuposto que o cabo se comporto como
uma distribuic¸a˜o cont´ınua de capacitores e indutores. Pore´m, esse me´todo
mostrou-se bem suscet´ıvel a erros por envolver muitas varia´veis, tornando
a medic¸a˜o direta atrave´s de um oscilosco´pio uma maneira mais confia´vel de
medir esse valor. Em todos os casos a velocidade de propagac¸a˜o se aproxima
de dois terc¸os da velocidade da luz, isso evidencia a utilidade de cabos co-
axias como linhas de transmissa˜o. Ao analisar a velocidade me´dia de cada
cabo conclu´ımos que a velocidade e´ perturbada conforme a distaˆncia percor-
rida pela onda aumenta. Ale´m disso, foi calculada a impedaˆncia dos cabos
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Resaltado
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Resaltado
de duas formas distintas: matematicamente atrave´s das dimenso˜es dos ca-
bos; e variando a resisteˆncia na extremidade do cabo de modo que na˜o haja
onda refletida.
Refereˆncias
[1] WALTER C. JOHNSON, MCGRAW-HILL KOGAKUSHA Transmissi-
ons Lines and Networks, Intl. St. Ed. , New York, Ltd. 1950.
[2] GOMES, D.O.S. et al. Medida da velocidade de fase da luz em linhas de
transmissa˜o. Rev. Bras. Ensino F´ıs., Sa˜o Paulo, v. 33, n. 3, p. 1-3, Set.
2011.
[3] H. M. NUSSENZVEIG, Curso de F´ısica ba´sica - vol. 3 - Eletromagne-
tismo, editora Edgard Blu¨cher, 1a edic¸a˜o, 1997.
[4] D. HALLYDAY, R. RESNICK & J. WALKER, Fundamentos de F´ısica
vol.3 - Eletromagnetismo, editora LTC, 8a edic¸a˜o, 2010.
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Nota adhesiva
Como se comparam os valores calculados e medidos?
vaio
Nota adhesiva
Introdução e descrição do experimentonullnull1,8/2,0nullObtenção e apresentação das medidasnullnull1,0/1,0nullDescrição dos pulsosnullnullnullnull2,0/2,0nullVerificação que I e V satisfazem a eq. da onda e cálculo de vnullnullnullnull0,7/1,0nullDedução das eqs. 5, 6 e 7nullnullnull2,0/2,0nullDedução da eq. 10nullnullnullnull0,2/1,0nullnullnullDiscussão dos resultadosnullnullnullnull0,9/1,0nullnullTotal:null8,6/10,0nullnull